风险分担博弈中的均衡

这种情况适用于一个大型机构与多个小型代理商进行交易的市场，每个代理商的市场影响力微不足道。当所有代理应用最佳概率响应策略时，就会发生纳什型博弈。在第3节中，我们将纳什均衡描述为某个有限维问题的解。基于这一特征，我们建立了任意（有限）个代理的纳什风险分担均衡的存在性。在两主体博弈的特殊情况下，纳什均衡是唯一的。纳什均衡的有限维特征还提供了一种算法，可用于通过标准数值程序（如蒙特卡罗模拟）来近似纳什均衡交易。通过描述纳什均衡，我们能够进一步进行联合定性和定量分析。我们不仅验证了一个预期事实，即在任何非平凡的情况下，风险分担证券都不同于Arrow-Debreu证券，而且我们还提供了其形状的分析公式。由于与最佳概率响应相对应的证券是从下方有界的，因此所有代理应用这种策略会产生纳什风险分担市场清算证券也是从上方有界的。这与阿罗-德布鲁平衡形成鲜明对比，尤其意味着效率的严重损失。我们通过Arrow-Debreu和Nash均衡的聚合货币效用之间的差异，测量了6 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS Kardarash博弈导致的风险分担效率，并提供了一个分析表达式。（请注意，在对称信息的瘦市场模型中，当证券是外源性的时，也可能会发生风险的无效分配，参见例如[RW15]。

当证券是内生设计时，[CRW12]强调发行人之间的不完全竞争会导致风险分担效率，即使证券是在完全竞争的投资者之间交易。）有人可能想知道，被揭示的代理人在纳什均衡中的主观信念是否与他们的实际主观概率测度相去甚远，而从建模的角度来看，这是没有吸引力的。在我们的模型中，与实际信念的极端偏离是内生排除的，因为在纳什均衡中，真理与已报道信念的距离允许先验界。尽管代理人可以自由选择在风险分担交易中可能代表其信念的任何概率度量，并且他们最终确实选择了不同于实际的概率度量，但如果市场要达到均衡，这种偏离不能任意大。将我们的注意力转向纳什均衡估值，我们证明了定价概率测度可以写成个体代理人边际差异估值测度的某种凸组合。这种凸组合的权重取决于代理人的相对风险容忍系数，事实证明，纳什均衡估值测度更接近于风险厌恶程度更高的代理人的边际估值测度。这一事实突显了风险容忍系数在评估纳什风险分担均衡中个体代理人效用的得失时的重要性；事实上，这意味着风险容忍度更高的代理在纳什博弈中往往比在阿罗-德布鲁均衡中获得更好的现金补偿。受风险容忍系数参与代理人效用收益或损失的启发，在第4节中，我们将重点讨论两个代理人博弈的诱导Arrow-Debreu和Nash均衡，当代理人的偏好均不接近风险中性时。

我们首先确定两个平衡点都接近于明确的极限。值得注意的是，研究表明，一个风险容忍度极高的代理将市场推向相同的均衡，而不管另一个代理是否采取了战略性行动，或只是提出了真正的主观信念。换句话说，风险承受能力极强的代理人往往主导风险分担交易。对极限均衡的研究表明，尽管当代理人采取战略性行动时，总效用会损失，但对于风险承受能力极强的代理人来说，与Arrow-Debreu均衡相比，无论另一代理人的风险承受水平和主观信念如何，在Ash交易中总有效用收益。风险承受能力极强的代理人愿意承担更多风险，以换取更好的现金补偿；在风险分担博弈中，他们通过让市场以更高的价格买入他们所做空的证券，来回应风险规避代理的对冲需求和信念。这意味着，尽管风险仍然不是中性的，但风险承受能力足够高的代理机构会倾向于薄型市场。本文还讨论了两个交易主体一致接近风险中性的情况，即风险分担博弈中的限制均衡7纳什均衡分担证券等于限制均衡证券的一半，这暗示了纳什风险分担均衡导致交易量损失的事实。为了便于阅读，论文的所有校样都放在附录A.1中。风险的最优分担1。1.符号。符号“N”和“R”将分别用来表示全自然数和实数的集合。正如本文后面将要说明的，我们选择使用符号“R”来表示（报告的或揭示的）概率。在下文中，随机变量定义在标准概率空间上(Ohm, F、 P）。

Westress表示，状态空间不受任何完整性限制Ohm. 我们使用P表示所有概率的类别，这些概率相当于Q的基线概率P∈ P、 我们使用“EQ”来表示Q下的期望。所有（等价类、模几乎相等）具有概率收敛拓扑的单位值随机变量的空间Lconsists。这种拓扑结构不依赖于P的代表性概率，并且L可能是有限维的。问∈ P、 L（Q）由所有X组成∈ l具有等式[|X |]<∞. 我们用L∞对于本质上有界的随机变量的Lconsisting子集。每当Q∈ P和Q∈ P、 dQ/dQdenotes表示Q相对于Q的（严格正）密度。Q的相对熵∈ 关于Q的P∈ P通过h（Q | Q）定义：=EQdQdQlogdQdQ= 情商日志dQdQ∈ [0, ∞].为了X∈ 兰迪∈ 五十、 我们写X~ 只有当Y存在时∈ 特别是，我们将使用这个等价的概念来简化概率密度的表示：对于Q∈ P和Q∈ P、 我们将写日志（dQ/dQ）~ λ表示exp（λ）∈ L（Q）和dQ/dQ=（EQ[exp（λ）]）-1exp（λ）。1.2。代理和偏好。我们考虑一个只有一个未来周期的市场，所有的不确定性都得到了解决。在这个市场中，有n+1个经济代理人，其中n∈ N={1，2，…}；具体而言，定义索引集I={0，…，n}。代理人只能从未来的消费中获得效用，所有考虑的安全支出都以该金额的单位表示。

特别是，未来确定性金额对于代理具有相同的现值。agent i的偏好结构∈ 在数值上，效用代表未来的随机结果→ 用户界面（X）：=-δilog EPi[exp(-X/δi）]∈ [-∞, ∞),我在哪里∈ (0, ∞) 是代理人的风险承受能力和Pi∈ P代表代理人的主观信念。对于任何X∈ 五十、 i探员∈ I现金金额Ui（X）与相应的风险头寸X之间不存在差异；换句话说，Ui（X）是X的确定性等价物∈ i号特工∈ I.8 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS Kardaras指出-Ui是凸风险度量术语中的熵风险度量，参见[FS04，第4章]。确定总风险承受能力δ：=Pi∈IδI，以及所有I的相对风险容限λI:=δI/δ∈ I.注意pi∈IλI=1。最后，设置δ-i:=δ- δi和λ-i:=1- λi，尽管我∈ I.1.3。主观概率和天赋。通过（1.1）在数字上呈现的偏好结构足够丰富，足以包括代理机构已经存在的随机头寸组合的可能性。也就是说，假设EPI∈ P是代理人i的实际主观信念∈ 一、 他还以货币单位承担着未来的风险。按照标准术语，我们称之为累积（直到不确定性的解决点）支付，并用Ei表示∈ L.在此设置中，在Eia支付的基础上添加∈ 阿根蒂酒店∈ I导致数值效用等于ui（X）：=-δilog EePi[exp(-（X+Ei）/δi）]。假设EUI（0）>-∞, i、 e.那个经验(-Ei/δi）∈ L计划免疫. 定义Pi∈ P通过日志新闻部/新闻部~ -Ei/δiandUivia（1.1），Ui（X）=eUi（X）-eUi（0）适用于所有X∈ L

因此，在下文中，概率π被理解为包含了agent i的任何可能的随机禀赋∈ 一、 效用是以相对术语衡量的，与基线水平Eui（0）的差异。考虑到上述讨论，我们强调，代理人的特征完全在于他们的风险承受能力水平和（捐赠修正的）主观信念，即通过收集风险（δi，Pi）i∈I.在其他方面，除非另有说明，代理人被认为是对称的（关于信息、议价能力、风险分担参与成本等）。几何平均概率。我们介绍一种方法，该方法产生的概率几何平均值将在我们的讨论中发挥核心作用。修复（Ri）i∈我∈ 圆周率。鉴于H–older的素质，Qi∈I（dRi/dP）λI∈ L（P）保持。因此，我们可以定义Q∈ P通过日志（dQ/dP）~圆周率∈Iλilog（dRi/dP）。辛塞皮∈Iλilog（dRi/dQ）~ 0，允许一个人正式写入（1.2）日志dQ~xi∈我λilog dRi。事实上，dRi/dQ∈ L（Q）表示对数+（dRi/dQ）∈ L（Q）和Jensen不等式givesEQ[log（dRi/dQ）]≤ 0，尽管我∈ 注意（1.2）意味着c的存在∈ 是这样吗∈Iλilog（dRi/dQ）=c保持；因此，实际上有EQ[log（dRi/dQ）]∈ (-∞, 0]，为alli∈ I.特别是对数（dRi/dQ）∈ L（Q）代表我的一切∈ 一、 andH（Q | Ri）=-等式[对数（dRi/dQ）]<∞, 我∈ I.1.5。证券与估值。代理人偏好之间的差异为设计证券提供了激励，证券交易在降低风险方面可能对双方都有利。原则上，以任何令人满意的方式设计和交易证券的能力基本上导致了一个完整的市场。在这样一个市场中，代理人之间的交易的特点是估值指标（将价格分配给所有可想象的证券），以及在风险分担博弈中实际可交易的证券集合。

由于所有未来的支付都是在同一个数字下衡量的，（无套利）估值对应于对P中概率的预期。给定估值指标，代理人在集合（Ci）i中达成一致∈我∈ （五十） 零价值证券，满足市场清算条件∈ICi=0。我的特工∈ 作为交易的一部分，我采取了长期立场。如介绍部分所述，我们的模型可以在OTC市场找到应用。例如，资产支持证券的设计只涉及少数金融机构；在这种情况下，PIS代表每个机构的主观信念∈ 鉴于§1.3的讨论，我进一步合并了支持证券支付的任何现有投资组合。为了分担其风险头寸，各机构就未来随机支付的价格和将要交换的证券达成一致。其他例子包括创新信用衍生品市场或涉及随机支付和固定支付交换的资产互换市场。1.6. 阿罗-德布鲁平衡。在设计证券时没有任何战略行为的情况下，代理人之间达成一致的交易实际上会形成一个阿罗-德布鲁均衡。估值指标将决定交易价格和差异价格，证券的构建方式将使每个代理人各自的效用最大化。定义1.1。Q*, （C）*i） 我∈我∈ P×（L）i称为Arrow-Debreu平衡，如果：（1）π∈IC*i=0，以及C*我∈ L（Q）*) 和情商*[C]*i] =0，就我所知∈ 一、 （2）对于所有C∈ L（Q）*) 有情商*[C]≤ 0，Ui（C）≤ 用户界面（C）*i） 对我来说都是如此∈ I.根据（1.1）建模的风险偏好，可以明确地得出一个独特的Arrow-Debreu均衡。在其他方面，下面的定理1.2出现在许多著作中，例如[Bor62]、[BJ79]和[Buh84]。

它的证明基于标准论点；然而，出于复杂性的原因，我们在§a.1中提供了一个简短的论点。定理1.2。在上述设置中，存在一个独特的箭头-德布鲁平衡Q*, （C）*i） 我∈我.事实上，估值指标Q*∈ P为（1.3）对数dQ*~xi∈Iλilog dPi和均衡市场清算证券（C*i） 我∈我∈ （五十） i由（1.4）C给出*i:=δilog（dPi/dQ*) + δiH（Q）*| Pi），我∈ 一、 其中H（Q）是*| Pi）<∞ 对我来说都是如此∈ 我遵循§1.4。代理人在（1.4）中描述的Arrow-Debreu均衡条件下获得的证券为其个人主观概率高于“几何平均”概率Q的事件提供了更高的报酬*of（1.3）。换句话说，信念的差异会导致分配，而代理人在相应的、相对更可能发生的事件上获得更高的回报。10 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS KARDARA SNote还表示，在Arrow-Debreu均衡交易的证券有一个有趣的分解。自Ui（δilog（dPi/dQ*)) = -δilog EPi[dQ*/dPi]=0=Ui（0），代理i∈ I不区分无交易和第一个“随机”部分δilog（dPi/dQ*) 安全委员会*i、 第二个“现金”部分δiH（Q*| Pi）的*iis始终为非负，代表agenti的货币收益∈ 我是Arrow Debreu交易的结果。本次交易后，agenti的职位∈ 我有相当于（1.5）u的确定性*i:=Ui（C）*i） =δiH（Q*| Pi），我∈ I.Arrow-Debreu交易产生的代理人总货币价值等于（1.6）u*:=xi∈Iu*i=Xi∈IδiH（Q）*| Pi）。备注1.3。在§1.3的设置和符号中，让（Ei）i∈Ibe是特工随机捐赠的集合。此外，假设代理人有共同的主观信念；对于具体性，假设epi=P，对于所有i∈ 我

在这种情况下，设置E:=Pi∈IEi，即（1.3）满意度对数（dQ）的均衡估值测度*/（dP）~ -E/δ和（1.4）的平衡证券由C给出*i=λiE- 工程安装- 情商*[λiE- 虽然我∈ I.尤其要注意一个众所周知的事实，即每个共享证券的支付是代理人随机捐赠的线性组合。备注1.4。自从C*i/δi~ - 对数（dQ）*/dPi），计算（1.7）用户界面（Ci）非常简单- 用户界面（C）*i） =-δilog EQ*经验-词- C*我δ我, 词∈ L我∈ 特别是，Jensen不等式的一个应用给出了Ui（Ci）-用户界面（C）*（一）≤ 情商*[Ci- C*i] =EQ*[Ci]对于Ci∈ L（Q）*), 当且仅当Ci~ C*i、 最后一个不等式表明C*iis为代理i提供了优化设计的安全性∈ I根据估值标准Q*. 此外，对于任何收藏（Ci）i∈伊维斯皮∈ICi=0和Ci∈ L（Q）*) 尽管我∈ 一、 接下来就是Pi∈IUi（Ci）≤圆周率∈IUi（C）*i） =u*. 使用单调收敛定理的标准参数扩展了前一个不等式toXi∈IUi（Ci）≤xi∈IUi（C）*i） ,，（Ci）我∈我∈ （五十） 岩西∈ICi=0，当且仅当Ci~ C*如果我∈ I.因此，（C）*i） 我∈它是函数ALPI的最大化器∈IUi（Ci）over all（Ci）i∈我∈ （五十） 伊维斯皮∈ICi=0。事实上，所有这些最大化器的集合是（zi+C）*i） 我∈我在这儿∈我∈ 里皮就是这样∈Izi=0。可以证明，所有帕累托最优证券正是这种形式；参见[JST08，定理3.1]以获得更一般的结果。由于帕累托最优，集合（Q*, （C）*i） 我∈一） 通常分别被称为（福利）最优证券和估值测度。当然，不是每个帕累托最优分配（zi+C）*i） 我∈一、 我在哪里∈我就是这样∈Izi=0，在经济上是合理的。必须施加的最低“公平”要求是，在风险分担博弈中，每个代理在交易后的平衡至少与初始状态一样好。

由于实用程序仅在终端时间内运行，因此我们获得了要求zi≥ -U*i、 尽管我∈ I.虽然通常有许多选择满足后一个要求，但定理1.2的选择zi=0在完全金融市场均衡方面具有最清晰的经济解释。备注1.5。如果我们忽略潜在的交易成本，代理人没有动机进入风险分担交易的情况极为罕见。的确，i探员∈ 当且仅当Ci=0时，我将不参与Arrow Debreu事务，当Pi=Q时会发生这种情况*. 特别是，代理人已经处于Arrow-Debreu均衡状态，如果且仅当他们都有相同的主观信念时，就不会发生交易。2.代理的最佳概率响应2。1.风险分担中的战略行为。在Arrow-Debreu的环境中，由此产生的均衡是基于这样一个假设，即代理人不应用任何类型的战略行为。然而，在大多数实际的风险分担情况下，没有代理人战略行为的建模假设是不合理的，除其他外，导致对市场效率的高估。当证券在经纪人之间协商时，他们的设计和估值不仅取决于他们现有的风险投资组合，还取决于他们对未来结果的看法，他们将报告分享。一般来说，代理人将有动机报告可能与他们对未来不确定性的真实看法不同的主观信念；事实上，这些也将取决于其他方报告的主观信念。如§1.6所述，对于给定的一组代理人的主观信念，最优分享规则由导致阿罗-德布鲁均衡的机制控制，因为这些规则有效地分配了代理人之间的风险和信念差异。