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英文标题：
《Misspecified Recovery》
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作者：
Jaroslav Borovi\\v{c}ka, Lars Peter Hansen, Jos\\\'e A. Scheinkman
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Asset prices contain information about the probability distribution of future states and the stochastic discounting of those states as used by investors. To better understand the challenge in distinguishing investors\' beliefs from risk-adjusted discounting, we use Perron-Frobenius Theory to isolate a positive martingale component of the stochastic discount factor process. This component recovers a probability measure that absorbs long-term risk adjustments. When the martingale is not degenerate, surmising that this recovered probability captures investors\' beliefs distorts inference about risk-return tradeoffs. Stochastic discount factors in many structural models of asset prices have empirically relevant martingale components.
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中文摘要：
资产价格包含有关未来状态概率分布的信息，以及投资者使用的这些状态的随机贴现。为了更好地理解区分投资者信念和风险调整贴现的挑战，我们使用Perron-Frobenius理论来分离随机贴现因子过程的正鞅分量。该组件恢复了吸收长期风险调整的概率度量。当鞅不退化时，假设这种恢复的概率抓住了投资者的信念，就会扭曲关于风险回报权衡的推论。许多资产价格结构模型中的随机贴现因子都有与经验相关的鞅分量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Misspecified_Recovery.pdf (493.31 KB)

2022-5-7 04:39:16 上传

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关键词：Mathematical Quantitative distribution Probability mathematica

我们明确了用Perron–Frobenius理论得到的转移概率等于投资者的主观转移概率或理性预期假设下的实际转移概率所需的特殊假设。我们表明，在一些经常使用的经济环境中——宏观经济环境受到永久性冲击，或投资者具有递归偏好——恢复的概率不同于主观或实际的转移概率，并提供了一个校准的工作或资产定价模型，说明了这些差异的大小。第1节阐述了在有限状态空间环境下，从资产市场数据中识别正确概率度量的挑战。虽然现场状态马尔可夫环境对许多应用来说都是非常有限的，但本节的讨论概述了本文的一些主要结果。特别是，我们表明：oPerron–Frobenius方法恢复了吸收长期风险价格的概率测度；oPerron–Frobenius概率相对于物理概率的密度给出了随机贴现因子过程的鞅分量在理性预期下，Ross（2015）使用的随机贴现因子过程意味着该鞅分量是常数。为了将这些结果放在一个实质性的背景中，我们提供了资产定价模型的典型示例，这些示例表明，非平凡的鞅成分来自（i）对消费过程的每次冲击，或（ii）投资者拥有递归效用时出现的持续价值调整。在接下来的章节中，我们以更大的概括性确立了这些见解，这一概括性丰富，足以包括许多现有的资产定价结构马尔可夫模型。

第2节介绍了这种分析的框架，它允许连续的状态空间和更丰富的信息结构。在第3节中，我们将Per ron–Frobenius方法扩展到这个更一般的设置。如果我们施加一个额外的遍历性条件，这种方法可以识别随机贴现因子过程中鞅分量捕获的唯一概率测度。在第4节中，我们展示了在对风险回报交易进行推断时，使用Perron–Frobenius理论恢复的概率度量的后果。恢复的概率测度吸收了原始随机贴现因子的m artin gale分量，因此恢复的随机贴现因子是趋势平稳的。由于决定长期风险调整的因素现在已被回收概率度量所吸收，因此，如果长期风险价格微不足道，则资产的价格将被确定。这一结果就是我们将Perron–Frobenius方法揭示的概率规格称为长期风险中性指标的原因。第5节说明了鞅成分对以长期风险为特征的Workhorse资产定价模型中的

通过连接第3节中的结果，我们在第6节中证明，随机贴现因子过程的鞅分量必须与forRoss（2015）揭示投资者主观信念的过程中的鞅分量相等。在这些信念下，长期风险回报交易是退化的。有些人可能想知道，在实践中，鞅成分的存在是否可以通过一个高度持久的平稳过程来近似鞅来实现。在第7节中，我们讨论了当我们扩展状态向量来解决这个近似问题时，信念的识别变得脆弱。在第8节中，我们对实证方法进行了统一的讨论，当计量经济学家不使用完整的箭头价格数组时，这些方法量化了鞅分量对随机贴现因子的影响。我们还提出了将主观信念与马尔可夫状态的实际时间序列演化联系起来的其他方法。第9节结束。1说明识别挑战的是从资产价格中提取概率的多种方法。例如，风险中性概率（例如，见Ross（1978）和Harrison and Kreps（1979））以及密切相关的前瞻性度量在金融工程中经常使用。最近，巴库·s等人（1989年）、汉斯·恩和舍因克曼（2009年）以及罗斯（2015年）将佩伦-弗罗贝纽斯理论应用于研究资产定价——最后两个参考文献的特点是构建了相关的概率测度。然而，Hansen和Scheinkman（2009年）以及Ross（2015年）对这一衡量标准有着截然不同的解释。Ross（2015）将这一指标与投资者的信念联系起来，而Hansen和Scheinkman（2009）则用它来描述风险定价的长期贡献。

在这种第二种解释下，Per ron–Frobenius T heory的特征值在长期投资期限内主导估值，由此产生的概率度量以在遥远的未来支付的资产估值为参考点。继Hansen和Scheinkman（2014）之后，在本节中，我们利用与有限状态马尔可夫链相关的矩阵来说明备选概率测度的构造，并探索一些简单的经济实例，以更好地理解基于Perron–Frobenius理论的概率测度的构造。设X是一个离散时间的n态马尔可夫链，其转移矩阵P˙=[pij]。我们假设这些是控制马尔可夫过程演化的实际转移概率。我们用第i个条目中的单个坐标向量ui来标识状态i。分析师根据数据推断出一段时间内Arrow索赔的价格。我们将输入表示为一个矩阵Q=[qij]，该矩阵将明天的支付指定为明天状态j的函数，并将其映射为当天的价格。由于州数有限，支付和价格都可以用向量表示。特别是，给定马尔可夫状态当前实现x的箭头价格向量是x′Q。该向量的条目给出了每个可能的遗产明天应付的索赔价格。考虑到当前状态x，任何明天无法实现的状态，今天的价格都为零。使用随机贴现因子方便地表示资产定价影响。随机贴现因子通过对下一阶段状态进行不同贴现，对不确定性调整进行编码。对于贴现率更高的州，风险溢价更大。在这种有限状态马尔可夫环境中，我们计算Ij=qijpij（1），前提是pij>0。如果pij=0，则定义相应的Siji。

给定一个矩阵S=[sij]，随机贴现f因子过程的增量为：St+1St=（Xt）′SXt+1。（2） 随机贴现因子过程S={St:t=0,1,2，…}在S=1时初始化，并累积（2）给出的增量：St=tYτ=1（Xτ-1） ′SXτ。观察到St取决于从0到t的状态历史。使用这种表示法，我们有两种方法将索赔的周期零价写入时间t时与状态相关的支付f·Xt向量。Qtf·x=E[St（f·Xt）|x=x]。给定矩阵P（可能由历史数据和经济模型隐含的随机贴现因子在理性预期下确定），通过反转方程（1）给出当前价格：qij=sijpij。（3） 我们要探讨的一个问题是，我们可以从箭价中学到什么。市场情绪或信念是公共和私营部门讨论的一部分。我们通过将理性预期假设替换为主观信念假设来研究这个问题。不幸的是，仅从价格构建概率就有相当大的灵活性。请注意，Q有n×n个条目。P有n×（n- 1） 免费输入，因为行总和为1。通常，随机d计数因子引入n×n自由参数sSij，i，j=1，n、 由于Arrow p价格是公式（3）中给出的产品，因此概率和随机折扣因子的多重解与Arrow价格一致。为了说明这种灵活性，用Epij=Hijpij表示替代转移概率，其中hij>0，Pnj=1hijpij=1表示i=1，2。。。，N

形成一个矩阵H=[hij]和一个正过程{Ht:t=0，1，…}随着sht+1Ht=（Xt）′HXt+1的增加。对H项的限制将增量限制为令人满意Ht+1Ht | Xt=x= 1.累积元素：Ht=HtYτ=1（Xτ-1） ′HXτ。当Q为零时，简单的计数需要一些条件。例如，当qij=0时，为了防止套利机会，pij=0。X的初始分布与转移矩阵P一起定义了过程X的概率P过度收敛。因为HIJI是作为概率比获得的，H是P下的正鞅，对于任何正规范，H都是X的函数。使用正鞅H来诱导度量的变化，我们得到了概率eP:eP（Xt=Xt）=P（Xt=Xt）HtYτ=1（Xτ-1） ′Hxτ。对于xt=（x，x，…，xt）的替代可能实现。在这个公式中，我们假设EH=1，我们使用Hin ord er foreP来包含X的初始分布的变化。因此，随机变量Hmodify了XundereP相对于a-vis P的分布，并确定了改变的转移概率。我们的大多数分析条件都是X，在这种情况下，为了简单起见，His和HCB e的选择可以设置为1。对于限制矩阵H的每一个选择，我们可以通过应用公式（1）形成相应的状态依赖搜索因子esij=sij/Hijb。通过构造Qij=sijpij=esijepij。（4） 考虑到构造H=[hij]的灵活性，我们有多种方法从箭头价格中恢复概率。我们可以通过对随机贴现因子施加限制来应对这种多样性。正如我们将要讨论的，由此产生的构造为资产定价提供了有价值的工具，即使这些概率不一定与投资者使用的概率相同。

在下文中，我们考虑两种可选限制：（i）风险中性原则：si，j=qi（5）对于正数qi，i=1，2。。。，n、 这一限制利用了一期贴现债券的定价。（ii）长期风险定价：bsij=exp（η）mjmi（6）对于正数mi，i=1,2。。。，n和一个通常为负数的实数η。Themi只需要指定一个比例因子，得到的向量可以方便地标准化。正如我们在下面展示的，这种限制有助于我们描述长期的Pricing应用。在这两种情况下，我们将矩阵S中的自由参数从n减少到n，从而使识别概率成为可能。正如我们所展示的，每种方法都有明确的经济解释，但恢复的转移概率矩阵不一定与投资者使用的矩阵或实际的马尔可夫状态动力学一致。在第一种情况下，推断概率和真实概率之间的差异反映了一个鞅，它决定了财务回报中的单期风险调整。如下文所示，在第二种情况下，推断概率和真实概率之间的差异反映了一个鞅，它决定了对随机增长的现金流定价的长期风险调整。1.1风险中性概率风险中性概率在金融工程文献中广泛使用。这些概率是一种用于吸收局部或一个时期风险调整的理论结构，通过假设一个有效的“风险中性”投资者来确定。（5）中给出的随机贴现因子反映了一个事实，即所有状态j都被平均计算。

为了满足价格限制（3），风险中性转移概率必须由pij=qijqi给出。由于概率矩阵的行数必须加起来等于一，因此必须遵循Qi=Pnjqij，这是状态i下一年期贴现债券的价格。风险中性概率[pij]总是可以与贴现因子[sij]一起构造和使用。根据设计，贴现系数取决于j国，反映了当前状态下风险调整的重要性。相比之下，单期贴现债券价格仍可能依赖于国家，这种依赖性被有效风险中性投资者的主观贴现因子吸收。虽然人们普遍认为，风险中性分布不同于实际的概率分布，但一些人认为，风险中性动态对于宏观经济预测仍然很有趣，因为它们确实包含风险调整。当短期利率依赖于国家时，有时会使用远期指标来进行失效评估。t-p er iod Arrow证券的价格q[t]ij是矩阵q的t次方的分录。给定当前状态i isPt=“q[t]ijPnj=1q[t]ij#的t期远期概率度量。用于调整箭头价格的分母现在是t期贴现债券的价格。虽然远期度量具有直接意义，但Pt6=Pt、 （7）明尼阿波利斯联邦储备银行行长Narayana Kocherlakota，杜林在2012年的MitsuiFinancial Symposium上的一次演讲中提出并回答了以下问题：“集成商如何制定边际净收益的必要前景？……我认为，政策制定者可以通过基于金融衍生品价格得出的风险中性概率来实现更好的结果。”SeeHilscher等人。

（2014）使用风险中性概率研究公共债务。e期b期d期价格取决于州。单期利率的变化有助于在更长的投资期限内进行风险调整，因此，风险中性概率的构建取决于期限。1.2长期定价我们使用Perron–Frobenius理论研究与固定收益证券相关的现金流的长期定价。当存在λ>0时，矩阵∞t=0λtQthas作为所有严格正的项，Q的最大（绝对值）本征值是唯一且正的，因此可以写成exp（bη），并且具有唯一的关联右本征向量be，它具有严格正的项。Q的每个非负特征向量都是be的标量倍数。我们表示beas bei的输入。通常，bη<0反映了长期投资期内未来收益的时间贴现。回想一下，我们可以通过连续应用矩阵Q t次来评估t期索赔。来自正矩阵的Perron–Frobenius理论：limt→∞经验(-bηt）Qtf=（f·be）*)在哪里*是Q的相应正左特征向量。应用该公式，具有正支付f·Xtin t周期s的任意证券的贴现率的大近似为-bη。类似地，这种限制性证券的单期持有收益率为：limt→∞Qt-1f·XQtf·X=exp(-η） be·Xbe·X.特征向量be和相关的特征值也提供了一种方法来构造给定Q的概率转移矩阵。Setbpij:=exp(-bη）齐贝贝。（8） 注意，由于Qbe=exp（bη）be，nXj=1bpij=exp(-bη）beinXj=1qijbej=1。ThusbP=[bpij]是一个转移矩阵。