二项框架下的GMWB乘客——定价、套期保值和

在任何时候，当立即投降是最佳选择时，C提供了从现在而不是在下一个最佳时间投降的边际价值，而L是从现在而不是在到期时行动的边际价值。根据定理7和定理10，可以得出V＠ηj+1＠ηj=U＠ηj+1＠ηj+W＠ηjand V＠ηj=U＠ηj+W＠ηj。因此，C可以用U asc（i，x）=U（i，x）来表示- [pu-（i+1，ux）+qu-（i+1，dx）]e-r.（28）从X=X开始，复制投资组合在时间上以递归方式向前构建，考虑费用收入、消费和附加费索赔付款。尽管我∈ I+Nwe haveXi=[Xi-1.- 我-1Si-1.- 词-1] e\'r+我-1Si+Fi- （G）- Wi-E-α)+. （29）定理11。根据假设9，如果初始资本为x=U，则在合同有效期内，维护（29）定义的复制投资组合并在提前退保（如有）或在时间点N清算该投资组合的保险人将被完全对冲。就我所知∈ 在所有投降策略中xi=Ui。证据见附录A备注4。假设被保险人遵循最优退保策略，那么X?-k)ηW)η，而{ηη=N}上的XN=UN=0。在这种策略下，没有消费。然而，如果被保险人允许第一个最佳退保时间{η<\'τ}过去，那么保险人将消耗Cη，剩余的投资组合仍足以在剩余寿命内对冲合同。如果被保险人允许下一个最佳退保时间{η<<η<\'τ}过去，如果它存在，那么保险人会消耗额外的Cη，并持续到触发点或时间点N中的较早者。最后，假设被保险人在一个不理想的时间投降。对于给定的路径ωN，对于所有0，投降发生在时间点i6=~ηj≤ J≤ M（ωN）。然后被保险人收到Wi（1- ki）和inturn Foreges Vi- Wi（1）- ki）>0的值。

保险人的投资组合价值为Xi+猕猴桃>0，且保险人的消费为正。事实上，到25岁时，我们有了Vi- Wi（1）- ki=Ui+Wiki>0，但xi=Ui。C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在二项式框架中，2019年7月5日，通过合同定价和套期保值的显式递推公式，我们可以考虑二项式模型的实现及其相对于理论结果和文献中出现的其他建模方法的性能。我们首先简要介绍了二项式模型的计算考虑。4计算考虑GMWB骑手二项式模型的计算应用面临两个特殊挑战。账户价值过程的二叉树是非重组的，与通常的欧洲和美国股票期权相比，附加条款的持续时间明显更长，后者的持续时间通常不超过一年。提款率g预计在5%至10%之间，对应于10至20年的到期日。如果二项世界中的价值过程要提供Hyndman和Wenger[15]连续时间模型中价值过程的精确近似值，δt必须显著小于1。反向归纳（树）算法（称为方法A）用于计算大小为2N的VinVolvesArray，以记录最后一个周期内所有节点的VN。相比之下，重组树所需的阵列大小仅为N+1。当g=5%时，二叉树将在最后一段时间内包含2个>10个节点，每年只有一个时间步。方法A对于δt的小值需要太多的内存。我们将证明，在无失效模型中，我们可以直接计算v（i，x），而无需使用树，并避免存储大量数据对内存容量造成的压力。这种直接方法（方法B）使用一种算法，该算法循环通过每个需要最少内存的路径。

我们很快就会看到，尽管能够从循环过程中消除路径的一个子集，但该方法比方法a慢得多。虽然方法B允许使用较小的δt值，但随着路径数量在O（2N）处增长，我们很快就会遇到时间限制。然后，我们将介绍一种近似方法，它使用反向归纳（树）方法，同时缓解记忆紧张。这保留了建模GMWB的灵活性，无论是否有失误。此外，它避免了方法B的时间限制。终端AV可以直接表示为：WN=maxξNe-αξN-1e-α...ξe-αPξe-α- G- G...- G- G、 0= 最大值0，P e-\'-αNNYi=1ξi- GN-1Xi=0e-\'\'αiNYj=N-（一）-1） ξj, （30）其中使用约定Qnn+1（·）=1。应用Liu[18]的反转技术，该技术通过序列{ξi}Ni=1的可交换性性质进行调整，并考虑分布相等的反转序列，得出Wx，MNd=max“0，xZN-M- GN-M-1Xi=0Zi#，其中M<N和{Zi}是没有取款时的账户价值过程，从z=1开始。特别是，当M=0、x=P和G=P/N时，我们可以得到Vcan表示为{Zi}上的浮动亚洲看涨期权加上一个特定成分，如Liu[18]所指出的。由于S上的周期性取款、费用和可能的负回报，{Wi}树中的许多终端节点将为零。请考虑{Zi}的重组树，其中N+1个节点的周期为N。在每个节点上，对于通向它的每条路径，必须计算平均值以计算Wn。假设有些人≤ N我们在所有路径上都有WN=0，i跳跃为u和N- i跳跃d.然后WN=0，对于u跳跃小于i的所有路径。

因此，一旦我们到达Z树上的一个节点，所有路径的WN=0，就不需要考虑其他路径。在C++中有一个高效的置换函数next PERMUTING，它可以快速循环通过u和N的i跳跃的不同路径- 通过循环每个节点及其各自的路径，我们可以避免内存存储的指数增长，尽管我们在数值结果中显示，运行时间将显著增加。乘以（5），其中ζ：=N-我们可以写。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中2019年7月5日V（M，x）=Gaζ+e-\'rζAXk=0pζ-kqkXΞζ，kxe-\'-αζuζ-kdk- Gζ-1Xi=0e-\'-αiiYj=1ωj！+，（31）式中Ξζ，kis为ζkζ路径的唯一置换-k up和k down是k的第一个值，求和为零。Hull and White[14]开发了一种近似方法，以更有效的方式对二项式晶格上的路径相关金融期权进行估值。其关键思想是只使用每个节点上平均值的代表集，并在向后归纳方案中应用线性插值。Costabile等人[7]讨论了Hull and White[14]方法的几个缺点，并提出了不同的近似方法，特别是提供了固定行使欧式和美式亚洲看涨期权的定价细节。数值结果显示，欧洲-亚洲通话收敛，而美国-亚洲通话表现不佳，收敛速度慢得多。任何期权的有效支付路径取决于哪种方法是有效的。Costabile等人[7]考虑的期权与GMWB骑手相比，期限明显更短。该方法将反向递减方案中考虑的合同价值数量从O（2N）减少到O（N）。

在我们的工作中，内存限制将二叉树中的时间步数限制为N=28，但使用这种方法，我们可以考虑多达N=128个时间步。我们简要介绍了适用于有偏差的GMWBs的近似方法，但请读者参考Costabile等人[7]了解该方案的更多细节。使用等式（30），我们可以改写等式（18）asV=maxη给出的保单持有人的合同价值∈LEQ“Gaη+P最大值η1-NηXi=1Zi！，0!(1 - kη）e-rη#，（32）式中zn=nYi=1e-\'-αξi=e-αNSN。因此，Vi=v（i，Zi，iXj=1Z-1j），其中v:IN×R+×R+7→ R+在时间上递归向后定义为V（N，x，y）=P max十、1.-纽约, 0对于i=N和v（i，x，y）=max汞+光伏i+1，薛-α，y+薛-α-1.+ qvi+1，xde-α，y+xde-α-1.ie-\'r，x1.-纽约(1 - （ki）为了0≤ i<N.设（i，j）表示j向上运动和（i）到达的节点-j） 对于（j，Z）的移动，我们在（j，Z）处写下。对于每个节点，我们构造一个j（i）的集合- j） +1代表性平均值，其中使用平均值术语，即使我们不除以i+1。此集合是完整集合的子集ij该节点上路径的平均值。用A（i，j，1）表示第一（和最低）元素，其中（i，j，1）=jXh=0ue-α-h+ue-α-冀-jXh=1判定元件-α-h、 C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日这个平均值是沿着路径从u的j向上运动开始，然后是（i- j） d的向下移动。除了起始点和终点，我们沿着路径找到{Si}的最高点（如果有多个这样的点，选择第一个），并在{Zi}树中将该节点替换为其正下方的节点，以获得新路径并取其平均值。这是重复的j（i）- j） 获得集合A（i，j）={A（i，j，k）的次数；1≤ K≤ j（i）- j） +1}。

考虑的最终路径将是带有（i）的路径- j） 向下运动，然后是j向上运动。前面的路径都不允许低于此路径。当在Z的树上使用函数v并应用反向归纳时，只要计算出的平均值不在该节点的代表集中，就会使用linearinterpolation。这是通过考虑集合中两个最近的元素来实现的，计算平均值的每一侧各有一个元素（有关详细信息，请参见Hull and White[14]和Costabile等人[7]）。Costabilee et al.[7]的方案的优点是，v的许多计算不需要线性插值。对于Costabile et al.[7]中的框架，算法是否从平均值最高的路径开始，以所述方式选择路径，并在获得平均值较低的路径时停止，或者反之亦然，获得相同的平均值集。这种对称性是基础资产随u和d因子变化的结果，其中ud=1。然而，这种对称性在我们的模型中并不成立，因为过程Z随ue的因素而变化-α和de-α. 例如，向上移动后再向下移动不会使Z返回其初始值。Z-树的向下趋势使近似算法复杂化。因此，集合A（i，j）将根据最初考虑的是最低路径还是最高路径而变化。5数值结果：排除死亡率风险从无失效的情况开始，我们提供了将我们的模型与文献中排除死亡率风险的先前结果进行比较的数值结果，并发现即使δt的值较大，我们的简单模型也是更复杂模型的合理近似值。

此外，离散时间二项式模型允许我们分析套期保值结果，以及在不实施套期保值时参数对损失的影响。5.1对分算法用于数值求解α？定义3给出。定义f:R+7→ R+乘以f（α）=V（P，α，g）-P那么f（α？）=定义为0，定义为3。当| f（α）|<?哪里?≤ 我们的所有结果均为0.001，精度为1×10-5.单位溢价。在连续时间模型中，Milevsky和Salisbury[19]使用数值偏微分方程技术来求解V，对应于Hyndman和Wenger[15，方程（7）]，并给出各种（g，σ）组合的公平费用。在Liu[18]中，建立了一个离散时间模型，并使用蒙特卡罗模拟法，以几何平均数的亚洲看涨期权作为控制变量，对合同价值进行了估计。两篇论文都假设S是对数正态分布。理论上，我们期望两个模型和我们的二项式模型的结果收敛。然而，刘[18]得出的结果明显低于米列夫斯基和索尔兹伯里[19]，并得出结论，米列夫斯基和索尔兹伯里[19]的结果平均过高28%。表1提供了米列夫斯基和索尔兹伯里[19]，刘[18]以及二项模型结果之间的比较。在离散模型中，δt=1/时间步。参数为：P=100，g=10%，r=5%，σ=20%，T=1/g=10。对于δt=1，二项式模型和Liu[18]的结果非常接近。在方法B下，我们每年达到三个时间步，并观察到binomialmodel支持Liu[18]的结果。对于相同的参数，表2显示了计算α单个值vf的样本运行时间（以秒为单位）。当n<3时，差异似乎很小，外部因素也会影响运行时间。

然而，方法A是在Matlab中实现的，而方法B是在C++中实现的，这通常对相同的代码更有效。因此，我们发现方法B明显较低。在n=3且α=95.35bps的方法B下，我们观察到，对于所有向上移动少于11次的路径，WN=0，因此，不需要对Z的重组树中的底部10个节点进行评估。然而，这种简化并不能阻止n.C.Hyndman&M.Wenger GMWB车手在二项式框架下的运行时间快速增长，2019年7月5日&S（2006）Liu[18]二项式步数/年连续1 12 4000 1 2 3α？（bps）140 92.41 96.65 97.28 92.20 94.55 95.35表1：α的结果比较：g=10%，r=5%，σ=20%时间步长方法A方法B（树，Matlab）（循环，C++）n=17.7×10-43 × 10-3n=2 0.80 2.5n=3 3×10表2：计算时间比较（以秒为单位）虽然二项式模型是观察GMWB骑手的一个有价值的理论框架，但它是揭示这种模型实用价值的亚洲近似方法。采用亚洲近似法，我们得到了n=10的结果。通过更高效的编程和优越的硬件，每月的时间步长应该是可以实现的。表3中的结果表示α？刘计算[18]。表4包含不同g和σ值的额外结果。公平费用随着hg和σ的增加而增加，并且对σ非常敏感。文献中详细讨论了敏感性结果（见Chen等人[6]）。GMWB担保的保费回报不包括货币的时间价值，随着g的增加，到期日减少，任何固定α的价值因利率影响而增加。结果是α？必须增加。我们的研究结果始终支持刘[18]，而米列夫斯基和索尔兹伯里[19]的研究结果则相反。在图1中，Vis与不同值的α相对应。

参数为：P=100、r=5%、σ=20%、δt=1和g=（1/t）。公平费用是水平线V=100和曲线之间的交点。当在更宽的范围[0,0.05]上绘制曲线时，在[0,0.01]上看到的线性重新排列消失，曲线具有更明显的凸形。随着α的增加，触发的可能性增加，但对于足够大的α，预期贴现终端账户价值的降低不那么敏感。重要的是要考虑α？附近区域Vtoα的敏感性？，对于给定的一组参数。图1反映了不同T值的变化灵敏度。对于表1中的参数，δt=2的二项式方法给出的V（100,140 bps，10%）=98.02，可以只查看α？。目标是解决公平费用问题，在我们的定价框架中，收取不同的费用会导致套利，无论|α的大小- α?|. 然而，在现实世界的约束条件下，例如不完善的模型、市场摩擦和次理性的保单持有人，如果你的小定价错误可能不会导致套利，那么考虑价格敏感性是至关重要的1 2 3 5 7 9 10α？（bps）92.3094.6495.4096.0596.3396.4896.54V（α=97.3）（$）99.76799.88099.91799.94599.95899.96599.967表3：亚洲近似结果。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项框架中7月5日，（1）10（1）9076.5（1）221（1）221（1）221（1）221（1）221（1）221（1）221（1）221.3（1）221（1）11.11（1）11（1）11.11（1）11）11（1）11（1）11（1）11（1）11（1）n）11（1）n/a（1）11（1）11（1）11）11（1）117（1）n）n/a 80（1）11（1）11（1）11）11（1）11（1）n）11（1）11（1）11）11（1）11（1）11）n）11（1）11（1）11）11（1）n）11）11（1）11（1）11）n）n（1）11）11（1）11）11（1）n）11）11（1）n）n）n）n带括号的n表4：与α？的先前结果？，（r=5%）图1：绘制Vas的α函数，用于不同的T。

参数为：r=5%，σ=20%，g=1/T。除了发现α？之外？。5.2 Triggerlevsky和Salisbury[19]的分布数值求解P（τ）的Kolmogorov向后方程≤ T）并提供参数g=7%和α=40bps的（u，σ）不同组合的结果。为了避免分数年，我们将T=14，g=7.14%。如表5所示，n=2的二项模型产生的概率接近米列夫斯基和索尔兹伯里[19]。精度随着σ的增加而提高。在米列夫斯基和索尔兹伯里[19]中，STI由几何布朗运动Dst=uStdt+σStdBt建模，其中Bt是P-布朗运动。然后用rst:=lnSTS=u -σT+σBT，C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项框架中7月5日，5.5δt=0.9%49.2%49.9%38.9%37.9%37.9%37.8%37.8%38.2%38.2%38.2%38.2%49.9%49.9%49.9%49.9%50.9%50.9%49.9%38.8%38.2%38.2%38.2%49.9%49.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.8%50.9%50.8%50.8%50.8%50.9%50.8%50.8%50.8%50.8%50.8%50.8%50.8%50.9%50.8%50.8%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9%50.9 0.7%0.3%9.3%8.2%7.4%15.5%15.0%14.5%30.5%30.8%30.4%u=10%0.3%0.0%0.0%4.1%3.1%2.3%8.6%7.1%22.2%22.2%21.7%u=12%0.04%0.0%-1.6%0.9%0.4%4.4%3.5%2.7%15.5%15.2%14.4%表5:P∞): 比较米列夫斯基和索尔兹伯里[19]的二项模型和连续时间模型，我们得到EP[rsT]=（u-σ） T和V arP[rsT]=σT。在二项式模型中，我们设置u=eσ√δt，d=e-σ√δt，~p=+u -σσ√δt.注意，p<1仅在u<σ+σ时成立√δt.对于δt=1，当σ=10%和u=12%时，违反该条件。一般来说，τ相对于P的概率质量函数可以在二项式模型中使用方程（11）计算，其中P（τ=i）=H（0，0，i，P）表示i∈ {1,2，…，N，∞}. 当然，p必须替换为p。备注5。