风险管理的多曲线HJM模型

OIS是交换固定汇率与浮动汇率的SWAPC合同，其中浮动汇率计算为EONIA汇率的几何平均值。OIS利率通常被认为是无风险利率的最佳代表，而在抵押交易中，它们通常被用作抵押利率，这一事实导致了OIS贴现。通过使用自举技术（例如参见[52]），我们可以从OIS费率中获得OIS ZCB价格的期限结构x 7→ P（t，t+x）。然后，我们计算EONIA瞬时远期利率的期限结构。此外，我们考虑固定收益工具，如远期利率协议、掉期、上限/利率和掉期期权，其基本伦敦银行同业拆借利率（Euribor）对期限的敏感度高于隔夜利率。符号·代表通常的标量积。在金融危机之前，与不同期限相关的伦敦银行同业拆借利率通过简单的无风险关系进行关联。在后危机时期的利率市场中，情况已不再如此，而aspeci fi fi fic收益率曲线是由基础利率取决于特定期限的市场工具构建的。在所有金融工具中，FRA、利率互换和基差互换代表了流动性最强的利率线性衍生工具，其简单的结构自然有助于采用自举方法（再次参见[52]）。每个男高音 =3M、6M、1Y，我们构建了三条风险曲线，即欧元三个月、六个月和一年曲线，我们用Y表示（t，x）相关收益率。在将HJM建模框架扩展到我们正在考虑的多重收益率曲线环境中，无风险曲线的演变以瞬时远期利率的形式描述，其动力学对应于方程（4），而更长期限曲线的演变则以远期利率的形式提供。

根据定义，时间利率与期限 到期时间x由FRA给出（t，x）：=EQt+xt[F（t+x）- ; t+x- , t+x）]，（5）其中Qt+xis是鞅测度，其数值P（t，t+x）是EONIA债券价格，而F（t+x）-; t+x-, t+x）是伦敦银行同业拆借利率和期限 这适用于[t+x]期间的未清算存款利率- , t+x]。由于在相同的终端测度Qt+x下，瞬时远期利率和FRA利率都是鞅，我们将联合动力学表示为df（t，x）=xf（t，x）dt+σf（t，x）·dWt+x（t），（6）dFRA（t，x）=xFRA（t，x）dt+σFRA（t，x）·dWt+x（t），（7），其中Wt+xis是Qt+x4下的N维布朗运动。为了描述收益率曲线的历史演变，我们需要调整风险中性动态，包括与风险市场价格相关的贡献。正如标准教科书中所讨论的，例如[51]，这相当于漂移校正的加法不等式（6）和（7），等于-λ·σf（t，x）dt和-λ·σFRA分别为（t，x）dt。向量λ的N个条目对应于与之前相关的非负风险溢价，出现漂移项是因为我们根据到期时间参数化了利率动态。瞬时远期和远期利率波动率。由于历史数据集通常由每天或每周收集的一定数量的到期时间桶的观测值构成，因此我们通过离散时间过程来近似连续时间的真实世界动态。我们初步详细介绍了EONIA dynamics的方法，然后将其扩展到EUR3M、EUR6M和EUR1Y曲线。我们用描述经验EONIA期限结构的K个到期时间桶的有限集合表示。因此，方程式（6）仅适用于属于s的x和对应于离散网格的时间t。

采用欧拉离散格式，我们将SDE（6）改写为一组K方程SF（tk+1，si）- f（tk，si）=σf（tk，si）·Zsiduσf，int（tk，u）- λ·σf（tk，si）+xfint（tk，x）硅t+σf（tk，si）·ε（tk+1）√t，（8）对于i=1，K和ε（tk+1）~ N（0，IN），即N×N单位矩阵。重要的是要观察到，为了计算瞬时远期利率曲线的一阶导数并整合波动率函数，我们需要定义数量fint（tk，x）和σf，int（tk，x）的插值版本。如[53]所述，传统的选择对应于贝塞尔三次样条法的使用。样条线表示允许将等式（8）中的导数项写成矩阵形式（见附录A）xfint（tk，x）x=si=[Mf（s）f（tk）]i，（9）其中我们引入了瞬时正向速率的向量sf（tk）=[f（tk，s），f（tk，s），…，f（tk，sK）]|，而Mf（s）是一个仅依赖于向量sMf（s）的三对角K×K矩阵=ABC00。0ABC0 0。00 ABC0。0......0 0 . . . 0 AK-1BK-1CK-10 0 . . . 0 AKBKCK. （10） 波动函数σf（tk，si）·Zsiduσf，int（tk，u）=KXh=1[Pf（s）]ihσf（tk，si）·σf（tk，sh）的积分也是如此=Pf（s）∑f（tk）∑f（tk）ii，（11）其中Pf（s）是形式为（见附录a）Pf（s）的K×K矩阵=[Pf]0 0 0。0[Pf][Pf][Pf]0 0。0[Pf][Pf][Pf][Pf]0。0......[Pf]K1[Pf]K1[Pf]K2。[Pf]K, （12） 而∑f（tk）是挥发性的K×N矩阵∑f（tk）=[σf（tk，s），σf（tk，s），…，σf（tk，sK）]|。

（13） 然后，系统（8）可以表示为VAR（1）processf（tk+1）=（IK+Mf（s）t） f（tk）+uf（tk）t+∑f（tk）ε（tk+1）√t，（14）为了便于记谱，我们去掉了Ai、BIAN和CIO对成熟度桶向量s的依赖性。为了便于记谱，我们放弃了[Pf]ij对成熟度桶向量s的依赖性。其中，漂移项uf（tk）定义为uf（tk）=diagPf（s）∑f（tk）∑f（tk）- ∑f（tk）λ。（15） 相同的程序可适用于每个有限维SDE，这些SDE驱动与EUR3M、EUR6M和EUR1Y曲线相关的FRA期限结构的演化，即方程式（7），并将其简化为有限维系统。我们在F-RA上采用贝塞尔插值法（t，x），记住，对于每条曲线，我们原则上都有一个不同的到期时间桶向量，用s表示. 我们将方程（7）的漂移项中出现的导数项近似为xF RA int（tk，x）x=s,i=hM（s）)~F（tk）ii，（16）式中F（tk）是KFRA速率的维数向量F（tk）=[F-RA（tk，s）,1） ，F-RA（tk，s）,2), . . . , F-RA（tk，s）,K)]|, （17） 还有M（s）) 是一个K×K仅依赖于s的矩阵具有相同形式的Mf（s），见等式（10）。正如我们在方程（7）中所看到的，除了导数分量外，fFRA漂移还包含积分项，我们可以计算出积分项，就像我们对瞬时正向曲线σ所做的那样（t，s）,i） ·Zs,iduσf，int（t，u）=KXh=1[P（s，s）)]ihσ（tk，s）,i） ·σf（tk，sh）=[P（s，s）) ∑f（tk）∑|[tk]iip（s，s）) 是一个K与向量s和s有关的×K矩阵. 它类似于方程式（12）中定义的Pf。这里∑（tk）是K包含FRA比率可变性的×N矩阵∑（tk）=[σ（tk，s）,1), . . . , σ（tk，s）,K)]|.

（18） 最后，无风险瞬时正向曲线和FRA曲线在真实测量下的联合动力学如下所示：f（tk+1）=（IK+Mf（s）t） f（tk）+uf（tk）t+∑f（tk）ε（tk+1）√t、 ~F（tk+1）=（IK）+ M（s）) t） ~F（tk）+u（tk）t+∑（tk）ε（tk+1）√t，（19）表示 = 3M，6M，1Y，其中漂移系数为uFRA费率的（tk）形式为u（tk）=diag[P（s，s）) ∑f（tk）∑|（tk）]- Σ（tk）λ。（20） 方程（19）是本文的主要贡献之一。它对应于HJM建模框架的VAR（1）表示，该框架通过包括FRA利率动态来描述多条收益率曲线。其目的是通过瞬时远期利率来描述欧尼亚曲线的历史演变，以及通过FRA期限结构来描述更高期限曲线的历史演变。在选择挥发性矩阵∑f（t）和∑后，该模型是完全特定的（t） 。正如我们将在下一节中详细介绍的，我们考虑了EONIA和EUR3M、EUR6M和EUR1Y曲线的恒定（时间）波动函数的情况。2.2恒定波动率模型在本节中，我们指定波动率矩阵∑f（t）和∑的形式（t） 。我们考虑了瞬时远期曲线和FRA期限结构的常数波动函数，即∑f（tk）≡ ∑f，∑（tk）≡ Σ.这种选择的主要优点是，它允许设计一种简单的估计方法，并通过PCA降低问题的维数[54,55]。

事实上，在进入产量和FRA动态的N个布朗驱动因素中，PCA允许选择维度为F<<N的子组分，这仍然解释了观察到的方差的很大一部分。我们初步确定了以下向量，这些向量可以直接从可用的历史时间序列yf（tk+1）=f（tk+1）计算得出- （IK+Mf（s）t） f（tk），y（tk+1）=F（tk+1）- （IK）+ M（s）) t） ~F（tk）， = 3米，6米，1年。（21）引入此类向量的优点在于，现在（19）中的方程可以表示为协方差平稳过程yf（tk）=uft+∑fε（tk）√t，y（tk）=ut+∑ε（tk）√T = 3米，6米，1年。（22）其中ufandu分别对应于等式（15）和（20）中定义的量，降低对时间的依赖性。现在我们可以将等式（21）的四个向量嵌入一个向量中，其中D=K+K3M+K6M+k1y分量（tk）=y | f（tk）、y | 3M（tk）、y | 6M（tk）、y | 1Y（tk）|,也有协方差平稳动态（tk）=ut+∑ε（tk）√t、 （23）其中u是D维漂移项u=u| f、u| 3M、u| 6M、u| 1Y|∑是一个D×N波动矩阵∑=∑f，∑3M，∑6M，∑1Y|.如果我们现在假设N=D，波动率矩阵∑的一个方便的参数化如下：∑=Ohm R、 （24）在哪里Ohm 是一个对角线矩阵，包含y组分的挥发性Ohm =ω0 . . . 00 ω. . . 0.........0 . . . 0ωD,而R是相关矩阵ΓR |=Γ的下三角Cholesky分解。通过这个选择，向量y readsCov[y（tk）]=的协方差矩阵∑∑|=Ohm Γ Ohm.我们还引入了包含挥发性的向量ω，ωDω=[ω，…，ωD]|，这样矩阵Ohm 可以综合重写为diag[ω]。如果我们现在在u的表达式中插入等式（24），我们得到u=ωo （Po Γ) ω - ω o Rλ，（25）式中o 表示两个矩阵之间的阿达玛积，即。

（A）o B） ij=AijBij，或在两个向量之间等效，即（ao b） i=aibi，而P矩阵是根据矩阵Pf和P定义的D×D矩阵P=Pf0。0P3M0 0。0P6M0 0。0P1Y0 0。0.最后，引入向量η（tk）η（tk）=Rε（tk），以便将y（tk）的生成过程写成followsy（tk）=u是有用的t+ωo η（tk）√t、 （26）含η（tk）~ N（0，Γ）。从方程（24）中，我们可以很容易地看到协方差矩阵是根据D波动率和D（D）参数化的- 1） /2相关系数，其中公式（25）指出，需要风险向量λ的市场价格的D个额外分量来确定漂移向量。2.3未来场景的模拟2。3.1高斯差异模型方程（26）允许预测程序的两种不同实现。第一种可能性是从多变量正态分布中迭代进行逐步蒙特卡罗模拟采样，其均值和协方差结构可通过漂移和扩散系数计算得出。第二个公式在计算上更方便，它是（26）f（tk+1）=（IK+Mf（s）关系的直接结果t） kf（t）+ufkt+k-1Xh=0（I+Mf（s）t） h∑fε（tk）-h+1）√t、 （27）因此，在时间tk+1时，f（t）的值上的瞬时前向速率向量是正态分布的，平均向量和协方差矩阵由[f（tk+1）| f（t）]=ufk给出t+（IK+Mf（s）t） kf（t），Cov[f（tk+1）]=tk-1Xh=0（IK+Mf）t） h∑f∑f（IK+Mf（s）t） hT.类似的结果也适用于FRA向量，并允许在长时间范围内直接执行蒙特卡罗模拟采样。

此外，从方程（27）开始，我们可以计算ZC产量向量Y（tk+1）的分布，因为Yi（tk）=Sizzidu fint（tk，u）=siKXh=1[Pf（s）]ihf（tk，sh）=si[Pf（s）f（tk）]i.从上面的表达式可以明显看出，在每个时间点，ZC产量也是多元正态分布的随机变量，我们可以显式计算相关的条件均值和协方差矩阵。目前的模型基本上对应于EONIA瞬时远期利率以及EUR3M、EUR6M和EUR1Y FRA曲线的高斯动力学。因此，它允许负利率，这是一个数据不排除的特征。鉴于最短期限的利率水平极低，尤其是在撰写本文时，它可以代表我们模型的一个有价值的特征。Mf（s）矩阵出现在均值和协方差的表达式中，在远期汇率变化的时间演化中起作用。其影响在很大程度上取决于期限结构在特定的到期日区间是浮动（几乎没有影响），向上倾斜（方差增长速度比简单的差异模型快）还是向下倾斜（相对于纯粹的差异动态而言，降低方差增长速度）。FRA曲线也可以得出类似的结论。2.3.2创新向量的自举在同样的情况下，尤其是在市场动荡的情况下，正态分布扰动的假设可能不充分。此外，对估算后计算的残差进行分析，可以证明峰度过大和速率波动的异方差行为。为了部分捕捉这些影响，我们考虑了一种互补策略，以预测未来的利率期限结构。

我们采用bootstraptechnique，用替换的方法对历史时间序列中的向量η（tk）进行采样[56]。我们预计，对预测程序的轻微修改将提高模型捕捉多变量极端情况下利率分布尾部行为的能力。需要强调的是，我们的设置并不能纠正残差的序列相关性或波动时间序列的异方差性。我们在下一节中给出的结果与这些预期一致。2.4模型参数的估计如前几节所述，根据收益率曲线历史时间序列，我们需要估计D×D协方差矩阵∑，根据D波动率D（D）进行参数化- 1） /2相关系数，以及风险向量λ市场价格的D分量。我们设计了一个模拟程序，包括迭代搜索似然函数的最大值，通过筛选模型中除一个以外的所有参数来计算。我们引入了参数向量θθ={λ，…，λD，ω，…，ωD}，暂时忽略D（D）- 1） /2相关系数Γ，Γ，ΓD-1 D.这种选择的动机是，在估计过程中，优化算法将以不同的方式处理向量θ和相关系数。序列{y（tk）}Lk=1的对数似然函数由符号readsL改变y（tL），y（t）θ, Γ=L Dln（2π）+Lln（det（Γ））+LDXi=1ln（ωi）+LXk=1η（tk）·Γ-1η（tk）。在下面的内容中，我们将用θ（n）和Γ（n）表示算法步骤n的参数值。为了开始校准，我们将风险向量的市场价格初始设定为零，其中可用性和相关性设置为等于其Pearson估计值。

在随后的每一步中，除一个分量外，θ的所有分量（例如θi）都固定为在前一步中获得的值θi作为变量处理，θj=θ（n-1） j，j 6=i。相关矩阵选择为Γ=ρ（n-1） ，其中矩阵ρ（n-1） 在步骤n中估计-1并将在一段时间内定义。通过对θ和Γ的选择，残差向量可以很容易地计算为△ηj（tk；θi）=yj（tk）- ujtωj√t、 j=1，D、 k=1，L.相关的可能性L仅被视为θi的函数，那么我们定义θ？是使θ最小的值吗？i=argminθiLy（tL），y（t）θ（n）-1), . . . , θ（n）-1） 我-1，θi，θ（n）-1） i+1，θ（n）-1） 2D，ρ（n）-1).最后，θiis的值更新了θ（n）i=θ？i、 利用θ（n）的值，我们计算残差η（n）i（tk）=yi（tk）的向量- u（n）itω（n）i√t、 i=1，D、 然后是其外积的样本平均值Q（n）ij=LLXk=1η（n）i（tk）η（n）j（tk）。然后按照以下公式计算每一步要使用的相关矩阵ρ（n）ij=Q（n）ijqQ（n）iiqQ（n）jj。我们重复这个过程直到θ（n）i- θ（n）-1） 我< γθ（n）-1） 我, i=1，2D，ρ（n）ij- ρ（n）-1） ij< γρ（n）-1） ij, i=1，D、 j=1，i、 γ=10时-4.我们将参数的最终值表示为^θ={^λ，…，^λD，^ω…，^ωD}，^Γ，^Γ，^ΓD-1 D.在实证分析中，我们对风险向量的市场价格做了额外的假设，假设其组成部分是逐步常数。我们特别介绍了EONIA曲线的两个组成部分，一个用于最短到期日，另一个用于中期和长期到期日，以及每个较长期限曲线的一个组成部分。具体而言，在四条曲线的情况下，λ向量定义如下=λs，λs |{z}Ks，λl，λl |{z}K-Ks，λ3M，λ3M |{z}K3M，λ6M，λ6M |{z}K6M，λ1Y。