金融资产结构模型的估值算法

在本节中，我们将介绍两种方法，在这种方法中，潜在的有限解算法可以转化为通过许多步骤实现解的过程。这些方法的共同原则是包含当前迭代条件下默认的企业信息。事实证明，这种轻微的修改有助于克服可能包含很多迭代步骤的缺点。为了保证即将到来的程序得到充分定义，我们必须放弃Elsin gerProperty，并要求所有权矩阵的属性更严格（见Fischer（2014））。假设2。对于债务和股权矩阵，它认为kMdk<1和kMsk<1。对于本节的剩余部分，我们假设假设2成立。请注意，假设2的重要性在于假设1，而不是相反。因此，在假设2下，金融系统仍然有一个独特的解决方案。4。设R=（rt，st）t∈ （R+）可以是一个任意向量，其对应的默认集为D（R），默认矩阵∧=∧（R）。伪解br∈ 属于D（R）的（5）和（6）中的（R+）由BR定义=（在- ∧d+x（In）- ∧）x, （72）其中x∈ Rn是线性方程组Ax=b，其中a=In的解-Md∧+Ms（英寸）- Λ)∈ Rn×n（73）和b=a+Md（In- ∧）d- （在- ∧）d∈ 注册护士。（74）为了激发对伪解决方案的定义，假设每一个问题都知道它是否在（5）和（6）的解决方案下违约。用D表示* N根据R*:D*= D（r）*, s*) =我∈ N:ai+nXj=1Mdijr*j+nXj=1Msijs*j<di（75）让∧*= ∧（r）*, s*) 是对应的默认矩阵。我们假设这个集合是已知的，尽管这个信息不是先验的。然而，如果我们有这些信息，就不需要迭代程序来找到固定点R*.

我们只需要计算属于D的假想解*, 如命题10所示。我们必须将以下考虑限制在amatrix范数较小的所有权矩阵上的原因是，我们必须保证定义4中的x是唯一定义的。这只能在kMdk<1且kMsk<1之后，kMd∧+Ms（在-对于任何∧，k<1。这又意味着（73）中的A是可逆的。对于具有Elsinger性质的所有权矩阵MDA和MSA，A的可逆性显然并不总是给定的。提议10。属于D的伪解*解决方案是R吗*财务系统F（a、Md、Ms、d），即*=（在- Λ*)d+λ*x（英寸）- Λ*)十、, （76）其中∧*是属于D的默认矩阵*x是（73）和（74）中定义的方程Ax=bde的解。证据根据（5）和（6）中的清算值方程，向量r*和s*A被给予asr*i=（di，如果我/∈ D*,ai+Pnj=1Mdijr*j+Pnj=1Msijs*j、 如果我∈ D*（77）和*i=（ai+Pnj=1Mdijr）*j+Pnj=1Msijs*J- 迪，如果我/∈ D*,0，如果我∈ D*.（78）在矩阵表示法中，th特别是指（在- Λ*)R*= （在- Λ*)d和∧*s*= 0nandthusR*=（在- Λ*)d+λ*R*（在- Λ*)s*. （79）对于违约的公司，我们只需计算债务支付，对于未违约的公司，我们必须确定股权价值。解决方案*因此只包含未知值，我们只需要考虑两个su B系统∧*R*= Λ*a+λ*耐多药*+ Λ*Mss*（80）和（在- Λ*)s*= （在- Λ*)（a+Mdr）*+ Mss*- d） （81）我们可以把这两个方程相加，把系统写得更紧凑：∧*R*+ （在- Λ*)s*= a+Mdr*+ Mss*- （在- Λ*)D

因为，因为- Λ*)s*= s*我们得到∧*R*+ （在- Λ*)s*= a+Mdr*+ Ms（中）- Λ*)s*- （在- Λ*)d、 （83）经过一些重新排列后，会导致∧*R*+ （在- Λ*)s*- Md∧*R*- Ms（中）- Λ*)s*= a+Md（在- Λ*)R*- （在- Λ*)d（84），相当于在里面-Md∧*+ Ms（中）- Λ*)(Λ*R*+ （在- Λ*)s*) = a+Md（在- Λ*)D- （在- Λ*)d、 （85）自∧*（在- Λ*) = 0n×n.设置x=∧*R*+ （在- Λ*)s*用定义4表示，方程组变成Ax=b。这种求解方法的主要挑战当然是最终结果集d*我不知道。遵循这一思想的算法可以发现R*因此，我们必须找到D*以一种快速的方式。一个简单的策略可能是检查金融系统所有可能的默认情况，计算相应默认集的伪解，并检查它是否实际上是Φ的执行点。然而，有2种可能的情况需要检查，这对于大型n可能会很麻烦。因此，需要使用更高效的算法，以便在不需要计算的情况下找到D*. 下一小节将介绍一些可能的算法。递减试错算法第3节中的三个算法1、3和6可以从一个向量R开始，该向量R是解向量R的上边界*. 本小节中的程序有一个共同点，即它们也从这个上边界开始，并计算相应的默认集。对于以下每次迭代，也会确定相应的默认集。为了避免每个defaultset都被检查，而实际上它是D*无论对应的伪解是否为Φ的固定点，该算法将识别潜在的默认集，以减少计算量。如果发现潜在的默认设置是D*, 算法停止。否则，该过程将继续，直到找到一个新的潜在默认集，必须再次检查，以此类推。

由于这些特点，我们将这种类型的算法命名为试错算法。这类算法的一般过程类似。算法7（减少试错算法）。设l≥ 2和p=0.1。选择Picard（算法1）、Elsinger（算法3）或混合算法（算法6），后者用于生成下一个迭代。2.如果在步骤1中选择了Picard算法，则设置d=-1，R=R，并确定（R）。否则，设置d=0，R=ds（d）并测定D（R）。如果D（R）=N，则设置R*=（在-（医学博士）-1an停止算法。4.如果在步骤1中选择了Elsinger或混合算法，并且如果D（R）=, 设定R*= 兰德停止算法。5.否则，使用在步骤1中选择的算法和相应的默认设置D（Rk）计算k>p的迭代Rkstarting，直到k=q和q=min{m>p:D（Rm）-l+1）=达到D（Rm）和| D（Rm）|>D}（86）。确定属于D（Rq）的伪解，并用BRQ表示。6.如果Φ（bRq）=bRq，停止算法。否则，设置d=| d（Rq）|和p=q并继续执行步骤5。算法1、3和6在其递减版本中产生递减的迭代序列，从而增加默认集的序列，即D（Rk） D（Rk+1）代表k≥ 算法7表示迭代并检查默认集与前一个默认集相比是否没有改变。如果默认设置在下一个l中保持不变- 1连续迭代，这表明实际*可能已经联系上了。为了检查这一点，计算ps优度解，并检查它是否解（5）和d（6）。如果没有找到解决方案，则再次迭代，直到l的较大默认集保持不变- 连续1次，并且可以重复所述过程。如果找到解决方案，程序将停止。

由于其所描述的性质，我们称l为滞后值。在l=2的特殊情况下，这意味着如果d默认设置从一个迭代步骤到另一个迭代步骤保持相同，则计算伪解。显然，在潜在的默认集中选择更大的滞后值，因为默认集保持不变的时间越长，它成为实际默认集的可能性就越高。根据递减试错算法第1步中算法的选择，我们得到了算法7的三个不同版本：（i）R=Rgreat的递减试错Picard算法，其中迭代次数由Rk=Φ（Rk）给出-1).（ii）R=（（rgreat）t，（s（rgreat））t）t的递减试错埃尔辛格算法，其中s（rgreat）通过算法2A获得，下一次迭代通过算法3获得。（iii）使用与（ii）中相同的起始向量的递减试错混合算法，其中使用算法6获得下一次迭代。D（R）时的特殊情况∈ {, N}在步骤3和4中，值得单独提及，因为在这种情况下，不需要迭代，解决方案R*在某些情况下可以明确给出。以下命题给出了这种现象的正当性。提议11。对于递减试错混合算法，f如下：（i）如果D（R）=N，则R*=（在-（医学博士）-1an, 无论算法的哪个版本是istaken。（ii）如果D（R）= 使用递减试错埃尔辛格算法或递减试错混合算法，则R=R*.证据（i） 首先，假设在算法7的步骤1中选择了P icard算法。因为D（R）=N，它必须保持a+Mdd+msgreat<D，并且a+Mdd<D。a序列是sgreat=（In- Ms）-1（a+Mdd）- d） +=0n。从命题1可以看出*= 0

对于s=s*= 0，方程式（5）现在由r求解*= （在- （医学博士）-1a，其中引理A3证明了这一点（在- （医学博士）-1存在。如果在第一步中选择了Elsinger算法或混合算法，我们得到了a+Mdd+Mss（d）<d。它由（27）得出，即s（d）=s*= 0nsence s*= s（r）*) ≤ s（d）是因为r*≤ 方程（5）的解与Picard的情况相同。（ii）现在，R=ds（d）因为D（R）=, 它认为a+Mdd+Mss（d）≥ d、 这将导致ds（d）= Φmin{d，a+Mdd+Mss（d）}（a+Mdd+Mss（d）- d）+=ds（d）, （87）这证明了这一主张。注意，对于递减试错法或Picard算法，我们不能得出R=Rgreat=R的结论*如果D（R）=. 有这样一些简单的反例。提议12。算法7到达解R*（5）和（6）在一定数量的迭代步骤中。证据通过（14）中D（Rk）的定义，并且由于Rk收敛于R*从上面看，对于三种算法1、3和6中的任何一种，都存在一个k≥ 使得D（Rk）=D（R*) = D*好吧≥ k、 4.2。增加试错算法与上一小节中介绍的减少算法相比，当然也可以使用相反方向的算法，即生产数据系列增加，默认数据集减少。一般形式与算法7非常相似。算法8（增加尝试和错误或算法）。东南部≥ 2，d=n+1，p=0.1。选择一个起始向量并确定D（R）。如果D（R）=, 设定R*=ds（d）停止算法。3.否则，使用算法1、3或6中的一种以及相应的默认集D（Rk）计算k>p的迭代Rkstarting，直到k=q，其中q=min{m>p:D（Rm-l+1）=到达D（Rm）和| D（Rm）|<D}（88）。确定属于D（Rq）的伪解，并用BRQ表示。4.

如果Φ（bRq）=bRq，则停止算法。否则，设置d=| d（Rq）|和p=q并继续执行步骤3。算法8的功能类似于递减试错算法，不同之处在于，生成的默认集序列明显减少。如第4节所述。1.选择计算方法以确定下一次迭代的方式，允许进行不同的修改：（i）R=Rsmalland Rk=Φ（Rk）的递增试错Picard算法-1).（ii）R=（（rsmall）t，（s（rsmall））t）t的递增试错埃尔辛格算法，其中s（rsmall）通过算法2A获得，下一次迭代通过算法3获得。（iii）递增试错H yb rid算法，具有与（ii）中相同的起始向量，并且使用算法6获得下一次迭代。注意，对于下一次迭代，在递减版本中使用算法5A而不是算法4A。算法8第2步中停止标准的调整如下。假设选择了算法的Picard版本，并且D（R）=, 也就是说ata+Mdrsmall+MSSmall≥ d、 自从rsmall≤ d和ssmall≤ 它还认为a+Mdd+Mss（d）≥ d和s（d）≥ 从这里开始。通过等式（87），我们可以看到R*=ds（d）.还要注意的是，与算法7相比，在D（R）=N的情况下，没有停止cr iteria。原因是在这种情况下，没有关于解R结构的一般性陈述*无论使用哪种版本的算法，都可以使用mad e。特别是，从D（R）=N，它一般不遵循D（R*) = N，因为有容易构造的反例。我们区分递减和递增试错算法的原因是算法7总是会找到正确的默认集D*= D（R）*), 这是一系列迭代步骤。

对于不断增加的试错算法来说，这样的陈述通常是不可能的，因为在某些情况下，默认集不会收敛到*, 无论选择哪个滞后值。出现这种“异常”的情况通常是包含所谓的边界企业的金融系统。“边界线”一词取自Liu and Staum（2010），表示一家公司∈ N在具有固定点R的金融系统中*它认为*i=diand s*i=0。换言之，bord er line公司只能全额偿付其负债，但其资产负债表中没有剩余资本可供股东使用。根据（14）中默认设置的定义，bord er line Firm i不处于默认状态，因为0=si=ai+nXj=1Mdijr*j+nXj=1Msijs*J- 迪（89），因此我/∈ D（R）*). 然而，当使用一种不断增加的试错算法时，这种情况可能会发生在这样一个边缘企业，即∈ D（Rk）对于每个迭代Rk，k≥ 0.这意味着真正的默认设置为D*永远不会被算法识别。有许多金融系统具有这种特性。为了证明在这种情况下，固定点R*仍然可以通过计算伪解来确定，假设集合B n包含任意选择的bord er生产线企业。常用的一组基础设施和选定的边界设施用eD表示，即eD=d*∪ B.对应的“默认”矩阵由∧=e∧（eD）和∧给出*= Λ*（D）*), 分别地按照这个符号，EAA和*用相应的默认矩阵andeb和b定义（73）中的矩阵*定义类似。此外，我们定义∧B=e∧- Λ*作为对角线矩阵，表示选定的边界公司。引理2。向量x*= Λ*R*+ （在- Λ*)s*解方程组A*x=b*如果且仅当ifex=x*+e∧Bd是Ex=eb的解。证据

在不丧失普遍性的情况下，我们假设系统的前n个公司是有溶剂的，下n个公司是有溶剂的- 公司是选定的临界情况，其余公司在R下违约*. 这意味着n={1，…，n}∪ B∪ D*= {1，…，n}∪ {n+1，…，n}∪ {n+1，…，n}。（90）它遵循10号提案thatx*= （x，…，xn，xn+1，…，xn，xn+1，…，xn）t=（s）*, . . . , s*n、 0，0，r*n+1，R*n） t.（91）进一步，注意ms（在- Λ*)十、*= Ms（中）-e∧）x*= Ms（中）-e∧（x）*+e∧Bd）（92）和md（In- Λ*)D- Mde∧Bd=Md（英寸）-e∧）d（93）和tha*****∧*十、*+ Mde∧Bd=Mde∧（x*+e∧Bd）（94）因为x的结构*. 通过（73）和（74），x*解决一个*x=b*如果一个d仅为ifx*= B*+ （Md∧）*+ Ms（中）- Λ*))十、*= a+Md（在- Λ*)D- （在- Λ*)d+（Md∧）*+ Ms（中）- Λ*))十、*= a+Md（在- Λ*)D- Mde∧Bd- （在- Λ*)d+（Md∧）*+ Ms（中）- Λ*))十、*+ Mde∧Bd=a+Md（英寸）-e∧）d- （在- Λ*)d+（Mde∧+Ms（英寸）-e∧（x）*+e∧Bd）。（95）自（年）- Λ*)d=（英寸）-e∧）d+e∧Bd，我们可以在方程两边加∧Bd，得到x*+e∧Bd=a+Md（英寸）-e∧）d- （在-e∧d+（Mde∧+Ms（In-e∧（x）*+e∧Bd，（96）因此=（s*, . . . , s*n、 dn+1，dn，r*n+1，R*n） 这是当且仅当x的解*解决一个*x=b*.属于D的伪解*解决方案是R吗*系统的一部分。表2的一个直接结果是，of ed的伪解也等于R*. 与命题12的证明类似，我们可以认为，在有限的步数下，不断增加的试错算法将达到设定的目标。请注意，该语句尤其适用于递增混合试错算法，其中算法用于计算下一次债务迭代。尽管在这个辅助算法中使用了Picard类型的过程，但我们可以根据命题9和ε>0得出结论，迭代次数仍然是有限的。我们将在下一个命题中总结这些发现。提议13。

算法8得到了解R*（5）和（6）在一定数量的迭代步骤中。4.3. 三明治算法试错算法的一个缺点是，当一个潜在的默认集被搜索时，唯一能确定这个默认集是否实际存在的方法是*, 计算相应的伪解，并检查其是否为（7）的固定点。选择高滞后值可能会增加D*在第一次试验中达到，但没有确定性。找到D的另一种方法*就是用最大且最小的可能解同时开始一次迭代，并使用算法1、3或6中的一种来获得下一次迭代。为了k≥ 0表示以最大值开始算法时出现的序列的第k次迭代，以最小可能解开始时出现的序列的第k次迭代表示。根据选择的算法，当从上边界开始时，起始向量可以是beR=Rgreat（PicardIteration）或r=（rtgreat，（s（Rgreat））t）t（Elsinger和混合算法）。类似地，我们有R=rsmall或R=（rtsmall，（s（rsmall））t，如果最小可能解是起点。根据命题2、4、8和等式（14），上述算法之一的迭代使用要求默认集合彼此接近，即k≥ 0D（Rk） D（Rk+1） D* D（Rk+1） D（Rk）。（97）Letl=min{k≥ 0:D（Rk）=D（Rk）}（98）是两个起始向量的默认设置相同的第一个迭代步骤。那么我们必须有D（Rl）=D*根据命题10，确定属于D的伪解*导致R*. 由于它的特点，我们称之为三明治算法。算法9（Sandw ich算法）。限定词和Ras以及它们相应的缺省集D（R）和D（R）。