风险管理的多曲线HJM模型

该检验可表述为标准似然比检验，其中对数似然比渐近分布为χ（1）LRUC=-2 lnhLUC（p；I（δ）（si；p），I（δ）nobs（si；p））/LUC（π；I（δ）（si；p），I（δ）nobs（si；p））I~ χ(1).我们在EUR3M曲线上执行相同的测试。为了产生样本外测试程序所需的置信区间，我们使用两种方法：第2.3.1节概述的高斯扩散模型和第2.3.2节解释的bootstrapmethodology。然后我们比较这两种设置的测试结果。对于高斯扩散模型，表4、6和8中报告了EONIA瞬时前向曲线的无条件覆盖测试结果，而表5、7和9包含通过自举程序获得的结果。符号(*)及(**)分别对应于95%和99%的统计显著性。在图15和图16中，我们展示了三个月预测置信区间（蓝线）与实际利率（黑线）的时间演变，以定位负异常和正异常（分别为红点和交叉点）。我们选择短期到期利率f（t，1m）和长期到期利率f（t，5y）。在第一行中，我们使用95%的覆盖概率来比较高斯扩散模型（左面板）和自举法（右面板），而第二行显示了99%覆盖概率的结果，再次比较高斯扩散（左面板）和自举法（右面板）。对于EUR3M FRA期限结构，高斯扩散模型的无条件覆盖测试结果见表10、12和14，而表11、13和15包含通过自举程序获得的结果。

最后，在图17和图18中，我们报告了短期和长期EUR3M曲线（即FRA3M（t，3m）FRA3M（t，5y））的三个月预测置信区间的时间演变。就EONIA曲线而言，在短期预测期（一周）内，测试结果非常令人满意，两种方法（多变量和bootstrap）的覆盖率均为95%。当考虑更高的覆盖概率值时，即p=99%，引导法进一步提高了测试质量。这一事实也适用于更长的预测期——三个月零一年——即使结果总体恶化。通过观察已实现的时间序列与预测分布平均值之间的关系，可以猜测这种行为背后的原因。例如，请参阅图15的左上面板。从2008年10月到2009年4月，欧洲央行将基准短期利率下调了五倍。EONIA曲线的短期部分始终跟随利率水平的快速下降。然而，尽管历史时间序列从显著上升的趋势突然转变为显著下降的趋势，但预测率不会立即遵循相同的行为。预测需要一段时间才能恢复漂移，即风险溢价上升到较大的正值，并提供强烈的负修正。实际上，从图6中我们可以看出，短期风险溢价在2009年最后一个季度之前不会增加。由于利率动态的突然变化，风险溢价的延迟调整是大多数预测失败的原因。可以很容易理解的是，预测期越长，预测与实际利率之间的不匹配就越严重。

因此，我们得出结论，如果一个模型没有明确考虑到由于欧洲央行货币政策而导致利率突然变动的可能性，就无法成功地生成可靠的长期预测。EUR3M曲线的预测结果与观察到的EONIA曲线一致，在短期预测期（一周）内令人满意，预测率为95%。然而，对于三个月的期限曲线，基于高斯模型的结果比使用bootstrapforecasting方法得到的结果稍差。同样在这种情况下，当考虑覆盖概率的更高值时，bootstrap方法提高了测试的质量。尽管如此，针对EONIA案例得出的关于更长预测期的相同结论也适用于三个月期限结构。4结论在本文中，我们提出了一种新的利率期限结构预测方法，该方法适合于多收益率曲线的后危机世界。与基于因子分析、过滤历史模拟或流行的RiskMetricsTM方法的生成技术的单曲线法不同，目前利率风险管理的质量和效果取决于正确描述EONIA期限结构以及三个月、六个月和一年曲线的能力。据我们所知，这是首次尝试捕捉历史时间序列的波动相关性结构，该时间序列是为多收益率曲线而设计的。我们提出了aHJM模型框架，其中我们描述了即时远期利率的贴现曲线，而远期利率的动态决定了更长期限利率结构的演变。

我们展示了如何通过有限维的向量自回归过程来近似HJM设置中有限维SDE的连续时间。简化为离散时间模型显著简化了模型参数的估计。通过迭代最大似然法，我们估计了波动率、相关系数和风险溢价。特别是，我们展示了调查期间（2005-2013年）风险溢价的演变，这说明了在利率期限结构中观察到的变化。显著正的风险溢价表明，市场期限结构隐含的远期利率需要进行强烈的负修正，以描述即期利率的实际演变。然后，我们进行样本外数值测试，最终证明我们的方法在一周的预测期内的可靠性。如果在预测过程中采用简单的自举方法，我们的高斯模型可以进一步改进以捕获尾部事件。随着预测时间的延长，模型的性能会恶化。实证分析有力地支持了这样一个假设，即绝大多数故障都是随着速率动态的突然变化而累积的。这些事件——似乎是由欧洲央行货币政策的变化驱动的——在当前的建模方法中很难适应。作为当前工作的未来展望，我们计划在一定程度上适应体制转变，以增强我们的估计程序，包括基于调查的短期收益率预测。

就波动性时间序列中随机性的证据而言，我们目前正在研究离散时间设置的修改版本，能够捕捉瞬时远期和远期利率波动的异方差性质和可能的不对称性。感谢弗拉维亚·巴尔索蒂、安德烈亚·贝尔塔尼亚、托马索·科洛扎、富尔维奥·科尔西、尼科洛·科蒂尼、洛伦佐·利希、斯特凡诺·马米、阿尔多·纳西格、安德烈亚·帕拉维奇尼和罗伯托·雷诺进行了许多令人振奋的讨论。我们也感谢Andrea Sillari提供的历史数据。CS的研究活动得到了联合信贷银行（UniCredit S.p.A.）第1300240/2013号拨款的支持，该拨款由SCOLA NORMAL Superiore管理。英国广播公司感谢特斯拉师范高等教育基金SNS14 B BORMETTI的研究支持。贝塞尔三次样条每次我们需要插值在一组有限点上定义的曲线时，我们都会使用贝塞尔三次样条方法。让我们考虑通过以下K点{（s，g（s）），…，（sK，g（sK））}定义的一般曲线g（u）。三次样条插值函数由一组K- 1三阶多项式样条线（x）=ah+bh（x）-sh）+ch（x-sh）+dh（x-sh），对于sh≤ 十、≤ sh+1和h=1，K-1.每个多项式有4个系数需要确定，因此需要施加的约束总数为4K- 4.在[53]中，作者讨论了约束条件，并详细说明了后续结果的推导。虽然ai仅等于si处插值函数的值，即ai=g（si），但系数的解析表达式与tob=s对应- ss+s- 2ss- s（g（s）- g（s））-s- 党卫军- s（g（s）- g（s））,bi=si+1- 硅-1.si+1- 西西- 硅-1（g（si）- g（si）-1） ）+si- 硅-1si+1- si（g（si+1）- g（si））对于i=2。

K- 1，bK=-sK- sK-2.sK- sK-1sK-1.- sK-2（g）sK-1) - g（sK）-2)) -2sK- sK-1.- sK-2sK- sK-1（f（tk，sK）- f（tk，sK）-1)),上述方程可以改写为TKW处三个相邻桶的瞬时远期利率的线性叠加，其系数仅取决于这三个桶的到期时间SB=A（s，s，s）g（s）+B（s，s）g（s）+C（s，s，s）g（s），bi=Ai（si）-1，si，si+1）g（si-1） +Bi（si）-1，si，si+1）g（si）+Ci（si）-1，si，si+1）g（si+1），对于i=2，K- 1，bK=AK（sK-2，sK-1，sK）g（sK）-2） +BK（sK）-2，sK-1，sK）g（sK）-1） +CK（sK）-2，sK-1，sK）g（sK），其中A（s，s，s）=2s-s-s（s）-s） （s）-s） ，B（s，s，s）=s-s（s）-s） （s）-s） ，C（s，s，s）=s-s（s）-s） （s）-s） ,，艾未未-1，si，si+1）=si-si+1（si-硅-1） （si+1）-硅-1） ，Bi（si）-1，si，si+1）=si-1.-2si+si+1（si-硅-1） （si+1）-硅-1） ，Ci（si）-1，si，si+1）=si-硅-1（si+1）-si）（si+1-硅-1） ，i=2，K- 1.AK（sK）-2，sK-1，sK）=sK-sK-1（sK）-1.-sK-2） （sK）-sK-2） ，BK（sK）-2，sK-1，sK）=sK-2.-sK（sK-1.-sK-2） （sK）-sK-1） ，CK（sK-2，sK-1，sK）=2sK-sK-1.-sK-2（sK）-sK-1） （sK）-sK-2） ，同样的推理也适用于系数chand dhc=s- sg（s）- g（s）s- s-g（s）- g（s）s- s,d=0ci=si- si+12（g（si）- g（si）-1） ）（是的- 硅-1)-2（g（si+1）- g（si）-1） ）si+1- 硅-1.-g（si+2）- g（si）si+2- si+g（si+2）- g（si+1）si+2- si+1,di=（si）- si+1）g（si）- g（si）-1） （是的- 硅-1)-g（si+1）- g（si）-1） si+1- 硅-1.-g（si+2）- g（si）si+2- si+g（si+2）- g（si+1）si+2- si+1,对于i=2，K-1.因此，两个chand Dh都可以写成四个相邻瞬时远期利率值的线性叠加，系数完全取决于到期时间向量C=A（s，s，s）g（s）+B（s，s）g（s）+C（s，s）g（s），ci=Ai（si）-1，si，si+1，si+2）g（si-1） +Bi（si）-1，si，si+1，si+2）g（si）+Ci（si）-1，si，si+1，si+2）g（si+1），+Di（si）-1，si，si+1，si+2）g（si+2），对于i=2。

K- 2，cK-1=AK-1（sK）-2，sK-1，sK）g（sK）-2） +BK-1（sK）-2，sK-1，sK）g（sK）-1） +CK-1（sK）-2，sK-1，sK）g（sK），其中A（s，s，s）=（s-s） （s）-s） ，B（s，s，s）=-（s）-s） （s）-s） ，C（s，s，s）=（s-s） （s）-s） ,，艾未未-1，si，si+1，si+2）=（si-硅-1） （si+1）-硅-1） ，Bi（si）-1，si，si+1，si+2）=si-1+si-2si+2（si）-硅-1） （si+1）-si）（si+2-si），Ci（si）-1，si，si+1，si+2）=-硅-1+si+1-2si+2（si+1-硅-1） （si+1）-si）（si+2-si+1），Di（si）-1，si，si+1）=-（si+2）-si）（si+2-si+1），i=2，K- 2.AK-1（sK）-2，sK-1，sK）=（sK-1.-sK-2） （sK）-sK-2） ，BK-1（sK）-2，sK-1，sK）=-（sK）-1.-sK-2） （sK）-sK-1） ，CK-1（sK）-2，sK-1，sK）=（sK-sK-2） （sK）-sK-1） ，d=0，di=Ai（si-1，si，si+1，si+2）g（si-1） +Bi（si）-1，si，si+1，si+2）g（si）+Ci（si）-1，si，si+1，si+2）g（si+1），+Di（si）-1，si，si+1，si+2）g（si+2），对于i=2，K- 2dk，K-1=0，其中艾未未-1，si，si+1，si+2）=（si-硅-1） （si+1）-硅-1） （si+1）-si），Bi（si）-1，si，si+1，si+2）=si+2-硅-1（si）-硅-1） （si+2）-si）（si+1-si），Ci（si）-1，si，si+1，si+2）=si+2-硅-1（si+1）-硅-1） （si+2）-si+1）（si+1）-si），Di（si）-1，si，si+1）=（si+1-si）（si+2-si）（si+2-si+1），i=2，K- 总之，所有系数都可以表示为矩阵向量乘积ah=[g]h，h=1，K- 1，bh=[M（s）g]h，h=1，K、 ch=[M（s）g]h，h=1，K- 1，dh=[M（s）g]h，h=1，K- 1，（32）式中，g=[g（s），…，g（sK）]|，M（s）=ABC00。0ABC0 0 0。00 ABC00。0......0 0 0 . . . 0 AK-1BK-1CK-10 0 0 . . . 0 AKBKCK,男(s)=ABC00。0ABCD0。00 ABCD0。0......0 0 . . . 0 AK-2BK-2CK-2DK-20 0 . . . 0 AK-1BK-1CK-1.,男(s)=0 0 0 0 0 0 . . . 0ABCD0。00 ABCD0。0......0 0 . . . 0 AK-2BK-2CK-2DK-20 0 . . .

0 0 0 0 0.函数g（u）的样条插值形式在插值点处的导数将减少到系数bixgspline（x）x=xi=bi=M（s）g]i，i=1，K.至于积分，我们需要计算以下数量zSidu gspline（u），我们已经放弃了对Ai，Bi。为便于记谱，请在s上单击。其中Si是插值点之一。我们假设s>0，就像我们分析中的情况一样，并选择将函数fl从sdown外推到0，以便zsidu gspline（u）=Zsdu a+i-1Xh=1Zsh+1shduah+bh（u）- sh）+ch（u- sh）+dh（u- （上海）= as+i-1Xh=1啊（sh+1）- sh）+bh（sh+1- sh+ch（sh+1）- sh）+dh（sh+1- （上海）.现在我们可以使用系数ah，bh，chand dhas报告的不等式（32）Zsidu gspline（u）=g（s）s+i的显式表达式-1Xh=1生长激素（sh+1）- sh）+[Mg]h（sh+1- [sh（sh）+1毫克- sh）+[Mg]h（sh+1- （上海）= g（s）s+KXj=1i-1Xh=1δjh（sh+1）- sh）+Mhj（sh+1- sh）+Mhj（sh+1- sh）+Mhj（sh+1- （上海）g（sj）≡KXj=1P（s）ijg（sj）=[P（s）g]i，其中P（s）ij=sδj1+i-1Xh=1δjh（sh+1）- sh）+Mhj（sh+1- sh）+Mhj（sh+1- sh）+Mhj（sh+1- （上海）,所以P（s）=沙P1j=0，j>1，P（s）2j=sδj1+M1j（s- s） +M1j（s）- s） +M1j（s- （s）=> P2j（s）=0j>3，为了便于记谱，我们放弃了M和Mon的依赖关系。对于较大的i和j，依此类推。最后，矩阵P的形式由P（s）给出=P（s）0 0。0P（s）P（s）P（s）0 0。0P（s）P（s）P（s）P（s）0。0......P（s）K 1P（s）K 1P（s）K 2。P（s）K.我们得到了方程（9）和（16）中给出的结果，用EONIA瞬时正向曲线fint（tk，x）和FRA项结构f RA的时间观测代替gspline（x）,分别是int（tk，x）。用σf，int（tk，x）分量的时间tk观测代替gspline（x），可以很容易地导出方程（11）。参考文献[1]R.B.Litterman和J。

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