错误指定的恢复

根据我们之前的计算，当投资期限τ变大时，极限转移分布由随机变量决定：St+1R∞t、 t+1=bHt+1bHt（21），它揭示了随机贴现因子中的鞅增量。这也表明，由正向测度构造的限制单周期跃迁与Perron–Frobenius跃迁概率一致。Qin和Linetsky（2014a）在更一般的情况下描述了这种限制行为，而不依赖马尔可夫结构。当（21）的右边正好是一时，单期随机贴现因子是限制持有期收益的倒数。卡泽米（1992年）首次注意到了这种联系。更一般地说，根据这个公式对数R∞t、 t+1 | Xt=x≤ E[log St-log St+1 | Xt=x]，（22），因为詹森的《平等》告诉我们，ehlogbht+1-logbHt | Xt=xi≤ 0.Bansal和Lehmann（1997）的投资组合具有最大的增长，即达到（22）右侧的回报投资组合。当logbHt+1时-对数等于零，R∞t、 t+1与最大增长投资组合的回报相一致。AsBansal和Lehmann（1994）指出，Kazemi（1992）的结果忽略了

继g Alvarezand Jermann（2005）之后，我们在第8.3节中使用公式（21）讨论评估随机贴现因子过程中鞅分量大小的经验方法和证据。现在，假设我们改变度量，并使用随机贴现因子形成计算结果：bSt=StbHbHt。在这种情况下对数R∞t、 t+1 | Xt=x=贝洛格斯特-logbSt+1 | Xt=xi。为了解释这一发现，考虑任何一个时期的正回报率Rt，t+1。既然“bSt+1bSt！Rt，t+1 | Ft#=1，应用詹森不等式，bE[log Rt+1 | Ft]≤ EhlogbSt- logbSt+1 | Fti。通过构造，使BP概率测度下随机折扣因子的鞅分量退化。因此，持有期的投资回报为长期债券∞t、 t+1与BST+1/bStas inKazemi（1992）的模型相结合。5一个定量的例子我们现在展示了Bansal和Yaron（2004）提出的一个著名的资产定价结构模型，它暗示了一个显著的m artin gale成分。该模型具有增长率的可预测性和总消费过程的随机波动性。我们利用了Hansen等人（2007）中描述的连续时间布朗信息，该信息根据Ansal and Yaron（2004）中假设的消费动力学进行了校准。我们比较了使用Perron–Frobenius提取相关概率测度、原始概率测度和风险中性测度的应用。在这个例子中，Perron–Frobenius提取产生的概率度量与风险中性度量非常相似，与原始概率度量有很大不同。更一般地说，我们在本节中的目的是表明概率度量的差异可能是本质的，而不是给出一个明确的结论，即它们是本质的。

后一个结论将需要与直接的统计证据对抗，这是我们在第8节讨论的一个方面。假设date-t二元状态向量的形式为Xt=（X1，t，X2，t）′。在这个模型中，X1，t表示乘法函数增长率中的可预测成分，x2，t表示s对短期波动率的贡献。（16）中规定的X s动力学参数u（X）和σ（X）由u（X）=u（X）给出- ι） σ（x）=√x¨σ（23）式中，其中¨¨¨¨0¨u#σ¨σ¨σ#。（24）参数“σ”和“σ”是1×3行向量。向量ι是平稳分布中状态变量的均值向量。我们认为满足条件2的所有乘法泛函M。参数为β（x）和α（x），使得：β（x）=‘β+’β·（x- ι） αx=√x′α。（25）例如，总消耗过程C是一个由（βC（x），αC（x）参数化的乘法函数。附录D提供了以下计算的详细信息。我们在参数化中使用了三个不相关的冲击。直接消费冲击是布朗运动的组成部分，布朗运动是对消费过程的直接创新。增长率冲击是作为增长率X1，t创新的布朗成分，而波动性冲击是波动过程X2，t创新的布朗成分。我们赋予代表性投资者递归的同态偏好，如示例1.2所示。为了方便起见，我们采用了一元替代弹性f，因此使用了（10）的连续时间对应项。这些p参考文献的连续时间版本是由杜菲和爱泼斯坦（1992）以及施罗德和斯基亚达斯（1999）开发的。随机贴现系数solvesd log St=-δdt- d对数Ct+d对数H*t（26）其中H*是方程（12）中鞅的连续时间对应项。H*组件的构造如下所示。

设V为齐次一次效用聚合器的前瞻性延拓值过程，并构造V1-γ，其中γ是风险规避参数。假设消费过程的连续值的对数是对数C和X的可加分离函数。在随机贴现因子演化中，鞅的布朗增量与V1的布朗增量一致-γ. 随机折扣因子继承了函数形式（25）和附录D中导出的参数（βs，αs）。由于消耗过程C是使用永久冲击建模的，因此它还包含一个鞅分量，因此H*这不是从佩伦-弗罗贝尼乌斯问题中产生的鞅。对于Perron-Frobenius概率提取，我们找到了Perron-Frobenius问题3.1的解（be，bη），使得st=exp（bηt）be（X）be（Xt）bHtbH=BSTBTBHANDBH表示满足条件3的概率度量。2.我们在附录中显示，与BP相关的鞅bH采用形式DbHtbht=pX2tbαh·dwt，其中bα是一个向量，取决于模型的参数。这意味着我们可以为鞅H写出相当不同的动机*来自关于稳健性问题和资产定价的文献。例如，See Anderson等人（2003年）。在这种情况下，H*是一种内生确定的概率调整，用于潜在的模型误判。其他基于最大最小效用的模糊厌恶模型也在随机折扣因子中引入了鞅分量。对于给定的参数，可以通过直接计算来检查X在恢复的测度BP下的遍历性和平稳性，以及递归效用随机折扣因子解的存在性。例如，参见Boroviˇcka等人的计算。

（2014）获取详细信息。0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-0.006-0.004-0.0020.0020.0040.006条件波动率X0。6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-0.006-0.004-0.0020.0020.0040.006条件波动率X图1：在正确指定的概率测度P（左图）和恢复的概率测度BP（右图）下，状态向量X=（X，X）′的稳态密度f。右面板el中的虚线对应于风险中性概率度量下分布的最外轮廓。模型的参数化为‘βc，0=0.0015，‘βc，1=1，‘βc，2=0，’u=-0.021, u= u= 0, u= -0.013，\'αc=[0.0078 0 0]，\'σ=[0 0.00034 0]，\'σ=[0 0- 0.038], ι= 0, ι= 1, δ = 0.002, γ = 10. 参数按每月频率校准。状态向量X=（X，X）′asdX1t=[bu（X1t）的联合动力学-bι）+bu（X2t-bι）]dt+pX2t′σdcWtdX2t=bu（X2t-bι）dt+pX2t′σdcwt，其结构与（23）-（24）相同，附录中推导了一组新的系数buij。过程CW是一个布朗运动。5.1预测与替代概率测量结构宏观金融模型允许我们构建有关宏观经济数量和金融现金流未来分布的预测。从资产市场数据中提取的概率测度可用于预测宏观经济的未来状态，并在公共政策讨论中发挥作用。在本节中，我们比较了备选分布下的预测。图1绘制了P下（左面板）和P下（右面板）状态向量X的联合平稳分布。虽然左面板中的分布是与时间序列证据一致的真实分布，但右面板中的分布是假设投资者根据BP给出的信念预期观察到的分布。

BP下的分布显示出较低的平均增长率X和较高的条件波动率X，而不是低于BP下的分布。此外，不良状态是相关的；平均增长率较低的州更有可能出现0 20 40 60 80 1000.020.040.06到期日（季度）0 20 40 60 80 1000.020.040.06到期日（季度）图2：真实和恢复概率度量下的收益率。这些图表显示了现金流的年化收益率对应于总消费过程（左图）和不同到期日的债券（右图）。带实线的蓝色带对应于P下的分布，而带虚线的红色带对应于P下的d分布。这些线代表分布的四分位数。参数化如图1所示。与高波动性状态一起发生。Bidder和Smith（2013）使用等式（26）中的鞅记录了模型中类似的失真，并考虑了鲁棒性。图1右侧面板中的黑色虚线给出了风险中性动力学下关节密度的最外侧轮廓线。风险中性概率下的分布与BP状态概率非常相似，两者与物理概率非常不同。概率测度BP和P之间的相似性是因为已知鞅分量决定了随机贴现因子的行为。参见Hansen（2012年）和Backus等人（2014年），以获取这种影响的证据。考虑一个极端情况，在这种情况下，随机折扣因子表示Perron–Frobenius特征函数为常数，关联鞅表示在概率测度bp下，过程X是遍历的。

在这种情况下，短期利率随着时间的推移是恒定的，期限结构是固定的。虽然对于我们的参数化递归效用模型来说，这些ter m结构含义并不完全正确，但鞅成分在暗示嵌入BP和P的风险调整非常相似方面具有充分的优势。5.2资产定价含义概率测度P和BP h对收益率和持有期收益率的影响存在显著差异。在第4节中，我们表明，随着风险现金流到期日的增加，超过无风险基准的风险现金流收益率会收敛到零。图2中的左面板将收益率（20）绘制在一个收益率上，该收益率等于tas的总消费量，是t的函数。实线描绘了收益率分布yt[C]（x）的四分位数，对应于在P下计算的x=x的平稳分布。d灰线表示投资者使用恢复的测量值来计算预期收益率时推断的收益率[C]（x）；但这些产量的分布是在当前状态X=X的正确概率测度P下绘制的。由于消费过程与鞅bh负相关，因此产量计算的下限相对于P向下偏移。正如我们在第4节中所展示的，对于长期到期的债券来说，这是必然的。2.但从期限结构来看也是如此。通过构造，与Perron–Frobenius鞅分量相关的概率度量消除了与longhorizons总消费产生的现金流相关的风险调整。

在这个例子中，这种长期风险中性的衡量方法几乎占了所有投资期内与aggregateconsumption产生的现金流相关的全部风险溢价（超过到期匹配债券）。6基本识别问题我们现在转向识别问题。假设我们观察马尔可夫状态的替代实现的箭头价格。我们能恢复主观信念吗？正如我们已经观察到的，等式（13）描述的资产价格同时取决于随机贴现因子过程和投资者信念。因此，对于给定的可能性，可以很好地定义随机贴现因子过程。如果我们碰巧误认了投资者的信念，这种误认可能会通过改变随机贴现因子来实现。这种改变信念扭曲的能力给主观信念的识别带来了根本性的挑战。在本节中，我们将这个识别问题形式化，并考虑可以解决这一挑战的随机折扣因素的潜在限制。定义6.1。如果等式（13）给出了任何有界的、可测量的索赔Φt在任何时间t可支付的日期零价格，则这对（S，P）解释了资产价格∈ T现在考虑一个满足条件2的多重鞅H。2以及（15）中定义的相关概率度量。同样，让我们做一个乘法函数满足条件2。2，并在S=1时初始化。我们定义：SH=SHH。（27）以下命题是直接的：命题6.2。假设hi是一个满足条件2的鞅。2，E（H）=1，条件为2。2，S=1。如果这对（S，P）解释了资产价格，那么这对（SH，PH）也解释了资产价格。此外，SHA满足条件2。2和SH=1。这一命题抓住了这样一个概念，即随机贴现因子只有在给定的概率分布下才能很好地定义。

当我们改变概率分布时，我们通常必须改变随机贴现因子来代表相同的资产价格。设满足条件2.2的Hbetwo正鞅为EH= EH= 1.使用公式（27）构造相应的随机折扣f因子。那么，我们就无法区分HF所暗示的潜在主观概率和仅从箭头价格中暗示的潜在主观概率。这是一个普遍存在的身份识别问题。为了识别投资者的信念，我们必须限制随机贴现因子过程，或者必须限制用于表示估值因子∏τ、t或τ的概率分布≤ T∈ T我们可以通过多种方式解决这种缺乏识别的问题。首先，我们可能会强加期望，观察时间序列数据，并让平稳分布的大数定律确定概率。然后，通过对一整套流动证券的观察，我们可以识别S。或者，我们可以进一步限制随机贴现因子过程。例如，风险中性定价限制了随机贴现因子是预先确定的或局部可预测的。因此，对于离散时间规格：log St+1- log St=log[q（Xt）]，其中q（Xt）是一期贴现债券的价格。当使用此限制时，通常不会有人声称由此产生的概率分布与投资者使用的概率分布相同。不同的限制对S:条件6.3施加了特殊的结构。LeteSt=exp(-对于一些正函数m和一些实数δ，δt）m（Xt）m（X）。Ross（2015）证明了条件6.3下的识别结果，即X的动力学由有限状态马尔可夫链驱动，如第1节所示。

加强条件6.3有助于确保箭头价格在第2节介绍的更一般框架中识别随机折扣系数和与该折扣系数相关的概率分布。提议6.4。假设（S，P）解释了资产价格。设H为正乘法鞅，使得（SH，PH）也能解释资产价格，而X在PH.IfSHalso满足条件下是平稳且遍历的。3，那么H是唯一确定的。因此，如果满足条件6。3.这是这一命题所证明的唯一性，也是投资者的主观信念。这个结果的证明直接来自我们之前的分析。Letbe=mSeeHansen和Richard（1987）对随机贴现因子和大数定律进行了初步讨论，seeHansen和Singleton（1982）对随机贴现因子施加参数结构的计量经济学方法进行了讨论，并避免了假设分析师可以访问全套证券的数据。和bη=-δ. （be，bη）的选择解决了Perron–Frobenius问题3.1。由此产生的鞅bh使过程X保持平稳且遍历。结论直接来自假设2.1和命题3.3中建立的问题3.1解决方案的唯一性。回顾第3节，一般来说，BP概率度量吸收了长期风险r的调整。命题的直接含义。4是条件6.3使长期风险收益交易退化。