二项框架下的GMWB乘客——定价、套期保值和

二项模型的一个缺点是非重组二项树的O（2N）增长。然而，由于模型的可处理性及其有限性，只要时间步长的数量可控，就可以直接获得有关产品任何方面的数值结果。从这种分析中得出的定性结论通常适用于更一般的连续模型。我们给出了全面的数值结果，与更复杂模型中给出的结果一致。二项模型框架进一步扩展，以考虑可分散的死亡率风险。关于死亡风险的多元化论点有时在文献中被滥用。在应用多元化论点以获得公平的费用和套期保值结果后，我们通过考虑有限的资金池施加了容量限制，并发现多元化发生得相当快。研究结果支持了保险公司能够分散死亡风险的普遍说法。致谢：本研究得到了加拿大自然科学与工程研究委员会（NSERC）和自然与工程技术基金会（FQRNT）的支持。附录A技术结果证明引理4的证明。根据（31）中v（i，x）的等价表达式，连续性结果是立即的。Wx，Ini的最大可能值是通过对应于ωj=u的路径获得的，NThusbx，i=min{α≥ 0:Wx，iN（uu…u）=0}。From（30），Wx，iN（uu…u）=0当且仅当iff（α）：=x（e）-αu）N-我- GN-我-1Xj=0（e）-αu）j！≤ 0.但是f∈ C∞和limα→∞f（α）=-G<0。我们有f（0）>0当且仅当（10）成立。如果f（0）>0，则存在0<bx，i<∞. 如果f（0）≤ 0，然后bx，i=0。其余的证明与Hyndman和Wenger的证明相似[15，引理4]。假设（i，x）是bx，i>0。LetAα：={Wx，iN（α）>0}。那么Aα6= 对于α<bx，i。

修正α∈ [0，bx，i）并考虑α（1），使α<α（1）<bx，i.当限制到集合Aα（1），（30）时，在二项式框架中暗示C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders，20190年7月5日<Wx，in（α（1））<Wx，in（α），这反过来又暗示了α（1） Aα。我们得出结论：v（i，x；α（1））<v（i，x；α）。定理5的证明。引理4，对于α≥ 对于r>0，我们有V（P，α，g）=GaN<P。在（13）中对U的定义中，我们有U≥ 0表示α=0。根据定理7，V（P，α=0，g）=U（P，α=0，g）+P≥ P.根据引理4的连续性和严格递减性，存在唯一的α？∈ [0，bP，0）.定理7的证明.我们应用反向归纳法，证明了v（i，x）=u（i，x）+x对于所有（i，x）∈IN×R+。定义v（N，x）=u（N，x）+x表示所有x∈ R+。假设v（i，x）=u（i，x）+x对所有x都成立∈ 对一些人来说是R+≤ 我≤ v.证明我们需要- 1，y）=u（i- 1，y）+y代表所有y∈ R+。应用归纳假设，v（i）- 1，y=e-r[G+pv（i，w（uy））+qv（i，w（dy））]=e-r[pu（i，w（uy））+qu（i，w（dy））+p（w（uy）+G）+q（w（dy）+G）]。从等式（14）和（15）中，我们得到了（i- 1，y=e-\'rpu（i，w（uy））+qu（i，w（dy））+p[（G- 尤耶-α)+- uy（1）- E-\'-α]+q[（G- 染料-α)+- dy（1）- E-α)].观察（y）- （G）- 耶-\'\'α）+=ye-α- G.Thenw（y）+G- （G）- 耶-\'-α）++y（1）- E-α=y，因此（i）- 1，y）- u（i）- 1，y=e-r[puy+qdy]=Ysise pu+qd=e通过定义风险中性概率（3）。因此（我）- 1，y）=u（i- 1，y）+y对于所有y∈ R+，结果成立。C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在一个二项式框架中，2019年7月5日定理11的证明。按照什里夫[23]的方法，我们进行归纳。假设X=U，假设为0≤ 我认为Xi=Ui。我们需要证明，对于所有的ωi，Xi+1（\'ωiu）=Ui+1（\'ωiu），Xi+1（\'ωid）=Ui+1（\'ωid）。为了简洁起见，我们省略了ωinotation。

用uin代替Xiin（29），使用（16）、（28）和offact q=u-伊鲁-dwe获得XI+1（u）=iSi（美国）- e-r）+（用户界面- Ci）e\'r+Fi+1（u）- （G）- Wi+1-（u） e-\'-α）+=q[u-（i+1，uWi）- U-（i+1，dWi）]+（pu-（i+1，uWi）+qu-（i+1，dWi）+Fi+1（u）- （G）- 维尤-\'-α）+=u-（i+1，uWi）+Fi+1（u）- （G）- 维尤-\'-α）+=u（i+1，w（uWi））=Ui+1（u）。类似的论证表明Xi+1（d）=Ui+1（d）。因为ωi是任意的，所以我们有Xi+1=Ui+1，结果成立。定理17的证明。我们采用归纳法。假设X=UM。假设EPM[Xi]=EPM[UMi]QS-a.s.对于某些i∈ 在里面-1.对于一个进程，我们将其在特定路径ωiωi+1的时间i的值写为Hi（\'ωi；j）。Nω∈ OhmS（其中ωjcan为allj>i取{u，d}中的任意值）和特定集合（Kx）-1（j）∈ FM，{x，1}N.对于任何固定的ω，我们需要证明这一点EPM[Xi+1（\'ωiu；Kx）]=EPM[UMi+1（\'ωiu；Kx）]，EPM[Xi+1（\'ωid；Kx）]=EPM[UMi+1（\'ωid；Kx）]。我们证明了第一个等式，第二个等式以相同的方式显示。为了简洁起见，我们省略了ωi。观察到EPM[UMi+1（u；Kx）]=i+1pxUi+1（u）。此外，Xi+1（u；j）=Xi+1（u；Kx>i+1）表示所有j>i+1，因为Xi+1∈ Fi+1。从（45）中，我们得到了所有j的Xi+1（u；j）=Xi（；j）e’rf≤ i、 因此，Pm[Xi+1（u，Kx）]=NXj=1j-1 | qxXi+1（u，j）+NpxXi+1（u，Kx>N）=iXj=1j-1 | qxXi（| j）e | r+i | qxXi+1（u，i+1）+i+1xxi+1（u，Kx>i+1）。将（45）应用于Xi+1（u，i+1）和Xi+1（u；Kx>i+1），我们得到了c。亨德曼和M。

二项框架下的温格GMWB车手2019年7月5日EPM[Xi+1（u，Kx）]=EPM[Xi（；Kx）]e¨r+ipx[iSi（美国）- e’r）- Cie\'r- px+i（（G- 维尤-α)+- Wiu（1）- E-α)) (46)- qx+i（（DBi- Wiu）+{τ>i}+G–aN-i{τ≤i} ）]。根据归纳假设，EPM[Xi（；Kx）]e `r=ipxUie `r。然后替换（43）和（38）并应用（39）（形式为U）-i+1，但条件是τ>i），wehaveEPM[Xi+1（u，Kx）]=ipx[（Ui- Ci）e’r+（U）-i+1（u）- U-i+1（d））q- Gpx+i{τ≤i} +1{τ>i}（px+iUi+1（u）- U-i+1（u））- qx+i（G¨aN）-i{τ≤i} ）]=ipx[U-i+1（u）1{τ≤我}- Gpx+i{τ≤i} +1{τ>i}px+iUi+1（u）- qx+iG–aN-i{τ≤i} ]=i+1px[1{τ>i}Ui+1（u）+GaN-（i+1）{τ≤i} =i+1pxUi+1（u）。这就完成了证明。参考文献[1]A.R.Bacinello。股票挂钩人寿保险退保条件的内生模型。《保险：数学与经济学》，37（2）：270–2962005。[2] A.R.巴西内洛、P.米洛索维奇、A.奥利维耶里和E.皮塔科。可变年金：一种统一的估值方法。保险：数学与经济学，49（3）：285–2972011。[3] F.布莱克和M.斯科尔斯。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81:637-6541973。[4] N.鲍尔斯、H.格伯、J.希克曼、D.琼斯和C.内斯比特。精算数学。精算师协会，伊利诺伊州绍姆堡，第二版，1997年。[5] P·博伊尔和E·S·施瓦茨。股权挂钩合同下担保的均衡价格。《风险与保险杂志》，44（4）：639-6601977年。[6] 陈志强、K·维扎尔和P·A·福赛斯。建模参数对MWB担保价值的影响。保险：数学与经济学，43（1）：165–1732008。[7] M.Costabile、I.Massabo和E.Russo。亚洲期权定价的调整二项模型。《定量金融与会计评论》，27（3）：285–2962006。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中2019年7月5日[8]J.C.Cox、S.a.Ross和M.Rubinstein。期权定价：一种简单的方法。

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