风险管理的多曲线HJM模型

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英文标题：
《Multi-curve HJM modelling for risk management》
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作者：
Chiara Sabelli, Michele Pioppi, Luca Sitzia and Giacomo Bormetti
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We present a HJM approach to the projection of multiple yield curves developed to capture the volatility content of historical term structures for risk management purposes. Since we observe the empirical data at daily frequency and only for a finite number of time-to-maturity buckets, we propose a modelling framework which is inherently discrete. In particular, we show how to approximate the HJM continuous time description of the multi-curve dynamics by a Vector Autoregressive process of order one. The resulting dynamics lends itself to a feasible estimation of the model volatility-correlation structure and market risk-premia. Then, resorting to the Principal Component Analysis we further simplify the dynamics reducing the number of covariance components. Applying the constant volatility version of our model on a sample of curves from the Euro area, we demonstrate its forecasting ability through an out-of-sample test.
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中文摘要：
我们提出了一种HJM方法来预测多个收益率曲线，用于捕捉历史期限结构的波动性内容，以便进行风险管理。由于我们以每天的频率观察经验数据，并且只针对有限数量的到期时间桶，因此我们提出了一个固有离散的建模框架。特别地，我们展示了如何通过一阶向量自回归过程逼近多曲线动力学的HJM连续时间描述。由此产生的动态有助于对模型波动率相关性结构和市场风险溢价进行可行的估计。然后，借助主成分分析，我们进一步简化了动力学，减少了协方差分量的数量。在欧元区的曲线样本上应用我们模型的恒定波动率版本，我们通过样本外测试证明了其预测能力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Multi-curve_HJM_modelling_for_risk_management.pdf (4.18 MB)

2022-5-7 03:45:54 上传

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关键词：风险管理的 风险管理 HJM Applications Quantitative

风险管理的多曲线HJM模型Chiara Sabellia*, Michele Pioppib+，Luca Sitziab+和Giacomo Bormettia，c2015年9月9日，比萨卡瓦列里广场7号，意大利首都比萨，56126，意大利首都比萨，米兰奥伦蒂广场，20154，意大利首都比萨，经皮特拉桑蒂纳123，意大利首都比萨，56122，Italyabstracts我们提出了一种HJM方法，用于预测多个收益率曲线，以获取历史期限结构的波动性内容，用于风险管理。由于我们以每天的频率观察经验数据，并且只观察到一定数量的到期时间段，因此我们提出了一个本质上是离散的建模框架。特别地，我们展示了如何通过一阶向量自回归过程逼近多曲线动力学的HJM连续时间描述。结果动力学有助于对模型波动率相关性结构和市场风险溢价进行可行的估计。然后，借助主成分分析，我们进一步简化了动力学，减少了协方差分量的数量。在欧元区的曲线样本上应用我们模型的恒波动率版本，我们通过样本外测试来证明其预测能力。杰尔：C32，C5，C51，G01，G10。关键词：HJM、多曲线、场景生成、主成分分析*通讯作者：奇亚拉。sabelli@sns.it，电话+39 050 509259。+本文中表达的观点、想法和意见均为作者以个人身份提出的，不应归于UniCredit S.p.A。

或作为UniCreditS代表或雇员的作者。p、 A.作者贡献：CS和GB设计研究；CS和GB进行了研究；CS、MP、LS和GBA分析数据；CS和GB写了这篇论文。www.quantlab。it1简介未来收益率曲线情景是金融风险管理领域许多活动的必要组成部分。实际上，几种证券的价格取决于利率期限结构的未来价值。因此，由此类工具构成的投资组合的预期风险敞口，以及VaR和预期空头等风险度量，都与基础利率的未来分布密切相关。因此，金融机构需要为未来一系列固定日期的不同到期时间（从几天到30年）的收益率预测置信区间。当建立一个模型来描述屈服曲线的演化时，主要的问题是自由度的数目太大。驱动期限结构的动力学是内在的多变量，因此需要对单个收益率的波动性以及不同期限收益率之间的相关性进行建模。因此，文献中提出的许多方法通过依赖因子模型大幅降低了曲线的维数。这些因素的选择要么基于众所周知的降维技术，如主成分分析（PCA）或因子分析[1,2,3,4,5,6]，要么由经济直觉驱动。后一种方法是尼尔森和西格尔[7]首次提出的方法，后来由迪博尔德和李[8]开发。

它描述了三个动态因素——水平、坡度和曲率——结合因子载荷的屈服曲线。这三个因素是根据历史产量时间序列估计的向量自回归动力学发展而来的，而负荷函数的结构是固定的。有关因子模型的相关工作有[9,10,11,12,13]，但几乎没有一个直接考虑预测。最近，有人提出了一个丰富的动态三因素模型“a la Nelson and Siegel”，以解释央行干预导致的政权变化[14,15]。引入隐马尔可夫链来模拟宏观经济变量（如GDP和CPI增长）的演化，这些变量会影响因素动态。文献[16,17]对区域切换因子模型进行了系统研究，该模型包括长记忆效应和异质性。对于来自非限制性分析的因素或基于经济直觉选择的因素，因素动力学的特征化通常是通过参数化方法来探索经验数据的信息内容。一种不同的方法是Barone Adesi等人在[18,19]中提出的非参数过滤历史模拟。该方法初步计算收益率曲线模型中的标准化残差，该模型具有状态相关的条件均值和波动率。然后，对残差进行自举，生成不同到期日收益率的样本情景。这种方法不依赖于任何分布假设，因此能够解释相当广泛的历史模式。

过滤历史模拟的最新应用可在[20]中找到，作者使用函数梯度下降法计算标准化残差。关于未来收益率曲线预测的不同但相关的文献流采用了经典的建模方法，如短期利率模型或瞬时远期利率模型。在这些框架中，套利的缺失自动嵌入到支配进化的随机微分方程中。如[21]所述，没有套利可能意味着存在一个理想的资产，以便为利率相关的投资组合获得可靠的损益分布。在[22]等有效模型中，收益率曲线与短期利率r（t）之间存在指数关系，P（t，t）=exp{a（t，t）- B（t，t）r（t）}，其中A（t，t）和B（t，t）的函数形式是固定的，以确保没有套利。在第二类模型中，首先由Heath Jarrow和Morton（HJM）[23]引入，术语Structure与瞬时正向曲线相关，P（t，t）=exp{-RTtdu f（t，u）}。这里没有套利限制了风险中性度量中f（t，t）在其波动函数方面的漂移系数。为了获得一个能够描述收益率曲线在客观概率测度下演化的模型，必须添加一个与市场风险价格成比例的漂移修正。衡量历史数据隐含的风险价格的问题总的来说相当具有挑战性。[24]中讨论了建立可行估计程序的尝试，作者考虑了r（t）的多因素动态和风险市场价格的许多不同参数。在这方面，HJM模型的一个优点是，它们对风险价格的误判不那么敏感。

如[21]所述，其估计错误对远期利率演变的影响相对小于短期利率的演变。在HJM框架中生成利率情景的最新尝试见[21]。在本文中，我们提出了一种可行的最大似然方法，该方法提供了对市场风险溢价的统计显著估计，并返回了历史演变。正如我们在第3节中所描述的，利率市场——尤其是在以信贷危机为中心的时间窗口内——隐含地引用了非常积极的风险溢价。这意味着对HJM模型的漂移进行了强烈的负修正，该模型将未来利率曲线相对于观测到的正向曲线向下推。到目前为止，我们讨论的所有方法都描述了单一收益率曲线的演变。2007-2008年的流动性/信贷危机已经极大地改变了利率格局，导致了多重收益率曲线情景[25]。在旧金融市场中，远期利率协议（FRA）和零息债券（ZCB）价格的报价由简单的无套利规则关联。在流动性问题和任何交易对手都不能被视为无风险实体的证据的压力下，危机后的货币市场似乎是一个每个正向利率都充当不同资产的地方。因此，今天需要一套收益率曲线，而不是一条，以适应市场上的利率衍生品价格：欧元隔夜指数平均值（EONIA）曲线，即欧元区隔夜借款的收益率期限结构，以及300万欧元、600万欧元和1Y欧元。虽然前者通常被认为是无风险利率的最佳代表，但后三者对与更长期限相关的信用和流动性风险很敏感。关于这个话题的介绍性讨论，请参见[26,27]。

在图1中，我们展示了根据期限曲线计算的两年期连续复合收益率之间差异的增加 = 3M、6M和1Y以及EONIA ZC产量，到期时间相同。图1应该在这里。在文献中，几位作者提出了不同的方法，将经典利率模型扩展到新的多收益率曲线情景。所有这些尝试都具有相同的定价视角，尽管它们捕捉到了不同的方面：Libor市场模型[27,28,29]、HJM模型[30,31,32,33,34,35]、乘法利差[25,36,37]、外币方法[38]、SABR模型扩展[39]和短期利率模型扩展[40,41,42,43]。关于这一主题的综合评论，我们参考亨拉德的书[44]。据我们所知，这些模型中没有一个是为了同时对所有收益率曲线的置信区间进行可靠预测而进行研究的。在本文中，我们以HJM框架第2.1节的多曲线延伸为起点，对EONIA曲线进行精确定义。在[34]中提出。我们通过在时间变量和时间成熟度的离散设置中重新表述这种建模框架，开发了一种通用的向量自回归表示。作为动力学对象，我们采用瞬时远期期限结构来描述无风险曲线，FRA利率来描述更长的期限曲线。因此，我们推导出了一阶jointVector自回归过程（VAR（1）），该过程解释了EONIA曲线和更长期限曲线的演化。该表示法适用于对收益率时间序列的波动相关性结构和市场风险溢价进行可行的最大似然估计，因此能够为属于不同期限结构的收益率未来值生成密度分布。

据我们所知，这是在新的多曲线环境中预测收益率信心水平的首选方法，包括市场风险溢价，因此与历史观察完全一致。我们的设置也非常适合PCA的应用。我们展示了如何减少与每次到期日桶相关的布朗冲击的数量，只保留最小数量的主成分，这有助于解释至少95%的总方差。更详细地说，我们选择了恒定（时间）波动率，并根据EONIA和300万欧元期限结构的可用历史数据估算模型。从一个高维对象开始，即我们需要22个桶来描述两条收益率曲线，我们选择了一个较小的主成分数，即始终低于9，这说明了大部分相关性。在模型尺寸显著降低后，我们设计了一个产量曲线投影的数值程序，然后进行了样本外测试。为了评估我们特定模型的预测能力，我们考虑了[45,46]中描述的无条件覆盖测试。对于95%的覆盖率和较短的预测范围，我们得到了非常满意的结果。该方法的一些不足之处出现在更极端的平均概率和更长的期限，尤其是对于最短的海棠曲线成熟时间。这种影响的部分原因是，欧洲央行（ECB）的货币政策在很大程度上决定了曲线动态。欧洲央行的干预以离散变化的形式影响隔夜利率水平，布朗冲击驱动的模型很难复制这种变化。

为了明确纳入欧洲央行的政策，必须转向专门设计的建模框架，以捕捉目标利率的离散变动，以及从紧缩到放松的制度转变[47]。此外，就无样本表现而言，[47,48]证明，使用基于调查的欧洲央行政策利率预测增强了未来利率的样本外预测能力。本文的组织结构如下。第2节介绍了Heath Jarrow Morton建模框架，并详细介绍了控制动力学的方程的一阶向量自回归（VAR（1））表示的推导。我们还讨论了用于生成未来情景的数值方法以及用于估计模型参数的方法。第3节介绍了我们对欧元区收益率曲线数据样本的应用，并展示了我们的反向测试程序的结果。最后，在第4节中，我们总结并展望未来。2模型在本节中，我们描述了多重收益率曲线环境下的模型。初步地，我们回顾了希思·贾罗·莫顿设定的标准公式，并指定了模型，以便有效地描述历史时间序列的协方差结构。我们用Y（t，x）表示在时间t观察到的（连续复合）收益率和到期时间x，其与ZCB价格P（t，t+x）的关系由P（t，t+x）=exp给出{-xy（t，x）}，（1）其中t=t+x是合同的到期日。由于根据到期时间桶报告历史领域的期限结构很常见，在我们的描述中，x起着中心作用。

HJM框架中最显著的数量是瞬时远期汇率（t，x）定义的asf（t，x）：=-xlnp（t，t+x），（2）或者，作为Y（t，x）的显式函数，asf（t，x）=Y（t，x）+x的等价项xY（t，x）。（3） 2.1 HJM框架的向量自回归表示我们模型的起点是Heath Jarrow Morton框架，其中收益率曲线的动态根据瞬时远期利率动态进行重新表述。在风险中性测度下，驱动f（t，x）演化的随机微分方程（SDE）如下所示=σf（t，x）·Zxduσf（t，u）+xf（t，x）dt+σf（t，x）·dW（t），（4），其中σf（t，x）和W（t）分别是波动函数和独立布朗运动的N维向量。漂移项由两部分组成。FirstComponent对应于HJM漂移条件，确保没有套利，并且在指定波动向量σf（t，x）后完全确定。第二项是最初由Musiela[49,50,51]引入的差异修正，它解释了远期利率动态的到期时间x。就差异系数而言，目前我们对波动向量没有限制，它们可以是确定性的、局部的（即σf（t，x）是f（t，x）的函数），甚至依赖于一些额外的随机过程。正如我们在导言中提到的，学术和专业文献提供了该建模框架对多收益率曲线环境的若干扩展。在我们的论文中，我们特别提到了莫雷尼和帕拉维奇尼[34]的工作。欧元区隔夜借款利率为欧元隔夜指数平均值（EONIA）。它代表隔夜指数掉期（OIS）的基础。