二项框架下的GMWB乘客——定价、套期保值和

应用方程式（11）计算每年两个时间步的触发概率，需要评估路径，我们会遇到容量问题。对于δt=0.5，我们使用方程（31）的方法，但不使用exp(-rT）WT，我们使用指示函数{WT=0}来考虑具有超过ADOWN运动的较低节点的概率。5.3套期保值和无套期保值的比较我们调查波动性对费用、触发因素和损失的影响。参数为：g=10%、T=10、P=100和δT=1。无风险利率r为5%，基础资产的漂移项u为7.5%。我们认为σ=15%，σ=30%。各自的公平费用是多少？分别为41.8bps和216。7磅。物理测量下τ的概率质量函数如图2所示。回想一下τ=∞ 当WT>0时。选择这两个σ值是为了放大可用性、触发时间分布和骑手支出之间的相互作用。更高的波动性意味着更不利的市场回报和更大的提前触发可能性。对Trigger的另一个影响来自附加费。费率对波动非常敏感，费用会进一步拖累账户价值，导致更频繁的提前触发时间。我们考虑第2.3小节中规定的无套期保值和动态增量套期保值策略。定义∏：=exp(-当 按照规定的投资组合流程（16），我们获得对冲利润∏H。如果 ≡ 0我们在无套期保值的情况下获得收益∏NH。当清楚我们正在分析哪些性能时，上标将被省略。图3显示了这两种情况-π手-完整结果集的∏NHagainstτ（2=1024条路径）。价值为每100美元初始保险费。C.Hyndman&M。

图2：τ的概率质量函数：不同的波动率（a）（b）图3：套期保值和无套期保值损失，r=5%和g=10%动态增量套期保值策略不会导致损失。在没有套期保值的情况下，每个随机触发时间的潜在损失范围有下降趋势，因为触发时间越晚意味着额外的费用收入期和更少的附加条款担保支付期。对于τ=∞. 当σ=15%时，最终账户价值为正的概率为87%，但收益很小。另一方面，τ=∞ 当σ=30%时，但由于高昂的费用，潜在利润很大。图4显示了无套期保值时利润的累积分布函数。我们为NHP下的无套期保值利润∏提出了几种风险度量。标准差为Denoted SD（∏）。风险尾部值为T V aRγ（π）：=EP[-Π|Π ≤ -V aRγ（π）]，其中V aRγ（π）=-inf{x:P（π）≤ x） >γ}。表6显示了σ的敏感性分析值。使用真实世界概率度量只会放大σ对保险人风险的影响，并强调彻底对冲方案的重要性。5.3.1套期保值在连续模型中，在二项式模型中，可以实现完美的套期保值。相反，假设基础资产遵循（4）给出的几何布朗运动过程。在这种情况下，一个完美的套期保值需要通过在任何时候持有一个头寸来持续平衡套期保值头寸US的Wunits（见6）。实际上，这些头寸每年只会重新平衡一定次数，从而引入对冲错误。我们将费用和提款建模为仅在年底发生，以对比C。亨德曼和M。

2009年7月5日，温格GMWB骑手在一个二项式框架中，每100美元的价值σ=15%σ=30%EP（NH）1.84 4.19SDP（NH）4.28 21.34T V aR0。10（英国∏NH）9.30 32.60表6：无套期保值（无过失）的利润指标图4:PC.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项框架中的CDF 2019年7月5日（a）无套期保值（b）周套期保值图5：g=10%，r=5%，u=7.5%，σ=15%，α=45bps每100美元无套期保值（周）EP[∏]1.86 0.07SDP[∏]4.63 0.36T V aR0的连续模型。10（π）10.15 0.61表7：与δt=1的二项模型中之前的结果相比，连续模型每周套期保值且无套期保值的利润指标。这与亨德曼和温格[15]的连续模式不同，后者不断扣除费用和取款。使用的参数为P=100、g=10%、r=5%、u=7.5%、σ=15%和T=10。我们用蒙特卡罗模拟得到α？≈ 45bps（模拟了50000条路径）。我们分析了一种动态套期保值策略的有效性，该策略每周对P.for t.生成的500个路径结果进行重新平衡∈ {0，，，，，，10}和w∈ R+，蒙特卡罗模拟（使用1000条路径）得出Ut（w-1） 和Ut（w+1）。我们估计U威思t（Wt）=（Ut（Wt+1）- Ut（Wt）- 1） ）/2其中使用同一组生成的路径来获取分子中的两个值。使用相同的路径并采取中心差异已被证明可以减少结果的可变性（13）。图5显示了每个生成路径的无套期保值和每周套期保值的贴现损失。根据模拟结果，P（τ=∞) = 84.4%. 如表7所示，每周的Hedging显著降低了股权风险。

与基础模型是二项式的情况相反，当基础模型是连续的时，会出现负对冲误差。5.4公平骑手费与投降者我们接下来比较α的结果？当文学作品中允许提前投降时。对于所有i的g=7%、r=5%和ki=1%的参数集，表8将δt=1的二项式模型与米列夫斯基和索尔兹伯里[19]进行了比较。尽管与表1相比，结果在比例上更接近，但差异是否主要是由于δt=1，或者Milevsky和Salisbury[19]在失效情况下给出的结果是否与非失效情况下的不准确度相同，这是不确定的。我们采用亚洲近似方法，参数g=10%，r=5%，σ=20%，C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders于2019年7月5日在二项框架中采用σ（%）15 18 20 25 30米列夫斯基和索尔兹伯里[19]97 136 160 320 565二项（δt=1）33 89 138 283 455表8：α的比较？以前的结果；g=7%，r=5%，k=1%。nα？（bps）V（α=146.4）（美元）α？（实际）1131.00 99.689 130.542 141.98 99.933 141.753 143.37 99.9494 146.04 99.9945 146.40 1006 146.70 100.005表9：亚洲近似结果-表9中的失效和k=3%。收敛速度比无失效情况下的要慢，但这是早期投降决定的结果，这些决定正在被近似化。这与Stabile等人[7]的发现一致。最右边的一列显示α？在原始二项模型下。α的增加？当n从1增加到2时，表明表8中的很大一部分差异可归因于二项模型中n的低值。我们将r设为瞬时无风险利率长期平均值，将σ设为Bacinello等人在随机利率和波动过程中使用的方差长期平均值。

[2].我们发现，比较不同α的vf，在无失效的情况下，二项式模型即使δt=0.5也能提供接近的估计。在表10中，我们列出了两种方法之间合同价值的差异，即α和P=100、g=10%、r=3%、σ=20%和k=3%的变化。这些模型存在根本性差异，我们不希望在极限条件下获得准确的结果。g、r和σ的灵敏度结果如表11所示。基线情况设置为g=10%，r=5%，σ=20%，CDSC为k=3%。公平的费用？随着g和σ的增加而增加，但随着r的减小，然而，公平费用对r最敏感。公平费用对r的敏感性是由于合同的持续时间较长。因此，纳入随机利率模型是合理的，尽管超出了本文的范围。α（%）1 2 3 4 5VB（α）- VBMOP（α）a，b：（无失效）-0.186-0.113-0.035-0.05-0.096VB（α）- VBMOP（α）：（失效）0.153 0.546 0.75 0.78 1.04avb表示二项式方法，δt=0.5。BVB参考Bacinello等人[2]。表10：VW与之前结果的比较：g=10%，P=100，r=3%，σ=20%，k=3%。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中的情况2019年7月5日G%α？（bps）V（α）（美元）σ%α？V（α）r%α？V（α）53097.2101009711199108.2164797.871514497.842673105.5476898.4418799.083397103.2989098.95201420410401101.43911099.3825318102.46514210010141030562105.1217798.87aBaseline病例g=10%，r=5%，σ=20%，k=3%，α=142bps。b对于第一列，g的δt=1≤ 9%. 所有其他值使用δt=2。表11：α？在参数g=10%、r=5%、σ=25%和δt=1下，CDSC调度对α的影响？如表12所示。允许投降而不受惩罚，公平的费用将过高，以补偿这一选择。

随着罚金的增加，费用接近无过失模型中的相应费用。对于足够高的罚款，放弃的选择不会产生边际价值。5.5套期保值和无放弃套期保值我们考虑参数：P=100、g=10%、r=5%、σ=25%和δt=1。s的漂移为u=7.5%。适用的退保费用表为ki=max（.09）- .01i，0）对于i=1。10.图6绘制了无退保模型和提前退保模型的所有结果集的总损失，贴现为时间零。分别收取公平费用。在图6b中，无套期保值结果用L和T表示：前者是失效的最佳结果，而后者是未发生失效的结果。表13显示了P-触发时间和投降时间的分布，其中η？表示异常提前投降。注意P（τ=∞) ≈ 当不允许自首时为60%，但这降低到P（τ=∞) ≈ 允许自首时为0.65%。当市场表现良好时，允许保单持有人失效，而不是面临未被触发的附加条款到期的可能性，这在许多结果中变得更可取，因此允许失效会导致一种转变。对于最适合失效的结果，保险公司的利润在3至7年内呈下降趋势。这是由于移交费用表ki的设计。较早年较高的退保费用超过了以后发生退保时收取的额外费用。退保期权价值L的数值结果如图7所示。当α很小时，几乎没有提前投降的动机≈ 0.对于较大的α值，有意向放弃并避免支付未来费用。

这种关系反映在LW的增长中，α6扩展了模型：包括死亡率风险。几篇关于GMWBs的论文中使用了忽略死亡率的简化，包括Milevsky和Salisbury[19]以及Dai等人[9]。在实践中确实需要考虑死亡率因素。根据分析的目标，包括死亡率所达到的精度水平可能无法证明模型的额外复杂性和维度是合理的。特别是，在提到的论文中，重点是研究最优投保人行为策略，只考虑死亡率会影响结果的呈现。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中的情况2019年7月5日附表a的描述？（bps）i=1的无失效模型152ki=0，9 491ki=1%表示i=1，9对于i=1，…，K=3%，9 309ki=5%表示i=1，9 217ki=7%表示i=1，9 169ki=8%，对于i=1，9 155ki≥ 对于i=1，…，为8.38%，9 152ki=（10- i） %，对于i=1，9 171ki=（9- i） %，对于i=1，表12:k对α的影响？（a） 无过失（b）SC从8%开始，每年减少1%。图6：套期保值和无套期保值，有过失和无过失：g=10%，r=5%，σ=25%。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日无失效模型，失效P（τ=i）P（τ=i）P（η？=i）30%20.28%40%16.73%52.90%2.90%4.91%65.80%5.80%8.11%7.83%3.57%86.29%9.08%4.42%9.48%7.37%10.23%5.98%0∞ 60.47%。65%0总和1 39.61%60.39%表13：图6中τ和失效的概率分布图7：L:g=10%，r=5%，σ=25%，δt=1，以及递减的SC计划。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日死亡风险通常被认为独立于财务风险。

此外，在独立生命和确定性死亡力（危险率）的假设下，简单应用强大的数定律可以证明死亡风险是可分散的。通过发行足够大的同质保单组合，保险人可以通过在适当的死亡率概率分布（5）下计算索赔付款的预期价值，完全考虑死亡风险。因此，在这些假设下，在经济均衡（无套利）方法中，死亡风险不是由资本市场定价的，物理和风险中性指标之间没有差异（20）。在随机死亡率框架中，死亡率风险的不可分散部分必须在合同中定价。Milevsky等人[20]将即时年金市场中的容量限制列为证明对死亡风险收费是合理的几个行业趋势之一。我们注意到，在可变年金市场中，风险资本的有限需求和监管限制都支持对产能约束进行建模，以确定是否存在不可忽略的影响。GMWBs死亡率的影响显然取决于死亡效益（DBs）。当死亡和存活的收益支付相似时，影响最小。事实上，Bacinello等人[2]发现，在存在其他生前福利附加者且期限相对较短的情况下，保证最低死亡福利（GMDB）附加者对合同几乎没有增加价值。我们将模型从第2节和第3节扩展到包括生命独立假设下的死亡率和死亡率的确定性力量。很容易获得V和U，这取决于每个被保险人的生存状态。

假设可分散的死亡风险，以及对冲组合，获得附加费；然而，我们考虑了一个数值模拟，以强调在容量限制和有限数量的政策下存在死亡风险，并且产品没有完全对冲。6.1死亡率风险框架在本节中，我们建立了死亡率框架。经典精算理论和符号遵循Bowers等人[4]的精算理论和符号。此外，计量理论方面和计数过程的包含密切遵循Moller[21]和Wang[25]的框架。假设12。同质保单是向一群年龄为x的投保人签发的。从签发日期开始，随机死亡时间由{Txj；j=1，…，lx}表示，其中txji是投保人j的死亡时间，是绝对连续的、独立的、同分布的，并且位于概率空间上(OhmM、 FM，PM）。考虑一个具有代表性的随机变量tx，其中txh的分布与Txj相同。Txis[0，T？）的支持T在哪里？≤ ∞ 是x岁的人的最大剩余寿命。对应于δt=1/n和n的二项模型∈ N+，让Kxdenote表示死亡发生的时间。那么Kx=dTx/δte。换句话说，Kx=i等于（i-1） δt<Tx≤ iδt.Forj=1，lx，定义计数过程Dx，j={Dx，ji:=1{Kxj≤i} )；i=1，N} 。我们使用{Dx，j}1生成的过滤≤J≤九、过滤为FM，x:={FM，{x，lx}i}1≤我≤Nwhere FM，{x，lx}i:=FM，x，1i∨ ··· ∨ FM，x，lxian和FM，x，ji=σ（Dx，jl；l=1，…，i）。我们对结果空间进行过滤(OhmM、 FM，{x，lx}N，FM，x，PM）。备注6。符号G∨ H、 其中G和H是σ-代数，指由G生成的σ-代数∪ H.我们定义了当被保险人j仍然活着时，通过Ax，ji:=1产生1的过程- Dx，jifori∈ 在里面根据假设12，txh是密度函数fTx。

其累积分布函数表示为FTx（t）：=P（Tx≤ t） 。死亡的决定性力量ux（t）被定义为TXA时间t的条件概率密度函数，考虑到该时间的存活率。然后。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日图8：使用Makeham定律，a=0.7×10-3，B=0.05×10-3和c=100.04ux（t）：=fTx（t）1- FTx（t）。（33）我们引入了一些额外的精算符号：jpx+i:=P（Kx>i+j | Kx>i）=P（Tx>（i+j）δt | Tx>iδt），j | lqx+i:=P（i+j<Kx）≤ i+j+l | Kx>i），我们写px+iforpx+i，jqx+ifor0 | jqx+i，和qx+iforqx+i-iqx，andj |lqx+i=j+lqx+i-jqx+i.从（33）我们有fTx（iδt）=ux（iδt）iδtpx和jpx+i=e-Rjδtux+iδt（u）du（详情见Bowers等人[4]）。请注意，FTx、FTx和ux定义在实数上，而jpx+iandj | lqx+i定义在整数上。Bowers等人[4]提供了几种死亡率分析定律。定义13。根据马克厄姆定律ux（t）：=A+Bcx+twb>0，A≥ -B、 c>1和x+t≥ 因此，根据马克厄姆定律：ipx=exp-我是塔塔-Bln（c）（cx+iδt）- cx）.例1。根据Makeham定律inBowers等人[4]，用于开发说明性寿命表的参数为：A=0.7×10-3，B=0.05×10-3和c=100.04。图8绘制了x=60和t的fTx（t）和P（Tx>t）∈ [0, 50].C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中，2019年7月5日，我们陈述了王[25]的一个额外有用结果。因为我≤ j、 P（Tx>jδt | FM，xi）=（1- Dxi）j-ipx+iandP（iδt<Tx≤ jδt | FM，xi）=（1- Dxi）j-iqx+i.6.2死亡福利设计我们同时考虑ratchet DB和premium DB的回报。ratchet DB具有以下特征：在每个ratchet日期，死亡福利基数将增加到当前账户价值，前提是账户价值更高。Let0≤ t<t<··<tm≤ t在到期前提交一组棘轮日期。