风险分担博弈中的均衡

与§4.1的设置相反，此处代理人的主观信念必须取决于m∈ N.获得关于主观概率为何以及如何表现的直觉，请注意，根据定理1.2，对于所有m∈ 保安，*作为一个随机变量δmof的倍数给出，该随机变量对风险容忍度的依赖性仅通过λ和λ。因为后一种重量是固定的，每米∈ N、 为了保证Arrow-Debreu均衡中的证券有一个良好的极限，我们做出以下假设。假设4.6。因为我∈ {0，1}，存在ξi∈ L∞使得EP[ξi]=0和log民进党~ξiδmi，i∈ {0,1}，m∈ N.注意，对于i，条件EP[ξi]=0∈ 假设4.6中出现的{0，1}只是一种标准化，并不构成任何通用性的损失。定理4.7。在上述设置和假设4.6下，序列厘米*M∈Nand厘米M∈Nconverge in Lto limiting securities C∞,*C∞,, Where C∞,*= λξ- λξ，C∞,=λξ-λξ=C∞,*.定理4.7的证明见§A.11。有趣的是，两个代理的风险中性将纳什均衡推到了阿罗-德布鲁证券的一半，这是风险中性代理的战略行为导致的市场效率的证据。理论的结果。7是纳什均衡下的交易量往往低于帕累托最优配置的另一种说法（最初在§3.3.5中提出）。附录A.证明A。1.定理1.2的证明。假设Q*, （C）*i） 我∈我这是一个平衡点。我们将展示（1.3）和（1.4）的必要性。尽管我∈ 一、 注意，Ui（C*（一）≥ Ui（0）=0，这意味着exp(-C*i/δi）∈ L（π）。修正X∈ L∞有情商*[十] =0和i∈ 一、自函数3 7.→ 用户界面（C）*i+十）∈ R的最大值为 = 0，一阶条件和支配收敛定理，使用以下事实：(-C*i/δi）∈ L（Pi），表示EPi[exp(-C*i/δi）X]=0。

后一个等式适用于所有X∈ L∞有情商*[十] =0和所有我∈ 我因此，C*我~δilog（dPi/dQ*), 尽管我∈ 一、情商*[C]*i] =0，（1.4）如下。此外，事实上∈IC*i=0∈Iδilog（dPi/dQ*) ~ 0，之后是（1.3）。现在假设Q*, （C）*i） 我∈我由（1.3）和（1.4）给出。事实上*[C]*i] =0代表我的全部∈ 我的定义是直接的。此外，（1.3）和（1.4）给出了∈IC*我~圆周率∈Iδilog（dPi/dQ*) ~ δPi∈Iλilog（dPi/dQ*) ~ 0; 与EQ一起*[C]*i] =0代表所有我∈ 一、 风险分担博弈中的这种均衡意味着∈IC*i=0。事实上*对于代理i来说，iis是最佳选择∈ 我在估价措施下*在备注1.4中有论述。我们已经证明了这一点Q*, （C）*i） 我∈我由（1.3）和（1.4）给出的是anArrow-Debreu平衡。上一段中证明的（1.3）和（1.4）对于Arrow-Debreu平衡的必要性确定了其唯一性。A.2。命题2.2的证明。为了便于阅读，在证明命题2.2的过程中，我们将表示Q（R）-i、 Rri）由Qri提供。A.2.1。一阶条件。我们将在这里证明所述最佳响应条件的必要性。修好我∈ 我和Rri∈ P使得Vi（Rri；R-i） =苏普里∈PVi（Ri；R）-i） 坚持住。对于国际扶轮∈ 通过日志dRi定义的Pde~ (1/λ-i） Pj∈I\\{I}λjlog dRj，代理I的最终合同∈ 我要贝塞罗；因此，Ui（Cri）=Vi（Rri；R-（一）≥ Vi（Ri；R）-i） =0。特别是我们有这个经验(-Cri/δi）∈L（Pi），这一事实将在多个地方有用，在续集中应用支配收敛定理。修正X∈ L∞. 对于 ∈ R、 定义Ri() ∈ P通过日志（dRi）()/dRri）~ -X/（λ）-iδi）。和Q() ≡Q（R）-i、 里()), 它遵循该日志（dQ()/dQri）~ -X/δ-i、 根据Cri，定义Ci() =δilog（dRi()/dQ()) + δiH（Q）() | 里()) 然后，Ci（0）=Cri。

注意到δilog德里()dQ()= δilog德里()dRri+ δilog里德克利博士+ δilogdQridQ()~ Cri- 十、 因此，Ci() = Cri- 十、- 情商()[Cri]- 十] ，其中，通过定义Ci，上述等价物中的常数被抵消(). 支配收敛定理和简单微分，也使用EQri[Cri]=0的事实，意味着ci（0）=词()=0= -X+EQri1+Criδ-我十、.自Vi（R）(); R-i） =Ui（Ci）()) 对所有人都适用 ∈ R、 支配收敛定理的另一个应用给出Vi（R）(); R-（一）=0=EPi[exp(-Cri/δi）Ci（0）]EPi[exp(-Cri/δi）]。从R3开始 7.→ Vi（R）(); R-i） 最大化为 = 一阶条件为（A.1）0=EPi[exp(-Cri/δi）Ci（0）]EPi[exp(-Cri/δi）]=-EPi[exp(-Cri/δi）X]EPi[exp(-Cri/δi）]+EQri1+Criδ-我十、.注意到PJ∈I\\{I}λjlog（dRj/dPi）~ 日志（dQri/dPi）- λilog（dRri/dPi）意味着λ-伊洛格dQridPi-Xj∈I\\{I}λjlogdRjdPi~ λilog里德克利博士,它来自国际广播电台~ δilog（dRri/dQri）thatlogdQridPi~Criδ-i+λ-iXj∈I\\{I}λjlogdRjdPi.34米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉最后的等价关系允许我们将（A.1）写成（A.2）EQri- 经验ζi-Criλ-我δ我-λ-iXj∈I\\{I}λjlogdRjdPi+ 1+Criδ-我十、= 0，其中（A.3）ζi=- 日志EPi经验-Criδi+ 日志EPi经验Criδ-我Yj∈I\\{I}dRjdPiλj/λ-我.到目前为止，X∈ L∞是固定的，但很武断。从X到L∞在（A.2）中给出（A.4）expζi-Criλ-我δ我-λ-iXj∈I\\{I}λjlogdRjdPi= 1+Criδ-i、 当然，Cri>-δ-我应该等一下。取对数并重新排列（A.4）得到（2.2）。A.2.2。候选人的最佳反应。现在，我们继续展示最佳响应的必要条件也很充分。

（正如在理论2.7之后的讨论中所提到的，我们无法证明Vi（·；R）-i） 是凹的；因此，一阶条件并不立即意味着最优。）修理工∈ P、 假设条件满足，我们将在Vi（R；R）以下展示-（一）≤ Vi（Rri；R）-i） 。定义X:=λilog（dR/dRri）。与上文§A.2.1中的论点类似，代理人i∈ 我将通过回复R获得∈ P等于Cri+δ-九- EQX[Cri+δ-iX]，其中QX∈ P表示log（dQX/dQri）~ 下面是vi（R；R）-（一）- Vi（Rri；R）-i） =Ui（CXi）- Ui（Cri）（A.5）=Ui（Cri+δ-九）- 用户界面（Cri）-EQri[exp（X）（Cri+δ-iX）]EQri[exp（X）]。备注A.1。如果EQri[exp（X+）X+]∞ 是真的（等价地，因为exp（X）X在下面有界，如果EQri[exp（X）X]=∞ 如果是真的），就一定会有EQri特警（X）Cri= -∞, 鉴于EQri[exp（X）]，这是不可能的∞ 还有Cri>-δ-i、 因此EQri[exp（X+）X+]∞.自从Cri>-δ-i、 可以定义（0，∞)-有值随机变量Dri:=1+Cri/δ-i、 从（2.5）可以看出-Cri/δi~ 对数（dQri/dPi）+对数Dri；由于EQri[Dri]=1，它实际上包含exp(-Cri/δi）=EPi[exp(-Cri/δi）]（dQri/dPi）Dri。因此，我们得到了（Cri+δ-九）- Ui（Cri）=-δilog-EPi经验-Cri+Xδ-我δ我+ δilog-EPi经验-Criδi= -δilog EQriDriexp-δ-iδiX.风险分担博弈中的均衡结合前面的（A.5）和备注A.1，可以证明-δilog EQri[Driexp(-δ-iX/δi）]≤EQri[exp（X）（Cri+δ-iX）]EQri[exp（X）]适用于所有X∈ l使用EQri[exp（X+）X+]∞. 因为Dri>0和EQri德里= 1，Jensen不等式在概率论下的一个应用，该概率论对原函数具有密度-δilog EQri[Driexp(-δ-iX/δi）]≤ δ-iEQri[DriX]。

（尤其是EQri）德里克斯-< ∞.) 另一方面，定义χ：=log EQri[exp（X）]∈ R、 注意EQri[exp（X）Cri]EQri[exp（X）]=EQri[exp（X- χ） Cri]=δ-iEQri[Dri（exp（X- χ) - 1） 在上一个等式中，我们使用了事实Cri=δ-我（德里）- 1） 和EQri[exp（X- χ） ]=1=EQri[Dri]。使用不等式exp（x）≥ 1+x，适用于所有x∈ R、 我们得到EQri[exp（X）Cri]EQri[exp（X）]≥ δ-iEQri[Dri（X- χ)] = δ-iEQri[DriX]- δ-ilog EQri[exp（X）]。（尤其是EQri[DriX+]∞, 这意味着EQ[DriX]∈ R.）把所有的东西放在一起，就可以证明∈ l使用EQri[exp（X+）X+]∞, 日志EQri[exp（X）]≤EQri[exp（X）X]/EQri[exp（X）]成立。这个不等式源自应用于（0，∞) 3 z 7→ φ（z）=z logz，这是一个凸函数；那么φ（EQri[exp（X）]）≤ EQri[φ（exp（X））]，这正是需要的。A.3。定理2.7的证明。定义-i:=（1/λ）-i） Pj∈I\\{I}λjlog（dRj/dPi），注意exp（R-（一）∈ L（π）从霍尔德不等式的角度来看是成立的。给子∈ R隐含定义Ci（zi）∈ 拉什(-δ-我∞)-满足（1/λ）的有值随机变量-i） Ci（zi）/δi+log（1+Ci（zi）/δ-i） =子-R-i、 注意，每个zi的解Ci（zi）的存在性和唯一性∈ R是由函数(-1.∞) 3年7月→ （δ/δi）y+log（1+y）严格地从-∞ 到∞. 福兹∈ R、 还定义了（0，∞)-有值随机变量Di（zi）：=1+Ci（zi）/δ-i、 注意，这是方程（A.6）Di（zi）的唯一解- 1λi+log Di（zi）=zi- R-i、 观察到Di（作为结果Ci）随着zi的增加而增加。也可以直接检查L-limzi→-∞Di（zi）=0和L-limzi→∞地（子）∞.引理A.2。

无论如何∈ R、 它认为（A.7）1∧ 经验（zi）- R-（一）≤ 地（子）≤ 1.∨ 经验（zi）- R-i） 。特别是，两者都是Di（zi）-λiexp（λ-红外光谱-i） 和Di（zi）λ-iexp（λ）-红外光谱-i） 都在L（圆周率）。36米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉狂欢节。费子∈ R.By（A.6），在事件{Di（zi）<1}上，它认为log Di（zi）≥ 子-R-i、 在{Di（zi）事件中≥ 1} 它认为log Di（zi）≤ 子- R-i、 这些观察结果验证了不等式（A.7）。自狄（子）-1.≤ 1.∨ 经验(-zi+R-i） 和exp（R-（一）∈ L（Pi），Di（zi）-1.∈ L（Pi）如下；那么，霍尔德的不等式意味着Di（zi）-λiexp（λ-红外光谱-（一）∈ L（π）。此外，Di（zi）λ-iexp（λ）-红外光谱-（一）≤ exp（λ）-（伊兹）∨ exp（λ）-红外光谱-i） ，这意味着Di（zi）λ-iexp（λ）-红外光谱-（一）∈L（Pi）因为exp（R-（一）∈ L（π）。根据引理A.2，对于每个zi∈ R一个人可以定义气（子）∈ P vialog（dQi（zi）/dPi）~ -λilog Di（zi）+λ-红外光谱-我~ 地（子）+R-我换句话说，log（dQi（zi）/dPi）~ -λilog（1+Ci（zi）/δ-i） +Pj∈I\\{I}λjlog（dRj/dPi）。此外，对于zi来说∈ R、 引理A.2，特别是Di（zi）λ-iexp（λ）-红外光谱-（一）∈ L（Pi）意味着Di（zi）（dQi（zi）/dPi）∈ L（Pi），这反过来意味着Di（zi）∈ L（气（子））。正如在命题2.2陈述之后的讨论中提到的，为了建立定理2.7，我们需要证明存在唯一的ζi∈ R的性质为EQi（ζi）[Di（ζi）]=1。定义功能fi:R 7→ (0, ∞] 通过fi（zi）=EQi（zi）[Di（zi）]，代表zi∈ R.自Di（zi）∈ L（齐（子））代表所有的子∈ R、 因此，fi（zi）<∞ 无论如何∈ R.根据支配收敛定理和引理A.2，很容易检查FIS是连续的。设Pip为P中的概率测度，使得新闻部/新闻部~ R-i、 然后，由于等效关系日志（dQi（zi）/dPi）~ 地（子）+R-i、 它认为（A.8）fi（zi）=EPi[exp（Di（zi））Di（zi）]EPi[exp（Di（zi））]，对于所有zi∈ R

事实上，由于exp（Di（zi））和Di（zi）的协方差在任何概率下都是非负的，所以我们得到了fi（zi）≥ EPi[Di（zi）]，适用于所有人∈ R.使用单调收敛定理和关系式（A.8），limzi→∞fi（zi）=∞ 来自林齐→∞地（子）∞. 此外，单调收敛定理和limzi→-∞Di（zi）=0表示限制关系limzi→-∞EPi[exp（Di（zi））]=1和limzi→-∞EPi[exp（Di（zi））Di（zi）]=0，我们从中获得limzi→-∞fi（zi）=0。因此，至少存在一个ζi∈ R使得fi（ζi）=1。我们还声称fi正在严格增加，这意味着ζiis确实是唯一的。在准备过程中，请注意关于zi和重新排列的差异（A.6）给出了di（zi）=qi（di（zi）），其中（0，∞) 3年7月→ qi（y）：=λiy/（λi+y）。特别是，由于qi是一个递增函数，Di（zi）和Di（zi）之间的协方差对于所有zi都是非负的∈ R在任何可能性下。使用“齐”的定义进行直接计算∈ R给出fi（zi）=EQi（zi）[Di（zi）+Di（zi）Di（zi）]-EQi（zi）[Di（zi）]EQi（zi）[Di（zi）]=EQi（zi）[Di（zi）]+CovQi（zi）（Di（zi），Di（zi））。因为Di（zi）>0和covqi（zi）（Di（zi），Di（zi））≥ 0代表一切∈ R、 定理2.7已被证明。A.4。定理3.2的证明。假设（Q, （C）i） 我∈一） 是纳什均衡且let（Ri） 我∈我∈PIbe显示了相关的主观信念。我们将首先证明这种关系（3.3）。基于命题2.2和C的风险分担博弈均衡i/δi~ 日志（dRi/dQ) andPj∈I\\{I}λjlog博士j/dPi=对数（dQ）/（新闻部）- λilog（dRi/dPi），（2.2）给出-λ-伊洛格1+Criδ-我~Ciδi+Xj∈I\\{I}λjlog博士jdPi~ λ-伊洛格博士idPi,i、 e.日志（dRi/dPi）~ - 对数（1+C）i/δ-i） 就我所知∈ 一、 也就是（3.5）。自日志（dPi/dQ）*) ~ C*我为我所拥有的一切感到高兴∈ I（见（1.4）），由此得出λilog（dRi/dQ*) ~ -λilog（1+Cri/δ）-i） +C*艾莉的i/δ∈ 我

反过来，sincePj∈IC*j=0，后者给出log（dQ/dQ*) ~Pj∈Iλjlog博士j/dQ*,从（3.5）来看，这正是（3.3）。为了证明（3.2），我们加上λilog（1+C）i/δ-（一）~ -λilog（dRi/dPi）至（2.2），并获得iδi+log1+C我δ-我~ -Xj∈Iλjlog博士jdPi~ 日志dPidQ~C*我δ我- 日志dQdQ*.后者与（3.3）相结合，给出了（3.2）的适当z≡ （z）i） 我∈我∈ 里。市场清算条件∈ICi=0=Pi∈IC*我叫thatPi∈伊兹i=0，即z∈ 最后，EQ[C]i] =0代表所有i∈ I直接来自（C）i） 我∈我∈ CQ.为了证明反向蕴涵，假设条件（N1）、（N2）和（N3）适用于（Q）, （C）i） 我∈一） ，和fix I∈ I.确定员工的主观信念（Ri） 我∈我∈ 皮维亚洛格博士i/dQ) ~ Ci/δi.自C*i/δi~ 日志（dPi/dQ）*), （3.2）和（3.3）的组合给出了（1+C）i/δ-（一）~ - 日志（dRi/dPi）。再次使用（3.2）和（3.3），Ciδi+λ-伊洛格1+C我δ-我~C*我δ我- 日志dQdQ*- λilog1+C我δ-我~ - 日志dQ新闻部+ λilog博士idPi~ -Xj∈I\\{I}λjlog博士jdPi.因此，命题2.2最优性的充分条件对于每个i都是满足的∈ I.为了证明（Q, （C）i） 我∈一） 是纳什均衡，剩下来验证（Ci） 我∈我∈ CQ.事实上，对i求和（3.2）意味着π∈ICi=0，因为z被认为是属于I.这一事实，以及要求C我>-δ-i、 这意味着C的一致有界性我尤其是exp（Ci/δi）∈ L（Q）) 尽管我∈ I.同时考虑到，我们得出以下结论：i） 我∈我∈ CQ, 这就完成了证据。A.5。命题3.5的证明。修正z∈ I.假设（3.17）的解确实存在，并设置（a.9）L（z）：=Xi∈Iλilog1+Ci（z）δ-我.然后，用ηi:（0，∞) 7.→ 通过ηi（x）=δ定义-i（x）- 1） +δilog x，对于所有x∈ (0, ∞), （3.17）表示ηi（1+Ci（z）/δ-i） =zi+C*i+δiL（z）适用于所有i∈ 我

θi:r7→ (0, ∞) 表示38米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉是ηi的倒数∈ 一、 由此得出（A.10）Ci（z）=δ-i[θi（zi+C）*i+δiL（z））- 1] , 我∈ I.回到（A.9）中L（z）的定义，我们得到（A.11）L（z）=Xi∈IλilogθI（zi+C）*i+δiL（z））应该是令人满意的。我们现在通过证明（A.11）有一个独特的解决方案来向后推进。和z∈ I固定，定义w：Ohm×R7→ R通过w（y）=y-圆周率∈IλilogθI（zi+C）*i+δiy）表示y∈ R、 其中w的依赖关系ω∈ Ohm 被压制。w相对于空间坐标的导数为w（y）=1-xi∈Iλi1+（δ-i/δi）θi（zi+C）*i+δiy）=Xi∈Iλ-iθi（zi+C）*i+δiy）1+（δ-i/δi）θi（zi+C）*i+δiy）>0，对于所有y∈ R.因为θi（y）与y呈次线性关系→ ∞, 酸橙↑∞w（y）=∞ 以直截了当的方式跟进。此外，从θi的定义中，我们可以得出x<δilogθi（x）适用于allx∈ (-∞, 0）而我∈ I.这意味着在事件发生时- ∨J∈我（zj+C）*j） /δjo、 一个是w（y）<y-圆周率∈I（1/δ）（zi+C）*i+δiy）=0，这表明方程w（L（z））=0有唯一解，并且（A.12）- L（z）≤_J∈IC*j+zjδj≤_J∈Izjδj+j∈IC*jδj，假设存在唯一的L（z）解（a.11），则Ci（z）适用于所有i∈ 我通过（A.10）。自exp（C）以来*i/δi）∈ L（Q）*) 对我来说都是如此∈ 一、 简单地说，exp（Wi∈IC*i/δi）∈L（Q）*). 因此，（A.12）和等式qj∈I（1+Cj（z）/δ-j）-λj=exp(-L（z））表示（3.18）的有效性，从而得出结论。A.6。定理3.7的证明。我们首先建立了一般存在性结果，然后在两个代理的情况下确定了有效性。A.6.1。纳什均衡存在的证明。我们使用命题3.5中的符号以及随后的讨论。每个z∈ 我的土地∈ 一、 定义ui（z）：=ui（Ci（z））。

此外，对于每个∈ 定义u（z）：=Pi∈Iu（z），以及I3 z 7→ φi（z）=ui（z）- U*i+λi（u）*- u（z）），i∈ 一、 z∈ I.注意pi∈IφI（z）=0表示所有z∈ 一、 所以φ≡ （φi）i∈Iis我很有价值。明显的持续性I3 z 7→ （A.11）中的L（z）和（A.12）中给出的支配关系允许应用支配收敛定理来确定φ：I7→ Iis是一个连续函数。引理A.3。Z∈ 当且仅当纳什均衡是φ的固定点时，i才与纳什均衡相关。风险分担博弈中的均衡。鉴于§3.3.4中的讨论，如果z∈ i对应于纳什均衡，然后z是φ的固定点。相反，我们将证明φ的任何固定点对应于纳什平衡点。对于L（z）如（A.9）所示，回忆（3.17），从观察thatCi（z）开始- 子- U*i=δilogdPidQ*+ δiL（z）- δilog1+Ci（z）δ-我, 我∈ 一、 z∈ I.从上一个等式开始，它紧跟着Ui（z）- 子- U*我=-δilog EQ*经验(-L（z））1+Ci（z）δ-我, 我∈ 一、 z∈ I.将所有代理之前的平等相加，我们得到u（z）- U*= -δXj∈Iλjlog EQ*经验(-L（z））1+Cj（z）δ-J, Z∈ I.自日志（dQ（z）/dQ*) = -L（z）+λ（z）表示适当的λ（z）∈ R和φi（z）- zi=ui（z）- 子- U*我-λi（u（z）- U*) 对我来说都是如此∈ 我和z∈ 一、 因此φI（z）- zi=-δilog EQ（z）1+Ci（z）δ-我+ δiXj∈Iλjlog等式（z）1+Cj（z）δ-J, 我∈ 一、 z∈ 一、 式中，注意在上述等式中，数量λ（z）抵消。现在，假设z∈ Iis是φ的固定点。根据上一个等式，可以得出以下等式：)[1+Ci（z)/δ-i] 具有相同的值，我们称之为x（z）), 尽管我∈ I.换句话说，EQ（z）)[Ci（z)] = δ-i（x（z）) - 1） 就我所知∈ 一、SincePi∈ICi（z）) = 0，我们得到x（z）) = 1，这意味着等式（z)[Ci（z)] = 0代表我所有的∈ 一、 反过来又意味着对应于纳什均衡。