识别多向逆向选择模型

,κζdζ表示κ（·）的梯度，和jκ（·）表示梯度向量的j分量。标量函数κ（ζ）的离散度定义为divκ=Pdζj=1κ(ζ)ζj.8 G.芳醛定义2.1。一个标量函数κ：Rdζ→ R是一个实解析函数∈ Rdζ如果有δ>0和开球B（ˇζ，δ） Rdζ，0≤ r<δ带pk，。。。，kJ | ak，。。。，aKJ | rk+·+kJ<∞ 使得κ（ζ）=∞Xk=0··∞XkJ=0ak，。。。，aKJ（ζ）- ζ） k··（ˇζJ）- ζJ）kJ，ζ∈ B（ζ，δ）。解析函数的一个性质是，如果两个实解析凸函数在一个开集上重合，那么它们在Rdζ的任何连通开子集上重合。多元分位数（Koltchinskii（1997））：设（S，B，L）为概率测度为L的概率空间→ R是一个函数，使得g（q，·）是可积函数L- 几乎所有地方，g（·，s）都是严格凸的。LetgL（q）：=ZSg（q，s）L（ds），q∈ Rj是L的积分变换。设泛函L的极小点t（q）：=gL（q）- < q、 t>，q∈ rj可以称为an（M，t）- L相对于g的参数，其中<·，·>是RJ中的内积。g在s点的次微分∈ RJis表示为g（s）={t∈ RJ | g（s）≥ g（s）+<s- s、 t>}。因为核g（·，s）是严格凸的，gLis-凸的和次微分映射英语很好。这张地图的反面G-1L（t）是分位数函数，是所有（M，t）的集合- L的参数。因为g是严格凸的，G-1L是一个单值Map，因此我们得到一个唯一的分位数。只要满足上述条件，就可以选择任何核函数g来定义多元分位数。然后，从科尔钦斯基（1997）的命题2.6和推论2.9中，我们知道gLis是从RJ到RJ的严格单调同胚，对于任意两个概率测度Land L，等式gL=微光L=L。

对于本文，我们选择seg（q；s）：=|q- s|- |所以gL（q）=RRJ（|q- s|- |s |）L（ds），s∈ RJ，还有gL（q）：=Z{s6=q}（q）- s） |q- s | L（ds），（1）与逆G-1L（·）作为（唯一的）分位数函数。关于另一种定义，请参见切尔诺朱科夫、加里肯、哈林和亨利（2015）。例如，对于一维情形，对于任何t∈ （0，1）acdf M的所有tth分位数的集合正是gL的所有最小点的集合，t（q）：=1/2RR（|q）- s|- |s |+q）L（ds）- qt。多维逆向选择93。模型在本节中，我将介绍Rochet Chon’e的多维逆向选择模型。我的主要目标是介绍环境和条件，这些环境和条件对识别至关重要。我建议读者查阅主要论文，以查找任何遗漏的细节，包括证据。卖家提供包括产品线Q的选项菜单 Rdq+，所有可行特征的集合，以及相应的价格函数P:Q→ R+，面向对产品特性有不同品味的消费者。让θ∈ Sθ Rdθ+表示与Fθ（·）独立且相同分布（在消费者中）的这种口味特性（或简单类型）。让X∈ Sx Rdxdenote消费者观察到的社会经济或人口特征。如果θ型选择q∈ 并支付P（Q），让他的净效用为v（Q；θ，X）：=u（Q，θ，X）- P（q）。因此，我们假设效用函数在价格上是拟线性的。让C:Rdq+→R+是成本函数。卖方的目标是选择一组（凸）产品品种（在抑制对X的依赖后）Q和一个价格函数P（·），在给定成本函数C（·）和θ的情况下，使其预期利润最大化~ Fθ（·）。我从以下假设开始：假设1。设（i）dθ=dq=J.（ii）θi.i.d~Fθ（·）的平方可积密度F（·）>0a.e。

关于Sθ。（iii）净效用是Sobolev空间的一个元素（q；·X）∈ V（Sθ）={V（q，·X）|ZSθV（θ）dθ<∞,ZSθ(V（q，θ，X））dθ<∞},按照规范|V |：=RSθ{V（θ）+||V（θ）|}dθ.（iv）总效用函数在θ：u（q，θ，X）：=θ·v（q，X）=JXj=1θjvj（qj；X）中是乘法的，其中每个vj（·；X）是可微分且严格递增的，并且是：（iv-a）线性效用：vj（qj，X）=qj。（iv-b）双线性实用程序：dx≥ J使得X≡ （X，X）∈ RJ+dx和dx≥0，因此X=（X，…，XJ）表示那些与相应产品特征相乘的消费者特征，因此对于j=1，J、 vj（qj，X）=qj·Xj。10 G.ARYAL（iv-c）非线性效用：除了vj（qj，X）=vj（qj，X）·Xj，其中vj（·X）是两次连续微分严格拟凹函数，所有q均为满秩雅可比矩阵Dv（q；X），一切都与双线性情况相同∈ 和（vq）=0→∞vj（q）=∞.（v） C（·）是一个带参数的强凸函数, i、 e.Hessian矩阵的最小值为.假设1-（i）假设代理人在与合同属性相同的维度上存在差异。这意味着消费者未观察到的偏好异质性与产品特征的维度一样丰富。假设1-（ii）-（iii）是机械设计文献中的标准假设；更多信息请参见Rochet Chon\'e。假设1-（v）是成本假设的标准凸性。然而，假设1-（iv）需要更多解释。假设1-（iv）的第一部分假设效用函数在消费者类型θ和产品特征的某些函数中是可乘法分离的。

乘法可分性假设是一个重要的假设，在机构设计文献中被广泛使用；见Wilson（1993）和La Affont and Martimort（2001）。通常存在多个平衡点，但它不是唯一的，但至少有一个解决方案存在，但解决方案不是唯一的。假设的第二部分对产品特性进入效用函数的方式（从线性到非线性）进行了更多的分析。假设1-（iv-a）假设产品特征线性进入，不依赖于消费者特征X。假设1-（iv-b）假设某些消费者特征可能与产品特征相互作用。特别是，它假设消费者特征至少与产品特征一样多，即dx≥ J、 这样我们就可以把向量xin分成两部分：X，a，J-维向量和X，一个dx- J维向量，取决于它们是否与产品特征相互作用。产品特征qji的总效用，然后简单地表示为θ·qj·Xj。因此，在该规范下，产品特征仍呈线性输入，且与X无关。

假设1-（iv-c）概括了前面的假设，允许产品特性非线性地进入效用函数，并允许该函数也依赖于Xas，只要它在θ和Xj中是双线性的。需要注意的是，对于理论模型，效用函数u（θ，q；X）在θ中是可乘法分离的，因为我们可以看到一些例外，包括Carlier（2001）和Figalli，Kim，McCann（2011）。多维逆向选择11重新定义产品特性的测量单位，并用＠q:=v（q，X）代替q，因为卖方观察X并知道v（·，·）。因此，这三个假设的唯一目的是从实证应用的角度来看。由于在涉及产品特性时没有内在的计量单位，我考虑了三种不同的情况，并研究了每种情况下的识别问题。因此，即使假设1-（iv-c）允许最一般的函数形式，研究线性和双线性实用程序的识别将允许我分离识别模型参数的数据特征。为了便于注释，我将在下一节之前抑制对X的依赖。如果存在分配规则ρ：Sθ，则菜单{Q，P}是可行的→ Q满足激励相容性（IC）条件，θ ∈ Sθ，V（ρ（θ），θ）=maxq∈Q{θ·v（~Q）- P（~q）}≡ U（θ），（2）和个体理性（IR）条件，U（θ）≥ U:=θ·v（q）- P.{q}表示每个人都可以以固定价格P获得的外部期权。为了确保委托人的优化问题是凸的，我们假设P≥ C（q），因此卖方将始终提供q，即q3q。卖方选择一个可行菜单（q，ρ（·），P（q）），最大化预期性能∏=ZSθπ（θ）dF（θ）：=ZSθ{U（θ）≥ U} （P（q（θ））- C（q（θ）））dF（θ），（3），其中{·}是指示函数。

设S（ρ（θ），θ）为社会剩余，当θ类型被分配为q（θ）时，使得S（ρ（θ），θ）=U（θ）+π（θ），或者，等价地，S（ρ（θ），θ）={θ·v（ρ（θ））- P（ρ（θ））}+{P（ρ（θ））- C（ρ（θ））}。将这两个定义等同起来，我们可以用π（θ）=θ·v（ρ（θ））来表示特定类型的属性- C（ρ（θ））- U（θ）。Rochet（1987）证明，在假设1下，菜单{Q，ρ（·），P（·）}使得U（θ）解方程（2）（满足）当且仅当（i）ρ（θ）=v-1(U（θ）和（ii）U（·）在Θ上是凸的。这意味着选择一个最优契约{Q，ρ（·），P（·）}相当于确定每个θ通过参与得到的净效用（或信息租金）U（θ）。U（θ）也决定了相应的最优分配规则ρ（θ）=v-1(根据这个结果，我们可以把卖方的问题归结为选择U（θ）∈ H（Sθ），最大化预期的结果∏（U）=ZSθ{θ·U（θ）- U（θ）- C（v）-1(U（θ））}dF（θ），受IC和IR约束。如上所述，全局约束等价于U（·）的凸性，即DU（θ）≥ 0，IR等于U（θ）≥ U（θ）表示所有θ∈ Sθ。Rochet Chon\'e证明，假设1足以保证存在唯一的最大化子U*(·). 下面我们将描述溶液的一些关键性质。当只有一维不对称信息（J=1）时，我们可以忽略不等式约束，找到一个无约束的最大化子，并验证这些不等式约束是否满足。假设类型分布是规则的（逆风险率[1]）- F（·）/[F（·）]严格降低）足以保证满足约束条件，且平衡总是有完美的筛选。然而，当J>1时，Rochet Chon表示这种事后验证的方法不起作用，永远不可能排除Bunchingc。

在一篇重要论文中，阿姆斯特朗（1996）提出了各种假设，这些假设足以确保完美筛查。RochetChon’e已经证明，这些假设是非常有限的，并且是不可满足的。此外，我认为，施加这些限制来简化问题，与本文的非参数识别目标是不一致的。Rochet Chon’e的一个关键结果是，对于多维类型，卖家总是发现无法完美筛选消费者，因此（对于某些类型的子集）聚集是不可避免的。而且，由于对两种不同类型的消费者选择相同的选择，这使得识别更加困难。在平衡状态下，消费者将被分为三种类型：被筛选出的最低类型Sθ和有效{q}，被捆绑并提供“中等类型”捆绑的中等类型Sθ和被完美筛选的高类型Sθ。下一步是确定这些子集，这将取决于模型参数。如果一个间接效用函数U*（·）是最佳的，然后提供任何其他可行的功能（U*+ h） （·），其中h是非负且凸的，必须降低卖方的预期利润，即e∏（U*) ≥ E∏（U）*+ h） 。这个不等式意味着预期利润在h方向上的方向导数必须是非负的*（·）解决方案是否有效：（a）U*（·）是一个凸函数，对于所有多维逆向选择，13凸非负函数h，E∏（U*)H≥ 0; 和（b）E∏（U）*)（U）*- U） =0和（U）*- U）≥ （无约束）问题的Euler-Lagrange条件为πU*-JXj=1θjπ(朱*)= 0，或，α（θ）：=-[f（θ）+div{f（θ）（θ）- C(U*))}] = 0.（4）直观地说，当θ型间接效用（信息租金）从U略微增加时，α（θ）衡量卖方的边际损失*给你*+ H

或者，定义ν（θ）：=S（θ，q（θ））q、 边际失真向量，那么α（θ）=0相当于div（ν（θ））=-f（θ），这是失真和信息租金之间的最佳权衡。设L（h）=-E∏（U）*)这是卖家的损失*对于变化h，如果卖方增加U*在someh方向，卖方的边际损失可以表示为l（h）=ZSθh（θ）α（θ）dθ+ZSθh（θ）(-ν（θ）·^n（θ））|{z}=β（θ）dσ（θ）：=ZSθh（θ）du（θ），（5）其中dσ（θ）是边界上的勒贝格测度Sθ，^n（θ）是向外法线，du（θ）：=α（θ）dθ+β（θ）dσ（θ）。如果我们考虑那些参与的人，即美国*(θ) ≥ U（θ），这个边际损失L（h）必须为零。自从h≥ 表示u（θ）=0，所以α（θ）和β（θ）：=-ν（θ）·^n（θ）必须等于零。对于那些不参与的人来说，这一定意味着损失是正面的。引理1。Rochet Chon’e提案4：最优U*卫星θ ∈ Sθ，α（θ）（>0，U*(θ) ≤ U（θ）=0，U*（θ） >U（θ），（6）和θ ∈ Sθ，β（θ）（>0，U*(θ) ≤ U（θ）=0，U*（θ） >U（θ）。（7） 全局激励相容条件很重要，因为它通过要求（U*-U） （θ）是凸的，并且还确定了子集Sθ，其中最优分配规则ρ（·）将使得某些类型被分配相同的数量q。让Sθ（q）是获得相同q的类型，即Sθ（q）={θ∈ Θ：ρ（θ）=q}={θ∈ Θ：U*（θ） =θ·q-P（q）}。如果你*（θ） 对于所有θ都是凸的，即，如果满足全局激励相容约束，则不存在聚束，并且Sθ将是一个空集。然而，在大多数情况下，凸性条件失效，因此会出现非平凡聚束。所以，你*对所有束都有效，并且激励相容性14 G.ARYALconstraint对任何两种类型的θ，θ都有约束力当且仅当它们都属于θ（q），即如果θ6∈ Sθ（q）但θ∈ Sθ（q）然后U*（θ） >U*(θ) + (θ - θ） Tq。定理3.1。

Rochet Chon定理2：假设1-（i）-（iv-a）和（v）最优解U*该问题的特征是三个子集Sθ、Sθ和Sθ，因此：（1）Sθ类型的正质量不参与，因为*（θ） =U（θ）。该集合的特征是u（Sθ）=1，即RSθα（θ）dθ+RSθβ（θ）dθ=1。（2） Sθ是一组被称为聚束区的“中间类型”，它被进一步细分为子集Sθ（q），使得该子集中的所有类型都有一个类型q，U*这是一部电影。u限制为Sθ（q）满足度：RSθ（q）du（θ）=0和RSθ（q）θdu（θ）=0。（3） Sθ是U*满足欧拉条件α（θ）=0，或等效div（ν（θ））=-f（θ），对于所有θ∈ Sθ∩ 在边界上的最优分配中没有失真，即在Sθ上β（θ）=0∩ Sθ。总之，类型空间（内生）分为三部分：排除Sθ并获得外部选项q的部分；那些被Sθ聚成一团并被分配了一些中等质量的q∈ 那么所有θ∈ Sθ（q）得到相同的量q；最后，那些完全屏蔽Sθ并分配了一些独特（定制）q的人∈ Q.图2显示了一个示例。还需要注意的是，分配规则ρ（·）是连续的。推论1。ρ（·）是连续的且ρ（θj，θ）-j）θj>0，（θj，θ）-j）∈ Θ.证据对于θ∈ Θ，自从杜*（θ） 因为θ=0U*（θ） 它也是连续的。同样，对于所有θ∈ Θ，ρ（θ）=q，因此是连续的。类似的参数表明ρ（θ）对所有θ都是连续的∈ Sθ。4.识别在本节中，我们研究了从每个消费者的三元组{qi，pi，Xi}的观察值中识别类型Fθ（·）和成本函数C（·）的分布。

设（q，p，X）i.i.d~ψp，q，X（·，·，·，·）＝ψp，q |X（·，··）×ψX（·）。卖方向代理人i提供（Q（x），P（x）（·）），并观察到特征Xi=x~ ψX（·）和未观测到的θi型~ Fθ（·），然后谁选择气∈ Q（x）和pi=P（x）（qi）使净效用最大化。卖方最优地选择菜单，从揭示原理来看，这相当于说多维逆向选择存在一种直接机制，一对唯一的（分配规则）ρ（·）：Sθ7→ Q（x，z）和（定价函数）Px（·）：Q（x）7→ R+，使得qi=ρ（θi）和pi=Px（ρ（θi））。此后，ρ（·）将代表最优分配规则。因此假设：a）消费者有关于θ的私人信息；b） 卖方只知道Fθ（·）和C（·），并设计a{Q，P（·）}以最大化利润；c）消费者优化，得出以下模型：pi=P[qi，Fθ（·），c（·）；X]qi=ρ[θi，Fθ（·），c（·）；X]，i∈ [N] ，k=1，2。（8） 如果对于任何不同的参数[~Fθ（·），~C（·）]，隐含的数据分布也是不同的，即ψp，q，X（·，·，·）6=~ψp，q，X（·，·，·），则称模型参数[Fθ（·），C（·）]是确定的。由于平衡是唯一的，所以每个参数的可观测ψp，q，X（·，·，·，·）都有唯一的分布（约万诺维奇，1989）。我的目标是确定一些低水平条件，在这些条件下，模型是全局识别的，这相当于表明（8）中的方程是全局可逆的。在平衡描述之后，我分别考虑了这三种类型的子集。对于每个X=X，让Qj（X）是θ型消费者做出的选择集∈ 分别表示j=0、1、2的Sjθ。由于q（·）是连续的（推论1），这些集合定义得很好。在下面的内容中，我将使用来自qk（x）的数据来识别限制为Sjθ的模型参数，从subsetQ（x）开始。