日内电力市场中的最优交易问题

此外，根据^q（λ）s+λπ2γs的鞅性质，0≤ s≤ T，我们有：E[^q（λ）s]=^q（λ）（T，d）- x、 y）-λπ2γs为0≤ s≤ T固定d，x，y，然后让我们用‘s（λ）：=2γλπ^q（λ）（T，d）表示- x、 y），明确表示为：\'\'s（λ）=T+λπr（η，β）u+λ（r（η，β）δ-π)T+r（η，β）（d）- 十）- y1+（r（η，β）+ν）T2γ我们有以下情况：o\'s（λ）≤ 0和π>0：这可能出现在大的y，或d<<x，或r（η，β）δ<<π/2时。在这种极端情况下，dE[^X0，x，y，ds]ds=E[^q（λ）s]≤ 0换0≤ s≤ T，即e[^X0，x，y，ds]的轨迹，0≤ s≤ T在下降，这意味着代理人将“始终”销售电股，因为她利用高价格，以减少库存以接近需求，并且因为平均而言，需求的跳跃幅度远低于价格的正跳跃幅度\'s（λ）≤ 0和π<0：这可能出现在小y，或d>>x，或r（η，β）δ>>π/2时。在这种极端情况下，dE[^X0，x，y，ds]ds=E[^q（λ）s]≥ 0换0≤ s≤ T，即e[^X0，x，y，ds]的轨迹，0≤ s≤ T在增加，这意味着代理人将“始终”购买电力共享，因为她利用低价，以增加库存以接近需求，因为平均而言，价格的跳跃幅度远小于需求的跳跃幅度\'s（λ）≥ T和π>0：这可能出现在r（η，β）δ>>π/2，d>>x或小y的情况下。在另一个极端情况下，E[^X0，x，y，ds]的轨迹为0≤ s≤ T正在增加，这意味着代理人将“始终”以低价购买电力股份，以便在最终时间接近剩余需求\'s（λ）≥ T和π<0：对于r（η，β）δ<<π/2，d<<x或大y，可能会出现这种情况。

E[^X0，x，y，ds]的曲率，0≤ s≤ T在下降，这意味着代理人将“始终”以高价出售电力股份，以便最终接近剩余需求0<s（λ）<T：在这种常规情况下，对这两个子类进行评论是很有趣的：–如果π>0，则s 7的轨迹→ 对于s，E[^X0，x，y，ds]在增加≤ \'s（λ），然后随着\'s（λ）<s而减小≤ T这意味着代理人首先购买电力股份，以获得正价格上涨的好处（p+π+p时，其影响大于负价格上涨）-π-> 0），然后转售股份，以实现平衡关系（4.7）。-如果π<0，即负跳跃的影响大于正跳跃的影响：代理人开始出售电力股份，然后购买股份。4.2近似解我们回到初始最优执行问题，最终产量具有非负性约束，如第3.2节所述，我们使用近似策略，考虑（4.4）中导出的交易率^q（λ），以及截断的非负最终产量：~ξ（λ），*T:=^ξ（λ）T^ξ（λ）T≥0=^ξ+（Dt，Dt-^Xt，x，y，dT），其中^ξ（λ）t位于（4.5）中。

我们测量这一策略的相关性（^q（λ），^ξ（λ），*（T）∈ A×L+（FT）通过估计诱导误差：E（λ）（t，x，y，d）：=J（λ）（t，x，y，d；^q（λ），ξ（λ），*（T）- v（λ）（t，x，y，d），对于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，并测量值函数上的近似误差：E（λ）（T，x，y，d）：=v（λ）（T，x，y，d）- v（λ）（t，x，y，d）。命题4.2适用于所有人（t、x、y、d）∈ [0，T]×R×R×R，我们有0≤ E（λ）i（t，x，y，d）≤ηr（η，β）2βV（T- t） Ehψm（λ）（T）- t、 d- x、 y）+∑-,tTpV（T- （t）i（4.9）表示i=1，2，其中ψ，m，V在命题3.2中定义，m（λ）（t，d，y）=mt、 d，y+λπ- r（η，β）δT（4.10）+λr（η，β）δ- πr（η，β）+νht-2γr（η，β）+νln1+r（η，β）+ν2γti、 和∑-,tT=ZTtδ-（ν（T）- s） +2γ）+π-（T）- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN-s≤ 0，a.s.证明。根据与命题3.2相同的论点，我们得到了0≤ E（λ）i（t，x，y，d）≤ E（λ）（t，x，y，d）：=J（λ）（t，x，y，d；^q（λ），～ξ（λ），*（T）- J（λ）（t，x，y，d；^q（λ），^ξ（λ）t），对于i=1，2，and（λ）（t，x，y，d）=ηr（η，β）2βEhDt，Dt-^Xt，x，y，dTDt，Dt-^Xt，x，y，dT<0i，（4.11）对于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R。现在，回想一下（4.8）中的：d^q（λ）s=-λhπ2γ+r（η，β）δ- π（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γids+r（η，β）σd（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdBs-σ（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdWs+r（η，β）δ+- π+（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN+s+r（η，β）δ-- π-（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN-s、 我们直接用泊松过程N±来描述动力学。通过积分，我们推导出^q（λ）s，t的（路径依赖）表达式≤ s≤ T:^q（λ）s=^q（λ）T-λπ2γ（s）- t） +λr（η，β）δ- πr（η，β）+νln（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γ（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ+Zstr（η，β）σd（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdBu-Zstσ（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdWu+Zstr（η，β）δ+- π+（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdN+u+Zstr（η，β）δ-- π-（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdN-u、 其中^q（λ）t=^q（λ）（t- t、 d- x、 y）。

因此，我们得到了需求和库存之间最终价差的表达式：Dt，Dt-^Xt，x，y，dT=d- x+u（T）- t） +ZTtσddBs+ZTtδ+dN+s+ZTtδ-dN-s-ZTt^q（λ）sds=m（λ）（T- t、 d- x、 y）+ZTtσd（ν（T）- s） +2γ）（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdBs+ZTtσ（T- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdWs+ZTtδ+（ν（T- s） +2γ）+π+（T- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN+s+ZTtδ-（ν（T）- s） +2γ）+π-（T）- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN-s、 （4.12）根据Fubini定理，其中m（λ）（t，d，y）：=d+ut- t^q（λ）（t，d，y）+λπ2γZtsds-λr（η，β）δ- πr（η，β）+νZtln（r（η，β）+ν）s+2γ（r（η，β）+ν）t+2γ在经过一些简单的计算后，ds显式地写成（4.10）中的形式。表示t、 x，y，Dt是Dt，Dt的连续部分-^Xt，x，y，dt包含在（4.12）的rhs中的三个第一项中，并通过∑+，tT，∑-,t由（4.12）的最后两项组成的跳跃部分，因此dT，dT-^Xt，x，y，dT=t、 x，y，dT+∑+，tT+∑-,我们注意到t、 x，y，dt遵循均值为m（λ）（t）的正态分布规律- t、 d- x、 y）方差V（T）- t） ，独立于∑±，tT。然后，条件是∑±，tT，Dt，Dt-^Xt，x，y，dTfollowsa平均值为m（λ）（T）的正态分布律- t、 d- x、 y）+∑+，tT+∑-,tT和方差v（T- t） ，这意味着从（4.11）可知：E（λ）（t，x，y，d）=ηr（η，β）2βV（t- t） Ehψm（λ）（T）- t、 d- x、 y）+∑+，tT+∑-,tTpV（T- （t）我≤ηr（η，β）2βV（T- t） Ehψm（λ）（T）- t、 d- x、 y）+∑-,tTpV（T- （t）i、 因为∑+，tT≥ 0a.s.和ψ是非递增的。关于近似误差的评论。让我们讨论一下（4.9）中上界的精度：\'E（λ）（T）- t、 d- x、 y）：=ηr（η，β）2βV（T- t） Ehψm（λ）（T）- t、 d- x、 y）+∑-,tTpV（T- （t）i、 首先，注意m（λ）（T- t、 d- x、 y）+∑-,tT~ m（T）- t、 d- x、 y）限制制度中的a.s.，其中- t归零，d- x或y进入单位。因此，根据支配收敛定理，\'E（λ）（T- t、 d- x、 y）在这些极限状态下收敛到零，就像在无跳跃情况下一样。

然而，我们不能像命题3.3的无跳跃情形那样导出渐近极限，除非∑-,tT=0，即δ-= π-= 我们得到了相同的渐近极限。实际上，在需求出现负跳跃的情况下，直觉上很明显，我们的近似值应该不如无跳跃情况下的准确，因为剩余需求保持在最终库存之上的概率正在降低。总之，显式策略（^q（λ），^ξ（λ），*T） 至少在这些限制条件下，仍能提供非常精确的最优策略近似值，如下一段所示。4.3数值结果我们绘制了一些相关量的轨迹，我们使用与第3.3.2段中相同的参数集模拟这些量：σ=1/60 e·（MW）-1·s-1/2，σd=1000/60 MW·s-1/2，β=0.002 e·（MW）-η=200E·（MW）-2，u=0 MW·s-1, ρ = 0.8, ν = 4.00 · 10-5e·（兆瓦）-2，γ=2.22e·s·（MW）-2，T=24小时，X=0，D=50000兆瓦，Y=50兆瓦-1.此外，我们确定了正跳跃的概率，p+=1（那么所有跳跃都是正的：p-= 0），以及跳跃分量的以下值：λ=1.5/（3600·24）s-1，π+=10e·（MW）-1，δ+=1500MW。对于这些参数值，我们观察到价格需求轨迹上出现两次跳跃。此外，概率P[^XT>DT]的上限为2.92×10-16，误差E（λ）（0，D- 十、 Y）以2.66×10为界-5e，和∧v（λ）（0，X，Y，D）=2020950e。执行策略（^q（λ），^ξ（λ），*T） 然后可以认为非常接近最优策略。这必须与前一节中在无跳跃情况下获得的数值结果进行比较，在这种情况下，我们获得了较低的预期总成本：~v（0，X，Y，D）=1916700e。图4表示交易率（^q（λ）t）t的演变∈[0，T]，我们看到它与命题4.1中的超鞅性质一致递减。

实际上，我们观察到（4.6）中的确定性部分，在时间上是线性的，支配着随机性部分。对该策略的解释如下：由于预期价格会出现正跳，代理人购买了大量电力股份，并希望由于可能出现正跳，之后以更高的价格出售。在图5所示的价格跳跃时间，我们注意到控制^q（λ）的反应是交易率的降低。对第二次跳跃的反应比对第一次跳跃的反应更为合理，因为它发生在最终水平T之前的很短时间内，目标也是实现价格和边际成本之间的平衡关系（4.7）。最后，我们在图6中清楚地观察到最优库存过程（^Xt）t轨迹的凹度∈[0，T），如备注4.1所述。这强调了代理人的双重目标：一方面，购买电力股份以获取正价格跳跃的利润，另一方面，转售电力股份以实现终端日期价格和边际成本之间的平衡关系。

我们还在图6上绘制了最终时间T的生产^ξ，并在无跳跃的情况下观察到平衡成本DT-^XT-^ξ为阳性。Cont r ol-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.00 10.00 00 20.00 300 300 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 600 00 700 00 800 00 00 90 00图4：交易率控制的演变受影响的价格4550556657575758000 000 000 300000 000 50000 50000 6 0000 7 0000 8 0000 90000图5：报价受影响价格和未受影响价格的模拟或y和最终产品对于ecast r esi双dem an D010000200000000000005000060000040000 50000 6 0000 7 0000 80000 90000图6：库存^X和预测剩余需求DNext的演变，我们用相同的参数集绘制轨迹，但p+=0.3（即p-= 0.7), π-= -10E·（兆瓦）-1, δ-= -1500兆瓦。平均来说，有更多的消极和积极的跳跃。现在，v（λ）（0，X，Y，D）=1756330e。图7显示交易率（^q（λ）t）t∈[0，T]在增加，这与命题4.1中的次鞅性质一致：（4.6）中的确定性部分支配随机部分。由于负跃迁比负跃迁更容易被预期，因此代理人首先出售大量电力股份，并希望稍后以较低的价格购买，因为可能发生跃迁，这主要是负跃迁。在这里，控制通过增加交易率来应对负价格上涨。最后，在图9中，我们观察到最优库存（^Xt）t轨迹的凸性∈[0，T）过程，如备注4.1所示。

我们还绘制了最终时间t的生产图。Cont r ol-0.50.00.51.01.52.00 10 00 00 200 000 000 3 000 000 4 000 000 5 00 00 00 0 6 00 0 7 00 00 0 8 000 0 900 00图7：受影响的交易率控制的演变图7：受影响的交易率控制的演变图30354045505 600 10000 30000 40000 50000 6 0000 7 0000 8 0000 90000图8：受影响的报价和未受影响的价格的模拟产品1对于ecast r esi d ual dem和-10000100002000030000400005000600000020000000200000002000000020000000200000002000000020000000200000002000000020000000200000002000000020000000200000002000000020000000200000002000000000020000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000∈ [0，T]，我们用v=vh表示关联的最优执行问题的值函数，如（2.9）中所定义，其中我们强调延迟h中的依赖性。我们的目的是展示如何在没有延迟的情况下将延迟问题简化为合适的问题，然后显式解决它。

我们将在不考虑需求预测和价格跳跃的情况下考虑这个问题，但同样的论点也适用于跳跃的情况。5.1带延迟的显式解决方案为了表示的简单性，在不丧失通用性的情况下，我们将重点讨论初始时间t=0和固定时间（x，y，d）的值函数vh（t，x，y，d）的推导∈ R×R×R.给定控制交易率q∈ A、 从动力学解的路径唯一性（2.1），（2.7），（2.8），我们观察到对于任何ξ∈ L（英尺）-h） :X0，xT+ξ=xT-h、 X0，xT-h+ξTa。s、 Y0，yT=yT-h、 Y0，yT-hT，D0，dT=dT-h、 D0，dT-hTa。s、 （5.1）为了减少符号，我们将省略固定初始条件（x，y，d）中的依赖性，并简单地写下x=X0，Xs，Ys=Y0，Ys，Ds=D0，Ds代表s≥ 对于（2.10）中的成本函数，vh=vh（0，x，y，d），J（0；q，ξ）=J（0，x，y，d；q，ξ）。根据条件期望和（5.1）中的塔特性，可以编写所有q的成本函数∈ A、 ξ∈ L（英尺）-h） ，as:J（0；q，ξ）=EhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+J（T）- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-Hq、 0）i（5.2）≥ EhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） i，通过定义（3.8）无生产最优执行问题的价值函数vnp，即纯零售商问题。由于q在A中是任意的，这表明：∈AJ（0；q，ξ）（5.3）≥ infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） 我，无论如何∈ L（英尺）-h） 。现在，考虑到q∈ A、 ξ∈ L（英尺）-h） ，让我们考虑交易率^qNP，ξin AT-纯零售商问题的解决方案：vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） ，因此从时间T开始- h来自库存XT-h+ξ。

通过考虑过程q∈定义：0的qs=qs≤ s<T- h、 对于T，qs=qNP，ξs- H≤ s≤ 然后我们从（5.2）中得到：J（0；q，ξ）=EhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） i，（5.4）与（5.3）等式一起证明：infq∈AJ（0；q，ξ）（5.5）=infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） 我，无论如何∈ L（英尺）-h） 。因此，vh=infq∈A、 ξ∈L+（英尺-h） J（0；q，ξ）可以写成：vh=infq∈A、 ξ∈L+（英尺-h） EhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） i.（5.6）换句话说，生产中存在延迟的原始问题被描述为一个没有延迟的最优执行问题，即具有最终地平线T- h、 终端代价函数：Ch（x，y，d，ξ）：=c（ξ）+vNP（T- h、 x+ξ，y，d）。从vNPin注释3.1的显式表达式中可以注意到，该代价函数chdoe不依赖于T，其形式为：Ch（x，y，d，ξ）=Ch（0，y，d）- 十、- ξ、 0）=c（ξ）+vNP（T- h、 0，y，d- 十、- ξ).（5.6）中q和ξ的优化分别进行：生产ξ∈ L+（英尺-h） 在时间T确定- h、 选择0的交易率（qs）后≤ s≤ T- h（引导至库存XT）-h） ，并根据T.处的优化a.s.最佳确定- hof终端成本Ch（XT）-h、 YT-h、 DT-h、 ξ）。然后由ξ以反馈形式给出*T-h=^ξh，+（DT）-H- XT-h、 YT-h） 式中，^ξh，+（d，y）：=arg minξ≥0Ch（0，y，d）- ξ、 0）=arg minξ≥0c（ξ）+vNP（T）- h、 0，y，d- ξ),因此，从vNPin注释3.1的表达式中明确给出：^ξh，+（d，y）=^ξh（d，y）1^ξh（d，y）≥0，^ξh（d，y）：=ηη+βh（νh+2γ）（uh+d）+hy（r（η，β）+ν）h+2γi.（5.7）然后将问题（5.6）重写为vh=infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+C+h（DT-H- XT-h、 YT-h） i，（5.8），其中c+h（d，y）：=Ch（0，y，d-^ξh，+（d），0）。注意，当h=0时，我们检索无延迟情况下的表达式：^ξ0、+=^ξ+in（3.1）、C+=C+in（3.3）和v=v in（3.2）。