日内电力市场中的最优交易问题

我们将研究三种极限情况下的渐近性（i）成熟时间T- t很小，（ii）初始需求差d- x较大，（iii）初始报价y较大。我们证明了误差界E（T- t、 d- x、 因此，E（t，x，y，d），E（t，x，y，d）在这些极限状态下至少以指数收敛速度收敛到零：命题3.3（i）适用于所有（x，y，d）∈ R×R×R，当d>x时，我们有足够的支持-T↓0（T- t） ln’E（t）- t、 d- x、 y）≤ -D- xσd. （3.18）（ii）全体（t，y）∈ [0，T）×R，我们有-十、→∞（d）- x） ln’E（T）- t、 d- x、 y）≤ -M∞（T）- t） V（t）- t） ，（3.19）其中∞（t） =νt+2γr（η，β）+νt+2γ（iii）表示所有（t，x，d）∈ [0，T）×R×R，我们有→∞yln’E（T- t、 d- x、 y）≤ -N∞（T）- t） V（t）- t） ，（3.20）其中∞（t） =t（r（η，β）+ν）t+2γ。证据从（3.17）开始，我们有：0≤ ψ（z）≤ Z-1φ（z），z>0。注意，在三个渐近区域（i）（带d- x>0），（ii）和（iii），数量（T- t、 d- x、 y）是正的，因此我们有：\'E（T- t、 d- x、 y）≤ηr（η，β）2βV（T- t） m（t）- t、 d- x、 y）φm（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）. （3.21）（i）对于小到期日T- t、 我们看到m（t- t、 d- x、 y）收敛到- x>0，而V（T- （t）~ σd（T）- t） ，即V（t- t） /σd（t）- t） 收敛到1。从（3.21）可以看出- t变为零，误差界为E（t- t、 d- x、 y），至少以指数收敛速度收敛到零，即（3.18）给出的收敛速度。（ii）对于较大的需求差d- x、 我们看到m（T- t、 d- x、 y）~ M∞（T）- t） （d）- x） ，即比率m（T- t、 d- x、 y）/m∞（T）- t） （d）- x） d时收敛到1- x进入实体。从（3.21）可以看出- x到单位，即误差界E（T- t、 d- x、 y），至少以指数收敛速度收敛到零，即（3.19）给出的收敛速度。（iii）对于大y，我们看到m（T- t、 d- x、 y）~ N∞（T）- t） y，即。

比率m（T- t、 d-x、 是）/n∞（T）- t） 当y进入单位时，y收敛为1。从（3.21）可以看出- x到单位，即误差界E（T- t、 d- x、 y）至少以指数收敛速度收敛到零，即（3.20）给出的收敛速度。理解回想一下（3.16）那篇文章Dt，Dt<Xt，x，y，Dt= Φ-m（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）,因此，遵循与上述证明相同的论点，我们有：（i）lim supT-T↓0（T- t） ln PDt，Dt<Xt，x，y，Dt= -D- xσd, （3.22）适用于所有（x、y、d）∈ R×R×R，d>x。我们观察到，rhs中（3.18）（或（3.22））的速率仅取决于需求波动率σ和初始需求分布- x、 而且，它都是越大，σdis越小，d越大- x是。这意味着，一旦我们接近成熟期，终端需求将以非常高的概率高于最终库存，且需求波动性较低，最初大于库存，在这种情况下，明确的策略（^q，~ξ*T） 非常精确地逼近最优策略（q*, ξ*T） 。（二）林超德-十、→∞（d）- x） ln PDt，Dt<Xt，x，y，Dt= -M∞（T）- t） V（t）- t） （3.23）适用于所有（t，y）∈ [0，T）×R，在rhs中（3.19）（或（3.23））的比率都更大，电价和需求的波动率σ和σ越小。同样，我们的解释与渐近区域（i）中的解释相同，这意味着显式策略（^q，~ξ*T） 非常精确地逼近最优策略（q*, ξ*T） 在初始需求差较大且波动性较小的限制机制下。（iii）林素佩→∞yln PDt，Dt<Xt，x，y，Dt= -N∞（T）- t） V（t）- t） （3.24）表示所有（t，x，d）∈ [0，T）×R×R。

在初始报价较大的限制机制下，代理人有强烈的动机在日内市场上出售能源，这导致最终库存以高概率保持在最终需求之下，并导致非常准确的近似策略（^q，ξ）*T） 。与案例（ii）一样，对于电价和需求的小波动率σ和σ，这种精度得到加强。3.3数值结果3。3.1数值测试我们通过一些数值测试，定量测量前一段中得出的误差范围的准确性。让我们确定以下参数值：σ=1/60 e·（MW）-1·s-1/2，σd=1000/60 MW·s-1/2，β=0.002 e·（MW）-η=200E·（MW）-2，u=0 MW·s-1,ν = 10-10e·（兆瓦）-2, γ = 10-10e·s·（兆瓦）-2和ρ=0.8。我们从初始时间t=0开始，零库存X=0，分别改变到期日t、初始需求和初始价格Y。我们计算最终库存超过最终需求P[^XT>DT]的概率、近似值函数v（0，X，Y，D）和误差界E（t，D）- 十、 Y）。当改变T时，结果在表1中报告；当改变Y.T（h）P[^XT>DT]~v（0，X，Y，D）（e）e（T，D）时，结果在表2中报告；当改变Y.T（h）P[^XT>DT]时，结果在表3中报告- 十、 Y）（e）1<10-161.88 × 10< 10-168 < 10-161.88 × 10< 10-1624 < 10-161.89 × 104.16 × 10-1250 7.72 × 10-131.90 × 102.48 × 10-表1:Y=50 e·（MW）-1和D=50000 Mw表1显示，对于小于T=24小时的到期时间，最终投资超过最终需求的概率非常小，因此误差范围可以忽略不计。

当时间范围增加时，代理人有可能随着时间的推移分散其交易策略，以减少价格影响，并购买更多能源，在这种情况下，最终库存超过需求的可能性增加。表2显示，最终库存超过最终需求的概率，以及误差范围对初始正需求的变化不太敏感。实际上，主要影响是由初始股价引起的，如表3所示。对于较小的初始电价Y，代理人将在日内市场购买更多的能源，生产更少的电力。

因此，库存将以更高的概率超过需求，在这种情况下，从表3中Y=20的误差范围可以看出，近似值函数可能与原始值函数存在显著差异。D（MW）P[^XT>DT]~v（0，X，Y，D）（e）~e（T，D- 十、 Y）（e）500<10-16-5.86 × 104.16 × 10-125000 < 10-16-3.62 × 104.16 × 10-1250000 < 10-161.89 × 104.16 × 10-12500000 < 10-162.44 × 104.16 × 10-12表2:T=24小时，Y=50 e·（MW）-1Y（e·（MW）-1） P[^XT>DT]~v（0，X，Y，D）（e）e（T，D）- 十、 Y）（e）500<10-162.51 × 10< 10-1650 < 10-161.89 × 104.16 × 10-1240 9.51 × 10-151.61 × 103.80 × 10-430 4.57 × 10-101.29 × 101.30 × 10-220 2.23 × 10-59.13×101.26×10表3：T=24小时，D=50000 MW3。3.2模拟我们绘制一些相关量的轨迹，我们用以下参数组模拟：σ=1/60 e·（MW）-1·s-1/2，σd=1000/60 MW·s-1/2，β=0.002 e·（MW）-η=100E·（MW）-2，u=0 MW·s-1, ρ = 0.8, ν = 4.00 × 10-5e·（兆瓦）-2，γ=2.22e·s·（MW）-2，T=24小时，X=0，D=50000兆瓦，Y=50兆瓦-1.对于此类参数值，概率P[^XT>DT]的上限为10-16，错误E（0，D- 十、 Y）以2.82×10为界-10e，和v（0，X，Y，D）=1916700e。执行策略（^q，^ξ）*T） 然后可以认为非常接近最优策略。图1显示了交易利率控制（^qt）的演变∈[0，T]在（3.6）中针对给定的价格和需求轨迹得出，这与命题3.1中所示的鞅性质一致。图2模拟了有影响的报价^yt和未受影响的价格^Pt。由于购买策略，即正^q，我们观察到报价^Y大于^P。在图3中，我们绘制了最优库存（^Xt）t的演变∈[0，T），以及预测剩余需求（Dt）T∈[0，T]。

我们看到^x在增加，其增长率如备注3.2所述，看起来是恒定的。最后，如果^XT<DT（在我们的模拟中就是这种情况），代理使用她的生产杠杆^ξT，并实现最终库存：^XT+^ξT，由峰值时间T表示。根据^ξT的表达式（3.7），最终的不平衡成本等于toDT-^XT-^ξT=βη+β（DT-^XT），然后为正，如图3所示。cont r ol0。2 50.3 00.3 50.4 00.4 50.5 00.5 50.6 00 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000图1：交易利率控制的演变与it hout im pactPr i ce w it Impact4950515253545657580 10000 300000 60000 70000 80000 90000图2：报价受影响价格和未受影响价格的模拟。当前和最终的库存预测和剩余需求预测。4本节剩余需求预测的跳跃，我们考虑了剩余需求预测受可再生能源生产预测误差引起的预测变化影响的情况，这种预测误差可能更大。我们的目的是研究对上一节中获得的策略的影响，我们还将忽略火力发电厂生产的延迟。需求预测中的突然变化通过复合泊松过程NT=（N+t，N）建模-t） t≥0，强度λ>0，其中N+t是与需求预测的正跳相关的计数过程，其大小δ+>0，发生概率为p+∈[0,1]，而N-这是与需求预测的负跳跃相关的计数过程，其大小为δ-< 0，发生概率为p-= 1.- p+。我们用δ表示：=δ+p++δ-P-需求预测跳跃大小的平均值。

预测D的剩余需求的动态由以下公式给出：dDt=udt+σddBt+δ+dN+t+δ-dN-t、 （4.1）其中我们针对（2.8）中的模型添加了一个跳跃组件。此外，一旦剩余需求预测出现跳跃，这将影响到日内电价，因为假设主要生产商可以访问整个更新的预测。因此，我们通过以下方式对未受影响的电价进行建模：^Pt=^P+σWt+π+N+t+π-N-t、 （4.2）在（2.6）中，我们对Bachelier模型添加了一个大小为π+>0（分别为π）的跳跃分量-< 0）当剩余需求的跳跃为正（或负）时，这意味着更高（或更低）的需求会导致价格的上升（或下降）。Wedenote byπ：=π+p++π-P-日内价格跳跃大小的平均值。给定衰减率q∈ A、 然后，报价Y的动态由dyt=νqtdt+σdWt+π+dN+t+π控制-dN-t、 （4.3）考虑到泊松过程中突然变化的需求预测的简化模型，我们没有关于上一节中无跳跃情况的额外状态变量。然后，让我们用v=v（λ）（t，x，y，d）表示成本函数J=J（λ）（t，x，y，d，q，ξ）的最优执行问题（2.4）的价值函数，其中我们强调λ的依赖性，以考虑需求预测中的跳跃。上一节推导的无跳跃情况下的值函数表示为v=v（0）。在没有跳跃的情况下，由于对最终生产的非负约束，v（λ）没有显式解：我们将首先研究对最终生产没有符号约束的辅助执行问题，然后提供原始问题的近似解，估计诱导误差近似值，并提供一些数值说明。

我们通过关注跳跃分量的影响，将结果与无跳跃情况进行比较。4.1辅助最优执行问题与第3.1小节类似，我们考虑对最终生产没有非负性约束的最优执行问题，表示为v=~v（λ）（t，x，y，d）。在定理3.1中，对于没有跳跃的值函数v（0），我们对这个辅助问题有一个明确的解决方案。定理4.1辅助优化问题的值函数是通过以下方式明确给出的：v（λ）（t，x，y，d）=v（0）（t，x，y，d）+λr（η，β）（t- （t）π（T）- t） +2δ（ν（t）- t） +2γ）r（η，β）+ν（T）- t） +2γ（d）- 十）-λ（T）- （t）π - 2r（η，β）δr（η，β）+ν（T）- t） +2γy+λγp+（π）+- r（η，β）δ++p-(π-- r（η，β）δ-)r（η，β）+ν自然对数1+（r（η，β）+ν）（T）- t） 2γ-λp+（（π+）- r（η，β）δ+（2π++νδ+）+p-((π-)- r（η，β）δ-(2π-+ νδ-))r（η，β）+ν（T）- t） +λr（η，β）2νδ+λ（（p+）δ+（π++νδ+）（p-)δ-(π-+ νδ-))r（η，β）+ν（T）- t） +λγr（η，β）r（η，β）δ+2νp+p-δ+δ-- （（p+）δ+π++（p-)δ-π-)（r（η，β）+ν）（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ（T）- t） +2λγr（η，β）uδ（r（η，β）+ν）（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ（T）- （t）-λπ48γ（T- t） +λp+p-r（η，β）2νδ+δ-+ δ-π++ δ+π-（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ（t）- t） +4r（η，β）μλπ- λπ（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ（t）- t） ，表示（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，最优交易率以反馈形式给出：^q（λ）s=^q（λ）（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds），t≤ s≤ T^q（λ）（T，d，y）：=T^q（0）（T，d，y）+λr（η，β）δT+π4γ（r（η，β）+ν）T（r（η，β）+ν）T+2γ=^q（0）（T，d+λδT，y+λπT）+λπ4γT，（4）式中，在需求预测没有跳跃的情况下，^q（0）是（3.6）中给出的最佳交易率。这里（^Xt，x，y，d，^Yt，x，y，d，Dt，d）表示使用反馈控制^q（λ）时（2.1）-（4.3）-（4.1）的解，从时间t的（x，y，d）开始。最后，最佳生产量由以下公式给出：^ξ（λ）t=η+βDt，Dt-^Xt，x，y，dT. （4.5）证据。见附录。理解

最优交易率^q（λ）s，s的表达式∈ [t，t]，as^q（λ）s=^q（0）s+λr（η，β）δ（t- s） +π4γ（r（η，β）+ν）（T）- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γ，其中^q（0）s=^q（0）（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）表示代理在认为需求预测不会跳跃时将使用的最佳交易率，表明在关于跳跃的信息知识下，代理将购买更多（或更少）的电力共享，这种影响越大，跳跃的强度λ越大，需求预测和价格中跳跃大小的正（或负）均值δ和π为。另一方面，^q（λ）的表达式是两项之和：^q（λ）s=^q（0）T- s、 Dt，ds+λδ（T- s） ，^Yt，x，y，ds+λπ（T- （s）+λπ4γ（T- s） ，（4.6）可解释如下。第一项类似于无跳跃情况下的最佳交易率，调整λδ（T- s） 在需求中，它表示到最后期限的需求跳跃大小的预期，以及调整λπ（T- s） 在价格上，它代表了到最后期限为止价格上涨幅度预期的一半。第二项λπ4γ（T- s） ，是确定性的，并且在时间上是线性的，我们将在一些参数值的模拟中看到，它可能对Firststoc项起主导作用。此外，请注意，在没有跳跃的情况下，预测日内价格和预测边际生产成本之间的均衡关系（3.9）在存在跳跃的情况下不再成立，除非在终止日期T:^Yt，x，y，dT+2γ^q（λ）T=c（^ξ（λ）T）。(4.7)（4.2）中未受影响的价格^P不再是存在跳跃的鞅，除非π=0。当π<0（主要负跳）时，它实际上是一个上鞅，当π>0（主要正跳）时，它是一个次鞅。

下一个结果表明，最优交易率继承了价格过程的逆次鞅或逆上鞅性质。命题4.1最优交易率过程（^q（λ）s）t≤s≤Tin（4.4）是π>0的上鞅，π<0的下鞅。更精确地说，过程{^q（λ）s+λπ2γ（s- t） ，t≤s≤ T}是一个鞅。证据注意，N±这是一个强度为λp±的泊松过程，让我们引入补偿鞅泊松过程N±t=Nt- λp±t。将其公式应用于交易率过程^q（λ）s=^q（λ）（t- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds），t≤ s≤ 根据动力学（2.1），（4.1）和（4.3），我们得到：d^q（λ）s=h- ^q（λ）t+（u）- ^q（λ）） ^q（λ）d+ν^q（λ） ^q（λ）y+λp+^q（λ）（.+δ+，.+π+）- ^q（λ）+ λp-^q（λ）（.+δ）-, . + π-) - ^q（λ）i（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）ds+ ^q（λ）d（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）σddBs+ ^q（λ）y（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）σdWs+^q（λ）（T）- s、 Dt，ds-+ δ+-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds-+ π+)- ^q（λ）（T）- s、 Dt，ds--^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds-)d~N+s+^q（λ）（T）- s、 Dt，ds-+ δ--^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds-+ π-)- ^q（λ）（T）- s、 Dt，ds--^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds-)d~N-s、 现在，从^q（λ）（t，d，y）的表达式（4.4）可以看出：- ^q（λ）t+（u）- ^q（λ）） ^q（λ）d+ν^q（λ） ^q（λ）y+λp+^q（λ）（.+δ+，.+π++p-^q（λ）（.+δ）-, . + π-) - ^q（λ）= -λπ2γ，然后：d^q（λ）s=-λπ2γds+r（η，β）σd（r（η，β）+ν）（T- s） +2γdBs-σ（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdWs+r（η，β）δ+- π+（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γd~N+s+r（η，β）δ-- π-（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γd~N-s、 （4.8）这证明了命题的必要断言。备注4.1上述上鞅（或下鞅）性质特别意味着最优交易率过程（^q（λ）s）的平均值为0≤s≤它在时间上减少（或增加），因此最优库存的轨迹意味着E[^X0，x，y，ds]，0≤ s≤ T，是凹的（或凸的）。