风险分担博弈中的均衡

为此，我们需要引入n维欧几里德空间（3.1）I=（z）∈ 里xi∈Izi=0）。定理3.2。收藏（Q, （C）i） 我∈（一）∈ P×（L）是纳什均衡当且仅当下列三个条件成立：（N1）C我>-δ-如果我∈ 一、 还有z= （z）i） 我∈我∈ 这是（3.2）Ci+δilog1+C我δ-我= Zi+C*i+δiXj∈Iλjlog1+Cjδ-J, 我∈ 我（N2）带Q*∈ P如（1.3）中所述，即记录dQ*~圆周率∈Iλilog dPi，它认为（3.3）logdQdQ*~ -Xj∈Iλjlog1+Cjδ-J;（N3）情商[C]i] =0代表所有i∈ 一、备注3.3。假设代理人的偏好和风险敞口在阿罗-德布鲁均衡中不会发生交易，当所有i都相同（并且等于，比如，P）时，就会发生这种情况∈ 见备注1.5。在这种情况下，Q*= P和C*i=0表示所有i∈ I.从定理3.2可以直接看出，纳什均衡也由Q给出= P和Ci=0（以及zi=0）就我所知∈ I.事实上，如§3.3.4所述，这是本案中唯一的纳什均衡。相反，假设纳什均衡由Q给出= P和C风险分担博弈中的均衡i=0 19i∈ I.然后，（3.3）表明*= Q= P和（3.2）意味着C*我~ -Z我~ 0，这意味着C*i=0表示所有i∈ 我

换句话说，纳什风险分担均衡不涉及风险转移，只有当代理人已经处于帕累托最优状态时。在两个代理的重要案例中= -C, 应用（3.2）中的简单代数，我们得到了风险分担证券的纳什均衡是这样吗-δ<C< δ和满意度（3.4）C+δ测井1+C/δ1 - C/δ= Z+ C*.在定理3.7中，将证明两个代理情况下唯一纳什均衡的存在性。此外，§3.4中介绍的一维寻根算法允许计算灰平衡，并进一步计算和比较每个单独药剂的最终位置。例如，考虑示例2.8及其对称情况，如图2所示，其中，证券的有限责任在于较少的可变性和代理人位置的右尾。在纳什均衡下，如§3.3.1，安全C所述这意味着代理最终位置的概率密度函数向左移动。这一事实如图3所示。图3。绿色实线是位置E+C的pdf, 蓝色虚线显示了位置E+C的pdf*红色虚线是位置E+Cr的pdf，都在常见的主观概率度量下。在这个例子中，σ=σ=1，ρ=-0.5.尽管存在上述对称情况，但并非所有代理人都必须在纳什均衡风险分担下承担效用损失。正如我们将在第4节中看到的，对于风险容忍度足够大的代理，谈判博弈比通过哈罗-德布鲁均衡获得的效用更高。3.3. 处于平衡状态。根据定理3.7，定义意义上的纳什均衡3。1永远存在。

在§3.3中，我们假设（Q, （C）i） 我∈一） 这是一个纳什均衡，并根据特征化定理3.2.20米切尔·阿瑟罗佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉S3对其某些方面进行了讨论。3.1. 交易证券的内生界限。正如备注2.4所指出的，每个代理通过最佳响应程序输入的安全性在下面有界。当所有参与代理遵循相同的策略行为时，纳什均衡证券也从上而下。事实上，由于市场已经清仓，经纪人长期持有的证券被其他经纪人做空，他们同样打算约束自己的债务。从数学上来说，C我>-δ-iis对我所有人都有效∈ 我和皮∈ICi=0成立，它也跟在C后面我=-Pj∈I\\{I}Cj<Pj∈I\\{I}δ-j=（n）- 1） δ+δi，对于所有i∈ I.因此，代理人战略行为的一个后果是纳什风险分担证券是内生有界的。这一事实与（1.4）的Arrow-Debreu均衡形成了鲜明对比，在该均衡中，风险转移可能涉及具有无限收益的证券。证券边界的直接后果是，纳什风险分担交易的潜在收益也是内生有界的。自然地，由此产生的内生界限表明，代理人之间的博弈如何限制风险分担交易，而这反过来可能会导致效率的巨大损失。下一个例子说明了在简单的对称设置中的这种效率。拉特伦，在图3中，另一个双代理示例中的效用损失是可视化的。例3.4。让X∈ l在β的基线概率P下，使用标准（零均值，单位标准偏差）高斯定律∈ R、 定义Pβ∈ P通过日志dPβ/dP~ βX；在Pβ下，X具有平均β和单位标准差的高斯定律。固定β>0，并设置P:=Pβ和P:=P-β.

在这种情况下，计算C是很简单的*= βX=-C*. 它还允许你*= β/2=u*. 如果β较大，则在Arrow-Debreu交易后，代理人的信念之间的差异将导致双方获得更大的货币利益。另一方面，如定理3.7所示，在两个代理的情况下，存在唯一的纳什均衡。事实上，在这种对称的情况下，我们有-1<C< 1，可以检查（参见下文（3.4）C+日志1+C1.- C= βX.随着β>0值的增加，游戏造成的效率损失变得更大。事实上，如果β收敛到单位，可以证明C收敛到符号（X）=I{X>0}- I{X<0}；此外，U（C）和) 和U（C）) 将收敛到1，这表明与Arrow-Debreu交易相比，纳什均衡交易具有极大的效率。注意，内生边界-δ-i<C我- 1） δ+δ仅取决于代理人的风险耐受性，而不是他们的实际信念（或风险暴露）。此外，这些边界在相当厌恶风险的代理玩的游戏中变得更加严格，因为他们越来越不愿意承担风险。3.3.2. 如果交易，你永远不会透露你的真实信仰。如备注2.3所述，在涉及风险分担博弈的风险转移平衡的任何情况下，代理人的最佳概率反应都不同于他们的实际主观信念。当我们考虑纳什风险分担均衡时，这个结果变得更加明显。

也就是说，如果i） 我∈我揭示了与纳什均衡相对应的主观信念，这是定理3.2（另见（2.4））的结果，即（3.5）对数博士idPi~ - 日志1+C我δ-我, 我∈ I.注意Ri=Piholds当且仅当C对于任何固定i，i=0∈ 我因此，当代理人（通过实际交易）参与纳什均衡时，他们所报告的主观信念永远不会与实际信念相同。尽管在任何非平凡的交易情况下，代理人会报告不同于他们实际的主观信念，但我们将在下面论证（3.5）对可能的差异的程度施加了内生约束；以下讨论对备注2.1进行了扩展。通过将（3.5）写入日志（dPi/dR）开始i） =-κi+log（1+Ci/δ-i） ，κ在哪里i:=伐木工人i[1+Ci/δ-i] ，注意i[C][i]≥ -δilog ERi[exp(-Ci/δi）]≥ 0成立，我们使用了Jensen不等式和（Q, （C）i） 我∈一） 是活性剂偏好对的Arrow-Debreu平衡（δI，Ri） 我∈I.κ我≥ 0有效，这意味着dPi/dR我≤ 1+Ci/δ-i、 为了艾莉∈ I.定义权重（αI）I∈Iviaαi:=δ-i/nδ=λ-i/n为所有我∈ I（注意0<αI<1/n表示所有I∈ 一、 还有那个∈IαI=1），市场清算条件pi的使用∈ICi=0givesPi∈IαI（dPi/dR（一）≤ 1.可以得到相应的下限。实际上，使用内生边界C我≤ （n）- 1） δ+δi，它表示κ我≤ - 记录所有我∈ 一、 哪个给了SDPI/dR我≥ αi（1+C）i/δ-i） =αi+Ci/（nδ）。再次使用市场清算条件∈ICi=0，它跟在pi后面∈I（新闻部/博士）（一）≥ 1.

概括一下，Xi∈我是IDP我≤ 1.≤xi∈IdPidRiholds，它对似然比dPi/dR施加了相当大的先验限制如果我∈ I.（例如，与实际的主观信念相比，没有任何事件是所有代理人都会夸大或低估其可能性的。）特别是，因为1/αi=n/λ-i、 我们得到了（3.6）dPidR我≤nλ-我我∈ I.上述关于PIR的可能性上限主要取决于剩余药剂的数量和药剂的相对风险耐受系数；它既不依赖于总风险容忍度δ，也不依赖于其他代理人的实际主观信念。此外，还要注意，束缚（3.6）意味着H（Pi | Ri） =EPi[log（dPi/dR）i） ]≤ 对数（n/λ）-i） 。后者给出了一个先验的内生估计，即在纳什均衡中，真理与所报告的信念之间的距离。22米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉S3。3.3. 丧失效率。如前所述，代理人的战略行为会导致风险分担效率，这是因为公用事业公司（Ui）∈i用确定性等价物表示，可以通过箭头指示下的总货币效用和纳什均衡风险分担交易下的总货币效用的差异来衡量。请注意，风险分担文献中也使用了类似的效率衡量标准，例如[Vay99]或[AB05]。

从数学上讲，效率损失等于u*-U=圆周率∈Iu*我-圆周率∈Iui、 你在哪里*i） 我∈英国*定义在（1.5）和（1.6）中，而i:=Ui（C）i） ,，我∈ 一、 你呢:=xi∈Iui、 从（1.7）、（3.2）和（3.3）中，可以得出我- U*我=-δilog EQ*经验-C我- C*我δ我= Z我- δilog EQ*1+C我δ-我Yj∈我1+Cjδ-J-λj= Z我- δilog EQ1+C我δ-我- δilog EQ*Yj∈我1+Cjδ-J-λj, 我∈ 一、回顾情商[C]i] =0代表所有i∈ 一、 并注意到等式*Yj∈我1+Cjδ-J-λj= 情商Yj∈我1+Cjδ-Jλj-鉴于（3.3），我们获得（3.7）u我- U*i=zi+λiδ对数等式Yj∈我1+Cjδ-Jλj, 我∈ I.总计（3.7）∈ 我用π这个事实∈伊兹i=0时，可以得到游戏导致的效率损失的解析表达式：（3.8）u- U*= δlog EQ“易∈我1+C我δ-我λi#。从那时起∈I（1+C）i/δ-i） λi≤圆周率∈IλI（1+C）i/δ-i） =1+Pi∈IλiCi/δ-我从事实上[C]i] =0代表所有i∈ 一、 我们确实有你≤ U*（从Remark1.4中可以看出）；此外，美国的平等= U*当且仅当Ci=0代表所有i∈ 一、 当且仅当C*i=0代表所有i∈ 见备注3.3。换句话说，纳什风险分担均衡总是意味着效率的严格损失，但纳什均衡内没有交易的情况除外（这相当于纳什均衡内也没有交易的情况）。风险分担博弈中的均衡233.3.4。关于z的先验信息. 从（3.7）和（3.8）中可以得到（3.9）u我- U*i=zi+λi（u）- U*) , 我∈ I.上述等式意味着对z的经济解释i=λi（u）*- U) + （u）我- U*i） 。

的确，λi（u）*- U) 是分数，对应于试剂i∈ 一、 形成纳什均衡（而非阿罗-德布鲁均衡）所造成的效用总损失；另一方面，美国我- U*i是代理i∈ 我在纳什均衡中从阿罗-德布鲁均衡中获得。尽管总体效用为在纳什均衡中，风险分担永远不能高于罗-德布鲁的总效用*, 有些代理人可能会从博弈中受益，因为他们在谈判博弈后的个人效用比Arrow-Debreu均衡的效用收益更高。我们将在第4节中讨论此类情况。方程（3.9）有助于获得z的紧边界= （z）i） 我∈I.利用美国我≥ 尽管我∈ 一、 u≤ U*, 还有平等i=λi（u）*- U) + U我- U*i、 由此得出（3.10）z我≥ -U*我我∈ 一、与PI相结合∈伊兹i=0，之前的先验界意味着z必须住在一个简陋的房子里（3.10）中的界限确实很明确：在备注3.3中的非贸易设置中，它遵循u*i=0表示所有i∈ 一、 这意味着z我≥ 0应该代表我的一切∈ 我自从z∈ 一、 因此zi=0应该代表所有i∈ I.这也表明备注3.3中的平凡纳什均衡是唯一的。3.3.5. 个人边际差异估值。鉴于（3.8）和随后的讨论，并回顾备注1.4，可以得出纳什均衡中的分配不是帕累托最优的（除了在微不足道的无交易情况下）。

证明纳什均衡有效性的另一种方法是，在纳什风险分担交易后，个体代理人的边际（效用）差异估值指标之间存在分歧。回想一下，给定一个职位∈ Lwith Ui（Gi）>-∞, 边际差异估值测度Qi=代理人i的Qi（Gi）∈ 我有一个性质，函数r3q7→Ui（Gi+q（X）- 对于所有X，EQi[X]）在q=0时最大化∈ L∞; 换句话说，如果价格是根据合格中介机构下的预期给出的，那么代理人i∈ 除了Gi，我没有动力去做任何其他的工作。使用一阶条件，可以直接显示日志（dQi/dPi）~ -Gi/δiholds。在Arrow-Debreu平衡中，集合（Q*i） 我∈i带对数（dQ*i/dPi）~ -C*i/Δifor i∈ 一、 哪些是与头寸（C）相关的个别边际差异估值指标*i） 我∈A在Arrow-Debreu风险共担交易之后*i=Q*尽管我∈ I：所有代理人的边际差异估值指标都一致。现在，用（Q）表示纳什风险分担交易后个体代理人的边际差异估值度量i） 我∈一、 哪个日志（dQi/dPi）~-C我为我所拥有的一切感到高兴∈ I.根据日志（dPi/dQ）*) ~ C*i/δi（3.2）和（3.3），这表明24米切尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉（dQi/dQ) ~ 对数（1+C）i/δ-i） 。因为情商[1+Ci/δ-i] =1，它实际上遵循（3.11）dQidQ= 1+C我δ-我我∈ I.帕累托最优需要所有（Qi） 我∈我同意，这只有在C就我所知，i=0∈ 一、 也就是说，恰好在没有交易发生的时候。所有纳什证券（Ci） 我∈Q下我的值为零. 每一个特工我∈ 一、 我们可以测量C的边际差异值ivia（3.12）EQi[C]i] =EQ1+C我δ-我C我=δ-伊瓦克（C）i） ,，我∈ I.特别要注意的是i[C][i]≥ 0，如果C就我所知，iis不是零∈ 我

这一观察结果意味着（除了不交易的琐碎情况外），如果所有代理人在各自的证券中占据更大的位置，他们的表现会更好；尽管如此∈ R+系列（aC）i） 我∈Iof证券清算市场，对于一些a>1的证券，这种证券集合将为每个代理带来比使用证券更高的效用（Ci） 我∈I.当然，阻止代理人这么做的原因是他们会发现自己处于（纳什）不平衡状态。代理人不会就市场清算托收达成一致（aCi） 我∈对于一些a>1的个体（因此，也是整体）更可取，这也表明纳什均衡内的交易量将减少。个体边际差异估值指标（Qi） 我∈ 我考虑了纳什估值测度Q的一个有趣表达式. 也就是说，回忆一下§3.3.2中的权重αi=δ-所有i的i/nδ∈ 我然后，从（3.11）和市场清算条件∈ICi=0，由此得出（3.13）Q=xi∈我的智商是αi、 换句话说，纳什估值测度Q是个体代理人边际差异估值测度的凸组合，将权重α分配给代理人i∈ I.还要注意的是，更多的风险规避者具有更大的影响力；但是自从maxi∈IαI<1/n，Q几乎等于（Q）的等重平均值i） 我∈如果有大批特工。关系式（3.13）强调了风险容忍水平对于纳什均衡中个体代理人效用的得失的重要性。例如，考虑两个相互作用的代理的情况，其中一个比另一个具有更大的风险承受能力。在这种情况下，Q将非常接近风险规避代理基于边际效用的估值指标，该指标将与报价一致。