风险分担博弈中的均衡

另一方面，Q的可能差异从风险容忍代理来看，基于边际效用的估值对该代理有利，因为它提供了以零价格购买正价值证券的机会。第4节讨论了沿着这些路线的限制性指导场景。风险分担博弈中的均衡25边际差异估值测度（Qi） 我∈Iof（3.11）可用于提供纳什均衡中效用增益的利息公式，以及纳什和罗-德布鲁交易之间的效用差异。首先请注意（3.3）和（3.8）给出了日志dQ*dQ=Xj∈Iλjlog1+Cjδ-J+U*- Uδ、 再加上（3.9）和C*i=δilog（dPi/dQ*) + U*包括（3.14）Ci+δilog1+C我δ-我= Zi+C*i+δiXj∈Iλjlog1+Cjδ-J= Ui+δilogdPidQ.进一步使用（3.11）并对Q进行期望在（3.14）中，我们得到了i=δiH（Q| （圆周率）- δiH（Q）| Qi） ，我∈ I.最后一个等式必须与（1.5）进行比较。与Arrow-Debreu均衡一样，纳什均衡中的代理人受益于由此产生的估值指标与其主观观点之间的距离；然而，与Arrow-Debreu交易的帕累托最优效率不同，Nashtransaction中的代理从估值度量与其各自边际差异估值度量之间的距离中承受损失。从（3.14）和（3.11）可以得出C我=-δilog（dQi/dPi）+Ui（Ci）；把这个和C结合起来*i=δilog（dPi/dQ*) + U*i、 我们得到Ci+δilog（dQi/dQ*) = C*i+（u）我- U*i） 就我所知∈ 我

对Q的期望值*, 因此，（3.15）u我- U*i=EQ*[C][i]- δiH（Q）*| Qi） ,，我∈ I.两种均衡中个体代理人效用的差异来自两个不同的来源。第一个来源于Arrow Debreuvaluation与agent i的个体边际差异估值之间的差异（通过相对熵测量）∈ 我在纳什均衡中。当代理人在纳什均衡中的边际差异估值测度接近于罗-德布鲁测度时，纳什博弈造成的效用损失较低。从某种意义上说，这是代理人i“支付”的公用事业总损失的一部分∈ I（另见下文（3.16））。（3.15）右侧的另一个术语涉及Arrow Debreu估价指标Q下的价格*我特工的实际安全措施∈ 我在纳什均衡买东西。回顾纳什证券的纳什均衡价格（Ci） 我∈我是零，EQ的正性*[C]i] 意味着安全性C在纳什均衡交易中，iis被低估。再次注意，如果Q接近Q*,估值公式*[C]i] 倾向于积极，因为情商i[C]i] 始终为非负（见（3.12））。放弃之前的讨论：边际差异估值指标接近Arrow Debreu one的代理往往会从纳什博弈中受益。正如我们将在第4节中看到的，例如，当代理i∈ 我有足够的风险承受能力。26 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS KARDARA SDue根据市场清算条件∈ICi=0时，总损失仅考虑单个边际指标与Arrow-Debreu最优指标的总差异：某些证券余额估值过低，而其他证券余额估值过高。

事实上，加起来（3.15）我∈ 一、 给出（3.16）u*- U=xi∈IδiH（Q）*| Qi） ，将纳什效率衡量为纳什均衡中个体代理人边际差异估值的最优估值的总差异。等式3.16是（1.6）的对应项，其中考虑了与Arrow-Debreu风险分担相比完全没有交易的效率。3.4。通过有限维寻根，纳什均衡的存在性和唯一性。定理3.2被用作一个指南，以寻找平衡点，使用n维空间参数化候选最优证券在（3.1）中介绍。接下来的命题3.5，其证明是§A.5的内容，能够将纳什均衡的搜索（在我们的环境中，纳什均衡是一个固有的有限维问题）简化为有限维问题。后一个问题为纳什均衡的数值近似提供了必要的工具（另见下面的例子3.8）。提案3.5。尽管如此，z∈ 存在唯一的（Ci（z））i∈我∈ （五十） Iwith Ci（z）>-δ-iand（3.17）Ci（z）+δilog1+Ci（z）δ-我= zi+C*i+δiXj∈Iλjlog1+Cj（z）δ-J, 我∈ I.（注意，Pi∈ICi（z）=0表示所有z∈ 此外，它认为（3.18）EQ*Yj∈我1+Cj（z）δ-J-λj< ∞.在命题3.5的符号中，对于每个z∈ 一、 通过（3.19）对数确定概率Q（z）dQ（z）dQ*~ -Xj∈Iλjlog1+Cj（z）δ-J.统一边界-δ-i<Ci（z）<（n）- 1） δ+δi完全按照§3.3.1的规定，并暗示exp（Ci（z）/δi）∈ L（Q（z））代表所有i∈ 我和z∈ I.特别是（Ci（z））I∈我∈ CQ（z）代表所有z∈ I.根据定理3.2，纳什均衡相当于发现z∈ Isuch thatEQ（z）[Ci（z）]=0代表所有i∈ 我

实际上，我们可以定义一个函数：I7→ R+通过公式（3.20）`（z）=-xi∈我δ-伊洛格1+EQ（z）[Ci（z）]δ-我, Z∈ I.Ci（z）>-δ-我为所有人欢呼∈ 一、 “很明确。此外，不等式log（x）≤ 十、-1，适用于所有x∈ (0, ∞), 给出`（z）≥ -xi∈我δ-我等式（z）[Ci（z）]δ-我= -等式（z）“Xi∈ICi（z）#=0，Z∈ 一、 鉴于PI∈ICi（z）=0表示所有z∈ 一、 这表明`确实是R+值的。此外，由于log（x）<x- 1代表所有x∈ (0, ∞) \\ {1} ，对于任何z∈ Iit表示`（z）=0相当于所有i的等式（z）[Ci（z）]=0∈ I.以下结果总结了上述讨论。提议3.6。对于前面的符号，以下是正确的：o假设（Q, （C）i） 我∈一） 是纳什均衡，让z≡ （z）i） 我∈我∈ Ibe如（3.2）所示。然后，`（z）) = 0.o假设z的存在∈ 这是`（z）`) = 0.然后，（Q（z）), （Ci（z）))我∈一） 正如在（3.17）和（3.19）中定义的那样，这是一个纳什均衡。命题3.6提供了纳什均衡和`根之间的一一对应关系。回顾§3.3.4中的讨论，`的任何根都属于i考虑（子）i∈我∈ Iwith zi≥ -U*如果我∈ I.这一事实允许通过蒙特卡罗模拟等方法对纳什均衡进行数值近似。尽管命题3.6具有实用价值，但它并没有回答纳什均衡的实际存在性问题，以及在存在的情况下，唯一性问题。这些问题在下文的OREM 3.7中解决，其证明是§A.6的主题。定理3.7。纳什风险分担均衡总是存在的。此外，当I={0，1}时，纳什风险分担均衡必然是唯一的。三个或三个以上代理的唯一性问题仍然悬而未决，从数学角度来看，这一问题更具挑战性。

在所有进行的数值模拟中，我们观察到纳什均衡的存在性和唯一性。下一个例子很有代表性。例3.8。考虑一个δ=δ=δ=1的三人博弈。我们假设log（dPi/dP）~Xiholds for i∈ {0,1,2}，其中（X，X，X）在基线概率P下具有平均零正态分布，σ（X）=0.4，σ（X）=2.7，σ（X）=1.1，ρ（X，X）=-0.9，ρ（X，X）=0.7和ρ（X，X）=-0.3. 在图4中，我们绘制了（z，z）不同值的函数，仅在不等式z指定的有界区域内≥ -U*, Z≥ -U*, z+z≤ U*, 其中z+z=-z、 可以看出，向量上有一个唯一的`近似根= （z）, Z, Z) = (0.14, -0.7,0.56）。对应于示例3.8.4，函数`表示不同的z值。极端风险容忍度如§3.3.5所述，风险容忍系数是博弈对每个代理人效用造成的收益或损失的关键因素。在本节中，我们通过研究和比较当代理人的风险偏好接近完全风险中性时，Arrow-Debreu和Nash风险分担均衡来更深入地研究这个问题。为了专注于结果的经济解释，我们考虑了两种药物的简化（但具有代表性）情况。接下来的分析考察了两种情况：第一，只有一个代理变得极端风险容忍；第二，两个代理的风险容忍系数一致接近。除了这一分析本身的利益外，它还允许我们证实一种说法，即高度风险容忍的代理人实际上从风险分担游戏中受益。4.1. 一个风险承受能力极强的特工。

我们从两个代理的情况I={0，1}开始，其中只有一个代理的风险规避接近于零。我们保持风险容忍度δ和主观概率Pof代理1固定。另一方面，对于代理0，我们考虑一系列风险容忍系数（δm）m∈N和limm的财产→∞δm=∞ 以及固定的主观概率P。在这个设置中，定理1.2和定理3.7指出，对于每个m∈ 存在一种独特的平衡Qm，*, （厘米，*i） 我∈我还有一个独特的纳什均衡Qm，, （厘米，i） 我∈我. 我们以代理0为基线，关注证券Cm，*还有Cm，, 从那时起，*= -厘米*还有Cm，= -厘米.风险分担博弈中的均衡29我们首先研究估值规则和均衡交易中证券的限制行为。每m∈ N、 从（1.3）中，我们获得了Qm，*∈ P是这样的log（dQm，*/（dP）~ λmlog（dP/dP）。更准确地说，我们有（4.1）dQm，*dP=EP“dPdPλm#-1.dPdPλm，给定limm→∞λm=0，L-limm→∞（dQm，*/dP）=1很容易遵循支配收敛定理，实际上，|·| tV表示总变差范数，Scheffe引理暗示limm→∞|Qm，*- P | TV=0。因为，Cm，*= -厘米*= δlog（dQm，*/（dP）- δH（Qm，*| P） 对所有人都适用∈ N和（Qm，*)M∈n收敛到P，我们期望L-limm→∞厘米*=δlog（dP/dP）- δH（P | P）。显然，要使之前的限制有效，以下（技术）假设是必要的。假设4.1。H（P|P）<∞.在§A.7中，后一种假设也足以证明命题4的有效性。2，给出了Arrow-Debreu均衡中的有限估值和安全性，以及两个代理的有限收益。提议4.2。在假设4.1的作用下，它认为∞,*:= L-limm→∞厘米*=δlog（dP/dP）- δH（P | P），limm→∞嗯，*= 0和limm→∞嗯，*= δH（P | P）。事实上，一个接近风险中性的代理的效用收益几乎为零。

要了解这一点，请将限制性估值测度P与代理0的限制效用进行比较，后者是相对于P的线性期望。另一方面，代理1的效用增益不受限制的唯一情况是，两个代理的主观信念一致。现在我们转向纳什风险分担均衡。从（3.4）中，我们得到了Cm，+ Δλmlog1+Cm，/δ1 - 厘米/δm= zm，+ 厘米*, M∈ N.接受序列zm，M∈在R和厘米M∈n在L中收敛（这些猜想实际上必须作为下面定理4.4的一部分加以证明），并且假定→∞δm=∞, 林姆→∞λm=1和L-limm→∞厘米*= C∞,*, 极限安全∞,:= L-limm→∞厘米应该满足C∞,+ δlog1+Cm，/δ= Z∞,+ C∞,*, z在哪里∞,:= 林姆→∞zm，. 这个启发性的讨论给出了计算极限的方法。对于任何一个z∈ R、 定义随机变量C∞（z） 满足方程式（4.2）C∞（z） +δlog1+C∞（z） δ= z+C∞,*.自从功能(-1.∞) 3 x 7→ x+log（1+x）是严格递增且连续的映射(-1.∞) 到(-∞, ∞), 因此，C∞（z） 是一个定义明确的(-δ, ∞)-有值随机变量30米切尔·安索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉∈ R.那么，我们应该有C∞,= C∞（z）∞,). 虽然z∞,是作为zm，M∈N、 我们实际上可以先验地确定它的价值。要取得进展，请注意从（3.3）日志（dQm、，/dQm，*) ~ -λmlog（1+Cm，/δ) - λmlog（1）- 厘米/δm），M∈ N、 事实上，林姆→∞|Qm，*- P | TV=0，极限纳什估值概率Q∞,应确保log（dQ∞,/（dP）~ - 对数（1+C）∞,/δ); 因为情商∞,C∞,= 0预计将保持在极限，我们实际上得到了EP1+C∞,/δ-1.= 1必须满足。下一个结果（其证明见§A.8）确保了唯一的此类候选人z∞,∈ R是存在的。引理4.3。

在（4.2）的符号中，存在唯一的z∞,∈ 满足等式1+C∞（z）∞,)/δ-1.= 在我们陈述关于纳什均衡极限行为的主要结果之前，我们先做一个最后的观察。回想一下（3.5）中的日志数字版权管理，/数据处理~ - 日志1.- 厘米/δm对所有人都适用∈ N.自林姆以来→∞δm=∞ 事实证明，厘米M∈Nis收敛，揭示的主观性概率Rm，当m很大时，代理1的概率非常接近实际的P。（有另一种方法可以获得相同的直觉。从（3.6）中，注意dRm，/数据处理≥ λmholds对所有m∈ N.自林姆以来→∞λm=1和（dRm，/dP）m∈Nhas在P下的恒定单位预期，Rm，M∈这表明在§2.3中讨论的情况下具有相同的渐近行为，其中只有代理人0按照最佳概率响应的指示在战略上采取行动，而代理人1则报告了真实的主观信念P。事实上，以下结果（其证据在§A.9中给出）意味着限制性安全结构是相同的，不管厌恶风险的代理1是否进入游戏，或者只是报告真实的主观信念（在这种情况下，只有接近风险中性的代理才会有策略性的行为）。定理4.4。在前面的符号中（特别是引理4.3），它表示C∞,:= L-limm→∞厘米= C∞（z）∞,) = L-limm→∞Cm，r.极限的相等性厘米M∈Nand厘米，rM∈Nimplies认为风险中性代理人的战略行为主导了风险分担交易。直觉上，高风险承受能力的代理人愿意在共享交易中承担更多风险，以换取更高的现金报酬。因此，在极限情况下，风险中性代理满足其他代理报告的套期保值需求，但通过应用最佳响应策略实现更好的价格。另一方面，对于规避风险的代理人来说，降低风险比付出更高的代价更重要。

因此，在均衡状态下，风险厌恶型代理人倾向于提交真实的信念，即使这会给风险中性代理人带来更高的代价。在阿罗-德布鲁均衡交易中，情况完全不同，代理人基本上充当价格接受者，证券和价格由交易效率决定。风险分担博弈中的均衡31我们在第3.3小节中指出，在任何风险转移情况下，纳什均衡都会导致一些效率损失。尽管与Arrow-Debreu均衡相比，纳什均衡下的总效用降低，但在风险分担博弈中，某些代理人可能获得更高的效用收益。特别是，下面的命题4.5（其证明见§A.10）表明，具有足够高风险承受能力的代理人在纳什均衡交易中享有比阿罗-德布鲁均衡共享时更高的效用。提案4.5。定义Q∞,∈ P使得dQ∞,/dP=1+C∞,/δ-1.然后：limm→∞嗯，- 嗯，*=δVarQ∞,C∞,,林姆→∞嗯，- 嗯，*= -δVarQ∞,C∞,- δHP|Q∞,.风险规避代理人的有限损失来自两方面。第一个是（1/δ）VarQ∞,C∞,,这是代理0的极限增益。剩余量δHQ∞,*|Q∞,事实上是应用战略行为的损失，而不是以帕累托最优方式分享。只要C∞,不等于零。4.5号提案的信息是明确的。战略行为的引入使具有高风险承受能力的代理能够获得更好的价格，而风险厌恶程度越高的代理则愿意为实现风险降低而支付更高的价格。

与Arrow-Debreu均衡不同的是，在该均衡中，价格由最优共享度量给出，具有足够高风险容忍度的代理愿意在纳什博弈中接受更多风险，因为他们的策略推动市场为他们提供更好的现金补偿。事实上，一个更厌恶风险的代理人不仅倾向于承担由博弈造成的所有效率损失，而且还促进（有效地）承受风险的交易对手的效用收益。回顾§3.3.5的讨论和注释，我们可以提供一些更详细的评论。从（3.11）和命题4.5可以看出，代理人0的边际估值测度接近极限最优估值测度Q∞,*. 这意味着，对于足够大的∈ N、 代理0在纳什均衡中得到的安全性确实被低估了，请注意∞,*C∞,=情商∞,C∞,（1+C）∞,/δ)= （1/δ）VarQ∞,C∞,. 根据（3.15）和下面的讨论，我们很容易得出代理0的效用增加了。对于风险规避者来说，情况有所不同。从（3.13）可以看出，将接近Qm，对于大型m∈ N、 这反过来又会接近Q∞,. 因此，对于足够大的m∈ N、 代理人1在纳什均衡中收到的证券被高估；除此之外，代理1还承担着灰平衡的所有风险分担效率。4.2. 两个代理都具有极高的风险承受能力。我们在上文中已经看到，高风险容忍代理的战略行为主导着纳什博弈，并推动市场进行他更喜欢的交易，而不管其他代理的行为如何。在这里，我们将研究当两个代理人以相同的速度接近风险中性时，米切尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉·沙彭斯对均衡的影响。更准确地说，我们定义λ∈ （0,1）和λ∈ （0,1），λ+λ=1，考虑一个非递减序列（δm）m∈让我看看→∞δm=∞. 定义δmi:=λiδmf，适用于所有m∈ N和我∈ {0, 1}.