识别多向逆向选择模型

当限制为Sθ时，分配规则ρ（·）是一对一的，因此它的逆ρ-1（·）存在于Q（x）上，但由于聚束，仅限于Sθ时不存在，因此，识别策略不同。在接下来的内容中，我抑制对X的依赖，直到它是相关的。LetM（·）和m（·）分别是q的分布和密度。由于平衡间接效用函数U*是唯一的，这意味着存在一个与模型结构[Fθ（·），C（·）]相对应的唯一分布M（·）。因此，如果给定m（·）存在满足方程（8）的（唯一）对[Fθ（·），C（·）]，则该结构称为识别。设θ（·）：Q-→ Sθ是ρ（·）的倒数，当限制在Q上时，即。，Q∈ Q、 ~θ（Q）=ρ-1（q）。同样，letM*（q） 还有m*（q） 是q的截断分布和密度∈ Q（x）定义见Rothenberg（1971）和Chen、Chernozhukov、Lee和Newey（2014），分别了解参数和（半）非参数设置中的局部识别。自从你*（θ） 在Sθ上是凸的，逆ρ-1（·）解q=ρ（θ）的存在（Kachurovksii，1960）。更多细节请参见Parthasarathy（1983）和Fujimoto and Herrero（2000）。分别为16 G.芳醛，as:M*（q） ：=Pr（~q<q | q）∈ Q） =Pr（θ<θ（Q）|θ）∈ Sθ）=ZSθ{θ<~θ（q）}fθ（θ|θ）∈ Sθ）dθ；M*（q） ：=m（q）RQm（＠q）d＠q=f（＠θ（q））RQf（＠θ（＠q））d＠q＠det（d＠θ）（q）＠，（9）其中det（·）是行列式函数。然后是高类型和高质量之间的双射*（q） =Pr（ρ（θ，Fθ，C）≤ q | q∈ Q） =Fθo ρ-1（q | q∈ Q） （10）这将是识别的关键关系。在继续之前，我先介绍一些新的速记符号。设Fθ（·| j）是CDFθ（·）限制在集合Sjθ中，nj是购买q的消费者集合∈ Qj，对于j=0，1，2.4.1。线性效用。我首先证明，在没有任何进一步限制的情况下，Fθ（·2）可以在Q上识别，C（·可以在Q上识别。

当效用函数为线性时，高类型的消费者最优性意味着边际效用θ等于边际价格P（·）–价格函数的梯度。因此选择q的类型∈ 必须满足P（q）=θ=＠θ（q），它标识了所有i的（伪）类型θi=＠θ（qi）∈ [N] 。该识别论点使用了需求侧最优性和价格梯度。当效用函数为非线性（第4.3小节）或存在离散选项且无法计算价格梯度（第6.4小节）时，我们将失去这种识别。由于限制于Sθ的∧θ（·）是双射的，我们可以识别类型的截断联合分布，或者简单地识别高类型的联合分布asFθ（ξ| 2）=Pr（q）≤ (P）-1（ξ）|Q∈ Q） =M*((P）-1(ξ)).接下来，我考虑成本函数的识别。平衡分配条件（4）是α（θ）=0，ordiv{fθ（θ）（θ）- C(U*))} = -f（θ）。多维逆向选择17如果我们用sθfθ（t）dt除以两边，我们得到div（fθ（θ）RSθfθ（t）dt（θ）- C(U*)))= -fθ（θ）RSθfθ（t）dtdivM*（q） |det（D|θ）（q）|（|θ（q）- C（q））= -M*（q） | det（D)θ（q）| divM*（q） | det（D）P（q））|(P（q）- C（q））= -M*（q） | det（D）P（q））|，其中第二个等式来自等式（9），最后一个等式来自定价函数曲率的定义，即DP（q）=D|θ（q）。这意味着成本函数C（·）是偏微分方程（PDE）的解，其边界条件为β（θ）=0Q、 也就是说，m*（q） | det（D）P（q））|(C（q）- P（q））·-→n(P（q））=0。成本函数C（·）位于凸集上，被定义为该偏微分方程的唯一解（Evans，2010）。为了将其扩展到整个领域，我们需要：假设2。

成本函数C:Q→ R是q的实解析函数∈ 问：关于C（·）具有分析性的假设是一种技术假设，假设C（·）是完全可区分的，并且可以（唯一地）表示为泰勒系列。因此，它允许任何凸多项式、三角函数和指数函数。一旦在开凸集Q上确定了代价函数，分析扩展定理意味着该函数对整个域Q有唯一的扩展。由于代价函数是完全不特定的，除了凸性，我们需要限制函数的空间，使其能够扩展到任何地方。假设成本函数是解析的，这是足够的。毫无疑问，这比我迄今为止的任何假设都要有力，但这种假设也被用于非参数识别的文献中。Newey and Powell（2003）假设密度属于指数族，这是分析性的（见Liese and Miescke，2008，引理1.16），因此具有唯一扩展；Fox、il Kim、Ryan和Bajari（2012）也假设了真实的分析性，以确定随机系数logit模型；Fox和Gandhi（2013）假设效用函数是实分析的，以识别随机效用模型。这个结果在下面正式说明。定理4.1。在假设1-（i）-（iv-a）、（v）和2下，模型结构[Fθ（·2），C（·）]是非参数识别的。18 G.芳基（0，τ）（τ，0）SθSθSθqqqqfigure 2。Rochet Chon\'e的最优产品线。很明显，ρ（·）的单调性是识别的关键，由于Sθ的单调性，我们失去了识别，如下面的例子所示，该例子取自Rochet Chon\'e。例子4.1。设J=2，代价函数为C（q）=C/2（q+q），类型在Sθ=[0,1]和q=0以及P=0上独立且均匀分布。

然后，得到了最优间接效用函数U*在三个区域有不同的形状：（i）在非参与区域Sθ，U*(θ) = 0; （ii）在聚束区Sθ，U*只取决于θ+θ；（iii）在完全屏蔽区Sθ，U*是严格凸的。在Sθ上，ρ（θ）=0，这意味着α（θ）=div（θf（θ））+f（θ）=3和β（θ）=aonSθ。分隔Sθ和Sθ的边界是一条直线τ=θ+θ，其中τ=√. 关于Sθ，ρ（θ）=（ρ（θ），ρ（θ））=（ρb（τ），ρb（τ）），θ+θ=τ。换句话说，所有类型为θ+θ=τ的消费者都得到相同的待遇，他们得到相同的ρ（τ）=ρ（τ）=ρb（τ）。所以α（θ）=3- 2cqb（τ）和onSθ，β（θ）=（cρ（θ）- θ） ·^n（θ）=-cρb（τ）。如果α（θ）满足扫掠条件≥ 0和β（θ）≥ 0和在每个束上τα（θ，τ- θ） dθ+β（0，τ）+β（τ，0）=0，可用于求解qbasρb（τ）=3τ4c-2cτ。那么Sθ={θ：τ≤θ+ θ≤ τ} 式中，τ由ρ（·）的Sθ上的连续性条件确定，即ρb（τ）=0。现在，定义τ=ρ-1b（q）为最佳（聚束）机制的逆。然后，识别是确定（θ，θ）与τ=θ+θ的联合cdf，这是不可能的。总而言之：卖家将消费者分为三类，只完美地筛选出排名靠前的消费者。然后，我们可以使用消费者做出的多维逆向选择19的分布来确定他们的类型和成本函数。为了理解非对称信息的福利后果，我们可能还想了解，相对于那些未被完全筛选但也未被排除在市场之外的中等类别，信息的异质性更为重要。上面的例子表明，如果我们将效用函数限制为线性且独立于消费者特征，那么因为聚束也是线性的，所以我们无法识别类型。4.1.1. 笔记

这也是一个适当的时机，可以暂停并探索仅使用消费者端最优条件进行识别而忽略供应端的后果。为了理解这一论点，有必要考虑离散类型，同时将识别成本函数的问题放在一边。为此，假设J=2和Sθ分别为{θ1,1，θ1,2}，{θ2,1，θ2,2}，{θ3,1，θ3,2}，概率为{f，f，f}。假设最优分配问题是，θ被分配成一个束q=（q1,1，q1,2），但剩下的两种类型被分配成束q=（q2,1，q2,2），P（·，·）是定价函数，并且jP（·，·）是关于jt的偏导数。假设数据由选择价格对{qi，Pi:i=1，…，N}和letmand mbe组成，分别是选择QA和q的消费者的分数。如果我们忽略供给侧而只使用需求侧，那么我们将使用θi=（θj，1，θj，2）=(P（qj，1，qj，2），P（qj，1，qj，2））每当qi=（qj，1，qj，2），j∈{1, 2}. 然后我们将得出结论，只有两种类型的消费者吉文比(P（qj，1，qj，2），P（qj，1，qj，2）），j=1，2带有概率（m=f，m=f+f），这不是正确的参数。接下来的一步自然是探索Xs的变化来识别模型。特别是，我想问：如果效用也是观察到的特征X的函数，那么我们可以利用这些观察到的特征的变化来确定介质类型，即聚束的类型吗？在下面的小节中，我表明答案是肯定的。在效用为双线性的假设1-（iv-b）下，如果观测到的特征X（统计上）与θ类型无关，并且如果X的维数与θ的维数相同，那么我们可以识别fθ（·1）。我滥用符号，用偏导数来表示初始差。20克芳香族化合物4。2.双线性效用。

在本小节中，我假设基本效用函数满足假设1-（iv-b）和Xis，与θ无关。回想假设1-（iv）Xdenotes表示那些与productcharacteristics交互的特性，而Xdo表示不。假设3。特征X=（X，X）和θ是相互独立的。特别地，假设特征为X且未观测到的θisV（q；θ，X）=JXj=1θjX1jqj的代理选择q的净效用- P（q）。（11） 现在，X影响效用，因此它也会影响产品线和价格函数，因为现在它们将取决于X。然而，一旦我们将X=X的值（卖方观察到的）提取出来，并将产品质量的测量单位从q改为q:=X·q，我们就可以应用定理4。1表示f（θ| 2）。接下来，我展示了我们也可以使用外生变量inxt来识别聚束区Sθ上的密度f（θ| 1）。因此，Xis的独立变化是识别的一个重要假设。很明显，我们将使用符号fθ（·| 1）来说明它是θ的密度∈ Sθ。在上面的例子中，我们看到所有类型为τ=Pj的试剂∈[J] θ选择相同的q（τ）。既然代理在X中有所不同，那么代理是根据W=Pj组合的∈JθjX1j，换句话说，具有相同W的所有代理自选择ρ（W），即ρ（θ）=（ρ（θ），ρJ（θ））=（ρ（W），ρJ（W））对于所有θ∈ Sθ。换句话说，W是一个有效的统计量，激励相容性要求q（W）在W中是单调的，因此是可逆的。所以从观测到的q，我们可以确定指数W:=ρ-1（q）。

然后，识别问题是，当nw=θX+·θ+θJXJ时，从（W，X）的节理密度fW，X（·，·）中恢复fθ（·）。通过将两边乘以| | X，将上述等式标准化||-1，它给出sb=θD+·θJDJ=θD，其中D=| | X||-1Xis是J的一个元素- 量纲单位球SJ-1:={ω ∈ RJ:| |ω| |=1}，B=| | X||-1W∈ R.那么给定D=D的B的条件密度是fB | D（B | D）=ZSθfB | D，θ（B | D，θ）fθ（θ| 1）Dθ=Z{B=θ·D}fθ（θ| 1）Dσ（θ）：=Rfθ（B，D）。多维逆向选择21Rfθ（b，d）被称为Radon变换（Bracewell，1990；Helgason，1999）offθ（·1）。由于条件密度fB | D（·|·）与fB，D（·，·），fθ（·| 1）的识别等同于表明Rfθ（·，·）是可逆的，因此我们需要有效的x变化。为了便于说明，考虑一个极端情况，其中Xis是常数向量（a，…，aJ）∈ SJ-1，那么我们不能从B=aθ+···+aJθJ中识别fθ（·| 1）。让Chh（·）表示函数h的傅里叶变换，soChRf（ξ）=Z∞-∞E-2πibξRf（d，b）db；Chf（ξd）=Z∞-∞E-2πi（θ·ξd）fθ（θ| 1）dθ是分别在ξ和ξd处对固定d进行计算的Rf（d，b）和fθ（·1）的傅里叶变换。ChRf（ξ）已知于fB，D（·，·），但Chf（·）未知。为了进行识别，我使用了Randon变换的傅里叶变换的以下特性。对于两个变量h（y，y）的函数，其傅里叶变换为Chh（t，t）=RRh（y，y）e-2πi（ty+ty）dydy，如果我们把它的投影h（·，·）放到y上- 轴p（x）=Rh（y，y）dy然后我们有chh（t，0）=ZZh（y，y）e-2πItydy=Z∞-∞§p（y）e-2πitydy=Chp（t）。为了便于解释，如果有人稍微滥用了符号，并从应该评估函数的差异中抽象出来，可以看到thatChh（t，0）是ChRf（t），Chp（t）是Chf（t），这意味着（未知的）Chf（·）等于（已知的）ChRf（·），从而将fθ（·| 1）识别为Chf（·）的四阶倒数。

投影切片定理（Bracewell，1956）形式化了这种直觉，并保证对于固定的d，Chf（ξd）=ChRf（ξ），因此fθ（θ| 1）=Z∞-∞e2πiθ·ξChRf（ξ）dξ。定理4.2。在假设1-（i）-（iv-b）、（v）和2和3下，密度fθ（·1）、fθ（·2）和成本函数C（·）是非参数识别的。直观地说，识别利用了一个事实，即具有相同θ但不同X的两个消费者将面临不同的菜单和不同的选择。因此，如果我们考虑固定X的总体，选择的变化必须取决于θ的变化。但是当我们改变x从x到x时，选择改变了，但是θ的变化保持不变，因为xθ。对于X的连续变化，我们有很多θ的矩条件，这使得我们可以表示条件选择密度，给定X是fθ（·1）的（混合）随机变换，混合密度是X的边缘密度。因此，即使平衡点不是双射的，我们可能能够利用消费者社会经济和人口特征的差异进行识别。由于Sθ中类型（已完全筛选）的接头密度即使没有X也已确定，因此该结果表明该模型已确定，可用于规格测试。即使这种直觉是正确的，我们也会将过度识别的讨论推迟到下一小节，当我考虑非线性效用函数时。我将证明，当效用是非线性的，如果我们可以使用离散（二进制）成本转移器，那么为了识别模型，成本转移器导致定价函数的梯度相交是有效的。注：到目前为止，我已经隐含地假设我们可以将观察到的选择{qi}分成三个子集。我们知道外部选项Q={Q}，所以剩下的就是确定聚束集Q。

如图2所示，productline QI与一维R+一致，这是Bunching的主要特征。在更高的维度中，集合Q4将由所有与低于J.4.3维度的正实数一致的乘积组成。非线性效用。在本节中，我考虑具有非线性的模型（假设1-（iv-c）），即（总）效用函数等于X·v（q；X）。为了保持论点清晰，我将忽略X，这相当于假设dx=0，并将重点放在Sθ上v（q）的识别上。一旦我们了解了数据中的哪些变化驱动识别，我们可以引入X并考虑过度识别的可能性。首先，我表明模型[Fθ（·2）、C（·）、v（·）]无法识别，因为两个最优性条件方程（2）和（10）不充分。由于θ类型和效用函数v（·）的曲率之间的可替换性，识别失败，如下所示。引理2。在假设1-（i）-（iv-c）和（v）下，模型{Fθ（·| 2）、c（·）、v（·）}，其中成本函数和效用函数的域分别被限制为QandSθ，无法识别。由于最优性条件（4）用于确定成本函数，我们可以将成本函数视为已知。我将抑制对x的依赖，让J=2，所以V（q；θ）=θV（q）+θV（q）- P（q，q）。设效用函数为vj（qj）=qωjj，ωj∈ （0，1），分布为Fθ（·，·| 2），密度为Fθ（·| 2）。观测{qj，pj}解一阶条件θjωjqωj-1j=P（q，q）qj=pj，j=1，2。多维逆向选择23利用变量的变化，（q，qj）ism的联合（截断）密度*q（q，q）=fθPωqω-1，Pωqω-1|2PP（1）- ω)(1 - ω） ωqωqω。设θj≡ θj×ωj~ Fˇθ（·| 2），其中Fˇθ（·| 2）=Fθ（·/ω| 2）与ω≡ （ω，ω）和ˋv（qj）=v（qj）/ω=qωjj/ωj是一个新模型。

很容易检查{qj，pj}解决了[v（·）、Fˇθ（·）]所隐含的一阶条件，并且（q，q）的关节（截断）密度为ˇm*q（q，q）=fˇθpqω-1，pqω-1.pp（1）- ω)(1 - ω） qωqω=fθpωqω-1，pωqω-1.pp（1）- ω)(1 - ω） ωqωqω=m*q（q，q）。正如我们在这里看到的，我们可以将类型增加到θ·ω，并将效用曲率减少到v（q）/ω，而不改变可观测的选择。因此，仅从一个市场获得的数据不足以进行识别。为此，莱兹∈ SZ={z，z}是一种外生的二元成本转移因子，它只影响成本函数C（·；z），并且独立于消费者类型和效用函数z（θ，v（·））。为了使这种转移者具有识别能力，它不仅必须改变成本，还必须改变相对价格；然而，我们没有必要观察Z。这种成本转移可能是法律上的某种外生变化，影响两个时期的价格，或者是两个独立市场的不同税收或营销费用。不管怎样，正如我将在后面展示的那样，Z是二进制的就足够了。这种排除限制意味着在成本转移系数的不同值下：a）类型的比率将等于成本转移系数不同值下价格斜率的比率；b）高类型选择的（多元）分位数是相同的。要了解Z如何帮助识别，请考虑引理2中的非识别示例。我将使用下标`∈ {1，2}在{P`（·），ρ`（·）}中，当Z=Z`，表示价格函数和分配规则。在引理2中，效用函数是v（q，q）=v（q）v（q）=（q） ω（q）ω！。