二项框架下的GMWB乘客——定价、套期保值和

然后，根据二项式时间段，重新缩放集isI=tδt，tδt，tmδt 在里面GMWB和GMDB被视为一个附加条款，旨在解决公平费用α？和以前一样。或者，可以将两者分开，并从外部指定GMDB附加费。让DBB在时间点i以DB=P表示死亡福利保证基数。那么DBi=db（i，Wi-, DBi-1） ，其中db:IN×R+×R+7→ R+定义为（db（0，x，y）=x，db（i，x，y）=maxw（x）1{i∈一} ，w（x）xe-αy.（34）如果我=, 然后，ratchet DB降低为premium DB的简单回报。注意，对于i，DBi=0≥ τ . 然而，我们假设，在生存到触发日期的条件下，无论生命状态如何，都会支付保证付款；也就是说，如果之前发生过触发，剩余款项的现值在死亡时支付。最大死亡收益（DBi，Wi+1-) 如果死亡发生在第（i+1）个周期但在触发时间之前，则在时间（i+1）δt支付。极限为δt→ 0这相当于死亡时支付的死亡抚恤金。（34）中的死亡抚恤金基数通过按比例提取的方式减少，这意味着其减少的比例与账户价值相同。另一种方法是美元兑换美元。假设投保人持有GMDB和DBi的大量资金 Wi（其中x y表示y比x小得多）。通过提取0.9WI并忽略退保费用，在美元对美元扣减法下，投保人持有的GMDB仅为前一账户价值的10%，但死亡福利基数为DBi- 0.9Wi 0.按比例计算，新的死亡福利基数为0.1DBi DBi- 0.9Wi。6.3单一合同的定价和套期保值本文阐述了我方剩余工作的主要基本假设。假设14。生物特征和财务风险之间存在独立性。

让(OhmS、 FSN、FS、QS）和(OhmM、 FM，{x，lx}N，FM，x，PM）分别是第2节和第6.1节中构造的过滤概率空间。我们与产品领域合作(Ohm, FN，F，Q）在哪里Ohm := OhmM×OhmS、 F:={Fi}Ni=0，Fi:=FM，{x，lx}i×FSi:=σ（{A×B:A∈ FM，{x，lx}i，B∈ FSi}）和Q:=PM×QS。我们提出了更一般的模型，允许提前退保，如第3节所述，假设投保人的最佳行为。无失效模型是在以下假设下得到的。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，假设2015年7月5日。（无失效模型）对于所有i<N和kN=0，退保费用满足ki=1。这意味着可接受的失效策略集是L={N}。在不丧失普遍性的情况下，从现在起直到第6.4小节之后，我们考虑在x岁时将单一合同出售给个人的情况，也就是说，我们假设lx=1。值进程{VMi}0≤我≤Nis定义为Vmi=Aximaxη∈Li，\'τiEQhDx\'τi∧η最大值（DBKx）-1、WKx-)E-\'r（Kx-i） +GaKx-1.-我+ Ax′τi∧ηGaη-i+Wη（1）- kη）e-\'r（η）-（一）|菲伊。观察所有η∈ Liare FS停止时间与死亡率概率测量无关。任何失效策略η只有在被保险人仍然活着的情况下才能执行。当然，最佳的失效策略必须存在于Li，τi中 锂。以死亡时间为条件，以PM为期望值（由qs和PM的独立性调整），我们得到Vmi=AxiVi，其中vi=maxη∈Li，\'τiVηiandVηi=EQS\'\'τi∧η-1Xj=ij-i | qx+i最大值DBj，Wj+1-E-r（j+1）-i） +Gaj-我（35）+τi∧η-ipx+iGaη-i+Wη（1）- kη）e-\'r（η）-（一）FSi#。公平费率α的定义？保持不变，满足VM=P。选择任意η∈ L.表示Vηito是本放弃策略下截至时间点i的合同总付款，并贴现为t=0。ThenRVηi=τ∧η∧我-1Xj=0Axj- Axj+1hmax（DBj，Wj+1-)E-\'r（j+1）+Gaji+Axτ∧η∧iGaη∧i、 LetRVηi:=EPM[RVηi]。

那么我们有rvηi=τ∧η∧我-1Xj=0j | qxhmax（DBj，Wj+1-)E-\'r（j+1）+Gaji+τ∧η∧ipxGaη∧i、 对于任何0≤ 我≤ N、 定义重新调整过的过滤系数FS，i={FS，ij:=FSj+i；0≤ J≤ N- i} 。然后过程η，i=nYη，ij=e-r（（j+i）∧η） （j+i）∧ηpxVη（j+i）∧η+RVη（j+i）∧ηo0≤J≤N-i（36）是（QS，FS，i）鞅。最优投降策略^ηi由（21）给出（证明类似，并使用鞅（36））。因为{Wi，DBi}i=0,1，。。。这是一个二维马尔可夫过程，我们有vmi=Axiv（i，Wi，DBi），其中v:IN×R+×R+7→ R+由v（N，x，y）=xC递归定义。Hyndman&M.Wenger GMWB车手在一个二项框架中，2019年7月5日，0≤ 我≤ N- 1v（i，x，y）=max{e-r[px+i（G+pv（i+1，w（ux），db（i+1，ux，y））+qv（i+1，w（dx），db（i+1，dx，y））+qx+i（（p max（y，ux）+qmax（y，dx））1{x>0}+1{x=0}GaN-i） ]，x（1）- 基尼。这意味着边界条件v（i，0，y）=GaN-i、 附加价值流程必须考虑以下现金流组成部分。附加费在被保险人活着且未投降时支付。如果投降发生在触发时间之前，则GMWB骑手不承担任何费用。如果未发生退保，且被保险人在触发时间仍然有效，则定期支付GMWB保函，直至到期（无死亡）。如果死亡发生在触发时间或退保时间之前，则死亡福利超过经常账户价值的任何部分都是骑手产生的成本。综合起来，我们得到了umi=Aximaxη∈Li，τiEQηXj=i+1e-\'-r（j）-i） hAx′τiG- Wj-E-α+- AxjWj-1.- E-α- kηWηe-\'r（η）-i） Axηi+Dxη（DBKx-1.- WKx-)+E-\'r（Kx-i） |Fi.

（37）然后UMi=AxiUi=Axiu（i，Wi，DBi），其中u:IN×R+×R+7→ R由（u（N，x，y）=0，u（i，x，y）=max{e）来描述-\'-r（pu）-（i+1，ux，y）+qu-（i+1，dx，y）），-kix}，（38）和u-: I+N×R+×R+7→ R由u给出-（i，0，y）=G–aN-i+1，u-（i，x，y）=px+i-1[（G）- xe-α)+- x（1）- E-\'-α）+u（i，w（x），db（i，x，y））]（39）+qx+i-1（y）- x） +。符号-ai+1=1+ai是到期的年金。在假设15下，很容易检查(-kix）永远不会有约束力。请注意，Axi-1u-（一、Wi-, DBi-1） 是FSi×FM，{x，lx}i-1-可测量。这是我在已知过去一段时间内的市场走势后，但在发生任何交易（即费用、提款或死亡福利）之前评估的时间点的附加价值。也就是说，被保险人知道基金在过去一段时间内的确切市场增长情况，但正在等待了解投保人的状况。当假设15成立时，我们用{UM，NLi}来指代（37）。退保期权的边际附加值为LMi:=UMi- 嗯，NLi≥ 0，可以写成lmi=Aximaxη∈Li，τiEQNXj=η+1e-\'-r（j）-i） 朝觐-1.- E-α- Ax′τiG- Wj-E-α+我- AxηhkηWηe-\'r（η）-i） +DxN（DBKx）-1.- WKx-)+E-\'r（Kx-i） i|Fi. （40）然后LMi=轴（i，Wi，DBi），其中l:IN×R+×R+7→ R+由l（N，x，y）=0，l（i，x，y）=max{px+ie给出-r（pl（i+1，w（ux），db（i+1，ux，y））+ql（i+1，w（dx），db（i+1，dx，y）），-uNL（i，x，y）- kix}。反向感应验证l（i，x，y）=u（i，x，y）- uNL（i，x，y）。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日16。对于任何α>0，我们都有VMI=UMi+AxiWi（41）或等效的YVMI=UM，NLi+LMi+AxiWi（42）Q-a.s.用于所有0≤ 我≤ N.证据。等式（41）可以直接从（35）和（37）证明，也可以通过应用于函数v、u和u的反导证明-.

这个过程类似于定理7的证明。我们省略了细节。财政司司长调整投资组合程序{i} 定义为我=（i，Si，Wi，DBi），其中 : 在里面-1×R+7→ R由（i，w，x，y）=u-（i+1，ux，y）- U-（i+1，dx，y）wu- wd。（43）注意（i，w，0，y）=0。对于给定的保单，保险人遵循{i} 直到保单持有人死亡或保单交回。与第3节类似，我们定义了一个消费过程{Ci}0≤我≤N-其中Ci=c（i，Wi，DBi）和c:IN×R+×R+7→ R+是定义的asc（i，x，y）：=v（i，x，y）- E-r[px+i（G+pv（i+1，w（ux），db（i+1，ux，y））+qv（i+1，w（dx），db（i+1，dx，y））]+qx+i（（p max（y，ux）+qmax（y，dx））1{x>0}+1{x=0}GaN-i） ]=u（i，x，y）- E-\'r[pu-（i+1，ux，y）+qu-（i+1，dx，y）]。（44）第二个等式可以使用命题16进行验证，类似于（28）。假设15，我们有C≡ 0.从初始资本X=X开始，遵循投资组合流程，构建复制投资组合{i} 。因为我∈ I+Nwe haveXi=（Xi-1.- 阿西-1(我-1Si-1+Ci-1） ）e\'r+Axi-1.我-1Si+AxihFi-G- Wi-E-α+我- （Axi）-1.- Axi）（DBi）-1.- Wi-)+{τ≥i} +G–aN-i+1{τ<i}. （45）费用、支出、投资组合流程和消费流程均已在财务报表中定义。当然，它们只适用于保单有效期间（在死亡或投降之前）。由于这个原因，在（45）中，这些术语都带有Axifactors。给出投降策略η∈ 五十、 保险公司将在时间点η结束其头寸，利益过程为{Xi∧η}0≤我≤N.时间零点特性∏=e-rηXη，因为如果死亡发生在η之前，那么除了利息累积之外，在死亡和η之间的所有时期，投资组合都保持不变。虽然我们不再几乎确定UMand X关于productmeasure Q的等价性，但考虑到关于PM的条件期望，类似的结果成立。定理17。

假设收取费率α，初始资本为x=UM。然后（45）描述的Xi和（37）给出的UMi之间存在以下关系：C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在二项式框架中，2019QS年7月5日（EPM【Xi- UMi]=0）=1对于所有i∈ 在里面证据见附录A6。4.多个合同的死亡风险分散假设同质保单出售给x岁的独立投保人，每个人的初始保费为P，公平附加费为α？他被起诉了。对于lxxx被保险人群体，时间iδt和（i+1）δt之间的死亡人数是lx，xi:=lxXj=1斧头，吉- Ax，ji+1因为我∈ 在里面-1.在i isAlx，xi=lxXj=1Ax，ji=lx时活着的成员数-我-1Xj=1Dlx，xj。根据强大数定律（SLLN），如lx→ ∞,Dlx，xilx→i | qxandAlx，xilx→ipxPM-a.s.，就我所知∈ 在里面聚合复制组合过程是（45）给出的单个复制组合过程的总和：X{lx}i=lxXj=1Xji，其中Xji∈ FSi×FM，x，jifor 1≤ J≤ LX和1≤ 我≤ N.总附加值过程是um，{lx}i=lxXj=1UM，ji=Alx，xui，因为如果Ax，ji=0，Uji=0。我们定义了两个过程{X？i=EPM[X{1}i]}Ni=0和{U？i=EPM[UM，{1}i]}Ni=0，这两个过程都位于(OhmS、 FSN、FS、QS）。然后通过SLLN我们得到了（X{lx}ilx）→ {X？i}和（嗯，{lx}ilx）→ {U？i}PM-a.s.，作为lx→ ∞. 从X开始？=0，从（46）我们有X？i=X？我-1e’r+i-1pxh我-1（Si）- 硅-1e（r）- 词-1e‘r+px+i-1hFi-G- Wi-E-α+我- qx+i-1.（DBi）-1.- Wi-)+{τ≥i} +G–aN-i+1{τ<i}如果我∈ I+N.你马上就要走了吗？i=ipxUi。最后，从定理17我们得到了x？i=U？iQS-a.s.，对我来说∈ 在里面C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中，死亡率风险分散达到lx的极限→ ∞, 我们有完美的对冲。假定每个投保人都有最佳的退保行为，则确定退保费。

如果投保人的行为不合理，那么保险人可以在每次发生这种不合理行为时从每个投资组合中消费。池的限制总投资组合过程是基于所有投保人的同质行为构建的，无论他们是否理性行事。备注7。极限过程是在假设同质策略的情况下得到的。这一假设可以被削弱，以允许不同保单的初始保费P不同，尽管每个保单必须有一个x的投保年龄和一个共同的附加费α。这是事实，因为P可以从所有流程中缩减，附加费与溢价P无关。让保单的保险费为π。假设{Pi；i≥ 1} 满意度=1Pi→ ∞ 作为n→ ∞. 进一步假设{Pi}是单调递增且满足的≥1NPNI=1Pi<∞ 或者{Pi}是单调递减的，在这种情况下不需要条件。根据Etemadi[11]中的定理1，作为lx→ ∞, 我们有plxj=1PjAx，jiPlxj=1Pj→ipxPM-a.s.为所有我∈ 在里面因此（X{lx}iPlxi=1Pi）→ {X？i}，对于U？有类似的结果？。平均值是以每溢价美元为基础计算的，两者都是X？你呢？我们考虑两个例子。使用示例1对死亡率进行建模。例2。图9描绘了公平骑手费用α？针对GMWB的年龄x问题，其回报率为特优DB，年度ratchet DB无失效。参数为：g=7.14%，T=14，r=5%，σ=20%，δT=1。棘轮为合同增加了相当多的价值。右图放大了40-70岁的年龄段。GMWB plus premium DB rider的回报对x非常不敏感。在这种情况下，死亡或存活时的支付相当相似。在没有死亡率的二项模型下，我们有α？=53个基点或V（10053bps）=100。对于x=60的优质DB，我们有α？=58bps和VM（10053bps）=100.35。

根据产品规格和参数，死亡率可能只有很小的影响。例3。文献中经常使用快速死亡率假设。鉴于规定的投资组合流程（43）假设风险是可分散的，我们考虑只有有限数量的保单售出时的对冲损失。对于lx∈ {10,1000,100000}我们模拟每个保单的死亡时间，以获得{bTxj}1≤J≤lx，并计算二项模型中每条路径每100美元保费的平均赔付保单。使用的参数为：x=60、g=10%、T=10、r=5%、σ=15%、δT=1和P=100。不允许自首。对于具有年度棘轮DB的GMWB，图10显示了在增量对冲策略下，随着Lx的增加，对冲损失收敛到零。这些值是时间零点现值和C。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中2019年7月5日图9：α？作为发行年限X的函数，还显示了无对冲情况下的损失。图11描绘了限制性portfolioX？的损失？。表14提供了公式[1∏|{bTxj}1的绩效指标≤J≤lx]和SDQ[π|{bTxj}1≤J≤lx]用于套期保值和无套期保值，其中∏是贴现为t=0的每份保单的平均收益。当DB rider是溢价回报（ROP）时，也会给出结果。两种DBs的结果都是使用相同的模拟死亡时间集获得的。lx=∞ 表示X？的结果？。带棘轮的fairfee为57个基点，带ROP的fairfee为44个基点。

这些指标是使用Q下的精确二项分布计算财务风险，并使用模拟死亡计算死亡风险。为了检验lx的收敛性，我们假设没有风险的市场价格（即u=r）。在这种情况下，出售数量有限的保单或面临容量限制不会给保险人带来重大风险，因为死亡或存活时的赔付是相似的，并且会迅速发生转移。ROP的平均套期保值收益更高，但由于回报更高、费用更高，ROP的收益（损失）随棘轮波动更大。在Q下，套期保值和无套期保值下的预期利润相等。通过套期保值减少的是方差。在没有死亡风险的情况下，池中的每个保单都会面临普通股风险，在二项世界中，正确的对冲策略适用于任何数量的保单。死亡风险将不完全性引入模型。在死亡风险分散的假设下，市场恢复了完整性。这是通过出售规模相对较小的大型池来实现的。除了风险共担和分散之外，其他风险管理选项还有再保险和长寿债券。此外，典型的大型人寿保险公司在人寿保险和年金方面拥有大量的承保业务，由于这些工具部分降低了风险，因此风险自然会有所降低。假设这些选项都不可用——没有再保险公司，不存在长寿债券，保险公司只出售年金——保险公司降低风险敞口的主要工具是出售大量金额相对较小的保单，从而降低预期死亡率周围实现死亡率的波动。C.Hyndman&M。

2009年7月5日图10：GMWB和ratchet DB的损失收敛为lx→ ∞ 其中显示了每个市场结果在模拟死亡率下的平均损失。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日图11:GMWB加ratchet DB的损失（X？）每100美元套期保值价值无享乐x10 1000 100000∞GMWB+棘轮DBEQ[1∏|{bTxj}1≤J≤lx]0.122 0.030 0.004 0.122 0.030 0.004 0SDQ[∏|{bTxj}1≤J≤lx]0.7680.1750.008 5.631 5.787 5.860 5.860GMWB+优质DBEQ的回报率∏|{bTxj}1≤J≤lx]0.261 0.054 0.001 0.261 0.054 0.001 0SDQ[π|{bTxj}1≤J≤lx]0.446 0.091 0.004 5.560 5.736 5.776 5.777表14：GMDBsC有无套期保值的利润指标。Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在二项式框架下，于2017年7月5日得出结论在本文中，我们构建了一个包含最优保单持有人退保行为的可变年金的二项式资产定价模型。通过考虑被保险人和保险人的估值视角，我们将Hyndman和Wenger[15]的连续时间结果推广到离散时间二项模型。这些扩展允许我们证明公平附加费的存在性和唯一性，并使用GMWB Riderin将可变年金的价值分解为特定支付和嵌入衍生工具。此外，在离散时间二项模型中，我们能够提供明确的完美对冲策略和最优退保策略。从计算角度来看，与蒙特卡罗方法相比，使用二项式模型的基本工具对早期自首进行建模的能力是一个明显的优势。另一个优势是在二项式（CRR）世界中轻松获得明确的对冲策略，该策略被证明能完美对冲产品。