基于过程的风险度量与离散时间的风险规避控制

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Process-Based Risk Measures and Risk-Averse Control of Discrete-Time
  Systems》
---
作者：
Jingnan Fan, Andrzej Ruszczynski
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  For controlled discrete-time stochastic processes we introduce a new class of dynamic risk measures, which we call process-based. Their main features are that they measure risk of processes that are functions of the history of a base process. We introduce a new concept of conditional stochastic time consistency and we derive the structure of process-based risk measures enjoying this property. We show that they can be equivalently represented by a collection of static law-invariant risk measures on the space of functions of the state of the base process. We apply this result to controlled Markov processes and we derive dynamic programming equations.
---
中文摘要：
对于受控离散随机过程，我们引入了一类新的动态风险度量，我们称之为基于过程的风险度量。它们的主要特点是，它们衡量的是作为基本流程历史函数的流程的风险。我们引入了一个新的条件随机时间一致性概念，并推导了基于过程的风险度量的结构。我们证明了它们可以等价地表示为基过程状态函数空间上的一组静态律不变风险测度。我们将这个结果应用于受控马尔可夫过程，并导出了动态规划方程。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Process-Based_Risk_Measures_and_Risk-Averse_Control_of_Discrete-Time_Systems.pdf (182.69 KB)

2022-5-7 03:28:43 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：风险规避 离散时间 风险度量 风险度 Optimization

基于过程的离散时间系统风险度量和风险规避控制*Andrzej Ruszczy\'nski+2014年11月5日；2016年2月15日修订；修订版2016年11月摘要对于受控离散时间随机过程，我们引入了一类新的动态风险度量，我们称之为基于过程的。它们的主要特点是，它们衡量的是作为基本流程历史函数的流程的风险。我们引入了条件随机时间一致性的一个新概念，并利用这个性质导出了基于过程的风险度量的结构。我们证明了它们可以等价地表示为基本过程状态函数空间上的一组静态定律不变风险测度。将这一结果应用于受控马尔可夫过程，导出了动态规划方程。关键词：动态风险度量、时间一致性、动态规划1简介本文的目的是为受控离散随机过程，特别是马尔可夫过程的动态风险度量理论提供理论基础。离散时间动态风险度量理论在过去10年中得到了深入发展（见[42,35,38,17,10,41,2,34,23,22,11]及其参考文献）。基本设置如下：我们有一个概率空间(Ohm, F，P），过滤{Ft}t=1，。。。，通过一个平凡的f，我们定义了适当的空间ztft可测随机变量，t=1，TForeach t=1，T，a映射ρT，T:ZT→ ZT被称为条件风险度量。该理论的核心是时间一致性的概念，它调节不同s和t的映射ρt，和ρs，t之间的关系。文献中使用的一个定义如下：对于所有Z，W∈ ZT，如果ρt，t（Z）≤ ρt，t（W）然后ρs，t（Z）≤ ρs，T（W）表示所有s<T。

这可以用来推导递推关系ρt，t（Z）=ρtρt+1，t（Z）, 使用更简单的一步条件风险映射ρt:Zt+1→ Zt，t=1，T- 1.大量工作致力于推导条件风险映射的双重表示，并研究它们在各种环境中的演化。*罗格斯大学，罗特科尔，皮斯卡塔韦，新泽西州，08854，美国，电子邮件：jf546@rutgers.edu+罗格斯大学管理科学与信息系统系，美国新泽西州皮斯卡塔韦08854，电子邮件：rusz@rutgers.eduWhen应用于受控核描述的过程，尤其是马尔可夫过程，风险的动态度量理论遇到了困难。空间zt因不同而不同，因此每个一步映射ρthas都是不同的域和范围空间。由于Zt包含所有可测量的随机变量，允许ρt对过去的任意依赖。此外，不存在适用于马尔可夫控制问题的法律不变性动态风险度量的令人满意的理论（在[25]和[43]中对法律不变性的限制性定义导致了实用性有限的结论，而将[45]的方法转化为马尔可夫情况似乎很困难）。在受控进程的情况下，当控制策略改变进程路径空间上的概率度量时，这些困难就更加复杂了。需要对控制政策定义的整个过程系列进行风险度量。基于这些问题，在[40]中，我们引入了一类特定的动态风险度量，非常适合马尔可夫问题。我们假设一步条件风险映射ρt有一种特殊形式，它允许它们在定义在马尔可夫过程状态空间上的函数空间中用静态风险度量表示。

这种限制使得动态规划方程和相应的求解方法得以发展，从而推广了期望值问题的著名结果。我们的想法在[8,7,28,44]中得到了成功的扩展。然而，我们对马尔可夫风险测度的构造似乎有些罕见。在本文中，我们介绍并分析了一类通用的风险度量，我们称之为基于过程的风险度量。我们考虑一个受控过程{Xt}t=1，。。。，t波兰空间X（状态空间）中的赋值，其条件分布由受控历史相关的transitionkernelsQt:Xt×U描述→ P（X），t=1，T- 1，其中xt=X×···×X |{z}t次，U是某个控制空间。允许任何历史相关（可测量）控制ut=πt（x，…，xt）。在这种情况下，我们只对测量Zt=ct（Xt，ut），t=1，…，形式的随机过程的风险感兴趣，T，其中ct:X×U→r可以是任何有界可测函数。这种对需要测量风险的随机过程的限制是我们方法的两个基石之一。另一个基石是我们的随机条件时间一致性的新概念。它比通常的时间一致性更具限制性，因为它涉及条件分布，并使用随机优势，而不是逐点顺序。这两个基础允许发展动态风险度量理论，该理论可以用状态空间X上可测函数空间V上的一系列静态定律不变风险度量来完全描述。在受控马尔可夫过程的特殊情况下，我们推导了[40]中假设的结构，从而提供了坚实的理论基础。

我们还推导了比[40]更一般的动态规划方程。在现有文献中，已经采用了三种在马尔可夫决策过程中引入风险规避的基本方法：效用函数（见[19,20,14,4,21]）、均值-方差模型（见[46,16,29,1]）和熵（指数）模型（见[18,30,5,12,15,27,4]）。我们的方法推广了效用模型和指数模型；除[9]版本外，均值-方差模型一般不满足单调性和时间一致性条件。论文的结构如下。在第2.1-2.3节中，我们将基本模型形式化，并回顾风险度量的概念及其时间一致性。第一组原始结果见第2.4节；我们引入了随机条件时间一致性的一个新概念，刻画了具有这一性质的动态风险测度的结构（定理2.10）。第3节，我们将这些思想推广到受控过程的情况，并证明了关于这种情况下风险度量结构的定理3.3。这些结果在第4节中被进一步专门化为受控马尔科夫过程。我们引入了马尔可夫风险测度的概念，并导出了它的结构（定理4.4）。在第4.2节中，我们证明了这种情况下的动态规划方程的模拟。2基于可观测过程的风险度量在本节中，我们将介绍离散时间内非受控随机过程的动态风险度量的基本概念和性质。在2.1小节中，我们建立了概率框架，在2.2小节和2.3小节中，我们回顾了文献中存在的一些重要概念。

在2.4小节中，我们引入了随机条件时间一致性的新概念，它比标准时间一致性对动态风险度量有更高的要求，对受控随机过程特别有用。基于这个概念，我们推导了涉及转移风险映射的动态风险测度的结构：状态函数空间上的静态风险测度族。2.1初步在所有后续考虑中，我们使用波兰空间子集X和规范可测空间XT，B（X）T其中T是一个自然数，B（X）是borelset的乘积σ-代数。我们使用{Xt}t=1，。。。，To表示正则投影的离散时间过程。我们还将Ht=Xt定义为截至时间t的可能历史的空间，并将Ht用于Ht的一般元素：截至时间t的特定历史。随机向量（X，···，Xt）将用Ht表示。我们假设对于所有t=1，T- 1，在给定X，···，Xt的情况下，描述Xt+1的条件分布的转移核是可测函数qt:Xt→ P（X），t=1，T- 1，（1）其中P（X）是（X，B（X））上的概率测度集。这些核，连同X的初始分布，用乘积σ-代数在乘积空间XT上定义了唯一的概率测度P。对于上述随机系统，我们考虑一系列随机变量{Zt}t=1，。。。，Ttaking值inR；我们假设较低的Zt值是首选（例如，Zt代表时间t的“成本”）。我们需要{Zt}t=1，。。。，t有界并适应{Ft}t=1，。。。，T——过程X产生的自然过滤。为了便于我们的讨论，我们引入以下空格：Zt=nZ:XT→RZ是Ft可测且有界的，t=1，T.（2）那么就相当于说Zt∈ Zt。我们还介绍了空间szt，T=Zt×···×Zt，T=1。

因为zt是可测的，所以可测函数φT:Xt→使Zt=φt（X，…，Xt）。尽管有点滥用符号，我们仍然使用ZT来表示这个函数。2.2动态风险度量在本小节中，我们快速回顾了与风险度量相关的一些定义和概念。随机变量之间的所有关系（如等式、不等式）都是从“无处不在”的意义上理解的。定义2.1。A映射ρt，t:Zt，t→ Zt，其中1≤ T≤ 如果它具有单调性，则称为条件风险度量：对于Zt，T，if Zs中的所有（Zt，…，Zt）和（Wt，…，Wt）≤ Ws，对于all=t，然后ρT，T（Zt，…，Zt）≤ ρt，t（Wt，…，Wt）。定义2.2。条件风险度量ρt，t:Zt，t→ 如果ρt，t（0，…，0）=0，则Zt（i）被归一化；（ii）如果所有（Zt，…，Zt）都是平移不变的∈ Zt，T，ρT，T（Zt，…，Zt）=Zt+ρT，T（0，Zt+1，…，Zt）。在整篇论文中，我们假设所有条件风险度量至少是标准化的。平移方差是一个基本属性，也将被频繁使用；在归一化条件下，它意味着ρt，t（Zt，0，··，0）=Zt。定义2.3。一个条件风险度量ρt，Thas是局部属性ifAρt，t（Zt，…，Zt）=ρt，t（AZt，…，AZt），用于所有（Zt，…，Zt）∈ Zt，Tand代表所有项目A∈ Ft.本地财产是指时间t时的条件风险度量仅限于任何Ft事件，不受Zt，ZT接受Ac定义2.4。动态风险测度ρ=ρt，tt=1，。。。，这是一系列条件风险度量ρt，t:Zt，t→ Zt。我们说ρ是归一化的，平移不变的，或者具有局部性质，如果所有ρt，t，t=1。

，T，满足定义2.2或2.3.2.3时间一致性的各自条件时间一致性的概念可以用不同的方式表述，假设较弱或较强；但关键思想是，如果一个成本序列与另一个成本序列相比，具有相同的当前成本和未来较低的风险，那么它应该具有较低的当前风险。在本小节和下一小节中，我们将讨论时间一致性的两种表述：标准表述和我们的新提议，特别适用于基于过程的度量。我们还展示了塔的属性（时间一致性所暗示的ρt和ρt+1，t之间的递归关系）是如何随着更明确的时间一致性概念而改善的。[40]采用了以下时间一致性定义。定义2.5。动态风险度量ρt，tt=1，。。。，这是时间一致的，如果任何1≤ t<t和forall（Zt，…，Zt），（Wt，…，Wt）∈ Zt，情况如何Zt=Wt，ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）≤ ρt+1，t（Wt+1，…，Wt），意味着ρt，t（Zt，…，Zt）≤ ρt，t（Wt，…，Wt）。事实证明，一个平移不变且时间一致的动态风险度量可以分解为所谓的一步条件风险映射，然后由其重构。定理2.6（[40]）。动态风险度量ρt，tt=1，。。。，当且仅当存在映射ρt:Zt+1时，是平移不变和时间一致的→ Zt，t=1，T- 1，满足单调性和规范化性质，称为一步条件风险映射，因此对于allt=1，T- 1，ρt，t（Zt，…，Zt）=Zt+ρtρt+1，t（Zt+1，…，Zt）. （3） 这种关系与效用函数的库普曼方程[24]有关。

运算符a（Zt，Zt+1）=Zt+ρt（Zt+1）将聚合器的概念概括为风险度量。一般来说，时间一致性并不意味着本地属性，除非满足其他条件。从概念上讲，一步条件风险映射与一步条件期望起着类似的作用，并且在涉及塔楼属性的模拟时非常有用。在这个阶段，如果没有进一步的假设，它仍然是一个相当抽象和一般的对象，很难描述。在[21]中，对于期望效用模型，ρtwa是其参数的逐点单调变换的条件期望。在[40]中，对这种一步条件风险映射施加了一种更一般但似乎特殊的形式，非常适合马尔可夫应用，但尚不清楚是否存在其他形式的此类映射。为了更深入地理解这些概念，我们引入了时间一致性的更强概念，并且我们认为任何一步条件风险映射都是[40]中假设的形式。为此，我们使用空间的特殊结构XT，B（X）T以及概率度量在这个空间上的定义方式。2.4随机条件时间一致性和转移风险映射我们现在重新定义了基于过程的风险度量的时间一致性概念。定义2.7。动态风险度量ρt，tt=1，。。。，这是关于{Qt}t=1，…，的随机条件时间一致性，。。。，T-1如果有任何1≤ T≤ T-1.对于任何ht∈ Xt和所有（Zt，…，Zt），（Wt，…，Wt）∈Zt，T，条件Zt（ht）=重量（ht），ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）| Ht=Ht圣ρt+1，t（Wt+1，…，Wt）| Ht=Ht,（4） 隐含ρt，t（Zt，…，Zt）（ht）≤ ρt，t（Wt，…，Wt）（ht），（5）其中sti是被理解为如下的条件随机顺序：Qt（ht）x |ρt+1，t（Zt+1。

，ZT）（ht，x）>η≤ Qt（ht）x |ρt+1，t（Wt+1，…，Wt）（ht，x）>η,  η ∈R.当从上下文中清楚地选择底层转换核时，我们将简单地说，动态风险度量是随机条件时间一致的。提议2.8。如果是动态风险度量ρt，tt=1，。。。，它是随机条件时间一致且具有平移性质，然后是时间一致且具有局部性质。证据如果ρt，tt=1，。。。，它是随机条件下时间一致的，那么它满足定义2.5并且是时间一致的。让我们通过从t到1的归纳证明ρt，t具有局部性质。显然，ρT，Tdoes：如果A∈ FT，则定义为2.2 yieldsAρT，T（ZT）=AZT=ρT，T（AZT）。假设ρt+1，t为约1的局部性质≤ t<t，并考虑任何A∈ 不管怎样∈ Xt和任何（Zt，…，Zt）∈ Zt，T。可能发生两种情况如果α（ht）=0，那么[AZt]（ht）=0。t+1的本地属性产生：ρt+1，t（AZt+1，…，AZt）（ht，·）=Aρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）=0。根据随机条件时间一致性，ρt，t（AZt，AZt+1，…，AZt）（ht）=ρt，t（0，…，0）（ht）=0.o如果a（ht）=1，那么[AZt]（ht）=Zt（ht）。t+1的局部性质意味着ρt+1，t（AZt+1，…，AZt）（ht，·）=Aρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）=ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）。通过随机条件时间一致性，ρt，t（AZt，…，AZt）（ht）=ρt，t（Zt，…，Zt）（ht）。在这两种情况下，ρt，t（AZt，…，AZt）（ht）=Aρt，t（Zt，…，Zt）（ht）。通常，第2.2节中动态风险度量的定义和第2.3节中时间一致性属性的定义适用于对潜在概率空间的任何过滤(Ohm, F，P），而不是过程生成的过滤。