风险管理的多曲线HJM模型

，λ1Y |{z}K1Y，|我们的选择是基于这样一个想法，即市场对价格更敏感，与收益率曲线的短期和长期组成部分相关的风险也不同。这一假设也得到了初步分析的实证支持，初步分析表明，由于包含额外风险因素，似然函数的相对改善可以忽略不计。利用bootstrap技术计算估计参数的误差。一旦我们获得了^θ和^Γ的值，我们对相关的残差序列{^η（tk）}Lk=1进行采样，以建立Nb=500的调整收益时间序列，其长度与历史收益时间序列相同。我们对每个引导副本重复估计，并获得参数{^θi，^Γi}Nbi=1的引导样本。在历史估计值和自举平均值之间不存在显著偏差的条件下，我们将NBE估计值的标准偏差作为参数标准误差的近似值。我们已经在通过蒙特卡罗计算的合成时间序列上广泛测试了上述估算程序。我们考虑了几种不同的情况，波动性高和低，风险市场价格相对较高和较低。对于所有情况，迭代算法提供的估计值在统计学上与真实参数值一致，并且在统计学上与零不同。在下一节中，我们将展示实证结果。我们首先对我们所掌握的历史时间序列进行模型估计，包括单收益率曲线和多收益率曲线。

然后，我们开始分析多个收益率曲线的预测能力，并通过样本外练习对模型进行测试。3实证结果3。1数据集我们处理的数据集包括来自欧元区的四条ZC收益率曲线的每日时间序列：EONIA曲线、EUR3M曲线、EUR6M曲线和EUR1Y曲线。出于计算原因，我们将分析限制在两条曲线上，即EONIA和EUR3M，但四条曲线的情况直接遵循相同的推理路线。我们在表1中报告了这两个时间序列的开始和结束日期。表1应在此列出，每条曲线由一定数量的到期时间桶构成osi7→ 对于i=1，…，EONIA曲线的Y（tk，si）ZC产率，K、 os3M，i7→ Y3M（tk，s3M，i）ZC收益率为3欧元曲线，i=1，K3M。表2中报告了两种载体s和s3Mare。表2应为瞬时远期期限结构，可通过方程式（3）从收益率中获得。对于较长的期限曲线，我们计算公式（28）中的利率，其中P（t，t+x）被P3M（t，x）取代：=exp{-xy3m（t，x）}FRA3M（t，x）：=P3M（t，t+x- )P3M（t，t+x）- 1., （28）与 = 三个月。从上面的表达式可以明显看出，FRA3M（t，x）的数量仅定义为x≥ .市场报价来自彭博社和路透社。为了加快计算速度，我们选择了有限的成熟时间，这些时间收集在表3中报告的向量s和S3M中。表3应该在这里。2估算结果在本节中，我们展示了第2.4节所述程序的结果。我们从单曲线情况开始，也就是说，我们将分析限制在由远期期限结构描述的无风险曲线上。在该设置中，向量y减小为K=12维向量yf。

因此，我们需要估计66个相关系数、12个波动率和风险向量的市场价格。我们用两个分量来描述向量λ，λ和λl:λ=λs，λs |{z}Ks=2，λl，λl |{z}K-Ks=10|.第一个组成部分与EONIA曲线的两个最短桶相关，即一个月和两个月瞬时利率，而第二个组成部分指的是从三个月到30年的时间-成熟桶。然后我们进入多重收益率曲线环境。因为K=12，K3M=10，向量y的维数D等于22。因此，待估计的参数数量为231个相关系数、22个波动率和风险向量市场价格的3个组成部分。实际上，我们在向量λ中只引入了一个额外的分量，它代表了整个F-ra3m曲线λ=λs，λs |{z}Ks=2，λl，λl |{z}K-Ks=10，λ3M，λ3M |{z}K3M=10|. （29）值得注意的是，由于λL指到期时间至少为三个月的EONIA利率，因此λ3M始终与到期时间超过三个月的FRA利率相关。3.2.1主成分分析我们进行的优化产生了波动率矩阵∑的估计值，如等式（24）所述。因此，我们可以建立y^C=^∑∑|，（30）的D×D协方差矩阵，并执行主成分分析（PCA）。PCA是一种众所周知的降维技术，它允许识别向量分量的线性组合，向量分量在总波动率中所占比例最大。由于^C是对称的半正有限元，它可以与正交矩阵^O对角化，因此我们得到^C=^O对角化[γ]^O |，其中γ=[γ，…，γD]|包含^C的非负特征值，且^O的列是其特征向量。

主成分分析表明，如果我们只保留F的最大特征值，忽略较小的K- F其中，我们保留总方差φ（F）的一部分等于φ（F）=PFi=1γiPDi=1γi。为了确定分析中保留的主成分数量，我们选择该数量的阈值，例如φ（F）≥ 95%. 因此，我们可以定义一种修正的波动率函数作为WM=√γmh^O1m，^ODmi |，m=1，F、 （31）基本上是^C的第一个F特征向量，通过相对特征值进行重新标度。3.2.2单曲线作为估算程序的第一步，我们对处置的时间序列进行滚动分析。我们从本系列的第一天开始，考虑向量yf的三年周实现。如第2.4节所述，我们执行迭代Cov[y]=^Ct、 优化并获得模型参数的最大似然估计。然后，我们提前一周，重复同样的过程。最后，我们获得了290个历史协方差矩阵的样本，对其进行主成分分析，并计算出再现至少95%历史方差所需的最小主成分数。图2中的曲线图显示了这个最小值是如何随时间变化的。X轴上报告的日期对应于用于计算图中每个点的三年期数据的结束日期。如图2所示，在信贷危机期间，需要占历史波动率一致部分的主要成分数量从5上升到6，然后冷却到5。这一结果与股票市场通常发生的情况形成对比。

在以市场下跌为特征的时期，描述股票行业回报协方差的主要成分数量减少，表明不同资产之间的相关性增加。在这里，我们观察到了相反的趋势：在信贷危机期间，对不同期限敏感的利率之间的相互关系降低。这种影响可能是由于欧洲央行对货币政策的干预，这在经济衰退期间对曲线的短部分产生了强烈影响，而长期结构的演变几乎不受这些干预的影响。因此，这意味着曲线两端之间缺乏相关性。当然，这一经验证据表明了期限结构的分割，并可能表明市场运营商将曲线的不同组成部分视为不同的投资机会。我们现在确定了一个特定的估算窗口，从2010年1月5日开始，到2013年同一日期结束。保持F=5主成分，我们能够保持96.74%的总历史波动率。在图3中，我们绘制了五个修正的波动率函数w（f），w（f），以及相关的标准误差。修改后的波动率函数表示矩阵^O的列，该列通过其特征值对协方差矩阵进行对角化，有关影响我们所指主成分的统计误差的计算，请参见等式[54,55]。（31）。图3所示为第一个因素的特征是曲线长部分的弯曲结构。然后，它会在很短的时间内下降到零，直到到期，但不会改变其符号。第二个因素是围绕五年桶进行切换，因此解释了曲线的长短部分之间的差异。

第三个因素的驼峰形状解释了曲线的凸性。因此，前三个组成部分通常与期限结构的水平、斜率和凸度有关。这些证据可以追溯到[1]。自那时起，主成分分析已在利率应用中大量使用，例如[3,4,8]，然而，从建模方面来看，与[7]中描述的方法的联系已经引发了一系列关于因子模型的研究，参见[8]或最近的成就[14,15]和其中的参考文献。然而，图3显示，如今，总方差的很大一部分只能包括高阶分量，而对这些分量缺乏清晰的解释。正如我们将在下一节中看到的，我们直接对多个收益率期限结构执行PCA，主成分的数量和形状与单曲线情况类似。3.2.3多收益率曲线为了确定多收益率曲线情况下的主成分数量，我们进行了与单曲线框架相同的分析。在图4中，我们报告了四条曲线的历史数据中至少95%的总方差所需的最小主成分数，即EONIA曲线f（t，x）和附加分形曲线f RA3M（t，x）。图4应该是在信贷危机期间，主成分的最小数量稳定在8左右，然后从2011年开始逐渐下降，2013年初降至5。然后，我们确定从2010年1月5日到2013年1月5日的常规窗口，并计算相关的修正波动率函数。在图5的两个面板中，我们展示了占总历史方差95.67%所需的修正波动率函数。

为了更好地可视化功能，我们将每个主成分分为两部分，第一部分是EONIA曲线，第二部分是EUR3M curvew（f）m=√γm[O1m，…，OKm]|，w（3M）m=√γm[OK+1 m，…，OK+K3Mm]|，图5应为EONIA和EUR3M曲线在因子方面表现出相同的行为，证实前三个特征向量可以正确解释为水平、斜率和曲线。因此，这一证据可能支持将因子模型方法扩展到描述多个收益率曲线。现在我们来看看最大似然法的结果。让我们从风险溢价向量λ开始，该向量以三个分量λs，λlandλ3M为参数，如等式（29）所述。在图6、图7和图8中，我们报告了对具有每周重叠回报的三年滚动样本进行估计的结果。让我们关注第一个分量λs，它与瞬时正向曲线的一个月和两个月桶相关。它从几乎为零开始，并在校准样本中包含信用危机期后立即上升到非常高的正值。等式（25）可以非常简洁地解释这个结果。这个-ω o 漂移分量中的Rλ项对Rλ的正值有负贡献，反之亦然。让我们考虑一下从2008年9月开始的三年样本，它产生了最大值λs~ 1.5. 2008年至2009年期间，EONIA的期限结构发生了明显变化，从一条倒曲线向上倾斜，短期利率约为0.5%，长期利率近4%。如果在t？，例如

2008年9月的一天，我们被要求预测一年中观察到的一个月利率，我们最好的猜测应该是t？在t+1y和t？+1y+1m。2008年9月，该曲线呈倒转状，十年利率约为4.2%，一个月利率约为4.3%，一年内的一个月利率约为4.9%，而在危机结束后，最短利率下降，达到了0.35%的水平。因此，我们的预测需要大幅向下修正，这是由-ωλswithλs>0。同样的观点也适用于危机开始时的时期，即2006-2007年，在此期间，期限结构的形状发生了变化，从正常的向上倾斜曲线转变为略微反转的曲线。同样，在这种情况下，我们基于远期利率的朴素预测将需要向下修正，再次由λs的正值提供。然而，由于在此期间短期利率表现出较小的变化，从3.5%到4.2%，这种修正的幅度比2008-2009年的小，因此，这是我们对λs的估计。远期利率和实际利率之间的偏差解释了图6中观察到的行为，其中λs增加为大正值。如果将2010-2011年的欧元区主权危机包括在内，这种影响就更加明显。一旦信贷危机和主权危机结束，与最短期限相关的市场风险价格水平就会冷却下来，回到低值。

另一方面，与三个月以上到期的EONIA利率相关的风险溢价可以忽略，因为从图7可以看出，这在统计学上并不显著。最后，图8显示，与300万欧元FRA曲线相关的风险溢价与EONIA曲线中的最短到期溢价具有相似的行为。同样，这是因为风险溢价向量的这一部分必须考虑到2009年至2013年期间观察到的300万欧元期限结构形状的变化——从正常到反向和反向。除了市场风险价格的组成部分外，估计还提供了波动率和相关系数的值。我们分别在图9、10和13以及图11、12和14中报告了EONIA和EUR3M期限结构的短期和长期到期率的^ωi和^ij值。3.3预测收益率曲线：样本外测试我们现在调查模型执行样本外测试的预测能力。我们将模型预测的收益率曲线的置信区间与实际情况进行比较。特别是我们提出了一个总体频率测试，如[45,46]所述。在本分析中，我们考虑了一个数据集，该数据集综合了2005年2月8日至2013年12月27日期间每日记录的EONIA收益率曲线和EUR3M FRA期限结构。从时间序列的开始，我们估计了三年样本的模型参数，范围为tk- 3年和tk，TKW间隔很短。对于这些样本中的每一个，我们都通过蒙特卡罗模拟计算出预测范围为一周、三个月和一年的置信包络。对于EONIA曲线，我们用ltk+δ| tk（si；p），utk+δ| tk（si；p）, k=1，nobs，i=1。

，K和δ=1w，3m，1y，其中，ltk+δ| tk（si；p）和utk+δ| tk（si；p）是在tk时间tk+δ的覆盖概率下计算的sibucket的间隔δ-周期水头预测的上下限。对于较长的期限曲线，我们计算FRA期限结构的置信包络NL（3M）tk+δ| tk（s3M，i；p），u（3M）tk+δ| tk（s3M，i；p）o，k=1，nobs，i=1，K, δ=1w，3m，1y，其中l（3m）tk+δ| tk（s3M，i；p）和u（3m）tk+δ| tk（s3M，i；p）代表覆盖概率为p的铲斗s3M，i的δ周期水头区间预测的下限和上限。在以下分析中，我们考虑p=0.95,0.99。我们提醒大家nobs=290。对于每一次tkwe，将观察到的速率（瞬时远期或FRA）与我们的预测间隔进行比较，并计算超标情况。换句话说，我们引入以下指标变量si（δ）k（si；p）=1如果f（tk+δ，si）/∈ltk+δ| tk（si；p），utk+δ| tk（si；p）,否则，andI（δ）3M，k（s3M，i；p）=1如果FRA3M（tk+δ，si）/∈nl（3M）tk+δ| tk（s3M，i；p），u（3M）tk+δ| tk（s3M，i；p）o，否则为0。假设i（δ）k（si；p）onobsk=1之间独立，我们想测试EhI（δ）k（si；p）i=1- p反对EIδk（si；p）6= 1 - p、 对于每个i=1，对于ni（δ）3M，K（s3M，i；p）onobsk=1，我们也这样做。这种类型的测试通常被称为无条件覆盖测试。零假设下的概率由uc（p；I（δ）（si；p），I（δ）nobs（si；p））=（1- p） npn，i=1，K、 与3M tenor FRA曲线类似，其中nand nare分别是序列中0和1的发生次数ni（δ）K（si；p）onobsk=1。在交替条件下的可能性不是luc（π；I（δ）（si；p），I（δ）nobs（si；p））=（1- π） nπn，其中π=n/（n+n）。