错误指定的恢复

等价地，主观折扣因子过程只有一个生成鞅分量的候选概率测度，用于描述主观信念iseP=bP。7额外的状态向量命题3。3展示了如何识别与Perron–Frobenius问题相关的鞅。正如我们的例子所示，这个鞅在一般意义上是非平凡的。因此，“恢复”概率度量与主观概率度量不同。也许问题是我们限制了本征函数的选择太多，因为我们假设它们依赖于状态向量ly，而不是Yt。正如我们所展示的，放松对本征函数的限制可以允许主观概率对应于本征函数问题的一个解，但即使我们对X施加遍历性，对Y施加平稳和遍历增量，我们也可能失去识别。我们还研究了当Y是高度持续的，但在趋势线附近是静止的或静止的时会发生什么。我们通过探索当我们用高度一致的平稳过程近似一个平稳增量的过程时会发生什么来研究这个现象。我们认为，总的来说，由于缺乏对极限（平稳增量）过程的识别，使得高度持久的近似很可能有许多关于Perr on–Frobenius问题的近似解。

当很难区分平稳过程和具有平稳增量的过程时，这一现象使得实际构造Perron-Frobenius问题的解具有挑战性。在一个更积极的方面，我们表明，当我们指定一个与随机折扣因子具有相同鞅分量的先验乘法过程时，我们可以从箭头价格中恢复主观信念。在连续时间布朗信息系统中，潜在马尔可夫过程边界行为的替代条件也可以唯一地识别概率测度。这些条件利用了伯龙-弗罗贝尼乌斯定理与二阶微分方程理论中的Stu rm-Liouville问题之间的联系。Carrand Yu（2012年）、Dubynskiy和Goldstein（2013年）对反射边界施加了条件，而Walden（2014年）分析了自然边界。虽然这样的技术条件可能会提供独特的解决方案，但一旦我们放松条件6，它们并不能解决根本的识别问题。3.Walden（2014）使用有限状态和连续状态近似的数值计算记录了类似的挑战。7.1 Perron–Frobenius重温我们阐述了在离散时间内扩大状态空间的后果。类似的考虑也会持续下去。回想一下联合马尔可夫过程：Xt+1=φx（Xt，Wt+1）Yt+1- Yt=φy（Xt，Wt+1）。到目前为止，我们只考虑了依赖于Xt的本征函数，而不考虑依赖于Yt的本征函数。我们现在在解决Perr on–Frobenius问题时考虑依赖于（Xt，Yt）的本征函数。现在我们来解：ESt+1ε（Xt+1，Yt+1）|Xt=x，Yt=y= exp（η）ε（x，y）。我们之前的解决方案仍然是这个方程的解决方案，但可能还有很多其他解决方案。要了解原因，请注意exp（ζ·Y）是向量ζ替代选择的乘法泛函。

对于每个选项ζsolveSt+1Stexp[ζ·g（Xt，Wt+1）]eζ（Xt+1）|Xt=x= exp（ηζ）eζ（x）。作为这个方程的直接含义，ESt+1Stexp（ζ·Yt+1）eζ（Xt+1）|Xt=x，Yt=y= exp（ηζ）exp（ζ·y）eζ（x）。因此我们设置ε（x，y）=exp（ζ·y）eζ（x）。对于每个ζ，我们可以选择一个解决方案（如果存在的话），其中隐含的概率度量使状态向量过程X遍历，因此Y具有平稳和遍历增量。但请注意，我们已经构建了一系列以ζ为索引的解。虽然我们不确定存在性，但这样做的方法与S exp（ζ·Y）本身是一个乘法函数一样。因此，增加状态向量以包含平稳增量过程将为特征函数问题引入更多的解，这就提出了如何在这类解中选择特定解的挑战。当满足以下条件时，本征函数的这种更广泛的构造尤为重要。条件7.1。LeteSt=exp-eδt表达式ζ·（Yt）-Y） 我em（Xt）em（X）对于一些参数的选择，δ和ζ以及状态向量Xt的一些正函数em。对于Yt=log Ct时的站姿，假设7.1需要一个功率效用函数，该函数可能由状态向量Xt的函数修改，可以测量“习惯持续性”给定条件7。1，一个潜在的Perron–Frobenius本征函数可以用来揭示主观概率，但我们仍然存在识别ζ的问题。

即使有特殊的条件7。1.对于佩龙-弗罗贝尼乌斯问题，通常有一系列解决方案。改变ζ通常会改变Y组分的增长率，因此，可以将之前关于主观增长率的限制或其他信息与Arrow p rices结合使用，以有效的方式实现识别。7.2平稳近似高度持久的平稳过程很难与具有平稳增量的过程区分开来。虽然我们发现排除一类丰富的随机增长模型并不吸引人，但对这一观点的一个可能挑战是，模型构建者应该将重点放在具有高度持久性的静态马尔可夫模型上。在这一小节中，我们建议这种高持久性马尔可夫模型在实际实现中也会带来挑战。我们现在研究一系列反映这一挑战的模型。为了简单起见，假设Y是一个标量过程。多元对应项增加了符号，但没有增加洞察力。考虑由j:Xt+1=φx（Xt，Wt+1）Yt+1- Yt=аy(-ρjYt，Xt，Wt+1），其中ρj>0收敛到零。在limitYt+1中- Yt=аy（0，Xt，Wt+1）=φy（Xt，Wt+1）。例如，在其第一个论点中，аy应该是一个有效的参数：аy(-ρjYt，Xt，Wt+1）=-ρjYt+φy（Xt，Wt+1）。我们对条件6施加以下相应条款。3.条件7.2。LeteSt=exp(-eδt）em（Xt，Yt）em（X，Y）对于一些正函数em和一些实数δ。对于每个j<∞, 公关定位。4保证Perron–Frobenius问题有一个唯一的解ε（x，y）=1/em（x，y），该解保持（x，y）的能态性。

对于极限问题，条件7.2不足以保证S是满足条件2.2的乘法泛函。即使在添加了条件7.1之后，正如我们已经指出的，对于极限ρ，Perron–Frobenius问题通常有一系列的解∞= 0问题。当ρj接近零时，这种近似具有挑战性。当ρjis接近零时，我们在上述第7.1小节中描述的其他解成为“近似”解。近似的形式意义很重要。严格地说，即使极限过程有增长，也不存在沿序列的长期增长。考虑一位研究人员的观点，他使用标准的近似统计标准，以过渡动力学为目标。一个高度持续的随机过程会有增长的插曲，因此很难从一个增长的插曲中分辨出这样一个过程Y有一个正的无条件平均值，使用标准的近似统计标准，以过渡动力学为目标。为了分析这个函数，需要对近似进行更正式的讨论，这超出了本文的范围。虽然这一序列不包括趋势增长，但可以通过包含一条终点线来扩展这一论点*t=Yt+ν和日期t箭头合同是（Y）的书面条款*t+1，Xt+1）或（Y）*t+1- Y*t、 Xt+1）。西尼*t+1- Y*t=Yt+1- Yt+ν。我们假设我们的马尔可夫定价规范是以（Yt+1，Xt）的形式给出的。如果m模型中的分析师和投资者都知道ν，则我们之前的分析适用。或者，作为当前状态的函数，可以通过箭头价格中的时间不均匀性来揭示。

无论哪种方式，我们之前描述的计算挑战都将继续存在。7.3结构化恢复我们现在探索条件6的不同概括。第三个at也提供了主观概率的恢复。条件7.3。随机贴现因子处理Satifiest=exp(-δt）伊尔提尔em（Xt）em（X）对于一些预先指定的乘法泛函条件2。2.预先指定的过程Yr捕捉长期风险收益交易效应，随机贴现因子过程将具有与Yr相同的鞅分量。正乘法泛函的倒数本身就是一个乘法泛函。我们可以将扩展的Perron–Frobenius本征函数的形式限制为（yr）-1e（x）。一旦我们预先指定Yr，如命题6。4、em和δ可以从箭头价格中推断出来。在这些情况下获得独特性相当于假设一个过程包含消费的可分割成分。考虑到Yr的知识，我们可以再次在Perron–Froben-ius计算中从本征函数的参数中省略更一般的向量y。然后，箭头价格揭示了可能性。Bansal和Lehman n（1997）以及Hans en（2012）指出，在许多例子中，乘法函数可能来自一个具有直接解释的参考模型。例如，习惯持续性的任何模型，无论是内部的还是外部的，都有一个随机的贴现因子，可以用est+1eSt=exp来描述(-δ） 经验[-γ（对数Ct+1- log Ct）]em（Xt+1）em（Xt）其中1-γ用于每周期效用的功率规格中，该效用函数的参数取决于私人或社会“习惯”的大小。为了使本例适用，我们假设Yrt=-γlog Ct表示已知的γ值。

马尔可夫状态的函数m反映了偏好中隐含的不可分性随时间的影响。或者，Hansen和Scheinkman（2014）认为m可以被视为基于随机贴现因子过程的基础资产定价模型Yr.8测量鞅分量的暂时错误。在本节中，我们考虑从资产市场数据中提取有关随机贴现因子过程中鞅分量大小的证据的方法。我们对文献进行了详细的讨论，这样我们就增加了现有的方法。这为实证研究开辟了新的途径。鞅的存在有两种解释。根据一种解释，理性预期的假设使我们能够评估长期风险调整对快速增长的现金流的重要性。在第二种解释下，它测量主观信念与状态变量的实际随机演化之间的统计差异。为了使第二种解释有效，我们排除了主观概率模型的随机折扣因子过程中的鞅成分。8.1量化鞅分量差异的统计度量通常使用方便选择的凸函数构造。C在正实数上定义的边函数φθ为：φθ（r）=θ（1+θ）h（r）1+θ- 1如果习惯持续性模型是完全参数化的，那么在给定概率的情况下，可以通过计算隐含的跨期边际替代率来求解这些参数的函数。这将导致过度识别限制。对于参数θ的可选选择。通过设计φθ（1）=0和φ′θ（1）=1。对于θ=0和θ=-1当θ接近这两个值时，取r中的逐点极限。

因此φ（r）=r log r和φ-1（r）=-logr.函数φθ用于构造概率密度之间的差异度量，如《压缩与读取》（1984）中所述。我们对将鞅分量量化为随机折扣因子的方法感兴趣。回想一下，E“bHt+1bHt | Xt=x#=1和atbHt+1/bHTD定义了BP分布相对于P分布的条件密度。这导致我们将差异度量应用于HT+1/bHt。由于φθ是严格凸的，而dφθ（1）=0，来自Jensen不等式：E“θbHt+1bHt！”Xt=x#≥ 0，只有当Ht+1/b等于1时才相等。有三种特殊情况受到特别关注。（i） θ=1，在这种情况下，隐含的离散性度量等于bHt+1/bHt条件方差的一半；（ii）θ=0，在这种情况下，隐含的差异测量基于条件相对性：EhbHt+1/bHtlogbHt+1- logbHt| Xt=xi，这是BP概率度量下的预期对数似然。（iii）θ=-1在这种情况下，差异度量为：-EhlogbHt+1-logbHt | Xt=xi，是原始概率度量下预期对数可能性的负值。我们考虑这些差异度量的两种用途。8.2不完整的资产市场数据在实践中，为替代国家构建完整的箭头价格范围可能是一个挑战，如果不是不可能的话。因此，在不使用明确的资产定价模型和不使用完整的Arrow证券价格集的情况下，从经验上研究关于仓促贴现因子过程可以学到什么是有意义的。我们基于Hansen和Jagann athan（1991）提出的方法，旨在不使用全套箭头价格，对随机折扣因子进行非参数化描述。虽然无法完全识别，但来自金融市场的数据仍具有信息性。

我们借鉴了阿尔梅达、加西亚（2013）和汉森（2014）在心理学上有用的描述，但按照英戈什等人（2012）和韩森（2014）的建议，对错误的信仰进行了调整。在索多因，我们建立在卡泽米（1992年）和阿尔瓦雷斯和杰曼（2005年）的重要见解之上。我们描述了如何计算这些差异度量的下界。我们之所以要研究下限s，是因为我们不想强迫计量经济学家使用一系列的箭头价格。假设Yt+1为资产收益向量，QT为相应的价格向量。例如，长期债券持有人持有期限的计算公式∞t、 t+1=exp(-η） e（Xt+1）e（Xt），这意味着st+1St=bHt+1bHt！R∞t、 t+1！。正如inAlvarez和Jermann（2005）以及Bakshi和Chabi-Yo（2012）所说，假设限制持有期返回R∞t、 t+1可以很好地近似。在这种情况下，我们可以通过评估是否存在“R”来直接测试鞅分量是否存在∞t、 t+1！（Yt+1）\'| Xt=x#=（Qt）\'。更一般地说，我们将价格限制表示为“bHt+1bHt！R！”∞t、 t+1！（Yt+1）\'|Xt=x#=（Qt）\'，其中bh现在被视为计量经济学家无法观察到的。为了限制差异度量，将随机变量Jt+1作为鞅增量的潜在规格：Jt+1=bHt+1bHt。求解λθ（x）=infJt+1>0E[φθ（Jt+1）| Xt=x]受线性约束：E[Jt+1 | Xt=x]- 1=0E“Jt+1R∞t、 t+1！（Yt+1）′|Xt=x#- （Qt）′=0。严格正λθ（x）意味着

为了保证优化问题（28）的解决，有时可以方便地将随机变量Jt+1包含在正概率为零的情况下。由于其目的是产生边界，因此，为了数学和计算的方便，可以对这种增强进行调整。尽管该问题优化了有限维随机变量族Jt+1，但优化与定价约束（29）相关的拉格朗日乘数的对偶问题通常是很容易实现的。参见Hansenet al.（1995）和关于实施广义经验似然方法的文献，以供进一步讨论。Alvarez和Jermann（2005）应用这些方法为随机贴现因子过程的鞅分量生成相应的界。虽然没有一篇论文计算了这里描述的类型的锐界，但Alvarez和Jermann（2005年）以及Bakshi和Chabi-Yo（2012年）都提供了经验证据，用非常相似的方法支持随机贴现因子过程的大量鞅成分。8.3第7节中的箭头价格。1.我们提供了Perron–Frobenius问题的扩展版本，以允许在估值中进行长期风险调整的止赎。作为这个扩展的结果，我们得到了一个参数化的解族，即使当我们观察到箭头图的full数组时也是如此。回想一下，乘法鞅与Perron–Fr Obenius问题的每个解相关联。