金融资产结构模型的估值算法

对这种行为的一种可能解释是，对于TP算法，对于组合νd=0.5和νs=0.45（数据未显示），收敛到解所需的迭代步数总是最大的。因此，在这些情况下，收敛速度非常慢，这解释了为什么第一个潜在的默认集通常不是实际的故障集。当我们检查了每一个权益整合水平的平均错误率，并对所有的价值进行了平均，我们观察到，除了TE算法外，错误率随着整合水平的增加而增加。在TP算法的情况下，我们从4.11%增加到了8%。对于νs=0.05、νs=0.25和νs=0.45，分别为73%到15.14%。theTE算法的错误率近似恒定（2.90%，2.84%，2.72%）。我们对这部分模拟研究的总体结论是，选择算法和滞后值l对错误率的影响最大，即滞后值越大，错误率越快降低。正如预期的那样，TP算法的总体错误率最高，比TE和TH算法高得多。所有权矩阵的集成水平也会影响错误率。在我们的模拟环境中，正是适度的BT和高股权整合的结合产生了最高的利率。另一方面，所有权矩阵的结构对错误率没有影响。以总体平均错误率为主要参考，我们可以指出，对于TE和TH算法，滞后值2是合适的，因为相应的错误率非常小，分别为2.82%和0.36%。然而，对于TP算法，对于l=2，我们得到的总错误率为9.38%，这就是为什么对于这个过程来说，总错误率为2.84%的滞后值为3似乎更方便。5.3.

算法效率的比较寻找最有效的算法，主要问题是最小化计算效率，以找到解决方案R*. 在算法的每次迭代步骤中，对不同的算法进行不同类型的计算。我们用朗道符号（大O符号）量化计算成本，例如O（n）表示计算大小为n的问题的时间T（n）以n的速度增长。我们在考虑时区分两种不同类型的计算。对于第一种类型，将映射应用于给定向量。这种映射可以是（7）中的映射Φ，也可以是（26）和（40）中的映射Φ和Φsin，其中第二种是矩阵乘法。在所有情况下，最昂贵的计算都是矩阵乘法，而这种类型体现了线性方程组的解，如算法2A和4A中定义的解。两种类型的计算成本都在O（n）和O（n）之间（参见Dahlquist和Bj¨orck（2008））。考虑到算法的功能，Elsinger算法和混合算法的效率似乎低于Picard算法，因为在e上的Picard算法中，不必求解线性方程组，从而降低计算成本。然而，正如我们在命题5和命题9中所看到的，就迭代步骤而言，与埃尔辛格算法相比，混合算法收敛到解的速度更快，而埃尔辛格算法又比皮卡德迭代收敛到解的速度更快。因此，在计算成本和算法收敛速度之间给出了一个典型的特效情况。请注意，对于收敛到固定点R的序列*如果存在c，则收敛速度称为线性∈ （0，1）这样*- Rk+1k≤ ckR*- Rkk（107）代表所有k≥ 0

自kΦ（R）*) - Φ（Rk）k≤ ImaxkR*- Rkk与Imax=max{| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |}（Fischer（2014）中的seeLemma 4.1），线性收敛适用于Picard算法，前提是不采用假设1，矩阵范数严格等于1（这意味着所有。然而，Elsinger算法和混合算法的特性使其无法证明线性收敛性（或更高的收敛速度）。下一个问题是，一个算法的总计算成本通常是不可确定的。由于这些原因，在分析数据库上比较不同的计算技术（Picard、Elsinger、Hybrid）似乎是不可能的。这就是为什么我们测量执行算法所需的时间，并将该值视为我们模拟的主要结果。虽然这一指标强烈依赖于计算机的处理器速度和内存容量，但它允许对不同算法进行客观比较。模拟是在一台具有3.2 GHz和4GB RAM的计算机上进行的，使用的软件是R（R Core Team（2014））。定义金融系统的参数如下所示。与第5.2节中使用固定债务价值d的模拟不同，我们在五种可能的债务价值和债务价值之间变化∈ {1, 1.5, 2, 2.5, 3}. 权益和债务整合水平的集合扩展到了νs∈ {0.025,0.1,0.175,0.25,0.325,0.4,0.475}和νd∈ {0.05,0.2,0.35,0.5,0.65,0.8,0.95}，因此分别有七种可能的整合水平。第5.2节中的一个结果是所有权矩阵d的结构不影响误差率，这就是为什么我们在本次模拟中只考虑了完整的能量矩阵，即λ=0 in（103）。

以及六种考虑过的系统尺寸（n∈ {5,10,25,50,100,200}），这个新设置会导致6·5·7·7=1470个不同的设置。同样，对于每个设置，为每个参数组合生成N=1000个模拟系统。对于每个模拟系统，我们应用了前一节中介绍的所有15种算法，并记录了每个过程的运行时间，以确定解决方案R*.我们使用了Picard、E lsinger和混合算法（算法1、3和6）两种版本，即递减版本和递增版本。此外，还考虑了试验和错误版本，同样是递减版本（算法7）和递增版本（算法8），对于Picard版本，滞后值为l=3，对于Elsinger和Hybride版本，滞后值为l=2。滞后值的选择是第5.2节中模拟的结果。请注意，将错误率降至适当值并不一定等同于最小化算法的运行时间。出于这些原因，我们使用l=2到l=5的滞后值，比较了每种情况下的试错算法的运行时间。结果（此处未显示）是，对于Elsinger和混合版本的算法，选择l=2不仅可以将错误率保持在非常低的水平上，还可以最小化运行时间。对于试错Picard算法，仿真表明，对于l=2和l=3，时间几乎相同。然而，在选择l之间没有明显的趋势：对于某些参数组合，l=2会导致较小的运行时间，对于某些情况，l=3就是这样。由于试验和错误Picard算法的差异，根据第5.2节的发现，这些程序的weset l=3。最后，还考虑了三明治算法（算法9）的三个版本。

所有算法中的公差水平均设置为ε=10-3.表3：根据系统规模、算法和迭代类型分组的所有债务和权益积分值（νdandνd）和所有债务值（d），每个算法的平均运行时间（秒）。对于这三种迭代类型中的每一种，计算了相应的递增和递减版本的平均运行时间，但三明治算法除外。算法Ty pe迭代类型系统大小n5 10 25 50 100 200非最终卡片1.81 1.90 2.27 3.01 6.19 21.16Elsinger 1.86 2.08 2.90 5.71 24.38 175.40混合1.65 1.84 2.58 5.24 23.06 164.031.78 1.94 2.58 4.65 17.87 120.20试验和错误卡片1.29 1.30 1.64 2.81 8.77 45.21Elsinger 1.32 1.39 1.91 3.95 17.14 119混合1.57 1.24.67 1.49 1.49 1.49混合1.49 1.981.16 1.28 1.79 3.31 10.73 55.08Elsinger 1.33 1.54 2.41 5.53 26.18 192.65 Hybrid 1.49 1.70 2.55 5.57 25.44 182.911.32 1.51 2.25 4.80 20.78 143.55总体Picard 1.47 1.54 1.92 2.99 8.13 37.56Elsinger 1.54 1.69 2.41 4.97 21.84 156.44 Hybrid 1.59 1.74 2.44 2.44 5.01 21.93 154 1.551.53 1.66 2.26 2.14.17是三明治技术的一个重要试验过程和错误比较（新开发的课程）按照现有的程序。在表3中，平均运行时间按金融系统的规模、算法和迭代类型分组列出。通过计算两种算法的平均运行时间，分别总结了每种算法的递减版本和递增版本。在大多数情况下，递减版本的运行时间都比对应版本小。忽略一个实例的d的随机结构并计算固定点，可以看出，在所有考虑的情况中，约60%的情况下，没有一个企业是不确定的，这解释了递减算法的轻微“过度表现”。

如果我们比较所有迭代类型的平均运行时间，我们发现对于n=5，与试错法和非有限法（分别为1.39秒和1.78秒）相比，三明治算法的性能最好（1.32秒）。为了n≥ 5.对于试错过程，在迭代类型中获得了最快的平均运行时。通过比较不同的迭代技术，我们发现使用Picard迭代技术对所有考虑的系统尺寸的计算影响最小。更具体地说，对于小型金融系统（n=5,10），Sandwich Picard算法的运行时间最小（分别为1.16秒和1.28秒），而对于中型系统（n=25,50），与其他算法类型（分别为1.64秒和2.81秒）相比，试错Picard算法的性能最好。对于大型金融系统，即n=100200，非有限形式的Picard迭代产生最低运行时（分别为6.19s和21.16s）。总的来说，很明显，Picard类型的算法在每种算法类型中都有最好的性能。这一趋势的唯一例外是非现场算法，其中对于n=5和n=10，混合算法的运行时间略低于Picard算法。然而，在所有其他情况下，Picard算法都优于其他算法。除了大小n之外，我们还研究了其他参数对运行时财务系统形式的影响。我们观察到，债务价值的增加导致计算效率的增加，详情见附录中的表4。这种趋势的一个例外是混合算法，无论考虑哪种算法类型，larged的运行时间都再次开始减少。

这种行为的原因是，混合算法的递增版本的运行时间f变小，而n变大，算法递增版本和递减版本的平均值也变小，如表4所示。一种可能的解释是，递增混合算法使用aPicard类型的技术来确定下一个债务迭代（参见算法5A）。如上所示，Picard迭代的运行时性能要好得多，尤其是对于大n。如果债务整合水平增加，我们首先观察到债务价值对运行时间的类似影响，即整合水平越高，运行时间越高。然而，在大多数情况下，这种单调性仅适用于νd=0.5或νd=0.65。对于更大的债务整合水平，计算效率再次降低。这种行为的原因可能是，对于小的νd值，财务系统中的许多公司很可能处于违约状态。在这种情况下，我们观察到在R之前只需要很少的迭代步骤*到达。如果债务整合水平非常高，那么同样的影响也会产生差异，即系统中的许多公司都是有偿付能力的。对于中等债务整合水平，偿付能力和违约之间的这种明显区别消失了。结果是需要更多的迭代步骤，这也会影响运行时。此外，这种解释还强调了一个事实，即对于小的νd（默认情况下更可能是企业），算法的不断增加版本具有更好的性能，而对于更可能是溶剂的大积分级别，这种关系正好相反。为了提高公平整合水平，这种影响是不可见的，如果νs增加（结果不是自己的），运行时间会增加。

自从≤ 0.45股权整合似乎对企业在系统中的地位影响较小，因此，债务整合水平上的影响可能不会出现。6.总结在这篇文章中，我们对现有的算法（“Picard”和“Elsinger”）进行了综述，这些算法用于计算存在股权和债务交叉持有的金融系统中的均衡价格。此外，我们还展示了如何将Elsinger（2009）、Eisenberg和No e（2001）的思想结合起来，得到一个迭代过程（“混合算法”），该迭代过程每迭代一步都更接近解R*比“Picard”和“Elsinger”算法更有效。我们开发了新的迭代方法，基于当前支付向量下的违约公司和有偿付能力的公司的信息。这些默认的基于集合的方法的一个结果是，系统的精确解是在有限的步骤中实现的，而现有的迭代程序无法确保这一点。使用这种新方法会产生两个不同的概念，我们称之为“三明治”算法和“试错”算法。对于前一种类型，可以定义一个明确的停止标准（至少几乎可以肯定），而后一种算法撤回了每个可能的解决方案h，以检查其有效性。在模拟研究中，我们认为选择适当的滞后值l，计算效率可以保持在最小值。另一个模拟显示，当使用新的基于默认集的技术时，需要执行的迭代步骤基本上更少。然而，关于迭代次数的更快收敛是有代价的：在Picard类型以外的新算法中，每个迭代步骤都必须求解几个线性方程组。

这导致这些方法的计算效率更高，对所有算法运行时间的实证研究结果表明，尤其是对于大型金融系统，计算成本会高于不需要求解线性方程组的算法。运行时分析的另一个结果是，最有效的迭代技术是Picard类型。在大多数考虑的设置中，这些迭代技术表现最好，无论使用哪种算法类型（非有限、试错、San dwich）。主要结果之一是，最有效算法的选择很大程度上取决于金融系统的规模。我们发现，对于小型系统（n=5，10），三明治式Picard技术，对于中型系统（n=25，50），试错式Picard技术，对于大型系统（n=100200），简单的非有限Picard技术在运行时间最小化方面取得了最佳效果。关于公差水平ε的选择，其值小于ε=10中使用的值-3将强烈影响非有限迭代技术的结果，因为额外的模拟（此处未列出结果）表明，ε的增加将导致所需迭代步骤以及运行时间的比例大幅增加。在econsequence上，对于大型系统，非有限Picard迭代将不再是最优的，因为有限算法技术不依赖于ε。我们知道这一影响，但我们认为，出于实际目的，ε=10的公差水平-3是非常小的。第5.3节中的模拟仅包含完整的所有权矩阵（λ=0 in（103））。无论是在环所有权矩阵还是λ-凸组合的情况下，这都是一个潜在的问题，其结果都会导致相同的结论。

无论选择λ的哪个值，与Msstill的条目都是唯一可确定的。这一假设的一个潜在扩展是，允许基于随机网络矩阵的随机所有权矩阵，如Elliott等人（2013）所用。除了这些问题，进一步研究的主要重点应该是将算法推广到具有一个以上资历级别的系统。在Fischer（2014）中，这是针对非有限Picard算法进行的，在Elsinger（2009）中，还讨论了非有限Elsinger算法的扩展。这将是一个有趣的问题——如果是的话——如何将混合算法推广到一个允许债务资历结构的模型。A.附录A。1.证明和辅助结果引理A1。设| |·| |不一定是Rn上的严格凸范数，设Φ是非空凸紧集C上的映射 它对于范数诱导度量是不可扩张的。然后，C中Φ的固定点集是非空的、闭合的，或者是单个的，或者是不可数的。证据这一结果的许多定义版本是已知的（例如Bruck（1973））。为了方便起见，给出了一个简短的证明。非扩张性意味着Φ是（1-Lipschitz）连续的。因此，s-etof固定点是闭合的，Brouwer–Schauder不动点定理（如Rudin（1991））提供了至少一个固定点的存在性。现在假设th在x，y∈ C是Φ的两个不同固定点。为了v∈ C和ε>0，Bε（v）={w∈ C:| | w-v | |≤ ε} 是λ的C.的非空、凸和紧子集∈ （0，1），交点cλ=Bλ| | y-x | |（x）∩ B（1）-λ） | | y-x | |（y）（108）是非空的（因为它包含（1- λ） x+λy），凸且紧，它既不包含x，也不包含y∩ Cλ= 对于λ6=λ。非膨胀性意味着Φ（Cλ） Cλ。根据Brouwer–Schauder，在Cλ中存在Φ的固定点。