错误指定的恢复

（15） 迭代期望定律保证这些定义是一致的，也就是说，如果∈ Fτ和t>τthenPH（A）=E（1AHt）=E（1AHτ）。现在假设H是一个乘法m artin gale，一个乘法泛函，它也是关于过滤F的阿马丁格尔，建模为log Ht+1-对数Ht=h（Xt，Wt+1）。为了满足鞅限制，imposeE（exp[h（Xt，Wt+1）]|Xt=x）=1。有一个不同的随机贴现因子过程，我们可以用于我们的大部分分析。LetF表示X.ComputeSt=E生成的（封闭）过滤圣|英尺. 然后，STI是一个随机贴现因子过程，与依赖于X历史的d的索赔定价相关。它也是由X构造的乘法函数。在隐含的测度变化下，（Xt+1，Wt+1）FTN上的条件继续只依赖于Xt。虽然我们将S=1标准化，但对H不做同样的处理。对于我们接下来的一些讨论，我们使用Hto以方便的方式改变Xin的初始分布。因此，我们允许Hto依赖于X，但我们限制它具有等于统一的期望。对（14）的检验表明，通过使用SH=SH具有随机折扣因子和PHas具有相应的概率测度，我们将表示相同的定价算子{Qt:t≥ 0}在x的有界函数上。这种表示定价的灵活性扩展了我们在（4）中观察到的有限状态经济。2.6连续时间差异当X是连续时间差异时，我们采用类似的结构。过程W现在是一个潜在的n维布朗运动，我们假设Xis独立于W，并让Fbe与布朗运动相关的（完成的）过滤增强，以包含由Z=（X，Y）揭示的日期零信息。

然后X、Y和log mp过程按照：dXt=uX（Xt）dt+σX（Xt）dWtdYt=uY（Xt）dt+σY（Xt）dWt（16）d log Mt=β（Xt）dt+α（Xt）·dWt演化。注意（Xt+τ，Yt+τ）的条件分布-Yt）取决于Ft，仅取决于Xt，类似于我们在离散时间规范中施加的假设。此外，我们还证明了σ=“σxσy#是非奇异的，这意味着布朗运动历史由Z:=（x，y）历史揭示，F也是与微分Z相关的过滤。对于连续时间规范（16），乘法鞅H的漂移项满足β（x）=-α（x）·α（x）。当t连续时，随机贴现因子和算子族的定义与第2节中使用的构造直接对应。4对于离散时间模型。在连续时间内，{Qt:t∈ T}形成所谓的算子半群。单周期算子的计数器部分是这个半群的一个生成器，它控制瞬时估值，并充当Qtat t=0的时间导数。虽然这种布朗信息规范是从跳跃中提取出来的，但这些可以包含在分析的影响中，见Hansen和Scheinkman（2009）。这个限制意味着H是局部鞅，可能需要额外的限制来确定H是鞅。在H引起的概率变化下，WT具有漂移α（Xt），不再是鞅。在我们的离散时间规范中，在测量值改变的情况下，Z将保持马尔科夫过程，并且Z=（X，Y）的三角形性质将保持不变。此外，我们可以表示相同的算子{Qt:t≥ 使用SH=SH的x的0}上界ed函数具有随机折扣因子和相应的概率测度。3.收回的东西我们现在回顾并扩展以前的长期估值结果。

在这样做的过程中，我们利用了马尔可夫过程的三角性质，并以状态向量Xt为特征。稍后，我们将探讨当我们将状态向量扩展到长期定价分析中时会出现什么情况。3.1 Perron–Frobenius估值方法考虑以下Perron–Frobe-ni-us问题的解决方案：问题3.1（Perron–Frobenius）。求一个标量bη和一个大于0的函数，使每t∈ T、 [Qtbe]（x）=exp（bηT）be（x）。这个问题的解决方案必须满足条件矩限制：E[Stbe（Xt）|Fτ]=exp[（t- τ） 对于t，bη]Sτbe（Xτ）（17）≥ τ. 因为be是一个本征函数，所以它只能很好地定义为正比例因子。当我们提到这个问题的唯一解决方案时，我们的意思是be在规模上是唯一的。当状态空间如第1节所示为有限时，x的函数可以表示为Rn中的向量，算子qc可以表示为矩阵Q。在这种情况下，问题3的解的存在性和唯一性。1是很好理解的。在一般状态下，存在性和唯一性更为复杂。Hansen和Scheinkman（2009）提出了解决方案存在的充分条件，但即使在应用工作中常用的例子中，也有可能存在多个（标度）正解。参见Hansen和Scheinkman（2009年）、Hansen（2012年）和我们随后的讨论。如果Perron–Frobenius问题有一个解决方案，我们将对ollowHansen and Scheinkman（2009）进行分析，并定义一个满足以下条件的过程：bHtbH=exp(-bηt）Stbe（Xt）be（X）。

（18） 过程bh是概率测度P下的正F-鞅，因为，对于t≥ τ，EhbHt | Fτi=exp(-bηt）be（X）E[Stbe（Xt）|Fτ]bH=exp(-bητ）be（X）Sτbe（Xτ）bH=bHτ，在第二个等式中，我们使用了方程（17）。过程bh继承了原始随机过程S的大部分数学结构，并且本身是一个乘法鞅。例如，如果S具有条件2给出的形式。2，那么：logbHt+1- logbHt=κ（Xt，Wt+1）+log be（Xt+1）- 日志be（Xt）- bη=bh（Xt，Wt+1），其中我们使用了Xt+1=φx（Xt，Wt+1）。当我们使用鞅bh改变度量时，为了与pricingoperators{Qt:t]族一致≥ 0}相关的随机折扣系数必须是：bSt=StbHbHt=exp（bη）be（X）be（Xt）。在这种度量的变化下，时间t到时间0的p效应的贴现取决于0到t之间的状态路径。当我们改变概率度量时，X w的平稳性和遍历性不一定会继续保持。但是在我们的分析中，在鞅引入的概率下检查这种稳定性将是我们的特色。因此，在建立唯一性结果时，我们在概率分布PH条件3.2下对X的随机演化提出以下条件。过程X在PH下是平稳的和遍历的。平稳性和遍历性要求选择适当的H=H（X），以诱导马尔科夫过程X在PH下的平稳分布。如果X满足条件3.2，则它满足强大的大数定律。在离散时间的情况下，如果函数ψ具有有限的期望值，则limn→∞NNXt=1ψ（Xt）=EHψ（X）几乎可以肯定。

过程X还遵循另一种考虑均值收敛的大数定律：limN→∞呃“NNXt=1ψ（Xt）- EHψ（X）#= 0，给定Ht/H，随机变量H=H（X）必须满足以下等式：Eψ（Xt）嗯h（X）= E[ψ（X）h（X）]对于任意边界（Borel可测）ψ和任意t∈ T例如，Breiman（1982），第115页的推论6.23。同上。，推论6.25，第117页。由于大数定律的两个版本，条件期望的时间序列平均值也会收敛：limN→∞NNXt=1EH[ψ（Xt）|X]=EHψ（X）几乎可以肯定。相应的结果持续存在。我们现在证明了佩伦-弗罗贝尼乌斯问题3。1有一个唯一的解，在这个解下，X是静态的，并且在bh隐含的概率测度下是遍历的。提议3.3。问题3.1至多有一个解（be，bη），使得X在由（18）给出的乘法鞅bh表示的概率测度pB下是平稳且遍历的。该定理的证明类似于Hansen and Scheinkman（2009）中有关唯一性结果的证明，详见附录B。在下文中，我们使用ebP和BE，而不是更麻烦的PbHand EbH。3.2在前面的讨论中，我们描述了恢复过程中出现的两个问题。首先，be（x）的正候选解可能不是唯一的。我们的条件3。2允许我们选择p保留平稳性和遍历性的单一解。第二，如果S-ToCasticDiscount因子中存在鞅成分，即使是这种独特的选择也可能无法揭示真实的概率分布。下面的例子表明，在随机波动模型的简化版本中，一个模型总是恢复不正确的概率分布。例3.4。

考虑一个与状态相关的风险价格的随机贴现因子模型。d log St=\'βdt-Xt（\'\'α）dt+pXt\'\'αdwt其中\'\'β<0且X具有平方根动力学Xt=-κ（Xt）- “u）dt+”σpXtdWt。猜测一个正本征函数的解：be（x）=exp（νx）。自{exp(-bηt）Stbe（Xt）：t≥ 0}是鞅：\'\'β-（？α）x-γκx+γκ′u+x（γ′σ+’α）- bη=0。Hansen和Scheinkman（2009）以及Hansen（2012）在分析中使用了SLLN的含义。特别是，x上的系数应满足Γ-κ +υ (σ)+ σ α= 有两种解决方案：Γ=0和Γ=2κ- 2‘α‘∑（‘∑）（19）在本例中，X的风险中性动力学对应于解Γ=0，且无风险率恒定且等于-β. 由此产生的X过程仍然是平方根过程，但κ被κn=κ取代- ασ.虽然κ是阳性的，但κn可以是阳性或阴性的。如果κn>0，则条件3。2选择风险中性动力学，这与X的原始动力学不同。相反，假设κn<0，当κ<\'σ\'α时发生。在这种情况下，条件3.2选择（19）中给出的ts~n，这意味着κ被κpf取代=-κ + σ α = -κn>0。由此产生的动力学不同于风险中性动力学和proce ss X的原始动力学。该示例旨在保持代数的简单性，但它们是Hansen（2012）中描述的直接扩展。Perron–Frobenius问题的多重解在连续状态模型中普遍存在。在面对这种多样性时，Hansen和Scheinkman（2009）表明，导致随机稳定概率测度的特征值bη给出了与严格正特征函数相关的特征值集的下界。对于一元连续时间布朗运动设置，Walden（2014）和Park（2014）为每个候选值η>bη构造了正解e。

然而，这些解对（e，η）中的非e导致满足条件3的概率度量。2.4长期pricingRisk中性概率吸收短期风险调整。相比之下，我们现在表明，应用Perron–Frobenius理论确定的概率度量吸收了长期的风险调整。我们称之为长期风险中性测度。Perron–Frobenius理论具有一个特征值bη和一个相关的特征函数be，它决定了未来有收益证券的极限行为。我们利用这一预测来研究基于Hansen等人（2008）和Hansenand Scheinkman（2009）工作的长期风险回报交易，以及基于Alvarez和Jermann（2005）工作的长期持有期回报。我们表明，在BP概率测度下，随机增长的长期现金流的风险溢价为零；但不是在P标准下。我们还表明，长期债券的持有期收益率是BP测度下随机贴现因子的增量。对于本节中的一些结果，我们采用以下遍历性条件。条件4.1。在测度BP下，马尔可夫过程X是非周期的、不可约的、正循环的。我们把这种情况称为stoc-hastic稳定性，它意味着limt→∞bE[f（Xt）|X=X]=bE[f（X）]几乎可以肯定，前提是bE[f（X）]<∞.在这个公式中，我们使用符号BE表示用BH隐含的概率BP计算的期望值。4.1长期收益率首先表明第1节中特征值bη的特征。2扩展到这个更一般的框架。考虑[Qtψ]（x）=E[Stψ（Xt）|x=x]=exp（bηt）be（x）beψ（Xt）be（Xt）|X=X对于一些正的payoffψ（Xt），表示为马尔可夫状态的函数。

例如，为了给纯贴现债券定价，我们应该设置ψ（x）≡ 1.考虑该项投资的隐含收益率，按b:byt[ψ（X）]（X）计算=tlogbE[ψ（Xt）|X=X]-tlog[Qtψ]（x）。以极限为t→ ∞ :极限→∞byt[ψ（X）]（X）=-bη+极限→∞tlogbE[ψ（Xt）|X=X]- 极限→∞特洛贝ψ（Xt）be（Xt）|X=X.这个极限表明-bη是在遥远的未来到期的长期收益率，前提是最后两个期限s消失。最后两项在随机稳定性条件下消失。1提供[ψ（X）]<∞,是ψ（X）be（X）< ∞.对于离散时间模型，请参见334页的Meyn和Tweedie（2009）定理14.0.1，以获得更有力的结论。我们仅在离散时间情况下证明本节和附录中的结果。连续时间案例的类似结果将使用Meyn和Tweedie（1993）中的命题。请注意，我们使用BP和BE，而不是更麻烦的PbHand EbH。因为条件期望的对数除以t，-bη是更一般情况下的长期收益率。详见附录C。当我们使用原始度量值P而不是P时，最终水平收益率将有所不同。限制产量仍然等于-bη在原始概率测度下，前提是e[ψ（Xt）]<∞.总之，固定现金流风险不会改变长期收益率，因为-bη也是长期贴现债券的收益率。由于现金流风险的暂时性，在两种概率度量下，极限风险溢价均为零。接下来，我们将介绍随机增长意味着无差别限制风险溢价的支付。4.2长期风险回报交易考虑一个随时间随机增长的正现金流过程。我们将这种现金流建模为满足条件2.2的乘法函数，在时间t时支付。

通过设计，对数的增长率随马尔可夫状态和被建模为鞅增量的冲击而随机变化。考虑到G的乘法性质，生长的影响随着时间的推移而变化。虽然我们预计G的长期增长率为正，但受冲击的过度敞口随着支付日期的增加而增加。现金流风险不再是暂时的不安全4。1.为了方便起见，我们初始化G=1。长期风险中性概率模型（bS，bP）下现金流G的收益率为BYT[G]（x）=tlogbE[Gt|x=x]bE[bStGt|x=x]=Tlogehtbbhbgt | x=xiE[StGt|x=x]（20），其中bhtbh=exp(-ηt）Stbe（Xt）be（X），而bst=stbht。利用方程（20）中bh的这个公式，我们得到：byt[G]（x）=tlog E“bhtbghgt | x=x#-t日志E[StGt | X=X]=-η+tlog EStGtbe（Xt）be（X）|X=X-t日志E[StGt | X=X]=-η、 前提是在附加的时刻施加限制。详见附录C。即使我们在支付中引入了随机增长，un derbP计算的限制收益率仍然保持不变。特别是，即使现金流呈现随机增长，现金流的长期风险溢价也为零。然而，当我们在最初的概率测量下计算收益率时，这个结论被改变了。现在的视界是：yt[G]（x）=tlog E[Gt|x=x]-t日志E[StGt | X=X]。如果S和d G的鞅分量在长时间内是相关的，则P下的支付极限收益率不同于-η.当S和G具有非平凡鞅分量时，乘法泛函SG的预期增长率通常不等于SPLU的预期增长率和G的预期增长率之和。因此，P不同于-η. 虽然持续增长的现金流的长期风险溢价为零低于P，但同样的长期风险溢价在P下通常不会退化。

通过构造，与Perron–Frobenius理论相关的概率度量使得长期风险收益交易消失。4.3远期措施和urns对长期债券的持有期限长期债券的收益告诉我们关于随机贴现因子过程的Perron–FrobeniusProblem（Problem3.1）的解决方案。在到期日为τ的债券上，从t期到t+1期的长期收益率Rτt，t+1的长期到期极限为（几乎肯定）R∞t、 t+1=limτ→∞Rτt，t+1=limτ→∞[Qτ-11] （Xt+1）[Qτ1]（Xt）=exp(-η） be（Xt+1）be（Xt），前提是施加了随机稳定性条件4.1，并且bebe（X）< ∞.由于替代投资期的贴现债券价格被用于构建远期指标，同样的计算允许我们描述极限远期指标。AsHansenand Scheinkman（2014）认为，上述第1.1节中定义的正向概率测度的极限与使用Perron–Frobenius理论恢复的测度一致。要了解原因，请考虑t日到期日τ的远期指标。我们用正随机变量ft，t+τ=St+τ/StE[St+τ/St | Xt]来表示这个度量，在给定date-t马尔可夫状态Xt的情况下，对e有条件期望。使用该正向测度计算的相关条件期望值首先乘以Ft，t+τ，然后使用P测度计算条件期望值。因此，Ft，t+τ决定了前向测度相对于原始测度的条件密度。日期t和日期t+1之间隐含的一个周期转换由（Ft，t+τ| Ft+1）给出=St+1E[St+τ/St+1 | Ft+1]E[St+τ/St | Ft]=St+1[Qτ-11] （Xt+1）[Qτ1]（Xt），根据迭代期望定律，期望等于以日期信息为条件的统一。