日内电力市场中的最优交易问题

与无延迟情况一样，与随机控制问题（5.8）相关的HJB方程没有明确的解决方案。然后我们考虑近似控制问题，其中我们放松了生产的非负性约束，即vh=infq∈A、 ξ∈L（英尺）-h） J（0；q，ξ）。因此，通过遵循上述相同的条件，相应的值函数被写为：~vh=infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+~Ch（DT-H- XT-h、 YT-h） i，（5.9）式中，Ch（d，y）：=Ch（0，y，d）-^ξh（d），0）。从^ξhin（5.7）和vNPin备注3.1的显式表达式来看，经过一些繁琐但简单的计算后，辅助终端成本函数chs可简化为：Ch（d，y）=v（T- h、 0，y，d）+Kh，其中，对于定理3.1中明确获得的无延迟辅助值函数，Kh是一个常数，仅取决于延迟h和模型参数，下一步给出Kh=ησ+σdν+2ρσdν（η+β）（η+ν）（r（η，β）+ν）h+γσ+σdη- 2ρσdη（η+ν）ln1+（η+ν）h2γ- γσ+σdr（η，β）- 2ρσdr（η，β）（r（η，β）+ν）ln1+（r（η，β）+ν）h2γ.我们可以很容易地检查h=0时的Kh=0，并且Kh随着h的增加而增加（实际上Khw.r.t.h的导数是正的），因此特别是Kh是非负的。插入到（5.9）中，wethen getvh=infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+~v（T- h、 XT-h、 YT-h、 DT-h） i+Kh。（5.10）因此，通过使用（3.4）中控制问题的动态规划原理，我们得到了这个显著的关系，即vh=~v+Kh，（5.11），它明确地将（近似）值函数与延迟和不延迟联系起来。正如从vh的定义中所预期的那样，这种关系意味着vh- ~vis非阴性，h值呈上升趋势。

这与我们的直觉是一致的，即在提前做出生产选择时，我们没有考虑价格和剩余需求的未来变动，因此，这将导致成本的平均正修正。更准确地说，关系式（5.11）通过Kh（不依赖于状态变量x、y、d）在各种模型参数的函数中给出了延迟影响的明确量化。

此外，还讨论了随机控制问题（5.10）在[0，T]上的最优控制- h） 由最优控制（^qs）0显式给出≤s≤T-hof问题在定理3.1中没有延迟。现在，让我们考虑以下策略（^qh，+，)ξh，*T-h）∈ A×L+（英尺）-h） 对于带有延迟的原始问题：o在T之前- h、 遵循交易策略^qh，+s=^qs，s<T- h、 对应于毫不延迟地解决辅助问题，就好像在时间t做出了生产选择，并导致库存^XT-h、 以及受影响的价格^YT-h、 o时间T- h、 选择生产数量：ξh，*T-h:=^ξh，+（DT）-H-^XT-h、 ^YT-h） .o在时间T之间-h和T，遵循交易策略^qh，+s=^qNP，^ξh，*T-hs，T-H≤ s≤ T，对应于没有生产的问题的解决方案，从T开始-H从清单^XT-h+~ξh，*T-h、 为了估计关于最优交易问题vh的这个近似策略的质量，用eh测量：=J（0；^qh，+，^ξh，*T-h）- vh，我们将其与以下策略（^qh，^ξhT）进行比较-h）∈ A×L（英尺）-h） ：o在T之前- h、 遵循交易策略^qhs=^qs，s<T- h、 对应于毫不延迟地解决辅助问题，就好像在时间t做出了生产选择，并导致库存^XT-h、 以及受影响的价格^YT-h、 o时间T- h、 选择“生产”数量（可以是负数）：^ξhT-h=^ξh（DT）-H-^XT-h、 ^YT-h） .o在时间T之间- h和T，遵循交易策略^qhs=^qNP，^ξhT-hs，T- H≤ s≤ T，对应于没有生产的问题的解决方案，从T开始-H从清单^XT-h+^ξhT-h、 然后，通过构造并遵循引申出vh表达式（5.11）的论点（具体见（5.4），（5.9），（5.10）），我们看到（qh，ξhT-h） 是vh的最优解，即vh=J（0；^qh，^ξhT）-h） 。

另一方面，因为≤ vh≤ J（0；^qh，+，^ξh，*T-h） ，我们推断出麦克斯（vh- ■vh，Eh）≤\'Eh:=J（0；^qh，+，^ξh，*T-h）- J（0；^qh，^ξhT）-h） 。现在，从J的表达式（5.4）和命题3.2的证明（见关系式（3.15）的推导）中相同的论点，我们得到了¨Eh=EhC+h（DT-H-^XT-h、 ^YT-h）-~Ch（DT）-H-^XT-h、 ^YT-h） i=EhvNP（T- h、 0，^YT-h、 DT-H-^XT-H-ξh，*T-h） +c（ξh），*T-h）- vNP（T）- h、 0，^YT-h、 DT-H-^XT-H-^ξhT-h）- c（^ξhT）-h） i=ηr（η，β）2β（r（η，β）+ν）h+2γ（η+ν）h+2γVh（T）ψm（T，d）- x、 y）pVh（T）式中，m和ψ的定义如（3.12）所示，vh（T）=ZThσs+σd（νs+2γ）+2ρσds（νs+2γ）（r（η，β）+ν）s+2γds。当h=0时，我们恢复了命题3.2中关于无延迟情况下错误的表达式，并注意到“eh”随着延迟的增加而减少：事实上，错误来自于在决定生产多少之前的交易过程，这是由辅助问题决定的，其中最终的“生产”可以是负数。T之后- h、 接下来的控制是最优的，因为在以后的某个日期仍然没有生产决策。生产决策前的时间越短，误差越小。让我们最后讨论（近似）最优交易策略^qh+的一些性质。回顾命题3.1，在nodelay情形下，最优交易率是鞅，我们通过构造（^qh，+s）0看到≤s≤T这是[0，T]上的鞅- h） [T]上的anda鞅- h、 [T]。

此外，对于任何∈ [T]- h、 T]和T∈ [0，T- h） 我们有^qh，+s|Ft= EE^qNP，ξh，*T-hs |英尺-H|英尺= E^qNP，ξh，*T-hT-高|英尺= Ehη（uh+DT）-H-^XT-H-ξh，*T-h）-^YT-h（η+ν）h+2γFti=Ehη（uh+DT）-H-^XT-H-^ξhT-h）-^YT-h（η+ν）h+2γFti+η（η+ν）h+2γEh^ξhT-H-ξh，*T-HFti=Ehr（η，β）（uh+DT）-H-^XT-h）-^YT-h（r（η，β）+ν）h+2γFti+η（η+ν）h+2γEh^ξhT-H-ξh，*T-HFti=E^qT-高|英尺+η（η+ν）h+2γEh^ξhT-H-ξh，*T-HFti=^qt+η（η+ν）h+2γEh^ξhT-h^ξhT-h<0Fti≤ ^qt=^qh，+t.（5.12），其中我们使用塔式规则来表示条件期望，鞅性质和qNP的明确表达式，^ξh，*T-注释3.1，^ξhT的定义-h、 定理3.1中的鞅性质和^q的显式表达式，以及^ξh，*T-h=^ξhT-h^ξhT-H≥0.这特别显示了^qh，+在整个周期[0，T]内的超马氏性。请注意，与（5.12）的推导相同的参数显示了与辅助问题vh相关的最优交易策略整个[0，T]期间的鞅性质。此外，利用^qh的鞅性质，+on[0，T]- h） ，和关系式（5.12），我们看到（近似）最优库存过程^Xh，+与交易率^qh，+平均有一个增长率[^Xh，+s]ds，它是分段常数，等于：E[^qh，+s]=（^q，对于0）≤ s<T- h^q（h）：=^q+η（η+ν）h+2γE^ξhT-h^ξhT-h<0< ^q代表T- H≤ s≤ T、 ^q=r（η，β））（uT+d-十）-y（r（η，β）+ν）T+2γ和^q（h）=^q-ηr（η，β）β（（η+ν）h+2γ）pVh（T）ψm（T，d）- x、 y）pVh（T）,式中|ψ（z）：=φ（z）- zΦ(-z） ，z∈ Ris是一个非负函数，如（3.17）所述。5.2数值结果我们绘制的图表显示了与第3.3.2节相同参数的相关轨迹。我们增加了一个延迟h=4小时：必须在交易期结束前4小时进行生产选择。

我们得到了vh（0，X，Y，D）=1925460e，这比v（0，X，Y，D）=1916700e的值稍高，没有延迟。在图10中，我们看到时间T- h、 正的生产选择∧ξh，*T-他的价格上涨了，然后我们继续在盘中市场购买股票，以便更接近预期需求，交易率的斜率更小。在图11中，它代表了没有最后一个交易小时的控制过程（因为波动会变得势不可挡），我们看到在日期T之后- h、 由于我们不打算再使用最终生产杠杆，随着我们接近交易时间的结束，近似最优控制过程^qh，+振荡很大。

我们可以与图1进行比较，以定性地断言，无生产问题中的控制比最终生产问题中的控制振荡更大，正如前一个问题一样，日内市场是寻求达到均衡的唯一途径。ecast r esi双需求100002000040000000600000200000000090000图10：库存的演变（在时间t时有生产选择）- h） 以及前庭的双重需求。100.150.200.250.300.350 10 00 0 2 00 00 30 00 0 4 00 00 500 00 6 00 70 000 80 00 90 00 0 0图11：交易利率控制的演变^qh+无最后一个hourA附录A。1定理3.1汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的证明由随机控制问题（3.4）相关的动态规划产生：~vt+infq∈RQ~vx+νq五y+u~vd+σ~vy+σd~vd+ρσd~vYd+q（y+γq）= 0，~v（T，x，y，d）=~C（d- x） =r（η，β）（d）- x） 。HJB中的argmin是为q（t，x，y，d）=-2γ~vx+ν~vy+y,HJB方程改写为：~vt+u~vd+σ~vy+σd~vd+ρσd~vYD-4γ~vx+ν~vy+y= 0，~v（T，x，y，d）=r（η，β）（d- x） 。（A.1）我们寻找HJB的候选解决方案，其形式为w（t，x，y，d）=A（t- t） （d）- x） +B（T）- t） y+F（t）- t） （d）- x） y+G（T）- t） （d）- x） +H（T）- t） y+K（t）- t） ，（A.2）对于一些确定性函数A，B，F，G，H和K。

通过对候选函数winto方程（A.1）的分析，我们发现w是HJB方程的解，而以下普通微分方程组（ODE）满足A、B、F、G、H和K：A+4γ(-2A+νF）=0B+4γ（2νB- F+1）=0F+2γ(-2A+νF）（2νB- F+1）=0G- 2uA+2γ(-2A+νF）(-G+νH）=0H- uF+2γ（2νB）- F+1）(-G+νH）=0K- 微克- （σB+σdA+ρσdF）+4γ(-初始条件为A（0）=r（η，β），B（0）=0，F（0）=0，G（0）=0，H（0）=0，K（0）=0。我们首先求解与三元（A，B，F）相关的Riccati系统，并得到：（A（t）=r（η，β）（νt+γ）（r（η，β）+ν）t+2γ，B（t）=-t（r（η，β）+ν）t+2γ，F（t）=r（η，β）t（r（η，β）+ν）t+2γ。（A.3）然后，我们求解一阶线性常微分方程组相对于偶（G，H），从而得到显式解：G（t）=2utA（t），H（t）=-2r（η，β）utB（t）。（A.4）最后，我们明确地从最后一个方程中得到K：K（t）=γσ+σdr（η，β）- 2ρσdr（η，β）r（η，β）+ν自然对数1+（r（η，β）+ν）t2γ+σdr（η，β）ν+2ρσdr（η，β）- σr（η，β）+νt+r（η，β）ut（νt+γ）（r（η，β）+ν）t+2γ。（A.5）通过构造，（A.2）中的w，由（A.3）-（A.4）（A.5）显式给出A、B、F、G、H和K，是HJB方程（A.1）具有二次增长条件的光滑解。此外，HJB方程中的argmin对于＠w是针对＠q（t，x，y，d）=-2γ ~wx+ν ~wy+y=r（η，β）（u（T）- t） +d- 十）- y（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ=：^q（t- t、 d- x、 y）。请注意，q是线性的，Lipschitz在x，y，d中，在时间t中是一致的，因此给定时间t的初始状态（x，y，d），存在唯一的解（Xt，x，y，d，y，d，Yt，x，y，d，Dt，d）t≤s≤有反馈控制的Tto（2.1）（2.7）-（2.8）^qs=^q（T- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds），其中满足：E[supt≤s≤T | Xt，x，y，ds |+| y，x，y，ds |+| Dt，ds |]<∞. 这尤其意味着E[RTt|qs|ds]<∞, 因此^q∈ 在我们现在调用一个经典的验证定理（参见。

[8]中的定理3.5.2，它表明w确实等于值函数v，且^q是最优控制。最后，一旦确定了最优交易率^q，就可以通过对ξ的优化得到最优产量∈ 终端成本的R（Dt，Dt-^Xt，x，y，dT，ξ），由以下公式给出：^ξT=ηη+β（dT，dT-^Xt，x，y，dT）。A.2定理4.1Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）积分微分方程的证明，该积分微分方程由与随机控制问题相关的动态规划产生，该问题在Y和D的动力学中具有跳跃：~v（λ）t+infq∈RQ~v（λ）x+νq~v（λ）y+u~v（λ）d+σ~v（λ）y+σd~v（λ）d+ρσd~v（λ）Yd+q（y+γq）+ λp+~v（λ）（t，x，y+π+，d+δ++p-~v（λ）（t，x，y+π）-, d+δ-) - ~v（λ）（t，x，y，d）= 0~v（λ）（T，x，y，d）=C（d- x） =r（η，β）（d）- x） 。请注意，对于无跳跃情况，HJB方程中还有一个线性积分微分方程（不依赖于控制），并且argmin在无跳跃情况下为＠q（λ）（t，x，y，d）=-2γ~v（λ）x+ν~v（λ）y+y.然后将HJB方程改写为~v（λ）t+u~v（λ）d+σ~v（λ）y+σd~v（λ）d+ρσd~v（λ）YD-4γ~v（λ）x+ν~v（λ）y+y+ λp+~v（λ）（t，x，y+π+，d+δ++p-~v（λ）（t，x，y+π-, d+δ-) - ~v（λ）（t，x，y，d）= 0v（λ）（T，x，y，d）=r（η，β）（d）- x） 。（A.6）我们再次寻找（A.6）的候选解，其形式为w（λ）（t，x，y，d）=Aλ（t）- t） （d）- x） +Bλ（T）- t） y+Fλ（t）- t） （d）- x） y+Gλ（T）- t） （d）- x） +Hλ（T）- t） y+Kλ（t）- t） ，（A.7）对于某些确定性函数Aλ，Bλ，Fλ，Gλ，Hλ和Kλ。

将候选函数w（λ）插入方程（A.6）中，我们可以看到，w（λ）是HJB方程的解，以下普通微分方程（ODE）系统由Aλ、Bλ、Fλ、Gλ、Hλ和Kλ满足：Aλ+4γ(-2Aλ+νFλ）=0Bλ+4γ（2νBλ- Fλ+1）=0Fλ+2γ(-2Aλ+νFλ）（2νBλ- Fλ+1）=0Gλ- 2uAλ+2γ(-2Aλ+νFλ）(-Gλ+νHλ）- λ（2δAλ+πFλ）=0Hλ- uFλ+2γ（2νBλ）- Fλ+1）(-Gλ+νHλ）- λ（2πBλ+δFλ）=0Kλ- uGλ- （σBλ+σdAλ+ρσσdFλ）+4γ(-Gλ+νHλ）-λ[（p+（δ+）+p-(δ-))Aλ+（p+（π+）+p-(π-))Bλ+（p+δ+π++p）-δ-π-)Fλ+δGλ+πHλ]=0，初始条件为Aλ（0）=r（η，β），Bλ（0）=0，Fλ（0）=0，Gλ（0）=0，Hλ（0）=0，Kλ（0）=0。我们首先求解与三元组（Aλ，Bλ，Fλ）相关的Riccati系统，这与无跳跃情况下相同，因此得到：Aλ=A，Bλ=B，Fλ=F，如（A.3）所示。然后，我们求解一阶线性常微分方程组相对于这对方程组（Gλ，Hλ），其中包含跳跃参数λ，π和δ，得到：Gλ（t）=G（t）+λr（η，β）t（πt+2δ（νt+2γ））（r（η，β）+νt+2γ，Hλ（t）=H（t）-λ(π - 2r（η，β）δt（r（η，β）+ν）t+2γ，其中G和H来自无跳跃情况（A.4）。最后，经过一些繁琐而直接的计算，我们从最后一个方程显式地得到了Kλ：Kλ（t）=K（t）+λγp+（π）+- r（η，β）δ++p-(π-- r（η，β）δ-)r（η，β）+ν自然对数1+（r（η，β）+ν）t2γ-λp+（（π+）- r（η，β）δ+（2π++νδ+）+p-((π-)- r（η，β）δ-(2π-+ νδ-))r（η，β）+νt+λr（η，β）2νδ+λ（（p+）δ+（π++νδ+）（p-)δ-(π-+ νδ-))r（η，β）+νt+λγr（η，β）r（η，β）δ+2νp+p-δ+δ-- （（p+）δ+π++（p-)δ-π-)（r（η，β）+ν）（r（η，β）+ν）t+2γt+2λγr（η，β）uδ（r（η，β）+ν）（r（η，β）+ν）t+2γT-λπ48γt+λp+p-r（η，β）2νδ+δ-+ δ-π++ δ+π-（r（η，β）+ν）t+2γt+4r（η，β）μλπ- λπ（r（η，β）+ν）t+2γt，K in（A.5）。因此，（A.7）中的函数w（λ）可以重写为（A.2）中的函数w与t，d的另一个函数之和- 是HJB方程（a.6）二次增长条件下的光滑解。