错误指定的恢复

一种可能性是选择一个参数，该参数的隐含主观信念区域尽可能接近实际数据生成过程，使用统计学的一个度量。简单计算表明，对于连续时间差异情况，对于θ的所有值，差异等于logbH局部方差的一半。对于θ=1的情况，Hansen和Jagannathan（1991）通过构造随机贴现因子的波动性边界来研究数学上等价的问题，并在忽略随机贴现因子应为非负的限制的情况下推导出解的准解析公式。Bakshi和Chabi-Yo（2012）应用后一种方法获得了随机贴现因子过程中鞅分量的θ=1界（波动性界）。类似地，Bansal和Lehmann（1997）研究了θ=-1并展示与最大增长率投资组合的联系。Bakshi和Chabi-Yo（2012）在表1中总结了两篇论文的结果，并对比了θ=1和θ=-1.差异度量。我们在第8.1节中描述的差异。文献中有这种方法的先兆。例如，Stutzer（1996）使用统计差异的θ=0相对熵度量来研究风险中性分布的比较，以及与实际数据生成形成的经验对应物的价格影响。此外，Chen等人（2014年）和Christensen（2014年）提出了Perron–Frobenius方法，用于理性预期下随机贴现因子模型的半参数识别，扩展了Hansen和Singleton（1982年）的方法。

Ait-Sahalia和Lo（2000）应用Breeden和Litzenberger（1978）的公式，使用低维马尔可夫状态环境的非参数统计方法来推断风险中性密度和实际密度。从这项研究中获得的见解可能进一步有助于制定一种可以正式调整的实际实施方法。9结论Perron–Frobenius理论应用于箭头价格，确定了市场决定的随机贴现因子过程的鞅成分。该鞅分量定义了一个吸收长期风险调整的扭曲概率测度，与风险中性概率测度吸收单期风险调整的概率相同。我们称之为长期风险中性指标。byRoss（2015）提出的一个确定性假设认为，在投资者的主观信念下，该鞅分量与鞅分量相同。在这种情况下，Perron–Frobenius理论涵盖的概率度量与主观概率度量一致。然而，如果随机贴现因子过程包含一个鞅分量，那么使用Perron–Frobenius特征值和函数可以恢复被该鞅分量扭曲的长期风险中性定价度量。通过扩展用于寻找Perron–Fr obenius问题解决方案的函数空间，我们避免了假设长期风险回报交易在主观信念下退化，但我们继承了一个识别问题。通常有一整套解决方案，几乎不知道哪种解决方案应该由一位分析师选择。许多基于经验证据的资产定价结构模型在随机贴现因子中具有非平凡的鞅成分。

这些鞅刻画了应用Perron–Frobenius理论实际恢复的概率。我们在一个例子中用宏观经济的长期风险因素和具有不可分离的执行偏好的投资者来说明这一结果。我们还提供了一个统一的讨论，该讨论是针对最近一次期权价格研究的计量经济学方法的调查，而Gagliardini等人（2011）则是针对有限日期的丰富期权价格集合与多个时期的时间序列证据相结合的计量经济学影响的讨论。后一项工作也提出了理性预期。Qin和Linetsky（2014a，b）最近的工作论文提供了连续状态空间环境中的其他结果，与Hansen和Scheinkman（2009）以及Hansen和Scheinkman（2014）之前的结果有明确的联系。文献推导了鞅分量大小的非参数界限，并发现该鞅分量在估值中起着很大的作用。最后，我们提出了进一步扩展文献中可测试含义集的方法，并将箭头价格的主观信念信息与观察到的时间序列演化相结合。在我们之前的工作中，我们展示了Perron–Frobenius理论如何帮助我们理解风险回报交易。Perron–Frobenius理论确定的概率度量吸收了长期风险调整。它的天真使用可能会以意想不到的方式扭曲风险回报交易。然而，有人可能会争辩说，佩龙-弗罗本-尤斯概率测度下的动态准确地说是有趣的，因为该测度针对宏观经济的长期风险进行了调整。

虽然我们认为前瞻性地使用这种概率度量是有价值的，但我们的分析清楚地表明，结果预测以一种特殊但实质上有趣的方式倾斜。最后，长期估值只是对替代投资期定价影响进行更系统研究的一个组成部分。Boroviˇcka等人（2011年）和Boroviˇckaet等人（2014年）最近的工作推导出了方法s，该方法扩展了脉冲响应函数，以表征在替代投资期内，因现金流急剧增长而受到冲击的风险。附录a乘法泛函乘法泛函的构造在概率文献和Ansenand Scheinkman（2009）中的其他地方使用。形式上，乘法泛函是一个过程M，它适用于F，在M=1时初始化，并稍微滥用符号：Mt（Y）=Mτ（Y）Mt-τ（θτ（Y））。（30）在公式（30）中，θτ是将Y的时间下标移动τ的移位算子，即（θτ（Y））s=Yτ+s。我们通过建立一个扩展的乘法泛函来推广这个构造。如果过程M是x和{Mt/M:t的严格正（Borel可测）函数，则过程M是一个扩展的乘法泛函∈ T}是一个乘法泛函。这允许在不同于unity的Mdi处初始化进程M。在这篇文章中，我们不再使用“为方便学习而扩展”这个词。B Perr on–Frobenius命题理论3。3.假设有两个解bη，be和ˋη，e。因此：exp（bηt）bHTHBe（X）be（Xt）=exp（ˋηt）HtˋHˋe（X）e（Xt）或者如果k（Xt）=e（Xt）be（Xt）>0，η=- bηexp(-ηt）bHtbHk（Xt）k（X）=ˇHtˇH，计算两边的期望值，并利用ˇH是鞅的事实，我们得到H=bHEH[k（Xt）|X=X]=exp（ηt）k（X）。（31）在下文中，我们考虑离散时间情况。

连续时间案例使用了相同的方法，但有明显的变化。首先注意，对于有界函数f，大数定律意味着Limn→∞对于H=bH和H=H，NNXt=1EH[f（Xt）|X=X]=EH[f（X）]（32）。考虑三种情况。首先假设η<0。Setbk（x）=min{1，k（x）}>0，对于所有的x。由于η<0，（31）的右手边对于每个x收敛为零，作为t→ ∞. 因此，对于H=bH0=limN→∞NNXt=1EH[k（Xt）|X=X]≥ 画→∞NNXt=1EHhbk（Xt）|X=xi=EHhbk（X）i>0。因此，我们建立了一个矛盾。接下来假设η>0。注意for H=ˇHEHk（Xt）|X=X= 前任警察(-ηt）k（x）。（33）Formbk（x）=最小值1，k（x）> 0，对于所有x。由于η>0，（33）的右手边对于每个x都收敛为0，即t→ ∞. 因此，0=limN→∞NNXt=1EHk（Xt）|X=X≥ 画→∞NNXt=1EHhbk（Xt）|X=xi=EHhbk（X）i>0。我们再次建立了一种矛盾。最后，假设η=0。然后又是H=H，呃k（Xt）|X=X=k（x）代表所有x.从（32）开始：limN→∞NNXt=1EH[kn（Xt）|X=X]=EHkn（X）。对于kn=min{1/k，n}。与n相同的等式适用于极限→ ∞ 因此，几乎所有X的EHhk（X）i=k（X）。因此k（X）是一个常数，bhtbh=Htˇh具有概率1。C长期估值限制首先，我们验证第4节中描述的近似结果。1在比条件4更弱的条件下持有。1.我们假设：lim inft→∞bE[ψ（Xt）|X=X]>0（34）和thatlim inft→∞是ψ（Xt）be（Xt）|X=X> 注意，对于每个有界函数flimt，这些假设如下→∞几乎可以肯定。Meyn和Tweedie（2009）在第327页的orem 13.3.3中确定（35）适用于有界函数f，前提是X是非周期的，且在测量B P下是正的。此外，我们假设ψ（Xt）be（Xt）< ∞,bE[ψ（Xt）]<+∞,X满足条件3.2 p。

然后，NlogbE[ψ（XN）|X=X]≤NlogbE“NXt=1ψ（Xt）|X=X#！=Nlog N+NlogbE”NNXt=1ψ（Xt）|X=X#！。结果（34）表明左侧的lim inf收敛到零。左侧的lim sup也收敛到零。为了验证这一点，请注意，大数定律和由此产生的几乎确定的收敛延伸到条件期望limN的时间序列平均值→∞bE“NNXt=1ψ（Xt）|X=X#=bE[ψ（X）]几乎可以肯定。因此，（36）右侧的两个项都以概率1收敛到零。因此，左侧的lim sup也会收敛。如果（36）到z的左侧的lim inf和lim sup都必须收敛到零almos t。同样的逻辑意味着limn→∞恩洛格贝ψ（XN）be（XN）|X=X= 0，概率为1。接下来，在分析中引入随机增长，如第4.2节所示。首先请注意，乘法函数SG满足条件2.2。让η*解决问题3时，使用SG代替S表示Perron–Frobenius e igenvalue。1.这需要解决：E[StGte]*（Xt）|X=X]=exp（η）*t） e*（x） 选择特征值-特征函数对，使隐含鞅产生平稳性。模仿我们对证券收益率的计算StGtbe（Xt）be（X）| X=X= exp（tη*) E*be（Xt）e*（十） be（X）e*（Xt）|X=XE在哪里*是用鞅H构造的*增量：H*tH*= 前任警察(-η*) StGtE*（Xt）e*（十）.类似地，E（StGt | X=X）=exp（tη）*) E*E*（十） e*（Xt）| X=X.假设H*导出一个概率度量，在该度量下，条件4。1是可满足的。此外，对于连续时间情况，在整数时间点对马尔可夫过程进行采样。这个过程保持平稳，但不一定是遍历的。大数定律仍然适用，但有一个限制，即以不变事件为条件的期望。

前面关于这些修改的论点确立了限制行为。那是*be（Xt）e*（Xt）< ∞, E*E*（Xt）< ∞.来自条件4。我们得到了，limt→∞tE*be（Xt）e*（Xt）|X=X= 极限→∞tlog E*E*（Xt）|X=X= 0.Thuslimt→∞tlog EStGtbe（Xt）be（X）| X=X== η*+ 极限→∞t[loge*（x） )- 对数be（x）]+limt→∞tE*be（Xt）e*（Xt）|X=X= η*,还有西米拉·雷利姆特→∞t对数E（StGt | X=X）=η*+ 极限→∞tlog e*（x） +极限→∞tlog E*E*（Xt）|X=X= η*.亨塞利姆→∞yt[G]（x）=-η + η*- η*= -η.D具有可预测消费动态的模型的推导在本节中，我们提供了第5节中分析的模型的推导。我们将重点分析佩伦-弗罗布-纽斯问题。Hansen（2012）和the Appendix inBoroviˇcka等人（2014）对该模型进行了全面分析。D.1鞅分解我们解决Perron–Fro benius问题[Stbe（Xt）|X=X]=exp（bηt）be（X），其中S是由系数（βS（X），αS（X）参数化的乘法泛函。

因为这个问题对每一个t都成立，所以它也在极限（只要它存在）limt0t[E[Stbe（Xt）|X=X]内成立- exp（bηt）be（x）]=0。该极限产生了偏微分方程se=ηe，其中，在方程（16）给出的一般布朗信息设置中，最小生成元S由Be给出=βs+|αs|be+bex·（u+σαs）+tr[bexxσ′。因此，方程（D.1）是一个二阶偏微分方程，我们正在寻找一个数bη和严格正函数be形式的解。Hansen和Scheinkman（2009）表明，如果存在多个这样的解决方案，那么只有与bη的最低值相关的解决方案才能在隐含的度量变化下产生e rgodicd动力学。对于第5节中介绍的、由（23）-（25）参数化的长期风险模型，我们可以用（x）=exp（\'ex+\'ex）导出方程组η=\'βs，0-βs，11ι-βs，12ι- “e”（“ιι+”ιι）- “e”uι0=”βs，11+”u”e0=”βs，12+|αs |+”e（\'u+\'σ\'）αs）+e |σ|+\'e（\'u+\'σ\'αs+\'e\'σ\'）+（\'e）| |。下面将确定系数βs和αs。最后一个方程是一个二次方程，用于“E”，我们选择“E”的解，从而得到较小的bη值。从分解St=exp（bηt）be（X）be（Xt）bhtbhw我们可以提取鞅bh:d logbHt=d logst- bηdt+d log be（Xt）和thusdbHtbHt=pX2t（‘αs+’σ′e+’σ′e）·dWt˙=pX2tbαh·dWt。这个鞅意味着度量值的变化，例如cw定义为dcwt=-pX2tbαhdt+dwt在新测度下是布朗运动。

根据BH暗示的测量变化，我们可以将模型的关节动力学写成DX1T=[bu（X1t-bι）+bu（X2t-bι）]dt+pX2t′σdcWtdX2t=bu（X2t-bι）dt+pX2t′σdcwt其中bu=’ubu=’u+’σbαhbu=’u+’σbαhbι=’ubιbι=ι+（‘u’-1(uι- bubι）。类似地，每个参数为（25）的乘法函数M都可以重写为asd log Mt=hbβ+bβ（X1t-bι）+bβ（X2t-bι）idt+pX2t′α·dcwtbβ=’β+’β（bι- ι） +β（bι- ι） +（‘α·bαh）bιbβ=’βbβ=’β+’α·bαh.D.2递归效用的值函数和随机贴现因子我们选择了一个方便的选项来表示连续值。与Chroder和Skiadas（1999）中的讨论类似，我们使用了折扣期望对数效用的对应项。d log Vt=uv，tdt+σv，t·dWt。局部演化满足：uv，t=δlog Vt- δ对数Ct-1.- γ|σv，t |（37）当γ=1时，这将缩小到贴现的预期效用。Letlog Vt=log Ct+v（Xt）并猜测v（x）=‘v+’v·x+’vx。我们通过将微型发生器应用于对数C+v（X）来计算uv。此外，σv，t=αc（Xt）+σ（Xt）′xv（Xt）。代入（37）可得到一组代数方程δ\'v=\'βc，0- ι\'βc，1+\'u\'v- ι\'βc，2+\'u\'v+\'u\'vδ\'v=\'βc，1+\'u\'vδ\'v=\'βc，2+\'u\'v+\'u\'v+（1- γ） |‘αc+’σ′v+’σ′v |可以为系数vi求解。第三个方程是一个‘v’的二次方程，当且仅当d=hu时才有实解- δ + (1 - γ） （‘αc+’σ′v）’σ′i--2 (1 - γ) |σ|\'βc，2+\'u\'v+（1- γ） |‘αc+’σ′v|≥ 特别是，对于较大的γ值，通常不存在解析式。如果存在该解决方案，则由“v”给出=-u- δ + (1 - γ） （‘αc+’σ′v）’σ′±√D（1）- γ） |‘σ’|带负号的解是我们感兴趣的解。由此产生的随机贴现因子有两个组成部分。

一个组成部分是贴现对数效用的跨时边际替代率，另一个组成部分是由连续值对数St=-δdt- d对数Ct+d对数H*这里是*是由DH给出的鞅吗*tH*t=pX2，t（1- γ） （‘αc+’σ′v+’σ′v）’dWt。这决定了随机贴现因子的系数（βs（x），αs（x））。当我们在方程（D.2）中选择“负”解时，则BS意味着度量值的变化，从而保持线性。注意，当H*是一个鞅，它不同于BHT/BHA，只要消费过程本身包含一个非中心市场成分。D.3乘法函数的条件期望为了计算资产价格及其预期收益，我们需要计算由（23）-（25）参数化的乘法函数M的条件期望。[Mt | X=X]=exp[θ（t）+θ（t）·X+θ（t）X]给出了条件期望，其中参数θi（t）满足一个由inHansen（2012）和Boroviˋcka等人（2014）的应用程序endix推导的普通微分方程组。参考文献Ait-Sahalia、Yacine和Andrew Lo。非参数风险管理和隐含风险规避。计量经济学杂志94（1-2）：9-51。阿尔梅达、凯奥和勒内·加西亚。2013.非线性定价内核的强大经济影响。阿尔瓦雷斯、费尔南多和厄本·J·杰曼。2005.使用Ass et价格来衡量财富边际效用的持续性。计量经济学73（6）：1977-2016。安德森、埃文·W·拉尔斯·彼得·汉森、d·托马斯·J·萨金特。2003.关于模型规格、稳健性、风险价格和模型检测的四个半群。欧洲经济协会杂志1（1）：68–123。巴克斯、大卫·K、艾伦·W·格雷戈里和斯坦利·E·辛。1989.术语结构中的风险预期：来自艺术经济的证据。