金融资产结构模型的估值算法

通过定义Φ和Rgreat，只有向量不等式Φ（R）的下n行≤ 我需要成为霍恩。通过引理A3和（9），它认为- Mssgreat=（a+Mdd）- d） +（12）因此很棒≥ （a+Mdd+MSS）太好了- d） +。（13） 在展示Rgreat和Rsmallas解的上下界的重要性之前*, 我们需要引入术语默认集合和默认矩阵。对于r≥ 0与s≥ 0NTHESTED（右、南）=我∈ N:ai+nXj=1Mdijrj+nXj=1Msijsj<di（14） 在r和s下被称为违约集，因为给定r和s，D（r，s）中的公司无法完全履行其义务，因此处于违约状态。我们说，公司i在R下违约，如果我∈ D（r，s）。对于R=（rt，st），twe有时会将默认集缩写为D（R）。对应于r和s的默认矩阵∧（r，s）∈ Rn×n定义为∧（r，s）=diag（a+Mdr+Mss- d<0n）（15）是对角线矩阵，在相应位置的r和s下，默认企业的条目为1，非默认企业的值为0。用新的符号，我们可以显示RGreat和Rsmall的极限性质。提议1。让R*是（7）中定义的定点问题的非负解。然后R*∈ [Rsmall，Rgreat]。证据因为（11）和Φ，R的单调性*≥ Rsmall，所以我们只显示上界Rgreat的有效性。自从R*是Φ的固定点，我们可以写ΦR*s*=min{d，a+Mdr*+ Mss*}（a+Mdr）*+ Mss*- d）+=R*s*= R*. （16） 显然，r*≤ d=rgreat，因此我们将考虑因素减少到R的权益部分*加上∧（r）*, s*) = Λ*, 可以展示给你*= （a+Mdr）*+ Mss*- d） +=（在- Λ*)（a+Mdr）*+ Mss*- d） 。（17） 因为- Λ*)s*= s*我们可以重新制定世界审计组织*= （在- Λ*)Mss*+ （在- Λ*)（a+Mdr）*- d） =（在- Λ*)Ms（中）- Λ*)s*+ （在- Λ*)（a+Mdr）*- d） 。（18） 重新安排收益率*= （在- （在- Λ*)Ms（中）- Λ*))-1（英寸）- Λ*)（a+Mdr）*- d） 。

（19） 再加上Appen-dix中的引理A4，这导致*= （在- （在- Λ*)Ms（中）- Λ*))-1（英寸）- Λ*)（a+Mdr）*- d）≤ （在- （在- Λ*)Ms（中）- Λ*))-1（英寸）- Λ*)（a+Mdd）- d）≤ （在- （在- Λ*)Ms（中）- Λ*))-1（英寸）- Λ*)（a+Mdd）- d）+≤ （在- Λ*)（在- Ms）-1（英寸）- Λ*)（a+Mdd）- d）+≤ （在- Ms）-1（a+Mdd）- d） +=sgreat，（20），从中得出断言。利用上面的结果，我们现在可以证明在区间[Rsmall，Rgreat]中只有一个固定点。附录中给出了下列定理的证明。定理1。在假设1下，对于任意金融系统F=（a，d，Md，Ms），存在一个映射Φ的唯一固定点。固定点R*是非负的安德烈*∈ [Rsmall，Rgreat]。在后半部分中，我们假设假设F只有一个解R*∈ （R+）2n，即*=R*s*= ΦR*s*= Φ（R）*). （21）假设1的要求没有Fischer（2014）、Suzuki（2002）或Gourieroux等人（2012）中使用的kMdk<1和KMSK<1的假设严格。因此，在md具有Elsinger性质的情况下，kMdk<1，因此Φ不再是严格收缩。然而，假设仍然保证了系统的解决方案是唯一的。3.非有限算法本节介绍了文献中已有的两种求解算法。一种算法是在选定的起始向量上迭代使用映射Φ，并在第一小节中给出。埃辛格（2009）的工作中使用了皮卡尔迭代法的一个修正，在确定权益部分时，使用了更复杂的子算法（第3.2节）。在最后一小节中，结合Elsinger（2009）和Eisenberg及Noe（2001）的思想，开发了一种新的算法，从而使p过程更快地收敛。3.1.

Picard算法是计算R的最直观的方法*对于系统，F由Φ的迭代使用组成。在本节中，我们将展示n，任意起始向量R∈ （R+）2n，R*= 极限→∞Φl（R）=liml→∞Φ o . . . o Φ|{z}l（R），（22），通常称为Picard迭代。自从R*≥ 0时，起始向量的范围可以减小为仅非负向量。除此之外，对最佳起始点的搜索可以限制在区间[Rsmall，Rgreat]，如定理1所示。直接后果是任何旨在计算R的迭代过程*应确保（i）迭代的起始点不在间隔[Rsmall，Rgreat]之外，并且（ii）过程的每个间隔结果也需要在该间隔内。另一方面，这个程序是非常有效的。基于这些原因，我们提出了一种算法，可以同时从rgreat和Rsmall开始。算法1（Picard算法）。对于k=0，选择R∈ [Rsmall，Rgreat]和ε>0.2。为了k≥ 1，确定Rk=Φ（Rk-1).3. 如果kRk-1.- Rkk<ε，停止算法。否则，设置k=k+1并继续执行步骤2。对于算法1，我们将使用Picard迭代和Picard算法这两个表达式。在Suzuk i（2002）和Fischer（2014）中，Picard迭代是选择确定（5）和（6）解的算法。提议2。在R=Rsmall的情况下，算法1生成递增向量Rk的序列，在R=rgreat的情况下生成递减向量的序列。对于所有的起点，算法收敛到解R*.证据设R=Rsmall，然后Φ（Rsmall）=min{d，a+Mdrsmall+mssmall}（a+Mdrsmall+mssmall- d）+≥min{d，a}（a）- d）+= Rsmall。（23）由Φ的单调性可知，对于所有迭代，我们都有Rk+1≥ Rk，k≥ 1.

ForR=Rgreat，首先检查是否因为sgreat=（In- Ms）-1（a+Mdd）- d） +和rgreat=d，（a+Mdrgreat+msgreat）- d）+=a+Mdd- d+M太好了- sgreat+sgreat+=a+Mdd- D- （在- Ms）sgreat+sgreat+=a+Mdd- D- （a+Mdd）- d） +|{z}≤0n+sgreat+≤ （sgreat）+=sgreat（24），因此Φ（Rgreat）=min{d，a+Mdrgreat+Msrgreat}（a+Mdrgreat+msgreat- d）+≤太好了= 好的。（25）由于Φ的单调性，它再次认为Rk+1≤ Rk，k≥ 1.因此对于任何R∈[Rsmall，Rgreat]因为R≤ RGRΦ（R）≤ Φ（Rgreat）≤ 根据同样的论证，可以得出Φ（R）≥ Φ（Rsmall）≥ Rsmall。这意味着Picard迭代的任何系列，其起点在[Rsmall，Rgreat]区间内，都是从上到下的。由于Φ是连续的，因此级数必须收敛到Φ（eR）=eR。根据定理1，只有一个固定点，所以它必须保持thater=R*.关于以Rsmallor Rgreat为起点的Picard迭代，应该提到的是，除了Suzuki（2002）和Fischer（2014）之外，Shin（2006）还考虑了系统估值背景下的Picard迭代。Shin的模型是一个债务交叉所有权和多重所有权的模型，而不考虑股权交叉所有权。因此，该模型位于艾森伯格-德诺（2001）和埃尔辛格（2009）框架之间。与成熟度值（如本文所述）不同，Shin在时间0时直接考虑风险中性值，并在迭代过程开始时采取“保守”观点，其中债务被假定为零，或“乐观”观点，其中债务的价值被假定为面值。

因此，Shin的起点似乎是风险中性的时间零点，相当于这里所考虑的Rsmalland Rgreat。Picard迭代——或本节中的任何其他迭代算法——可能无法达到解决方案R*在任何迭代步骤中，都要有明确的定义。具有这种属性的金融系统的例子可以很容易地构建。从计算或实际的角度来看，这意味着像Picard迭代这样的迭代算法的缺点是，在某些情况下，需要多次迭代才能接近R*非常接近，这使得这些算法非常有效。第4节中介绍的试错算法没有这个缺点，因为对于这些过程，可以保证它们将在无数步内达到解决方案。3.2. Elsinger算法（2009），一种用于R*它与Picard迭代不同。该程序包括拆分R的两个组成部分，即权益部分和债务部分，并在每个迭代步骤中对这两个组成部分应用不同的计算方法。对于权益部分，采用子算法，其中系统的权益支付是在假定债务支付金额固定的情况下确定的。用“r”表示债务支付的向量，因此为0≤\'r≤ d、 子算法的目的是找到映射Φs：（R+）n的固定点→ （R+）带Φs（s；\'R）=（a+Md\'R+Mss- d） +。（26）该映射表示给定债务支付的Φ的权益部分。Φs（·；\'r）的x edpoint用s（\'r）表示，即Φs（s（\'r）；\'r）=（a+Md\'r+Mss（\'r）- d） +=s（`r）。（27）如Elsinger（2009）所示，这一固定点是存在的，并且是唯一的，因为MSM具有ElsingerProperty。以下算法为给定的r提供一系列向量wk∈ Rn收敛到一个向量，其正部分为（26）的固定点。

为了更详细地解释这一点，首先定义给定向量w∈ RN setP（w）={i∈ N:wi≥ 0}（28）和矩阵Γ（w）=diag（w≥ 0n）（29）作为相应的对角矩阵。请注意，P（w）和Γ（w）的这些定义与Elsinger（2009）中的原始定义略有不同，后者使用了严格意义上更大的符号。根据我们在（14）中对违约的定义，股权价值为零的公司仍然可以在所有义务都可以完全履行的意义上不违约。这种情况被称为边缘企业（参见第4.2节）。然而，这种修改并没有改变即将到来的理论结果。算法2A。1.对于k=0，设置w=a+Md\'r- d并测定P（w）和Γ（w）。为了k≥ 1，求出ψwk（w）=w，其中ψwk（w）=w+MsΓ（wk）w（30），并用wk+1表示解，即ψwkwk+1= wk+1。测定P（wk+1）和Γ（wk+1）。如果P（wk）=P（wk+1），停止算法。E lse，设置k=k+1，然后继续执行步骤2。在对算法2A的特性进行分析之前，我们对其功能进行了一些解释。起点是w，即A+Md’r和d之间的差异。r之和代表了公司资产负债表上的收入，包括外部资产和因债务交叉所有权而支付的款项。请注意，在这一步中，由于Msdoes未出现，平等交叉所有权的潜在收入被忽略。现在的想法如下：不在P（w）中的公司无法完全履行其债务（假设EBT付款为r），并将违约。另一方面，P（w）中的公司将能够满足其目标，并且可以被视为有偿付能力（再次假设债务支付为r），即使不考虑因股权交叉所有权而产生的系统间支付。因此，非违约公司的股权支付通过产品MsΓ（w）w添加到系统中。

我们可以将向量w以及其他迭代向量wk解释为伪股权向量，为我们提供关于当前债务和股权支付下的偿付能力和违约公司的信息。WK的条目可以是负数，这就避免了它们可以自然地解释为权益向量，这就是为什么我们使用“伪”一词的原因。与Picard算法相比的不同之处在于，求解线性方程组以获得新的股权支付向量，而不是将Φ应用于（rt，（wk）t）t。这是因为对于ψwk的固定点，它与（30）wk+1=（In）结合在一起- Γ女士（wk））-1w（31）注意，逆矩阵的存在是因为Ms和h ence MsΓ（sk）具有Elsinger性质。向量w可以解释为w的“更新”版本，因为P（w）中的非违约公司的权益包含在w中。根据更新的向量，一些不在P（w）中的公司现在在w中有非负分录。这可以从w得出结论≥ 我们稍后会展示。但这些公司现在也能够向s y stem提供股权支付。因此，必须通过确定w来再次更新系统。该过程将继续进行，直到一个迭代步骤到下一个迭代步骤的默认文件集保持不变。提议3。给定债务支付的固定向量≥ 0n:（i）算法2A生成一个递增的向量序列wk。（ii）让1≤ L≤ n使得l:=min{j∈ {0，1，…，n}:P（wj）=P（wj+1）}。（32）那么s（\'r）=（wl+1）+是映射Φs（·；\'r）的固定点。（iii）设d=| P（w）|∈ {0，1，…，n}是w中有正条目的公司的数量。不超过n后达到固定点s（`r）- 分解步骤。证据（i） 这部分命题由埃尔辛格（2009）提出。我们给出了不同的版本。

因为（31），Γ（w）w≥ 以及我们在- Γ女士（女））-1如附录的引理A3所示，我们得到W=（在- Γ女士（女））-1w=（In+MsΓ（w）+（MsΓ（w））+…）w=w+MsΓ（w）w |{z}≥0n+MsΓ（w）MsΓ（w）w |{z}≥0n+。≥ w、 （33）哪个是感应启动。对于诱导步骤，我们假设wk≥ 工作-1和Γ（周）≥Γ（周）-1） 从它开始。我们需要证明wk+1≥ wk，或者，相当于wk+1=wk+e，其中e≥ 0n。自从Γ（wk）wk≥ Γ（周）-1） wk和wk=w+MsΓ（wk-1） wk，它的结果是u:=w+MsΓ（wk）wk- wk=Ms（Γ（wk）- Γ（周）-1） ）工作≥ 0n。（34）有了这个定义，我们就有了wk+e=w+MsΓ（wk）（wk+e）=w+MsΓ（wk）wk+MsΓ（wk）e（35），我们可以重新振作起来- MsΓ（wk）e=w+MsΓ（wk）wk- wk=u≥ 0n。（36）为e求解这个问题会导致toe=（In- Γ女士（wk））-1u≥ 0n（37），从中可以看出wk+1≥ 工作。（ii）首先，我们将展示一旦达到“稳定系统”，即k≥ 如果我们有P（wk）=P（wk+1），那么序列wk将是常数。让l如上文（32）所述定义。请注意，这样的l自wk起就存在≤ wk+1，因此P（wk+1） P（wk）代表所有k≥ 0如上所示。由于Γ（wl）=Γ（wl+1），由于ψwl（w）=w+MsΓ（wl）w=w+MsΓ（wl+1）w=ψwl+1（w）（38），这两个映射ψwl和ψwl+1是相同的，因此wl+1=wl+2。一个直接的结果是P（wl+2）=P（wl+1）=P（wl），这意味着Γ（wl+2）=Γ（wl+1）=Γ（wl）。通过迭代，以下所有向量将等于wl+1。有待证明的是，该迭代向量的正部分是映射Φs（·；\'r）的固定点。因为wl+1是ψwl的固定点，所以认为wl+1=w+MsΓ（wl）wl+1。这就产生了Φs（（wl+1）+）；\'r）=（a+Md\'r+Ms（wl+1）+- d） +=（a+Md\'r+MsΓ（wl+1）wl+1- d） +=（a+Md\'r+MsΓ（wl）wl+1- d） +=（w+MsΓ（wl）wl+1）+=（wl+1）+。（39）（iii）如图所示，系列WK增加，这意味着P（w）中的公司将在以后的每一个迭代步骤中保持积极的条目。

同样的说法适用于wki<0和wk+1i的每一家公司≥ 任何k都是0≥ 因为（ii）这意味着，如果在每个迭代步骤中，setP（wk）增加1，如果| P（wl+1）|=n，那么迭代步骤的数量肯定是最大的。在这种情况下，我们将有| P（wl+1）|- |P（w）|=n- D最大可能的迭代步骤。使用算法2A获得给定债务支付向量的权益向量，我们现在可以给出计算解R的算法*. 在续集中，我们将使用映射Φd:（R+）n→ （R+）由Φd（R；\'s）=min{d，a+Mdr+Ms}（40）定义，代表给定股权支付向量Φ的ebt分量≥ 0n。算法3（埃尔辛格算法）。设置ε>0.1。对于k=0，选择r∈ {rsmall，rgreat}并使用算法2A确定s（r）。2.为了k≥ 1，设置rk=Φd（rk-1.s（rk）-1） ）并通过算法2A计算s（rk）。3.如果rk-1sk-1.-rksk< ε、 停止算法。否则，设置k=k+1并继续执行步骤2。该算法首先假设所有企业都能完全履行其债务义务（r=rgreat=d），或者所有企业都有足够的外部资产来偿还其债务（r=rsmall=min{d，a}）。利用该支付向量，使用算法2A获得相应的股权支付。在下一步中，债务向量必须适应新的股权支付，而ich的支付方式与之前的债务向量相同。然后，更新后的债务支付向量用于确定新的股权支付向量。此过程将继续，直到迭代彼此足够接近。

除了最初在Elsinger（2009）中提出的算法外，算法3还包含第二个可能的起点rsmall。我们将在下一个命题中说明，如果选择r=r，债务和股权支付向量将建立一个递增序列，从而收敛到解r*从下面看，对于r=rgreat，它从上面收敛。提议4。如果r=rgreat，E lsinger算法提供一系列递减向量；如果r=rsmall，E lsinger算法提供一系列递增向量。这两个序列都收敛到（7）中映射Φ的固定点。证据递减部分如Elsinger（2009）所示，我们只需证明其中算法中的debtiterate与rkin算法3相同。用我们的符号，Elsinger（2009）中的DebT分量的迭代定义为Rk=min{d，（w*（rk）-1） +d）+}，（41）其中w*（rk）-1） 是W=a+Mdrk的解吗-1+城市固体废物+- d、 （42）然而，从（39）可以看出，`r=rk-1，（wl+1）+=Φs（wl+1）+；rk-1.=a+Mdrk-1+Ms（wl+1）+- D+=W*（rk）-1)+, （43）式中，wl+1是算法2A的结果，其中债务支付向量为rk-1，即（w）*（rk）-1） ）+=s（rk-1). 因为（42），我们有*（rk）-1） =a+Mdrk-1.- d+Ms（w）*（rk）-1） ）+，（44），其后是（40）和a≥ 0nthatrk=min{d，（w）*（rk）-1） +d）+}=min{d，a+Mdrk-1+Ms（w*（rk）-1） ）+}=Φd（rk-1.（w）*（rk）-1） ）+）=Φd（rk-1.s（rk）-1)).（45）尚待显示的是，对于起点r=rsmall，生成的序列增加并收敛到r*, 这是通过归纳法完成的。对于感应s开始检查R=min{d，a}≤ min{d，a+Mdr+Mss（r）}=Φd（r；s（r））=r.（46）如Elsinger（2009）所示，结果为*（r） 算法2A中的s（r）在r中增加，也就是说s（r）在r中增加≤ s（r）完成感应启动。对于诱导步骤，假设rk-1.≤ RKS和rk（rk-1) ≤ s（rk）。