风险分担博弈中的均衡

因此，有理由假设，在没有社会规划者的情况下，代理将这种共享机制应用于任何收集（Ri）i∈我∈ 关于他们选择报告的主观概率（另请参见导言部分的相关讨论）。更准确地说，根据（1.3）和（1.4），商定的估值指标Q∈ P等于logdq~圆周率∈Iλilog dRi，代理人将交易的证券集合为Ci:=δilog（dRi/dQ）+δiH（Q | Ri），I∈ I.鉴于与Arrow-Debreu均衡分享规则一致，代理人对其他代理人报告的主观信念做出反应，目的是最大限度地发挥其个人效用。这样，就形成了一个博弈，概率族P是代理人的战略选择集。本节第2节的主题是分析个体代理人的行为，确定其最佳反应问题，并展示其适定性。第3.2.2节介绍了纳什风险分担均衡的定义和分析。最好的回应。现在，我们将描述代理如何回应来自其交易对手的主观概率评估报告。在§2.2中，我们指定了一名代理人∈ 我和12名米切尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉收集了报告的概率R-i:=（Rj）j∈I\\{I}∈ PI\\{i}的剩余代理，并寻找代理i将提交的主观概率∈ 我

根据§2.1中描述的规则，报告的概率Ri∈ 我是探员∈ 我将引导进入一个关于证券的长仓，Payoff Ci:=δilogdRi/dQ（R）-i、 Ri）+ δiHQ（R）-i、 Ri）| Ri,其中Q（R）-i、 Ri）∈ P等于log dQ（R-i、 Ri）~ λilog dRi+Xj∈I\\{I}λjlog dRj。通过报告主观信念∈ P、 i探员∈ 我还间接影响了几何平均估值概率Q（R-i、 Ri），从而在安全Ci中产生高度非线性的整体影响。基于上述理解，并给出了R-i:=（Rj）j∈I\\{I}∈ PI\\{i}，agent i的响应函数∈ 我被定义为3-7岁→ Vi（Ri；R）-（一）≡ 用户界面δilogdRi/dQ（R）-i、 Ri）+ δiHQ（R）-i、 Ri）| Ri= -δilog EPi“dQ（R-i、 Ri）dRi#+δiHQ（R）-i、 Ri）| Ri,事实上Q（R）-i、 Ri）| Ri< ∞ 根据§1.4的讨论。代理i的问题∈ 我将报告在交易后使结果头寸的确定性等价物最大化的主观概率，即识别Rri∈ P使得（2.1）Vi（Rri；R-i） =苏普里∈PVi（Ri；R）-i） 。有Rri吗∈ 满足（2.1）的P称为最佳概率响应。与大多数相关文献相比，我们的模型中代理人的战略选择可能是有限维的。从方法论的角度来看，这种概括很重要；例如，在§1.3的设置中，它允许具有有限支持的随机捐赠，如高斯分布或任意厚尾，这是风险建模中的一个重要特征。备注2.1。最佳响应问题（2.1）不限制代理报告的主观概率的形状，只要它属于P。原则上，代理报告的主观观点可能与他们的实际观点相去甚远。这种严重的偏离可能被认为是不现实的，从建模的角度来看是不可取的。

然而，正如§3.3.2所述，极端反应在我们的设置中被内在地排除在外。我们将在续集（定理2.7）中证明（2.1）中的最佳响应是存在的，并且是唯一的。结果给出了最佳概率响应的必要和充分条件。风险分担博弈中的均衡命题2.2。修好我∈ I和R-我≡ （Rj）j∈I\\{I}∈ PI\\{i}。那么，Rri∈ P是i探员的最佳反应概率∈ 我给了他-iif且仅当随机变量Cri:=δilogdRri/dQ（R）-i、 Rri）+δiHQ（R）-i、 Rri）| Rri是这样的Cri>-δ-iand（2.2）Criδi+λ-伊洛格1+Criδ-我~ -Xj∈I\\{I}λjlogdRjdPi.命题2.2的证明见§A.2。最佳响应所述条件的必要性源于应用一阶最优性条件。确定所述条件的有效性当然不是微不足道的，因为响应函数是否为凹函数还很不清楚（事实上，我们也不知道）。备注2.3。在命题2.2的背景下，重写（2.2），我们得到（2.3）Criδi+λ-伊洛格1+Criδ-我~ - logdQ（R-i、 Rri）dPi！+λilog里德皮博士.还使用Cri/δi~ 日志dRri/dQ（R）-i、 Rri）, 下面是（2.4）log里德皮博士~ - 日志1+Criδ-我.因此，当且仅当log（1+Cri/δ）时，Rri=Pi成立-（一）~ 0，当且仅当Cri=0时成立。（请注意，Cri~ 0意味着Cri=0，因为Cri的期望值低于Q（R-i、 Rri）等于零。）换句话说，考虑到其他代理人报告的主观信念，当且仅当代理人没有参与风险分担交易的动机时，代理人的最佳概率响应和实际主观概率一致。

因此，在任何非同小可的情况下，代理人的战略行为都意味着偏离报告他们的真实信念。将（2.4）插回（2.3），同样使用（2.2），我们得到（2.5）logdQ（R）-i、 新闻部！~ -Criδi- 日志1+Criδ-我~ -λilog1+Criδ-我+Xj∈I\\{I}λjlogdRjdPi,直接提供估价指标Q（R）-i、 Rri）在安全Cri方面。备注2.4。（2.4）中的一条信息是，根据他们的最佳反应过程，代理人会报告低估（或高估）他们的薪酬相对于真实信念高（或低）的概率的信念。这种行为显然是由预期的交易后效用增加驱动的。更重要的是，与证券形成鲜明对比（C*i） 我∈在Arrow DebreuEquirement中，特工i∈ 在考虑到其他人的综合报告信念并声明主观概率Rri后，我希望进入有限责任状态，因为它从下方受到常数的限制-δ-i、 14米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉·斯雷马克2.5。关于最佳概率响应的更多信息，可参考§1.3的讨论，其中PIEI包含了随机响应∈ 一号特工∈ 一、 从这个意义上说新闻部/新闻部~ -Ei/δi，其中Epidenotes表示主体i的主观概率∈ I.根据（2.4）记录dRri/dePi~ -Ei/δi- 对数（1+Cri/δ）-i） 。然后很明显，当经纪人分享他们的风险捐赠时，他们倾向于更多地关注风险敞口的下行可能性，而不是上行可能性。有关示例性情况，请参见后面的示例2.8。备注2.6。在命题2.2的证明过程中，等价物（2.2）中的常数被显式计算；见（A.3）。对于两个代理，这个常数有一个特别好的经济解释。也就是说，让I={0，1}，假设R∈ P是给定的。

然后，从试剂0的有利位置，（2.2）变成δ+λlog1+Crδ= ζ- λlogdRdP,其中常数ζ∈ R等于ζ=- 日志EP经验-Crδ+ 伐木工人经验Crδ=U（Cr）δ-U(-Cr；R） δ。其中，U（·；R）表示具有代表性对（δ，R）的“活动”代理的效用函数。换句话说，ζ是代理0的效用与代理1（获得证券）的效用之间的交易后差异，以风险容忍度为单位-Cr），前提是后一种效用是根据代理1的报告信念而不是主观信念来衡量的。特别是，当药剂1没有策略性行为时，在这种情况下，R=P，它认为ζ=U（Cr）/δ- U(-Cr）/δ。命题2.2设定了通过一维参数化证明最佳响应问题存在唯一性的路线图。事实上，根据（2.2），为了找到我们考虑的每个zi的最佳响应∈ R满足方程Ci（zi）/δi+λ的唯一随机变量Ci（zi）-ilog（1+Ci（zi）/δ-i） =λ-伊兹-Pj∈I\\{I}λjlog（dRj/dPi）；然后，通过日志（dQi（zi）/dPi）定义Qi（zi）~ -λilog（1+Ci（zi）/δ-i） +Pj∈I\\{I}λjlog（dRj/dPi）根据（2.5），我们寻求bzi∈ R使得Ci（bzi）∈ L（Qi（bzi））和EQi（bzi）[Ci（bzi）]=0保持。事实证明，这种选择是独一无二的；一旦发现，只需通过日志（dRri/dPi）进行定义~ - log（1+Ci（bzi）/δ-i） ，根据（2.4），以获得试剂i的唯一最佳响应∈ 我给了他-i、 下面定理2.7证明的技术细节见§A.3。定理2.7。因为我∈ I和R-我≡ （Rj）j∈I\\{I}∈ PI\\{i}，存在唯一的Rri∈ 这样vi（Rri；R）-i） =苏普里∈PVi（Ri；R）-i） 。风险分担博弈中的均衡152.3。战略行为的价值。

由于遵循最佳概率响应程序而导致的代理人效用的增加可以被视为对问题（2.1）引起的战略行为价值的衡量。例如，考虑只有一个代理（比如）0的情况∈ 我采用最佳概率反应策略，其余的代理报告他们的真实信念，即Rj=PJ∈ 我是\\{0}。如介绍部分所述，这是一个潜在的交易模型，其中只有代理0拥有有意义的市场力量。根据§2.2的结果，我们可以计算代理行0通过纳入此类战略行为（其中包括代理行长期持有的证券的有限责任）而获得的相对于Arrow Debreu交易的收益。以下两个代理示例说明了主要见解。例2.8。假设I={0，1}和δ=1=δ。我们将使用§1.3的设置，其中假设代理人具有相同的主观概率度量。代理暴露于随机禀赋中，并且（在公共概率测度下）具有均值为零且公共方差σ>0的高斯定律，而ρ∈ [-1，1]表示EAN和E的相关系数。在这种情况下，可以直接检查C*= （E）-E） /2；因此，在Arrow Debreu交易之后，代理0的位置是E+C*= （E+E）/2。另一方面，如果代理1报告了真实的信念，那么从（2.2）来看，与代理0的最佳概率响应对应的安全性Cr应满足2Cr+log（1+Cr）=ζ+Ef的适当ζ∈ Rhat与Cr耦合。对于σ=1和ρ=-0.5，直观的蒙特卡罗模拟允许在最佳响应概率Rr下对EAN和EU的概率密度函数（pdf）进行数值近似，如图1所示。

显而易见，最佳概率反应使代理人0夸大了EAN的下行风险，低估了E的下行风险。图1。黑色实线是代理人共同主观概率测度下的捐赠额E和E的pdf，而其他曲线显示了代理人0的最佳概率响应下E（蓝色虚线）和E（红色虚线）的pdf。在这个例子中，σ=1和ρ=-0.5.16 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS KARDARA遵循此类战略行为的效果如图2所示，其中比较了（i）无交易情况下代理人0头寸的概率密度函数；（ii）罗-德布鲁交易；以及（iii）采用最佳应对策略行为后的交易。与Arrow-Debreu头寸相比，SecurityRG的下界保证了最佳响应交易后代理头寸的右尾更重。图2。黑色实线表示初始位置E的pdf，蓝色虚线表示位置E+C的pdf*红色虚线是位置E+Cr的pdf，都在常见的主观概率度量下。在这个例子中，σ=1和ρ=-0.5.3. 纳什风险分担均衡我们现在应该考虑这样一种情况，即每个代理人都遵循第2节最佳响应问题所示的相同战略行为。如前所述，共享证券的设计遵循定理1.2为任何报告的主观观点集合确定的共享规则。随着最佳响应问题的适定性的建立，我们现在准备检查代理之间的博弈是否有一个平衡点。根据第2节的分析，个体代理人有动机声明与实际情况不同的主观信念。

（尤其是在§1.3的设置中，代理人往往会夸大其随机捐赠的低价值概率。）考虑到其他代理人所报告的主观信念，每个代理人将根据（2.1）中的最佳反应机制行事。从某种意义上说，最佳响应机制表示一种谈判方案，其固定点（如果存在）将产生纳什均衡估值测度和风险分担证券。让我们强调，个体参与者的实际主观信念不一定是私人知识；相反，这里假设的是，代理人已经同意将任何报告的主观信念与证券和价格联系起来的规则，即使报告的信念不是实际的信念。事实上，即使主观信念在风险分担博弈中构成了私人知识均衡，在谈判过程中也必然会暴露出与之相关的某些信息，从而导致纳什均衡。这里有两点需要考虑。首先，参与者试图以其他方未报告其真实信念为理由而使谈判过程无效是不合理的，因为后者毕竟是一个主观问题。正如备注2.1所指出的，这一点是从事后事实得到加强的，即所报告的纳什均衡中的主观信念与真实信念并没有偏离太远，并在§3.3.2中进一步阐述。其次，正是有限的参与者数量，而不是私人或不对称的信息，导致了战略行为：代理人认识到他们影响市场的能力，因为证券和估值成为集体报告信念的输出。

即使考虑到其他代理不会报告真实的信念，谈判也不会产生罗-德布鲁均衡，代理仍然希望达到纳什均衡，因为他们会改善自己的初始位置。事实上，参与者数量有限的交易通常与其竞争对手的等价物相去甚远，这一点在其他具有对称信息结构的金融市场模型中也得到了强调，如[CRW12]和[RW15]中的模型——另请参见导言部分的相关讨论。3.1. 揭示了主观信念。从更务实的角度考虑该模型，有人可能会认为，代理人实际上并不报告主观信念，而是同意评估指标Q∈ P和零价格共享证券（Ci）i∈这是为了清理市场。然而，报告主观信念和提出估值措施与证券之间存在一对一的对应关系，如下所述。根据§2.1的讨论，主观概率（Ri）i∈原始人上升到估值标准Q∈ P使得log dQ~圆周率∈Iλilog和收集（Ci）I∈Iof证券是这样的，ci:=δilog（dRi/dQ）+δiH（Q | Ri），对于所有i∈ 当然，皮∈ICi=0且等式[Ci]=0适用于所有i∈ I.进一步的技术观察是exp（Ci/δI）∈ L（Q）代表我的一切∈ 一、 这是任意收集市场清算证券（Ci）的必要条件∈关于任意估值概率Q，IMUST满足∈ P以符合上述风险分担机制。

之前的观察结果引出了一个定义：forQ∈ P、 我们定义了清算市场的CQ类证券，并与估值指标Q viaCQ:=（（Ci）i）一致∈我∈ （五十） 我xi∈ICi=0，exp（Ci/δi）∈ L（Q），等式[Ci]=0，我∈ 一） 。请注意，CIQ在上述CQ定义中的所有期望都已明确。事实上，exp（Ci/δi）∈ 在CQ的定义中，L（Q）意味着（Ci）+∈ L（Q）为所有我∈ 一、FromPi∈ICi=0，我们得到PI∈I | Ci |=2Pi∈I（Ci）+因此Ci∈ L（Q）为所有我∈ I.18米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉从给定的估值指标Q开始∈ P和证券（Ci）i∈我∈ CQ，一个可能的de Fifi collection（Ri）i∈我∈ PIvia测井（dRi/dQ）~ Ci/δifor i∈ 一、 请注意，这是唯一的集合，结果是估值概率Q和证券（Ci）I∈I.通过这种方式，概率I∈我∈ 皮卡可以被认为是由估价指标Q揭示的∈ 证券（Ci）i∈我∈ CQ。因此，提出风险分担证券和估值措施的代理人相当于他们在交易中报告概率信念。这一观点证明并支持以下定义3.1：纳什均衡的目标是估值衡量和设计证券，与阿罗-德布鲁均衡的定义一致。3.2. 纳什均衡及其特征。根据经典文献，我们给出了纳什风险分担均衡的正式定义。定义3.1。收藏（Q, （C）i） 我∈（一）∈ P×（L）如果（C），我将被称为纳什均衡i） 我∈我∈ CQ并且，使用log（dRi/dQ) ~ Ci/Δifor all i∈ I表示相应的被揭示的主观性信念，R-i:=（R）j） j∈我\\{I}为我∈ 一、 它认为viR我R-我= 苏普里∈PViRi；R-我, 我∈ I.命题2.2的使用导致下面的特征化定理3.2，其证明见§A.4。