识别多向逆向选择模型

如前所述，让我们只关注高类型Sθ，并进一步假设QI对Z也是不变的。那么需求侧最优性（边际效用等于边际价格）可以写成P`（q）P`（q）=~θ\'1（q）·v（q）~θ\'2（q）·v（q）=§θ`1（q）·ω（q）ω-1~θ\'2（q）·ω（q）ω-1!, ` = 1,2.24克芳香烃溶液v（qj）表示`=1，2，并将这两个等式相等，得到∧θ（q）／∧θ（q）～θ（q）／∧θ（q）=P（q）/P（q）P（q）/P（q）！，i、 例如，类型的比率应该等于边际价格的比率，或者等价地θ（q）θ（q）=P（q）/P（q）·θ（q）P（q）/P（q）·θ（q）！。（12） 等式（12）反映了这样一个事实：当Z=zt时，为一个q支付更高边际价格的消费者必须比Z=zm时具有更高的类型∧θ（q）。所以，如果我们知道θs选择q=q（θ），当Z=Z时，我们可以使用定价函数的曲率来确定当Z=Z时选择相同q的θ。现在，考虑供应端。高级类型的分配规则是单调的（IC约束），所以我们知道：Fθ（t | 2）=Fθ（t，t | 2）=Pr（θ）≤ t、 θ≤ t | Sθ）=Pr（ρ（θ，z`）≤ ρ（t，z`）|Q）=Pr（Q）≤ ρ（t，z`）=Pr（q）≤ ρ（t，z`），q≤ ρ（t，z`）|Q）=M*`（ρ`（t）），`=1，2，其中第三个等式来自ρ（·，Z）的单调性和Z的外生性。这个关系独立于Z，它给出了以下等式：*（ρ（t））=M*（ρ（t））。因此，当Z=zareequal时，选择分布的（多元）分位数与当Z=Zρ（t）=（M）时的分位数相等*)-1[M*（ρ（t））]，（13）和自（M）*)-1.o M*（·）被识别，如果我们知道ρ（θ），我们可以识别ρ（θ）。因此，差异*)-1.o M*(ρ(τ)) - ρ（τ）），测量当Z从zto Z移动时，q的变化，同时在τ处定义q的分位数。

这种变化（13）与（12）一起可用于首先识别∧θ（·），然后v（q）作为（向量值）函数P（q）=θ（q）o v（q）。识别背后的直觉如下：从标准化θ开始≡对于某些束q=（q，q），θ（q）∈ Q、 并决定P（q），P（q），分位数τ=M*（q） ，和θ≡θ（q）来自（12）。使用（13），在Z=Z下用相同的分位数τ确定qq。然后，对于qdetermineP（q）和P（q），它可以确定θ=～θ（q）=P（q）o (P（q））-1.o θ这里，上标是束序列的索引，不应与效用函数vj（qj）=（qj）ωj混淆；θ上的上标也是如此。多维逆向选择25（与（12）相反）。然后，重复这些步骤，我们可以识别一个序列{θ，θ，…，θL，…}和相应的分位数。如果这些序列构成qt的一个稠密子集，那么函数∧θ（·）：Q×SZ→ Sθ在任何地方都被识别。我将这种直觉形式化为J≥ 下面2，从关于排除限制的假设开始。假设4。让Z∈ SZ={z，z}与θ和v（q）无关。和以前一样，消费者最优意味着P`（q）=θ`（q）ov（q），方程（12）的一般形式可以写成∧θ`（q）=P`（q）o~θ`（q）o (P`（q））-1.≡ r`，`（∧θ`（q），q）=r`，`（∧θ`（q），q）。。。rJ`，`（∧θ`（q），q）. （14） 接下来，假设4和高阶Fθ（t | 2）=M的激励相容条件*（q（t；z`）；z`）、z=1、2和henceM*`（ρ`（t））：=M*（ρ（t；z`）；z`=M*（ρ（t；z`）；z`）：=M*`（ρ`（t））。（15） 一旦我们确定了多元分位数，（15）就推广了（13）。分位数是分布函数的正确倒数，但定义多元分位数并不简单，因为RJ，J中缺乏自然顺序≥ 2.解决这个问题的一种方法是选择一个顺序（或秩）函数，并根据该顺序定义分位数。

我遵循科尔钦斯基（1997）提出的多元等式的定义；见第2节。他表明，如果我们选择一个连续可微凸函数gM（·），那么我们可以将分位数函数定义为gM（·）的某些变换的逆，表示为(（通用汽车）-1(τ) ∈ rj分位数τ∈ [0，1]。为了使这个过程有意义，必须在选择gM（·）的条件下，在分位数函数和联合分布之间存在一对一的映射。实际上，Koltchinskii（1997）表明，对于任意两个分布M（·）和M（·），相应的分位数函数是相等的(（通用汽车）-1(·) = (（通用汽车）-1（·），仅当M（·）=M（·）。此后，我假设这样一个函数gM（·）是固定的，那么（15）和（1）意味着ρ（τ）=(转基因的*)-1（M）*（ρ（τ））：=s2,1（ρ（τ）），τ∈ (0, 1). （16） 这意味着我们可以使用∧θ`（q）=r`，`（∧θ`（q），q）；ρ`（τ）=s`，`（q `（τ）），以识别∧θ`（·），对于`=1或`=2。因为对于aq，{θ≤ t | Z=Z`}等于{θ≤ r`，`（t，q）| Z=Z`}，即Pr（θ）≤ t | Z=Z`=Pr（θ）≤ r`，`（t，q）| Z=Z`），表示ρ`（r`，`（θ，q））=s`，`（ρ`（θ））；（17） 如果我们知道某个θ上的ρ`（·），那么我们就可以识别r`，`（θ，q）上的ρ`（·）。如前所述，让我们规范化v（q）=qf或某些q∈ 我们知道的类星体{q，θ=~θ（q）}。然后，这将允许我们识别{q，{θ（q）}，其中q=s1,2（q）和!θ（q）=r2,1（θ，q），这将进一步识别{q，!θ（q）}与q=s1,2（q）和!θ（q）=r2,1（!θ（q），q）等等。为了完成识别，我们必须从任何分位数ρ（τ）开始∈ Qand识别∧θ（ρ（τ）），可能通过构建上述序列。要做到这一点，我们可以利用假设4，这意味着对于一些θ差（θ- r2,1（θ，q））测量从zto zf切换到固定q时θ的变化，这样我们可以在来回移动zand z的过程中跟踪θ（·）。

但对于识别而言，重要的是这些“追踪”步骤停止，或者相当于某些（固定点）^q∈ Qthe映射（θ（·）- r2,1（θ，·））=0。因此，^q的边际价格是相等的就足够了(P（^q）=P（^q））。由于这是一个多维问题，固定点是吸引的（稳定的）也是很重要的，对于这一点，r`，`（·）（见（14））的所有J分量的斜率仅取决于qj>^qjor，而不管J是什么。假设5。存在一个^q∈ 例如r`，`（θ（q），^q）=θ（q）和sgn[（rj`，`（qj）- qj）（qj）- ^qj）]独立于j∈ {1，…，J}。假设5的两个组成部分都是技术假设，但它们是可测试的，因此可以从数据中验证。D\'Haultfoeuille和Foeevrier（2011）曾使用该假设来识别具有离散仪器和多变量误差的不可分离模型。在不丧失一般性的情况下，我假设初始归一化为固定点^q，因此θ=^θ（^q）是已知的。换句话说，θ等于q（θ，z）=^q。根据假设，我们也可以标准化Fθ（·）的一些分位数。我要感谢泽维尔·德豪特·乌伊勒指出了我与之之间的联系。假设多维逆向选择274P（q）o P（q）-1<<1，每当q<<^q。

然后，对于τthquantileq（τ）<^q:^θ（τ）：=（q）-1（q（τ）；z） =θ（q）=r1,2（θ（q），q）=[P（q）o P（q）-1] o~θ（q）=[P（q）o P（q）-1] o [r1,2（∧θ（q），q）]=[P（q）o P（q）-1] o [P（q）o P（q）-1] o [r1,2（∧θ（q），q）]…=rL[°θ（sL1,2（q（τ））），sL1,2（q（τ））]=limL→∞[P（q）o P（q）-1] o · · · o [P（qL）o P（qL）-1] o [r1,2（∧θ（qL+1），qL+1）]=(∞YL=1P（qL）o P（qL）-1） 极限→∞θ（s1,2（qL+1））=(∞YL=1P（qL）o P（qL）-1） 极限→∞θ、 （18）如果第一个等式只是定义，第二个等式是标准化，第三个等式从（17）开始，q:=s1,2（q=ρ（τ）），因此∧θ（q）=r1,2（∧θ（q），q），第四个等式从（14）开始。重复这个过程L次，得到第七个等式。最后一个等式使用以下事实：a）qL=s1,2（qL-1); b） q（τ）<^q；c） s1，2（·）是一个递增的连续函数→∞s1,2（qL）=s1,2（q∞) = s1,2（^q）；d）^θ（^q）=θ。由于分位数τ是任意的，所以我们确定了∧θ（·）。一旦θ的分位数函数被识别，我们就可以像以前一样识别C（·Z）。最优性条件α（θ）=0（方程（7））和方程（9）给出了M*k（q）| det（D|θk）（q）|（|θk（q）v（q）- C（q；zk））= -M*（q） | det（D)θ（q）|。微分θko v（q）=关于q的Pk（q）Pk（q）=Dθk（q）o v（q）+θk（q）o Dv（q）Dθk（q）o v（q）=DPk（q）-θk（q）o (v（q））o (v（q））-1.o Dv（q）Dθk（q）=DPk（q）o (v（q））-1.- Pk（q）o (v（q））-2.o Dv（q）表示| det（D)θ）（q）|。然后，在上述给定的iv中替换| det（D θ）（q）|M*（q） |det（D)θ（q）|(P（q）- C（q））= -M*（q） |det（D)θ（q）|，28 G.ARYAL（C（·zk）的偏微分方程），带边界条件m*k（q）| det（Dθk）（q）|(C（q；zk）- Pk（q））·-→n(Pk（q））=0，Q∈ 这个偏微分方程有一个唯一的解C（Q），因此，我们得到以下结果：定理4.3。

在假设1-（i）-（iv-c）和（v）以及假设2-5下，[Fθ（·| 2），v（·），c（·；Z）]被识别。为了识别密度Fθ（·| 1），我们可以使用定理4.2，除了现在的粗糙度函数isPj∈[J] θjX1jvj（qj，X）。因此，为了解释v（·，X），我们需要能够从Qto Q扩展效用函数∪ Q.对于识别策略，如果v（·）是一个真正的分析函数，比如成本函数，那么我们可以扩展v（·）的范围，以包括Q.假设6。设效用函数v（·，X）为实解析函数。然后，在假设6下，我们可以将测量单位从q改为q≡ v（q，X），然后应用定理4.2和总效用asPj∈[J] θjXjqj。4.4. 过度识别。既然我们知道识别取决于我们有多少成本转移因素，以及价格函数交叉的梯度是否存在，下一步就是分析观察到的特征对识别的影响。在我们开始之前，让我们假设非线性效用模型已识别。然后我问以下问题：如果效用函数依赖于X，且X独立于θ，那么模型是否过度识别？引理3。考虑高类型Sθ的最优分配规则，其中q=ρ（θ，X，z`）：=ρ`（θ，X）。假设Fθ（·| 2）和Mq | X，Z（·|·，·）有单位秒矩。然后CDFθ（·| 2）被过度识别。从之前的结果来看，Fθ（·2）和Mq | X，Z（·X）是非参数的。由于观察到了Z，我们可以抑制符号。我们想要使用数据{q，X}，Fθ（·| 2）和截断分布的知识*q | X（·| X）表示ρ（·，X）。设L（Sθ，Q）是联合分布L（Q，θ）的集合，边缘定义为ZθL（Q，θ）dθ=M*q | X（q |·）；ZQXL（q，θ）dq=Fθ（θ| 2）。

（19） 为此，考虑以下优化问题：minL（q，θ）∈LE（| q）- θ| | X）。多维逆向选择29换句话说，给定两组等体积的Sθ和QxO，我们想找到它们之间的最优体积保持映射，其中最优性是根据成本函数|θ来衡量的- q |。如果观察到q∈ 如果在平衡状态下生成q，那么解将把q映射到右θ，这样对于固定的X，q=ρ（θ；X）。最小化问题等价于tomaxL（q，θ）∈LE（θ·q | X），使得解最大化θ和q之间的（条件）协方差。当我们最小化二次距离或协方差时，我们的目标是找到将q“传输”到θ的最佳方法。设δ[·]为dirac测度或退化分布。Brenier（1991）和McCann（1995）证明了存在唯一的凸函数Γ（q，X），使得dL（q，θ）=dM*q | X（q）δ[θ=qΓ（q，X）]是解决方案。因此对于所有的q∈ QXwe确定其逆θ=qΓ（q，X），表示Fθ（·2）。因此，我们可以用Γ（q，X）来检验供给侧均衡的有效性。有很多方法可以考虑“规格测试”一种方法是通过使用方程（4）中的qΓ（q，X）（而不是θ）导致相同的平衡ρ（θ；X）。模型限制在本节中，我分别推导了假设1-（iv）–a、b和c下模型对观测值施加的限制。这些限制可用于测试模型的有效性。对于我们观察到的每一个代理人[pi，qi，Xi]，对于卖方我们观察到{z，z}。根据p=p`（q，z`）和q=ρ`（θ，z`）给出的模型。具体来说，假设研究人员观察到一系列价格和数量数据，以及一些代理和成本特征。

当效用函数满足假设1-（iv-a）（模型1）、假设1-（iv-b）（模型2）或假设1-（iv-c）（模型3）时，是否存在使数据合理化的可能性，从而使基础筛选模型是最优的？在所有三个模型中，我们都会问，在多维不对称信息存在的情况下，数据序列（Z，Xi，{qi，pi}）的限制是什么？只有当数据是由最优筛选模型生成时，我们才能测试ifand，而不知道成本函数、类型分布，对于模型3，效用函数？我们认为，当且仅当模型满足模型的所有限制条件时，可观测数据的分布才被模型合理化。换句话说，当且仅当模型中存在产生这种分布的结构（无必要）时，30 G.Aryal的分布是合理的。设D=（q，p），D=（q，p，X），D=（q，p，X，Z）分别分布为ψD`（·），`=1，2，3，和letM={（Fθ（·），C（·））∈ F×C：满足假设1- （一）- （四）- a） ，（v）}M={（Fθ（·），C（·））∈ F×C：满足假设1- （一）- （四）- b） ，（v）}M={（Fθ（·），C（·，Z））∈ F×CZ：满足假设1- （一）- （四）- c） 定义以下条件：C1。ψD（·）=δ[p=p（q）]×M（q），所有q的密度M（q）>0∈ Q∪ 问题2。有一个子集Q（Q是J）- 1维平面（超平面），单位为RJ+。C3。p=p（q）具有非消失梯度，且所有q均为Hessian∈ 问题4。让{W}={P（q）：q∈ Q} 。那么FW（w）=Pr（w≤ w） =M*（q） 让我*（·）>0是M的密度*（·）C5。设C（·）为微分方程的解M*（q） | det（D）P（q））|(P（q）- C（q））= -M*（q） | det（D）P（q））|，（20）带边界条件*（q） | det（D）P（q））|(C（q）- P（q））·-→n(P（q））=0.5.1。线性效用。

对于我们观察到的每个消费者，我们的目标是确定联合分布ψD（·，·）的必要和充分条件，以便通过模型M.引理5.1使其合理化。如果M将ψD（·）国有化，则ψD（·）满足条件C1。-C5。相反，如果已知Fθ（·0）和Fθ（·1），且ψD（·）满足C1。-C5然后有一个生成D证明的模型。如果因为Fθ（·）是这样的，密度Fθ（·）>0在Sθ和平衡分配规则ρ：Sθ上→ Q是连续的，df M（Q）定义良好，密度M（Q）>0。此外，由于平衡分配规则是确定性的，对于每个q，只有一个priceP（q），因此狄拉克测度完成了C1。Rochet Chon’e表明，在平衡状态下，聚束集QI是非空的，因此对于allq，m（q）>0∈ Q.此外，分配规则ρ：Sθ→ QI不是双射的，作为多维逆向选择31a结果，QA是RJ+的一个子集，完成C2。完美屏蔽类型的最佳条件为θ=P（q）：=θ（q），激励相容性意味着间接效用函数是凸的，因此P（q）具有非消失梯度和Hessian，从而完成C3。然后，我*（q） =Pr（q）≤ q） =公共关系(P（q）≤ P（q））=Pr（W≤ w） =FW（w），因此为C4。最后，如果我们用（9）替换α（θ）=0中的fθ（·），θ ∈ Sθ的边界条件β（θ）=0，θ ∈ Sθ∩ θ等于C5。只有现在，我们证明如果ψD（·）满足所有C1。- C5。然后我们可以确定一个使ψD（·）合理化的模型。假设C（·）满足C5，那么我们就可以确定成本函数C（·）。此外，它是实分析的，所以它可以唯一地扩展到C4中的所有Q。我们可以确定向量W，也就是θ类型，它满足一阶最优性条件。

因此，与选择q相对应的θ型的间接效用∈ QI是凸的，因此满足激励相容约束。此外，由于*（q） 密度fθ（·2）>0和fθ（·2）=Rθ∈{W:=P（q），q∈Q} fθ（θ| 2）dθ。就Fθ（·| 1）而言，我们可以忽略聚束，定义Fθ（θ）=M（q | q）∈ Q） 式中θ=P（q）。5.2. 双线性效用。现在我考虑双线性效用函数的情况。由于Xis是冗余信息，我们可以忽略它。这个模型和之前的模型唯一的区别是现在有X。所以为了保存更多的符号，我稍微滥用了符号，使用了相同的条件C1。- C5。，除了现在，它们是关于D的，例如C1。变成ψD（·）=δ[p=p（q；X）]×M（q）×ψX引理5.2。如果M将ψD（·）国有化，则ψD（·）满足条件C1。-C5。相反，如果Fθ（·| 0）已知，则dim（X）=dim（q）=J和ψD（·）满足C1。- C5然后有一个生成D的模型Mt。这个引理的证明与引理5.2非常相似，除了在这里菜单（分配和价格）依赖于Xb，但成本函数和类型CDF不依赖，条件密度fθ（·1）可以从数据中确定。考虑到篇幅，我省略了证据。5.3. 非线性效用。最后，我考虑非线性效用的情况。在继续之前，我再介绍两个条件。补体第四成份。如果ρτ（X，Z）是τ∈ q的[0,1]分位数∈ QX，Zthenρτ（·z）=ρτ（·z）。C6。选择M的截断分布*q | X，Z（·|·，·）具有有限的二阶矩，32 G.ARYALand，对于给定的Z=Z`（此后被抑制）MAXL（q，θ）的解∈L（Q，Sθ）E（θ·Q | X），其中L（Q，Sθ）如（19）所定义，由映射θ=对于一些凸函数Γ（q，X），求出了最优性条件（4）。对于非线性效用，条件C4。