风险管理的多曲线HJM模型

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数据指的是2010年1月5日至2013年1月5日这三年期间的数据，采样频率为每周。窗口结束日期F`EΦHFLr 95%图4：要保留的协方差矩阵^C主成分的最小数量，以保持原始方差的一部分大于95%。考虑到EONIA曲线的K=12个铲斗和EUR3M TERM结构的K3M=10个铲斗，得出的结果总共为D=22个部件。每个点指的是三年的数据，每周采样频率。x轴上报告的日期对应于三年期的结束日期，然后将其提前五天获得连续点。ccccccccccccóóóóóóóóóóóóíííííííííííí~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o-0.8%-0.6%-0.4%-0.2%0.%0.2%0.4%s Hyears每周修正波动率ccccccccccóóóóóóóóóóíííííííííí~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o-0.8%-0.6%-0.4%-0.2%0.%0.2%0.4%s HyearsLWeekly modified volatility Figure 5：在多曲线框架中，首次对EONIA（K=12）和EUR3M（K3M=10）曲线的波动率函数进行了五次修改。在x轴上，我们每年报告一次成熟度。左面板：w（f）m=1，5.右侧面板：w（3M）mwithm=1，5.颜色如图3所示。数据指的是三年期间2010年1月5日至2013年1月5日，每周抽样一次。0.00.51.01.5窗口结束日期∧`s图6：黑线：在周间隔重叠收益率的三年样本上估计模型得到的λs值。红线：bootstrap估计器的中心值。黑色虚线：黑色虚线±一个标准偏差，用自举法计算-0.3-0.2-0.10.00.10.2窗口结束日期∧`L图7：黑线：基于周间隔重叠收益率的三年样本估计模型的λL值。

红色和黑色虚线如图6.0.00.10.20.30.40.5窗口结束日期∧\'3 M图8：黑线：根据三年间隔的重叠收益率样本估计模型得出的λ3值。图6.0.0030.0040.0050.006窗口结束日期标题中的红色和黑色虚线Ohm`H1ML图9：黑线：估计模型在三年的周间隔重叠收益率样本上获得的EONIA曲线ω（1m）值。图6.0.0070.0080.0090.0100.0110.012窗口结束日期中的红色和黑色虚线Ohm`H10YL图10：黑线：根据每周间隔重叠收益的三年样本估计模型获得的EONIA曲线ω（10y）值。图6.0.0000.0020.0040.0060.008窗口结束日期中的红色和黑色虚线Ohm`H3ML图11：黑线：根据每周间隔重叠收益的三年样本估计模型获得的EUR3M曲线的ω（3m）值。图6.0.0080.0090.0100.0110.012窗口结束日期中的红色和黑色虚线Ohm`H10YL图12：黑线：根据每周间隔重叠收益的三年样本估计模型获得的EUR3M曲线的ω（10y）值。红色和黑色虚线如图6所示-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20窗口结束日期g`H1m-10YL图13：黑线：Γ（1m）的值- 10y）对于获得的EONIA曲线，根据每周间隔重叠收益的三年样本估计模型。图6标题中的红色和黑色虚线-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.10窗口结束日期G`H3m-10YL图14：黑线：Γ（3m）的值- 10 y）对于获得的EUR3M曲线，根据周间隔重叠收益的三年样本估算模型。

图6标题中的红色和黑色虚线。本周三（23日）的霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍窗口结束日期FHTK，1mL窗口结束日期FHTK，1mLaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeae''''0.000.010.020.030.04窗口结束日期FHTK，1mL图15：蓝色实线：f（t，1m）利率三个月前预测分布的平均值。蓝色虚线：预测未来三个月f（t，1m）率分布的平均值±两个标准差。黑色实线：实现的f（t，1m）速率。红点（十字）：第一行和第二行的覆盖率分别为95%和99%的负（正）异常。左栏中的曲线图指的是高斯扩散模型，右栏中的曲线图指的是自举预测方法。3.0.0.020.020.020.020.04.05窗口收尾日期FHTK、5 yl-3.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.05窗口收尾日期FTTK、5窗口收收尾日期FHTTTK、5窗口收尾日期、5基日期、5基基、5基基、5日、5基方方方、基方、基方、基方方、基方、基方方、基方、基方方、基方、基方、3.3.3.3.3.3.3.0 0 0无无无托托托托托托托托托托托托托托基、基、无无无无无无0.05窗口结束日期FHTK，5YL图16：蓝色实线：未来三个月f（t，5y）利率预测分布的平均值。蓝色虚线：预测未来三个月f（t，5y）率分布的平均值±两个标准差。黑色实线：实现的f（t，5y）速率。红点（十字）：第一行和第二行的覆盖率分别为95%和99%的负（正）异常。

左栏和右栏如图15所示。本周三（23日）的霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍aeaeae'''''''''''''''''0.000.010.020.030.040.05窗口结束日期FRA3 MHtk，本周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的方方方（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三（周三）的周三）的周三（周三）的日日日（周三）的）的日日（周三）的日日（周三）的日日）的日（周三））的日（周三）的日（日日））的日日（日）的日（日日））的日日（日）））的日（日日日（日）））的日（日（日日）的）））的日（日（日日）））的日（日（日日））））的日（日日日日（日日）））的日（日））的日（日（日）的）直线：FRA3M（t，3m）利率三个月前预测分布的平均值。蓝色虚线：FRA3M（t，3m）利率三个月前预测分布的平均值±两个标准偏差。黑色实线：3米（t，3米）速率。红点（十字）：负（正）异常，第一行和第二行的覆盖概率分别为95%和99%。左栏和右栏如图15所示。（2300）托托托霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍霍奈奈尔，，目前目前的他们他们他们的两两0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.10.10.10.0.0 0.0.0.0 0.0.0 0.0.0.0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0 0.0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0 0 0.0 0.0.0.0 0.0 0 0.010.020.030.040.05窗口结束日期FRA3 MHtk，5YL图18：蓝色实线：FRA3M（t，5y）利率三个月前预测分布的平均值。蓝色虚线：FRA3M（t，5y）利率三个月预测分布的平均值±两个标准偏差。黑色实线：3米（t，5年）速率。红点（十字）：负（正）异常，第一行和第二行的覆盖概率分别为95%和99%。

左栏和右栏如图15所示。期限开始日期结束日期2013年12月27日2005年8月2日2013年12月27日2013年2月8日EUR3M表1：历史时间序列的开始和结束日期。到期期限EONIA 1d 7d 1m 2m 3m 6m 9m 1y 1y 6m 2y 3y 4Y 5Y 6y 7y 8y 10y 12y 15y 20y 25y 30Y 3m 1d 2m 3m 6m 1y 1y 6m 2y 3y 4Y 5Y 6y 7y 8y 10y 12y 15y 25y 30Y表2：到期时间网格。期限到期时间EONIA 1m 2m 3m 6m 9m 1y 5y 10y 15y 20y 25y 30yEUR3M 6m 9m 1y 5y 10y 15y 20y 25y 30Y表3：EONIA和EUR3M曲线实证分析中使用的到期时间网格。4.5.76 12 16.24（*）0.012米20 2.01 15.58 10 10 10.78（*）0.15 15.58 10 10 10.78（*）0.13米15.15.10 10 10.78（*）0.13米15 0.15 15 15 15.10 10 10.10 10 10.78（10）10.10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10.78（10）10.15 15 15 15 15 15 15 0.15 0.15 15 0.10.10 10 10 10.78（10.78（10.78（10.78）10.78（*）10.78（*）10（10（10（10）10）7）10.78（7）10（10）10（10）10）10.78）10）10.78（7）10.78（7）10）10.78（10（10）10）10.78（7）10（10）10）10）10.78（7）7）10（10.78（7）10）10））3.9825y 19 1.38 24.04 7 4.22（*）3.9830y 17 0.45 50.26 12 16.24（**）0.01表4：使用高斯扩散模型获得的EONIAcurve一周前预测的无条件覆盖率测试结果。sip=0.95 p=0.99nLRUCp-value nLRUCp-value 1M 19 1.38 24.04 7 4.22（*）3.982m 17 0.45 50.26 4 0.38 53.513m 11 0.94 33.19 3 0。94.856m 120.46 49.63 30。94.859m 9 2.49 11.49 2 0.31 57.751y 11 0.94 33.19 3 0。94.855y 18 0.85 35.53 7 4.22（*）3.9810y 18 0.85 35.53 2 0.31 57.7515y 16 0.17 68.07 2 0.31 57.7520y 14 0.01 90.29 3 0。94.8525y14 0.01 90.29 5 1.28 25.8430y 18 0.85 35.53 7 4.22（*）3.98表5：使用自举方法获得的EONIAcurve一周前预测的无条件覆盖测试结果。sip=0.95 p=0.99nLRUCp-value nLRUCp-value1m 51 63.87（**）0。2567.23（**）0.2m 5369.77（**）0。2567.23（**）0.3M4855.38（**）0。2567.23（**）0.6m 4547.34（**）0。

2358.28（**）0.9m 40 35.03（**）0。22 53.95（**）0.1y 37 28.33（**）0。20 45.59（**）0.5 Y 25 7.62（**）0.58 13 20.05（**）0.10 Y 17 0.68 40.9 4 0.48 49.0215 Y 22 4.25（*）3.92 7 4.55（*）3.2920 Y 35 24.17（**）0。12 16.97（**）0.25y 34 22.19（**）0。14 23.29（**）0.30y 21 3.32 6.83 15 26.68（**）0。表6：使用高斯扩散模型获得的EONIAcurve三个月前预测的无条件覆盖测试结果。sip=0.95 p=0.99nLRUCp-value nLRUCp-value1m 32 18.44（**）0。21.49.72（*）0.21 49.72（*）0.21 49.72（*）0.21.72（7）49.72（*）0.21 21.72（7）21.72（7）21.72（7）21.72（7）21.72（7）21.72（*）0.21.72（7）21.21.72（7）21.72（7）7（7）0.30（3）19（7）19（7）10（7）10（7）10（7）10）10.19（7（7）7）7（7）7（7（7）7）7）7（7（7（7）7）7）7（7）7（7）7（7（7）7）7）7（7（7（7）7）7（7（7）7）7）7）7（7（7（7）7）7）7）7）7（7（7（7）7）7）7（7（7）7）7*）0.30y 15 0.09 76.49 12 16.97（**）0。表7：使用bootstrap方法获得的EONIAcurve三个月前预测的无条件覆盖测试结果。sip=0.95 p=0.99nLRUCp-value nLRUCp-value1m 93 253.6（**）0。70359.74（**）0.2M88229.04（**）0。69352.32（**）0.3M88229.04（**）0。63308.68（**）0.6m 78 182.65（**）0。51226.17（**）0.9m 64124.19（**）0。2051.26（**）0.1比3634.17（**）0。7.5.95（*）1.475y 30 20.77（**）0。9 10.89（**）0.110y 27 15.07（**）0.01 30.15 69.7915y 46 61.62（**）0。2051.26（**）0.20y 71 152.44（**）0。27 84.58（**）0.25y 67 136.05（**）0。31105.53（**）0.30y 55 90.98（**）0。21 55.72 (**) 0.表8：使用高斯扩散模型获得的EONIA曲线的1年前预测的无条件覆盖测试结果。sip=0.95 p=0.99nLRUCp-value nLRUCp-value1m 35 31.76（**）0。2051.26（**）0.2m 3224.95（**）0。2051.26（**）0.3m 3020.77（**）0。2051.26（**）0.6m 2511.69（**）0.061219.99（**）0.9m9 0.8136.830 4.78（*）2.871y 0 24.42（**）0。

0 4.78（*）2.875y 17 2.04 15.29 0 4.78（*）2.8710y 0 24.42（**）0。0.4.78（*）2.8715y 2 13.09（**）0.03 0 4.78（*）2.8720y 3 9.88（**）0.17 0 4.78（*）2.8725y 12 0。97.63 1.03 30.9330y 15 0.79 37.47 7 5.95（*）1.47表9：使用自举方法获得的EONIA曲线1年前预测的无条件覆盖测试结果。sip=0.95 p=0.99nLRUCp-value nLRUCp-value 3M 10 1.61 20.46 7 4.22（*）3.986m 26 7.94（**）0.48 13 19.24（**）0.9m 35 22.4（**）0。19 40.27（**）0.1 Y 26 7.94（**）0.48 11 13.42（**）0.025y 25 6.72（**）0.95 7 4.22（*）3.9810y 24 5.59（*）1.81 6 2.58 10.8215y 33 18.69（**）0。17 32.73（**）0.20y 19 1.38 24.04 8 6.16（*）1.325y 18 0.85 35.53 9 8.36（**）0.3830y 16 0.17 68.07 8 6.16（*）1.3表10：使用高斯扩散模型获得的EUR3M曲线提前一周预测的无条件覆盖测试结果。sip=0.95 p=0.99nLRUCp-value nLRUCp-value 3M 6 6.61（*）1.01 4 0.38 53.516m 22 3.6 5.76 8 6.16（*）1.39m 34 20.51（**）0。14 22.4（**）0.1 Y 19 1.38 24.04 8 6.16（*）1.35 Y 21 2.76 9.68 3 0。94.8510y 17 0.45 50.26 3 0。94.8515y 25 6.72（**）0.95 15 25.7（**）0.20y 18 0.85 35.53 6 2.58 10.8225y 18 0.85 35.53 7 4.22（*）3.9830y 15 0.02 88.27 6 2.58 10.82表11：使用自举方法获得的EUR3M曲线的提前一周预测的无条件覆盖测试结果。sip=0.95 p=0.99nLRUCp-value nLRUCp-value 3M 57 82.12（**）0。2986.14（**）0.6m 5885.32（**）0。33 106.29（**）0.9m 64 105.42（**）0。36122.14（**）0.1比4547.34（**）0。29 86.14（**）0.5y 37 28.33（**）0。19 41.57（**）0.10y 21 3.32 6.83 10 11.35（**）0.0815y 35 24.17（**）0。21 49.72（**）0.20y 32 18.44（**）0。12 16.97（**）0.25y 39 32.74（**）0。16 30.21（**）0.30y 38 30.5（**）0。