金融资产结构模型的估值算法

下一个滴度出现为rk+1=min{d，a+Mdrk+Ms（s（rk））+}≥ min{d，a+Mdrk-1+Ms（s）rk-1） ）+}=rk，（47），也跟在s（rk+1）后面≥ s（rk）以及级数的递增性质。对于收敛，选择s（rk）≥ 并且它认为S（rk）=（a+Mdrk+Mss（rk）- d）+≤ Mss（rk）+（a+Mdrk- d） +。（48）因为rk≤ R*, 它是在一些重新安排之后出现的，即（rk）≤ （在- Ms）-1（a+Mdrk）- d）+≤ （在- Ms）-1（a+Mdr）*- d） +，（49）因此级数s（rk）也从上面有界，因此收敛到一些s*从下面。Φsis连续in（rt，st）与Φs（s（rk）同时存在；rk）=s（rk）等于Φs（s）*; R*) = s*. 因此（（r）*)t、 （s）*)t） 索尔夫斯（6）。同样，我们可以说，由于Φd的连续性，Φd（r*; s*) = R*下面是（（r*)t、 （s）*)t） 塔尔索解（5），因此必须是固定点R*.如上所述，Elsinger算法以与Picard迭代不同的方式确定迭代的公平成分。这种方法的一个重要结果是，对于递减版本，Elsinger算法的迭代比Picard算法的迭代要小得多，我们将在下一个命题中展示。对于这两个过程的递增版本，同样的语句也适用，其中来自Elsinger算法的迭代将大于来自Picard算法的迭代。由于获得下一次权益迭代的方式不同，两种程序的总计算效率难以比较（参见第5.3节）。然而，如果我们只把需要的迭代次数作为一个质量标准，我们可以得出结论，埃尔辛格算法收敛到R*而不是Picard迭代，无论算法是从上边界开始还是从下边界开始。提议5。

设RkP=（（RkP）t，（skP）t）t是Picard算法的第k次迭代，rkE=（（rkE）t，（skE）t）t是Elsinger算法的相应迭代。（i） 对于任何迭代k≥ 0我认为RkP≥ 如果RP=rgreat和RE=（rtgreat，s（rgreat）t）t。如果RP=rsmall和RE=（rtsmall，s（rsmall）t）t，我们有这个RkP≤ 这是为每个文盲准备的。（ii）让Rk，k≥ 1，用R=R迭代Picard算法，或用R=（rtgreat，s（rgreat）t）t迭代Elsinger算法。然后Rk+1P（Rk）≥ Rk+1E（Rk）。如果起始向量是R=rsmall或R=（rtsmall，s（rsmall）t）t，它认为Rk+1P（Rk）≤Rk+1E（Rk）。证据（i） 归纳法证明了这一论断。对于k=0，假设上边界是两种算法的起始向量。在等式（49）中，SE=s（d）≤ （在- Ms）-1（a+Mdd）- d） +=sgreat=sP.（50）由于rE=rP=d，感应启动完成。现在假设k≥ 1.它支持RkP≥ 马克。从命题4，我们知道Rk+1E≤ 马克。此引线tork+1P=最小值{d，a+MdrkP+MsskP}≥ min{d，a+MdrkE+MsskE}=rk+1E（51）和SK+1P=（a+MdrkP+MsskP）- d）+≥ （a+MdrkE+MsskE）- d）+≥ （a+Mdrk+1E+Mssk+1E）- d） +=sk+1E。（52）如果起始向量是下界ary，并且序列RkPand Rk在增加，则该论证类似。（ii）我们证明了算法的递减版本，对于反向的证明是相似的。首先，让Rk=RkP。债务分量的下一次迭代等于两种算法，即rk+1P=Φd（rk；sk）=rk+1E。对于权益部分，它持有sk+1P=Φs（sk；rk）。映射Φs（·；rk）有一个唯一的固定点，我们用s（rk）表示，可以通过Picard迭代获得：liml→∞（Φs）l（sk；rk）=s（rk）。（53）迭代明显形成一个递减序列，因此sk+1P≥ s（rk）≥ s（rk+1）=sk+1E，（54），其中第二个不等式来自s（r）在r中增加的事实（参见。

埃尔辛格（2009）。如果第k次迭代由Rk=RkE给出，则参数类似于onesabove。3.3. 一种混合算法为了激励下一种算法的方法，我们必须比较埃尔辛格算法和皮卡德迭代的函数。两次迭代之间的主要差异出现在权益部分的计算中。假设我们在迭代步骤k中≥ 0并希望计算权益部分的下一次迭代。我们暂时忽略了这两种算法都提供了不同的迭代，并假设第k次迭代由Rk=（（Rk）t，（sk）t）t给出。在埃尔辛格算法中，Rk+1首先被计算，然后sk+1是Φs（·Rk+1）的固定点，因此它认为sk+1=Φs（sk+1；Rk+1）。另一方面，Picard迭代可以写成sk+1=Φs（sk；rk），从中可以清楚地看出，Picard迭代既不使用“更新”的deb t向量rk+1，也不解决单独的定点映射来获得sk+1。然而，债务成分rk+1的确定在两种算法中是可比的。再次从rk开始，两种程序的rk+1=Φd（rk；sk）。Elsinger算法的一个明显扩展是利用权益部分和债务部分的原理。在Eisenberg和Noe（2001）的文章中，这个概念用于没有股权交叉所有权的系统，即Ms=0n×n。

在这一小节中，我们将概括这项工作的结果，结果将证明，将这两种观点结合起来，即奥尔辛格（2009）和艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe）（2001）的观点，将有助于最大限度地减少全局算法所需的迭代步数，以确定*.为了更详细地解释这个想法，假设债务支付向量∈ [rsmall，rgreat]我们有一个对应的权益向量s（\'r），即（26）中映射Φs（·；\'r）的固定点。在Elsinger算法中，下一个债务迭代出现为Φd（\'r；s（\'r））。我们的目标不是使用这个迭代，而是找到Φd（·s（\'r））的固定点作为新的迭代。这可以通过以下算法实现。算法4A。假设s≥ 0n。1.对于k=0，设置r=`r并确定D（r，s）和∧（r，s）。为了k≥ 1.解决问题-1，s（r）=r其中Θrk-1，s（r）=∧（rk）-1，s）a+Md∧（rk）-1，s）r+在里面- ∧（rk）-1，s）D+ Mss+在里面- ∧（rk）-1，s）d（55）3。用rk表示解，即Θrk-1，s（rk）=rk，并确定D（rk，s）和∧（rk，s）。如果D（rk，s）=D（rk-1，s），停止算法。否则，设置k=k+1并继续执行步骤2。该算法与艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe，2001）中给出的算法相同，但对由于股权交叉所有权而产生的一些额外固定薪酬进行了修改。它解决了（5）固定金额的股权支付问题≥ 0n，即映射Φd（·，s）的固定点，我们将在下一个命题中展示。用r表示该固定点*（s） 比如说。在后面的混合算法中，r*（s） 用作债务组件的下一次迭代。要查看Elsinger算法中债务分量计算之间的差异，假设任意债务支付向量r∈ [0n，d]被给出，相应的股权支付向量s（r）也被给出。

映射Φd（·；s（r））的固定点一方面可以使用上述算法4A获得，但另一方面，我们也可以使用aPicard迭代，因为对于任何r∈ [0n，d]它是这样的≤ Φd（r；s（d））=min{d，a+Mdr+Mss（d）}≤ d、 （56）从向量r开始，固定点r*（s） 被给予asr*（s） =极限→∞（Φd）l（r；s（d））。（57）然而，在Elsinger算法中，债务成分的下一次迭代被定义为Φd（r；s（r）），这是（57）中Picard迭代的第一次迭代。因此，可以说，在Elsinger算法中，使用一个简单的映射来获得下一个迭代，而在混合算法中，映射的固定点是确定的。在命题9中，我们将证明，当使用后一种算法的思想时，迭代RK将始终小于搜索的解R*.提议6。让我们∈ [rsmall，rgreat]成为一个债务支付工具和≥ 0na权益支付向量，使得Φd（`r；s）≤r.（58）（i）算法4A生成了一个定义良好的v向量rk递减序列。（ii）让1≤ L≤ n使得l:=min{j∈ {0，1，…，n}:D（rj，s）=D（rj+1，s）}。（59）那么r*（s） =rl+1是（40）中定义的映射Φd（·s）的固定点。（iii）设d=|d（|r，s）|为|r和s下的违约公司数量。固定点r*（s） 在不超过n之后到达- 分解步骤。证据由于权益向量s被认为是固定的，我们可以通过设置a=a+Mss和fMs=0n×n来修改财务系统F。新系统F=（a，d，Md，fMs）是一个没有权益交叉所有权的系统。Eisenber g和Noe（2001）中考虑了此类系统。（i） 序列RK下降的证明现在等价于inEisenberg和Noe（2001）给出的证明。其中证明中需要的一个假设是，r是所谓的s超解，它是因为Φd（\'r；s（\'r））而给出的≤\'r≤ D

我们要完成这一部分的是，（55）中映射的固定点存在且独特，因为它们对金融系统的定义与我们的略有不同。用∧：=∧（rk，s）表示对角矩阵f或rk。下一次迭代rk+1根据（55）givenbyrk+1=∧~a+Md∧rk+1+（In- ∧d）+ （在- ∧d=∧Md∧rk+1+∧~a+Md（英寸）- ∧）d+ （在- ∧）d（60）和重新排列产生tork+1=在里面- ∧Md∧-1.Λ~a+Md（英寸）- ∧）d+ （在- ∧）d. （61）注意Md具有Elsinger性质，因此∧Md∧也具有Elsinger性质，这意味着- 存在∧Md∧。这证明了rk+1的唯一性。（ii）序列收敛并最终变为常数的论证与命题3证明的第（ii）部分是一致的。由于rk在减少，我们得到了D（rk，s） D（rk+1，s）这意味着违约公司的数量增加。如果D（rl，s）=D（rl+1，s），那么我们也有∧（rl，s）=∧（rl+1，s），从中可以看出映射Θrl，sandΘrl+1具有相同的固定点。它必须保持所有的后续迭代是相等的。为了证明rl+1是Φd（·s）的固定点，首先通过定义∧（rl+1，s）检查：rl+1=∧（rl+1，s）rl+1+（In- ∧（rl+1，s））d.（62）然后它认为Φd（rl+1；s）=min{d，~a+Mdrl+1}=（In- λ（rl+1，s））d+λ（rl+1，s）（a+Mdrl+1）=（In- ∧（rl，s））d+∧（rl，s）~a+Md∧（rl+1，s）rl+1+（In- ∧（rl+1，s））d= （在- ∧（rl，s））d+∧（rl，s）~a+Md∧（rl，s）rl+1+（In- ∧（rl，s））d= rl+1，（63），其中最后一个等式从（55）开始。（iii）这一部分与命题3的证明的第（iii）部分相似，论证的反面是e。由于序列减少，起始向量下的违约公司将保持违约状态。为了实现算法的最大理论长度，在每个新的迭代步骤中必须恰好出现一个额外的默认步骤。

这导致的结果不超过n- D可能的迭代步骤。（58）中不等式的有效性对于算法4A产生的迭代的单调性至关重要。然而，在某些情况下，债务支付向量∈ [rsmall，rgreat]与任意向量s一起给出≥ 0与，其中（58）不适用。想一想找到R的算法*这是从Rsmall开始的。在这种情况下，第一次债务迭代是rsmall=min{d，a}，相应的权益迭代是s（rsmall）。将Φdon应用于这些向量可使Φd（rsmall；s（rsmall））=min{d，a+Mdrsmall+Mss（rsmall）}≥ min{d，a}=rsmall（64）并违反（58）。找到下一个债务迭代作为Φd（·；s（rsmall））的固定点，并应用算法4A进行迭代，在某些情况下可能会导致非单调序列，这可以通过自选示例简单地验证。这使得我们很难证明这样一个系列的一致性。然而，考虑到债务向量r和s≥ 0n，我们仍然可以通过避免算法4A而使用Picard类型的算法来计算固定点。算法5A（债务部分的Picard迭代）。假设这是≥ 0和ε>0.1。对于k=0，设置r=\'r.2。为了k≥ 1，确定rk=Φd（rk-1.s） .3。如果krk-1.- rkk<ε，停止算法。否则，设置k=k+1并继续执行步骤2。提议7。算法5A提供了一系列解析向量rkifΦd（`r；s）≤如果Φd（\'r；s），则为一系列递增向量≥r.两个系列都收敛到Φd（·s）的唯一固定点。证据假设Φd（`r；s）≥r=r。对于第一次迭代，它认为r=Φd（\'r；s）≥ r、 因此，rk+1≥ 为了所有人≥ 1.因为单调序列RK是由d限定的，所以它必须收敛到某个固定点。由于Elsinger条件成立，因此直接得出的结论是，该固定条件必须是唯一的（见Elsinger（2009），th eorem 3）。

如果Φd（`r；s），则该论点类似≤r.算法4A和5A都使我们能够在给定等式向量的情况下计算新的债务迭代。与权益部分的算法2A一起，我们现在可以将这两个过程结合在一个通用算法中，该算法搜索固定点R*.算法6（混合算法）。设置ε>0.1。对于k=0，选择r∈ {rgreat，rsmall}并用算法2A确定s（r）。2.为了k≥ 1:2.1如果r=r，则使用算法4A确定rk；如果r=r，则使用算法5A确定rk。在两种情况下，使用s=s（rk-1） .2.2使用算法2A确定sk=s（rk）。3.如果rk-1sk-1.-rksk< ε、 停止算法。否则，设置k=k+1并继续执行步骤2。对于给定的r=rk，k≥ 0，混合算法d确定sk=s（rk）为解（6）的正确等式值，对于给定的s=s（rk），k≥ 0，则确定正确的债务值rk+1（5）。因此，在上一步确定的值的条件下，该算法在下一个迭代步骤中计算（6）或（5）的精确解。提议8。如果r=r，混合算法将提供一系列递减向量，这些向量将收敛到固定点r*. 在r=rsmall的情况下，该系列随着相同的极限而增加。证据首先，假设r=rgreat。首先，我们将通过归纳法证明d系列是正确的。对于诱导开始，注意r=Φd（r；s（r））=min{d，a+Mdr+Mss（r）}≤ d=r.（65）如命题5的证明中所述，等式向量s（r）在r中增加，在r中增加到s（r）≤ s（r）。对于诱导步骤，假设k>1时，它保持rk-1.≥ RKS和rk（rk-1) ≥ s（rk）。因为rk=Φd（rk；s（rk-1） 因为Φd（rk；s（rk））=min{d，a+Mdrk+Mss（rk）}≤ 最小{d，a+Mdrk+Mss（rk-1） }=Φd（rk；s（rk-1） ）=rk（66）假设（58）已完成。

下一次迭代rk+1从一个递减序列合并而来，该递减序列是通过应用算法4A从¨r=rk开始产生的。因此rk+1≤ rk和s（rk+1）≤s（rk）。下一步是证明级数收敛到R*. 我们得到两个序列（（rk+1）t，（s（rk））t）和（（rk）t，（s（rk））t）在（R+）2中同时下降，然后收敛到相同的极限（（R*)t、 （s）*)t） t∈ （R+）2n。由于Φd的连续性，Φsit必须保持Φd（r*, s*) = R*和Φs（s）*, R*) = s*. 因此，（（r）*)t、 （s）*)t） 索尔夫斯（6）和（5）。R=R的证明是相似的。在命题5中，我们已经证明，当使用埃尔辛格算法时，迭代总是更接近s解R*而不是Picard算法的相应迭代。这就导致了埃尔辛格算法的迭代次数最小化的结论。下一个命题显示了将Elsin-ger与混合算法进行比较的相同之处，并且很明显，混合算法将需要更少的迭代步骤来达到R*而不是埃尔辛格算法。提案9。如命题5所示，我们用subscript表示这两种算法的迭代，其中E代表Elsinger，H代表混合算法。（i） 对于任何迭代k≥ 1它认为RkE≥ RkhifR=（rtgreat，s（rgreat）t）和RkE≤ RkHwhen（rtsmall，s（rsmall）t）是两种算法的起始向量。（ii）让Rk，k≥ 0，可以是Elsinge r算法或以r=（rtgreat，s（rgreat）t）t开头的混合算法的迭代。然后是Rk+1E（Rk）≥ Rk+1H（Rk）用于下一次迭代，使用Elsinger或从Rk开始的混合算法计算。如果R=（（rtsmall，s（rsmall）t）t，它认为Rk+1E（Rk）≤ Rk+1H（Rk）。证据（i） 设R=（rtgreat，s（rgreat）t。从命题8我们知道rH≤ rH=d whichyields torE=min{d，a+Mdd+Mss（d）}≥ min{d，a+MdrH+Mss（d）}=rH。（67）此外，由于s（r）在r中增加。

命题5），sE=s（rE）≥ s（rH）=sH，完成感应启动。对于诱导步骤，假设它适用于k>1 thatRk-1E≥ Rk-1小时。因为8号提案rk-1小时≥ rkHand-thusrkE=min{d，a+Mdrk-1E+Mss（rk）-1E）}≥ min{d，a+Mdrk-1H+Mss（rk）-1H）}≥ 最小{d，a+MdrkH+Mss（rk-1H）}=rkH，（68）这里我们再次使用了s（r）在r中增加的事实，从s（rk）开始-1E）≥s（rk）-1H）和s（rkE）≥ s（rkH）。当R=（rtsmall，s（rsmall）t）时，证明是完全正确的。（ii）设R=（rtgreat，s（rgreat）t）和Rk=RkE。注意，由于rkE≤ rk-1Eis认为Φd（rkE；s（rkE））=min{d，a+MdrkE+Mss（rkE）}≤ min{d，a+Mdrk-1E+Mss（rk）-1E）}=rkE。（69）因此，（58）中的假设是充分的，因为ich确保rk+1H≤ 马克。对于下一个速率，Rk+1E=min{d，a+MdrkE+Mss（rkE）}≥ min{d，a+Mdrk+1H+Mss（rkE）}=rk+1H，（70），这反过来意味着sk+1E≥ sk+1H。另一方面，由于Rk+1H，从Rk=RKHYIELDS开始≤ rkHtork+1E=min{d，a+MdrkH+Mss（rkH）}≥ min{d，a+Mdrk+1H+Mss（rkH）}=rk+1H。（71）如果根据该结果得出sk+1E≤ sk+1H。在R=（rtsmall，s（rsmall）t）t的情况下，一个类似的论点和命题7提供了p屋顶。当然，在混合算法的迭代步骤中，可能需要求解许多线性方程组，因为对于债务分量，应用了算法4A，这会导致更高的计算成本。但是，如果我们暂时忽略这种情况，从命题9可以看出，Hybr-id算法的收敛速度高于Elsinger算法。4.有限算法上一节中的算法都有一个缺点，即无法确保解R*在有限的迭代步骤中实现。