日内电力市场中的最优交易问题

没有数学上的推论：只要记住交付和生产并不是真的在T发生，而是在T加上一些延迟就足够了。3） η越大，代理人尽可能接近均衡供需的动机就越强。在极限情况下，当η变为单位时，代理人正式受限于有限的供给和需求。然而，当η=∞ 由于这种完美的平衡约束通常是不可能实现的，所以在数学上不是适定的。事实上，终端日期T的需求是随机的，通常通过阿加西噪声建模，具有有限变化的库存X可能会超过或低于终端日期T的需求DTP。因此，在XT>DT的情况下，由于生产量ξ本质上是非负的，即使没有延迟，也不可能实现平衡XT+ξ=DT。在续集中，我们定义η>0（可能很大，但有限），并研究随机控制问题（2.4）。4）优化问题（2.4）与阿尔姆格伦和克里斯[2]的开创性论文中研究的极限订单书中的最优执行问题有一些相似之处，并在文献中得到了许多作者的扩展，如调查论文[9]。主要区别在于，在股票的执行问题中，目标是购买或出售一定数量的股票，即导致Xt达到固定常数（正式意义是η变为单位），而在我们的日内电力市场环境中，目标是实现与随机需求DT的平衡，最终借助于生产杠杆ξ。然而，与恒定目标的情况相反，在存在随机目标的情况下，不可能完全实现平衡，这就需要引入上述惩罚因子η。

本文的主要目的是为优化问题（2.4）提供显式（或至少近似显式）解决方案，该解决方案易于从经济学角度进行解释，并允许测量模型各种参数的影响。为了实现这一目标，我们将使我们的建模尽可能接近随机控制的线性二次框架，并做出以下假设：能量生产成本函数为二次型：c（x）=βx，对于某些β>0。二次成本函数虽然简单，但表示边际生产成本随生产水平的增加而增加。备注2.2（纯零售商）在极限情况下，当β变为不确定时，意味着不确定的生产成本，这对应于代理从不使用生产杠杆，只通过解决最优执行问题在日内市场交易的框架：最小化超过q∈ A EhZTqtPt（q）dt+C（dt）- XT，0）i.（2.5）与Almgren和Chriss一样，我们假设价格影响（包括永久性和临时性）是线性形式，即对于某些常数ν，g（q）=νq，f（q）=γq≥ 0和γ>0。未受影响的日内电价被视为Abachier模型：^Pt=^P+σWt，（2.6），其中W是标准布朗运动，σ>0是正常数。这种假设乍一看似乎是一个缺点，因为它允许未受影响价格的负值。然而，在实践中，对于我们在几个小时内的日内执行问题，负面价格的发生概率微乎其微。鞅假设在市场影响文献中也是标准的，因为由于短线交易区间，漂移效应通常可以忽略。报价Y，受过去交易率q的影响∈ A、 然后由动力学控制：dYt=νqtdt+σdWt。

（2.7）剩余需求预测的动态由ddt=udt+σddBt给出，（2.8），其中u，σd>0，B是与W相关的布朗运动：d<W，B>t=ρdt，ρ∈ [-1, 1].从（2.2）中，我们可以通过：v（t，x，y，d）：=infq定义与最优执行问题（2.4）的动态版本相关的值函数∈至少，ξ∈L+（英尺-h） J（t，x，y，d；q，ξ）（2.9）与J（t，x，y，d；q，ξ）：=EhZTtqs（Yt，ys+γqs）ds+C（Dt，Dt- Xt，Xt，ξ）i，（2.10）表示（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，其中At表示实值过程集q=（qs）T≤s≤Ts.t.qsis Fs和ERTtqsds]<∞, Dt，dis（2.8）的解从t处的d开始，并给出一个控制q∈ At，Yt，yde注意到（2.7）从yat时间t开始的解，Xt，xis是（2.1）从x时间t开始的解。在第一步中，我们将考虑生产中没有延迟的情况，然后在本文的最后一节中展示如何将延迟问题简化为节点延迟问题。我们还将研究剩余需求预测出现跳跃的情况。3生产中无延迟的最佳执行在本节中，我们考虑生产中无延迟的情况，即h=0。在这种情况下，我们注意到（2.4）中q和ξ的优化是分开进行的。实际上，生产量ξ∈ L+（FT）是在最终日期T，在决定交易率过程（qt）T之后选择的∈[0，T]达到（导致库存XT）。通过优化a.s.在终端成本C（DT）的T处确定- XT，ξ），因此通过ξ形成反馈形式*T=^ξ+（DT- XT）式中^ξ+（d）：=arg minξ≥0C（d，ξ）=arg minξ≥0βξ+η（d）- ξ)=ηη+βd1d≥0.（3.1）然后，问题（2.9）的值函数可以被重写为asv（t，x，y，d）=infq∈AtEhZTtqs（Yt，ys+γqs）ds+C+（Dt，Dt- 其中C+（d）：=C（d，^ξ+（d））=ηβη+βdd≥0+ηdd<0。

（3.3）和最优交易率q*通过求解（3.2）得出。由于C+中的指示函数是由生产量的非负性约束引起的，因此不可能得到问题（3.2）的显式解，即显式求解相关的动态规划Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。然后，我们将通过放松生产量上的符号约束来考虑一个辅助执行问题，对于这个问题，我们能够提供显式的解决方案。接下来，我们将看到如何根据这个辅助解析解导出原始问题的近似解，我们将评估误差，并通过数值测试说明这个近似解的质量。3.1辅助最优执行问题我们考虑在生产杠杆的非负约束上具有松弛性的最优执行问题，并由此引入辅助值函数v（t，x，y，d）：=infq∈A、 ξ∈L（FT）J（t，x，y，d；q，ξ），对于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R。通过与（3.2）的推导相同的参数，我们有＠v（T，x，y，d）=infq∈AEhZTtqs（Yt，ys+γqs）ds+~C（Dt，Dt）- Xt，Xt）i，（3.4）式中^ξ（d）：=arg minξ∈RC（d，ξ）=ηη+βd，~C（d）：=C（d，^ξ（d））=ηβη+βd=：r（η，β）d.（3.5）中的函数可以解释为降低成本的函数。

因为生产成本函数和惩罚都是二次函数，所以它们可以简化为一个单一的生产函数，其中不平衡由生产者内部化。通过利用随机控制问题（3.4）的线性二次结构，我们可以得到这个辅助问题的显式解。定理3.1（3.4）的值函数显式等于：~v（t，x，y，d）=r（η，β）（ν（t- t） +γ）（r（η，β）+ν）（t）- t） +2γ（d）- x） +2u（T）- t） （d）- 十）+T- t（r（η，β）+ν）（t- t） +2γ-y+r（η，β）u（T- t） y+r（η，β）（T）- t） （r（η，β）+ν）（t）- t） +2γ（d）- x） y+γσ+σdr（η，β）- 2ρσdr（η，β）r（η，β）+ν自然对数1+（r（η，β）+ν）（T）- t） 2γ+σdr（η，β）ν+2ρσdr（η，β）- σr（η，β）+ν（T）- t） +r（η，β）u（t- t） （ν（t）- t） +γ）（r（η，β）+ν）（t）- t） +2γ，用于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，最优交易率以反馈形式给出：^qs=^qT- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds, T≤ s≤ T^q（T，d，y）：=r（η，β）（uT+d）- y（r（η，β）+ν）t+2γ。（3.6）这里（^Xt，x，y，d，^Yt，x，y，d，Dt，d）表示使用反馈控制^q时（2.1）-（2.7）-（2.8）的解，从时间t的（x，y，d）开始。最后，最佳生产杠杆由以下公式给出：^ξt=^ξ（Dt，Dt）-^Xt，x，y，dT）=ηη+βDt，Dt-^Xt，x，y，dT. （3.7）提供证据。我们寻找（3.4）的二次型候选解：~w（t，x，y，d）=a（t- t） （d）- x） +B（T）- t） y+F（t）- t） （d）- x） y+G（T）- t） （d）- x） +H（T）- t） y+K（t）- t） ，对于一些确定性函数A、B、F、G、H和K。将此ansatz插入与随机控制问题（3.4）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程中，我们发现这些确定性函数应该满足一个可以显式求解的Riccati方程组。然后，通过一个经典的验证参数，我们用HJB方程中的argmax导出的最优反馈控制来检查这个ansatz＠w是否真的等于＠v。

证据的细节见附录。备注3.1（纯交易者）通过将β发送到值函数v和最优反馈控制^q表达式中的单位，并观察r（η，β）到η，我们得到了无杠杆生产的最优执行问题（2.5）的解：vNP（t，x，y，d）：=infq∈AEhZTtqs（Yt，ys+γqs）ds+C（Dt，Dt）- Xt，Xt，0）i（3.8）=η（ν（T）- t） +γ）（η+ν）（t- t） +2γ（d）- x） +2u（T）- t） （d）- 十）+T- t（η+ν）（t- t） +2γ-y+ηu（T）- t） y+η（T）- t） （η+ν）（t）- t） +2γ（d）- x） y+γσ+σdη- 2ρσdηη + ν自然对数1+（η+ν）（T）- t） 2γ+σdην+2ρσdη- ση + ν（T）- t） +ηu（t）- t） （ν（t）- t） +γ）（η+ν）（t- t） +2γ，用于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，最优交易率以反馈形式给出：^qNPs=^qNPT- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds, T≤ s≤ T^qNP（T，d，y）：=η（uT+d）- y（η+ν）t+2γ。解读：1。时间s的最优交易率^qs∈ [t，t]由（3.6）以反馈形式给出，分为两个术语：第一个单数（η，β）（r（η，β）+ν）（t- t） +2γu（T）- s） +Dt，ds-^Xt，x，y，ds与交易率有关，以便跟踪需求趋势，并与剩余需求预测大于当前库存时的投资意愿有关。第二任期-（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ^Yt，x，y，ds代表报价对投资策略的负面影响：价格越高，代理人降低交易率的幅度越大，直到达到负值，这意味着电力股的转售。根据惩罚因子η、边际成本生产因子β、临时和永久性价格影响参数γ、ν和到期时间T，这些影响通过恒定分母项进行加权- t、 二,。

通过引入边际成本函数：c（x）=βx，以及过程^ξs:=ηη+βDt，ds+u（T- （s）-^Xt，x，y，ds- ^qs（T）- （s）, T≤ s≤ T、 它被解释为最终时间T的预测产量（最终产量的回忆表达式（3.7）），我们从最优交易价格的表达式中注意到，以下关系成立：^Yt，x，y，ds+νqs（T- s） +2γ^qs=c（^ξs），t≤ s≤ T.（3.9）这种关系意味着，在每一时刻，最佳交易率是使预测交易日价格加上边际暂时影响（左侧），这可以被视为时间T当日市场上的边际电力成本，等于预测边际生产成本。在这里，瞬时影响γ显示为购买或出售的边际成本，时间s的预测假设最优tradingrate^qs在s和T之间保持不变。我们通过指出一个显著的鞅性质来完成对最优交易率的描述。命题3.1最优交易率过程（^qs）t≤s≤锡（3.6）是一个鞅。证据通过将其公式应用于^qs=^q（T- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds），t≤ s≤ 由于^q在d和y中是线性的，我们有：d^qs=- ^qt+（u）- ^q） ^qd+ν^q ^qY（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）ds+ ^qd（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）σddBs+ ^qy（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）σdWs，从^Xt，x，y，d，Dt，and^Yt，x，y，d的动力学（2.1），（2.8）和（2.7）。现在，从函数^q（t，y，d）的显式表达，我们看到- ^qt+（u）- ^q） ^qd+ν^q ^qy=0，所以：d^qs=r（η，β）σd（r（η，β）+ν）（T- s） +2γdBs-σ（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdWs，（3.10），表示所需的鞅性质。备注3.2回顾一下，在[2]中研究的经典最优执行问题中，最优交易率是恒定的。

我们在其框架中检索该结果，该框架对应于σd=0（恒定需求目标），β=∞ （没有生产），η=∞ （导致实现固定目标的限制），见备注2.1.4）。事实上，在这些极限状态下，我们从（3.10）中看到d^qs=0，这意味着{qs，t≤ s≤ T}是恒量。在我们的框架中，这被推广到最优交易率过程的鞅性质，这意味着最优库存{^Xt，x，y，ds，t≤ s≤ T}具有恒定的平均增长率，即dE[^Xt，x，y，ds]ds是常数，等于^q（T）给出的初始交易率- t、 d- x、 y）。由于该鞅性质，如果生产商在日前市场中已经满足关系（3.9），并且如果初始日内价格是日前价格，则日内市场的初始交易率将为零。因此，平均而言，她的tradingrate将为零。交易利率过程的鞅性质实际上与（2.6）中未受影响价格的马尔可夫动力学密切相关。正如我们将在第4节中看到的，我们考虑价格跳跃，使^P成为子鞅或超鞅，最优交易率将继承逆子鞅或超鞅性质。3.2近似解我们回到原始执行问题，生产量受到非负性约束。如上所述，由于终端成本函数C+的形式，在这种情况下没有明确的解决方案。然后，策略是使用显式控制，包括（3.6）中导出的交易率^q，以及截断的非负生产量：△ξ*T:=^ξT^ξT≥0=^ξ+（Dt，Dt-^Xt，x，y，dT），（3.11），并在（3.7）中从辅助问题中定义^ξTde。

换句话说，我们遵循从问题中确定的tradingrate策略^q，而不限制最终生产数量，如果最终库存^Xt，x，y，Dt低于终端需求Dt，则在终端日期使用生产杠杆，方法是选择与该分布Dt，Dt成比例的数量-^Xt，x，y，dT。本节的目的是测量这个近似策略（^q，^ξ）的相关性*（T）∈ 关于最优执行问题（2.9），通过估计诱导误差：E（t，x，y，d）：=J（t，x，y，d；^q，~ξ*（T）- v（t，x，y，d），代表（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R。我们还测量了值函数的逼近误差：E（T，x，y，d）：=v（T，x，y，d）- v（t，x，y，d）。注意，如果^ξT≥ 0 a.s.，即Dt，Dt≥^Xt，x，y，dTa。s、 （这不是真的），所以*T=^ξT，那么显然（^q，^ξT）就是（2.9）的解，所以E（T，x，y，d）=E（T，x，y，d）=0。实际上，这些误差取决于事件的概率：{Xt，x，y，dT>dT，dT}，我们有以下估计：命题3.2适用于所有（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，我们有0≤ Ei（t，x，y，d）≤ηr（η，β）2βV（T- t） ψm（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）, i=1,2，（3.12），其中ψ（z）：=（z+1）Φ(-z）- zφ（z），z∈ R、 φ=Φ为标准正态分布的密度，m（t，d，y）：=（νt+2γ）（ut+d）+yt（R（η，β）+ν）t+2γ，（3.13）V（t）：=Ztσs+σd（νs+2γ）+2ρσds（νs+2γ）（r（η，β）+ν）s+2γds≥ 0.（3.14）证据。通过定义值函数v和v，回顾（q，ξT）是v的最优控制，以及自（q，ξT）以来*（T）∈ A×L+（FT），我们有：J（t，x，y，d；^q，^ξt）=v（t，x，y，d）≤ v（t，x，y，d）≤ J（t，x，y，d；^q，^ξ）*T） ，代表所有人（T，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R。这显然意味着误差EAN和Earenonnegative，以及max（E（T，x，y，d），E（T，x，y，d））≤ E（t，x，y，d）：=J（t，x，y，d；^q，~ξ*（T）- J（t，x，y，d；^q，^ξt）。现在我们关注E的上界。

通过定义J in（2.10），^ξ和^ξ*Tin（3.7）和（3.11），我们有（t，x，y，d）=EhC（Dt，Dt-^Xt，x，y，dT，^ξ*（T）- C（Dt，Dt）-^Xt，x，y，dT，^ξT）i=EhC（dT，dT-^Xt，x，y，dT，^ξ+（dT，dT-^Xt，x，y，dT）- C（Dt，Dt）-^Xt，x，y，dT，^ξ（dT，dT-^Xt，x，y，dT）i=EhC+（dT，dT-^Xt，x，y，dT）-~C（Dt，Dt）-^Xt，x，y，dT）i=ηr（η，β）2βEhDt，Dt-^Xt，x，y，dTDt，Dt-^Xt，x，y，dT<0i，（3.15）来自（2.3），（3.3）和（3.5）中C+和C的定义和表达。现在，从（3.10）开始，通过积分，我们得到了最优tradingrate控制的显式（路径依赖）形式：^qs=^qt+Zstr（η，β）σd（r（η，β）+ν）（T- u） +2γdBu-Zstσ（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdWu，t≤ s≤ T、 带^qt=^q（T- t、 d- x、 y）。然后我们得到需求和库存之间的最终价差表达式：Dt，Dt-^Xt，x，y，dT=d- x+u（T）- t） +ZTtσddBs-ZTt^qsds=m（T- t、 d- x、 y）+ZTtσd（ν（T）- s） +2γ）（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdBs+ZTtσ（T- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdWs，根据富比尼定理，m（t，d，y）：=d+ut- t^q（t，d，y），由^q的表达式（3.6）显式写成（3.13）。因此，Dt，Dt-^Xt，x，y，dt遵循均值为m（T）的正态分布规律- t、 d- x、 y）和方差V（T）- t） givenby（3.14），从（3.15）中，我们推导出e（t，x，y，d）=ηr（η，β）2βV（t- t） ψm（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）,而最终库存大于终端需求的概率为：PDt，Dt-^Xt，x，y，dT<0= Φ-m（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）. (3.16)误差渐近性。我们现在研究（3.12）E（T）中上界的准确性- t、 d- x、 y）：=ηr（η，β）2βV（T- t） ψm（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）.众所周知（参见[10]中的第14.8节）(-z）≤ φ（z），Z∈ R、 （3.17）从中我们很容易看到ψ是非递增的，凸的，和ψ(∞) = 0.因此，\'E（T-t、 d- x、 y）对于较大的m（T）减小到零- t、 d- 十、y） 还是小V（T- t） 。