错误指定的恢复

此外，qij=exp（bη）beibejbpij=bsijbpij。因此，我们使用特征向量be和特征值bη构造了一个满足（6）的随机贴现因子，以及一个满足（3）的概率度量。以这种方式构建的概率度量吸收了长期风险敞口的补偿。相反，如果从满足（3）和（6）的ANB和BP开始，那么可以直接证明，条目eei=1/Mi的向量是Q的特征向量。如果我们从矩阵QT中的t周期箭头价格开始，而不是矩阵Q中的一周期箭头价格，那么在相同的向量be和bη之前，QTBE=exp（bηt）。隐含矩阵由qtsaties构建：bPt=英国石油公司t、 与风险中性概率的相应结果（7）相反，Perron–Frobenius理论揭示了相同的t周期转移概率，无论我们使用的是单周期还是t周期。Hansen和Scheinkman（2009）以及Ross（2015）都使用这种方法来构建概率分布，但他们对其的解释不同。Hansen和Scheinkman（2009）通过复合随机折扣因子研究了多期定价。他们使用bpijgivenby（8）的概率比，并考虑以下分解：=exp（bη）beibejbpijpijpij=exp（bη）贝贝比比吉。因此，sij=exp（bη）贝贝bhij（9），其中bhij=bpij/pij提供了pij>0。Wh en pij=0，建筑的结构无关紧要。Hansen and Scheinkman（2009）和Hansen（2012）讨论了（9）右侧显示的单周期随机贴现因子的分解如何用于研究长期估值。第三项是概率比，在他们的分析中用作概率度量的变化。我们称之为长期风险中性概率。

或者，我们可以使用f ollowRoss（2015）和使用BS=[bsij]，其中bsij=exp（bη）贝贝构造随机贴现因子过程，并使bp=[bpij]表示投资者对马尔可夫转移的主观信念。很容易看出，对于一些数字eη和带有正项的向量ee，bhij不能写成bhij=exp（eη）eei/eej，因此分解为esij（1/mj）=exp（η）（1/mi）。隐含概率由bpij=qij/esij给出。通过概率bpij的预乘，对j求和，并叠加成向量形式，我们得到了一个向量ee的Qee=exp（eη）ee，其条目eei=1/mi。（9） 这是独一无二的。特别是我们有：sij=exp（bη）贝贝对某些人来说<==>比吉≡ 1.虽然Q中的资产价格数据唯一地确定了（bη，be），从而确定了过渡矩阵xbp，但它们不包含[bhij]的信息，因此也不包含ab ou t P。这突出了限制的关键作用（6）。需要额外的信息或假设来分离bpij=bhijpij中的右侧边项，并实施bHIJ≡ 1提供了这样一个假设。在整篇论文中，我们研究了[bhij]在资产定价结构模型中的作用，以及在经验数据中识别它的方法。1.3方程式（9）isSt+1St=exp（bη）的复合单周期随机贴现be·Xtbe·Xt+1bHt+1bHt！。随时间合成并初始化S=1，我们得到st=exp（bηt）be·Xbe·Xt呸！。因此，特征值bη贡献了t的指数函数，而特征向量贡献了随机贴现因子过程的马尔可夫状态函数。此外，还有Amantigale componentbH，其对数具有平稳增量。

对具有主观信念的投资者使用的随机贴现因子施加限制（6），意味着理性预期下的马尔丁-盖尔成分被吸收到投资者使用的概率中。如果投资者有合理的预期，且（6）未被强制执行，则鞅意味着一种度量方法，即ab吸收增长率不确定性敞口的长期补偿。在下一节中，我们将通过允许连续状态马尔可夫过程，在更一般的情况下讨论这些问题。正如我们将看到的，出现了一些额外的复杂情况。1.4示例在构建随机均衡模型时，潜在冲击的行为非常有趣。关于永久性冲击在多元分析中的作用，有大量的时间序列文献，也有相关的宏观经济文献，关于平衡模型。对于一些数字eη和一个有正项的向量ee，如果Bhij=exp（eη）eei/EEjq，将存在另一个Perron–Frobenius特征向量，其项由Beieian和一个特征值exp（bη+eη）给出。Perron–FrobeniusTheorem保证只有一个特征向量具有严格的正项（按比例），这意味着be必须是常数向量且bη=0。增长行为，允许快速增长。随机贴现f因子中的鞅分量刻画了可变投资期估值中风险调整的持久分量。正如我们将看到的，这些耐用组件的一个来源是对宏观经济环境的永久性冲击。但估值模型还有其他来源可以证明这种持久性，包括投资者的偏好。下面的例子说明，即使在这种n态马尔可夫链的情况下，也有可能获得随机折扣因子的非平凡鞅分量。例1.1。

基于消费的资产定价模型假设随机贴现因子过程是投资者对消费偏好的一种表现。假设均衡消费的增长率是平稳的，投资者的偏好可以用幂效用函数来描述。目前，假设我们施加理性预期。因此，边际替代率为xp(-δ)Ct+1Ct-γ=φ（Xt+1，Xt）。用这个公式，我们可以写出j=φ（Xt+1=uj，Xt=ui）。SIJJ条目中反映的消费的随机增长将导致随机贴现因子的鞅成分。对于某些向量c，当Ct=exp（gct）（c·Xt）且具有严格正的条目和已知常数gc且henceCt+1Ct=exp（gc）时，会出现异常c·Xt+1c·Xt.这里，GCC控制着消费的确定性增长，并且可能是从timeseries数据中重新揭示出来的。在本例中，sij=exp(-δ - γ-gc（cj）-γ（ci）-γ意味着eη=-（δ+γgc）和eej=（cj）γ。在主观信念和形式的随机贴现因子下：bsij=exp(-δ - γ-gc（cj）-γ（ci）-γ、 我们可以使用公式（8）恢复主观概率。Ross（2015）中描述了这种特殊情况，但在这里，除了确定性趋势外，消费是静止的。一旦消费过程受到永久性冲击，随机贴现因子将继承一个鞅分量，反映主观马尔可夫演化下的随机贡献。例1.2。同样，让Ct=exp（gct）（c·Xt）成为趋势平稳消费过程，其中c是代表世界各个状态消费的n×1向量。（代表性）投资者现在拥有克雷普斯和波特乌斯（1978）和爱泼斯坦和辛（1989）的递归偏好。我们考虑了替代的单一弹性和最初的强加期望的一个特例。

这些首选项的连续值满足递归vt=[1- 经验(-δ） ]log Ct+exp(-δ)1 - γloget[exp（1- γ） Vt+1]，（10）式中，γ是风险规避系数，δ是主观贴现率。对于本例，Vt=V（t，Xt=ui）=vi+gct，其中vi是时间趋势的状态Xt=uinet的连续值。设v为向量，输入i由viand exp[（1）给出-γ） v]是输入i的向量，由exp[（1）给出- γ） vi]。（翻译后的）连续值满足固定点方程：vi=[1- 经验(-δ） ]日志ci+exp(-δ)1 - γ测井[Piexp[（1）-γ） v]]+exp(-δ） gc（11），其中Pi是转移矩阵P的第i行。该等式给出了当前期间的持续值，作为当前期间消耗和贴现风险调整的未来持续值的函数。由于我们对有限水平解的兴趣，我们得到了一个定点方程。给出该方程的解v，表示v*= exp[（1）- γ） v]。隐含的随机折扣由以下等效描述捕捉：sij=exp[-（δ+gc）]cicj五、*jPiv*,或者，随时间复合，St=exp[-（δ+gc）t]c·Xc·XtH*tH*（12） 在哪*t+1H*t=Xt+1·v*Xt·（Pv）*).过程是H*是鞅。Perron–应用于P的Frobenius理论意味着Pv*= 五、*当且仅当v*有固定的条目。只要方程（11）的解v满足某些对（i，j）的vi6=VjV，我们就可以得出以下结论：*6=v*.对于本例，qij=pijexp[-（δ+gc）]cicj五、*jPiv*.解qbe=exp（bη）在向量e的正项yie ldsbej=cj，j=1，nbη=-（δ+gc）。这个Perron–Frobenius解（8）恢复了BPIj=pij给出的转移矩阵xBP五、*jPiv*.恢复的过渡矩阵XBP吸收了因持续值v的波动而产生的风险调整。

特别是，当γ>1时，对于低延拓值状态vjnext period，跃迁概率bpij的权重过大。当γ=1时，两个转移矩阵重合，因为v*在各州之间必然是恒定的。现在来看看主观信念的例子。假设一位分析师错误地假设γ=1，即使它不是。然后将实际随机贴现因子中的鞅分量吸收到概率分布中，分析人员将其归因于主观信念。或者，假设γ>1，分析员正确地认识到信念是主观的。然后，递归（11）成立，主观转移矩阵取代P。任何恢复概率的尝试都必须考虑主观信念对价值函数的影响，从而考虑到随机折扣因子的构造。这种影响是对等式（4）的补充，该等式将价格与概率和依赖于状态的贴现联系起来。2一般框架我们现在介绍一个框架，其中包含一大类相关的资产定价模型。一致的跨期定价加上马尔可夫性质，使我们使用了一类称为乘法泛函的随机过程。这些过程以一种特殊的方式由UnderlyingMarkov过程构建，并将用于建模随机折扣因素。替代结构经济模型将意味着对随机贴现因子的进一步限制。我们从概率空间开始{Ohm, F、 P}和一组指数T（非负整数或非负实数）。在这个概率空间上，有一个n维平稳马尔可夫过程X={Xt:t∈ T}和一个k维过程W，其增量与X联合系统，并在W=0时初始化。

尽管我们像以前一样对过程X的转移概率感兴趣，但我们使用过程W来模拟X的动态，并为聚集风险提供来源。W的增量代表了对经济动态的冲击，并且可以随时间独立分布，平均值为零。我们从离散时间的情况开始，在极限情况下为δ→ 0时，由于消费过程的趋势平稳性规定，连续值Vj趋于与状态j无关的常数，并且嵌入在连续值潜在波动中的风险调整变得无关紧要。将连续时间案例推迟到第2.6节。我们假设Xt+1=φx（Xt，Wt+1）对于已知函数φx，其中Wt+1=Wt+1-此外，我们假设：假设2.1。在P和Wt+1 XT上的条件是时不变的，与过去的实现无关Ws，s≤ 我不以Xt为条件。写入F={Ft:t∈ T}对于由W的历史和初始条件X.2.1信息产生的过滤，我们假设在T日可以观察到X，但冲击向量Wt+1在t+1日无法直接观察到。本文中的许多结果仅考虑了冲击矢量Wt+1可根据（Xt，Xt+1）推断。然而，在我们后面提供的一些例子中，向量Wt+1不能从（Xt，Xt+1）输入。这些经济模型有更多的不确定性来源Wt+1在存在相关状态变量的情况下，与投资相关。在这种情况下，我们考虑一个平稳递增的过程yt+1- Yt=φy（Xt，Wt+1）与（Xt+1，Xt）一起显示Wt+1。因此给出了xT和φx和φy函数的知识，即冲击向量Wt+1可以从Xt+1和Yt+1推断出来-嗯。

因此，观察到的联合过程的历史Z=（X，Y）产生了与冲击历史相同的过滤F我们的构造意味着Z是一个具有三角形结构的马尔可夫过程，因为（Xt+1，Yt+1）的分布- Yt）以FTA为条件，仅取决于Xt。2.2增长、贴现和鞅。我们引入了一个有价值的标量过程集合M，它可以由Z构造。对数M的演化被限制为具有如下形式的马尔可夫增量：条件2.2。M满意度记录Mt+1-对数Mt=κ（Xt，Wt+1）。考虑到可逆性限制，我们可以写：log Mt+1- 对数Mt=κ*（Xt，Xt+1，Yt+1）满足条件2的过程。2是过程Z的乘法泛函的限制版本（乘法泛函的形式定义见附录A）在下文中，我们将满足条件2.2的过程简单地称为乘法泛函，因为所有的结果都可以推广到这类更大的过程。这个过程是绝对积极的。对于两个这样的泛函Mand M，乘积M和倒数1/Mare也是严格正乘法泛函。这种函数的例子是Y分量的线性组合的指数。根据假设2。1，乘法函数对数M的对数具有平稳增量，因此M本身可以显示沿随机轨迹的几何增长或衰减。过程M也可以是一个鞅，其期望在不同的预测范围内是不变的，在这个意义上，它不会随时间增长或衰减。

我们使用乘法函数来构造随机折扣因子、随机增长因子和代表替代概率测度的正鞅。2.3一个例子在下面的例子中，我们展示了乘法泛函与第1节分析的马尔可夫链框架的关系。这个例子包括一个马尔可夫转换模型，该模型在条件均值和正态分布冲击的暴露中具有状态依赖性。为了包含这个丰富的模型集合，我们允许乘法泛函依赖于正态分布的sh-ock向量W没有完全被状态X的演化所观察到。尽管如此，在日期t时，XT仍然充当相关的状态向量。例2.3。设X为离散时间n态马尔可夫链，且Wt+1=“Xt+1”-E（Xt+1 | Xt）cWt+1#其中cWt+1是一个k维标准正态分布随机向量，与FTA和Xt+1无关。冲击向量的第一块，Xt+1- E（Xt+1 | Xt）是由马尔可夫链X的观测实现所揭示的构造。此外，我们构造了坐标演化为asYj，t+1的向量过程Y- Yj，t=Xt·h′uj+’σjcWt+1其中“ujis”是长度为n的向量，“σjis”是长度为n×k的矩阵。矩阵“σ”仅限于保险cWt+1可由Yt+1计算得出- YT和Xt。因此Z=（X，Y）揭示了W。我们允许fordate t+1箭头契约被写为Yt+1as以及Xt+1along的函数，以及相关的日期t信息。

在这种环境下，我们将乘法函数的演化表示为：logmt+1- 对数Mt=Xt·β + α (Wt+1）式中，\'β是长度为n的向量，\'α是n×（n+k）矩阵。2.4随机贴现因子随机贴现因子过程S是一个正乘法函数，S=1和有限的第一矩（以X为条件），因此任何有界Ft可测量索赔Φt的日期τ价格为∏τ，t（Φt）。=EStSτΦt | Fτ. （13） 因此，对于仅依赖于当前马尔可夫状态的有界索赔f（Xt），时间零价格为[Qtf]（x）。=E[Stf（Xt）|X=X]。（14） 我们将Qt视为支付期t的定价算子。通过构造∏τ，t[f（Xt）]=[Qt-τf]（Xt）。算子QT至少对马尔可夫状态的有界函数定义良好，但通常对更大的函数类定义良好，这取决于随机折扣因子St的尾部行为。S的乘法性质允许我们在中间日期一致定价。在特定时间内，我们可以通过连续应用e周期算子Qt-times来构建t周期算子Qt，因此有必要研究单周期算子。2.5乘法鞅和概率测度使用严格正鞅建立与P等价的替代概率测度。给定严格正且E（H）=1的F-鞅H，定义一个概率PHA，使得ifA∈ Fτ对于某些τ≥ 0，PH（A）=E（1AHτ）。