金融资产结构模型的估值算法

为了k≥ 1.使用算法1、3或6中的一种以及相应的默认集D（Rk）和D（Rk）计算迭代Rk和Rk。如果D（Rk）=D（Rk），停止算法，设置D*= 并计算属于D的伪解*以下定义4。否则，设置k=k+1并返回步骤2。至于上述章节中的试错算法，三明治算法产生了不同的版本：（i）R=rgreat和R=rsmall的三明治Picard算法，以及步骤2中算法1的us e。（ii）R=（rtgreat，（s（rgreat））t）和R=（rtsmall，（s（rsmall））t的三明治埃尔辛格算法，并在步骤2中使用算法3。（iii）与Sandwich ElsingerAlgorithm具有相同起点的Sandwich混合算法，以及在步骤2中迭代使用算法6。回想第4.2节中的见解，在某些情况下，默认集D（Rk）序列可能永远不会收敛到实际的默认集D*. 出现此问题的情况总是至少有一家公司处于解决方案R的边界*. 由于这种行为，三明治算法可能不会收敛，因为默认集D（Rk）和D（Rk）永远不会相同。然而，如果我们考虑一个随机设置，并假设异源资产价格向量a的分布相对于（R+n）上的勒贝格测度具有密度，则无法确保收敛的情况只发生在概率为零的情况下，如下一个命题所示。请注意，这一假设在通常的n-Firm Merton模型中充分体现，其中单个aiare对数正态分布。14号提案。

三明治算法基因对达到默认集D的一系列递减默认集D（Rk）和一系列递增默认集D（Rk）进行评级*解决方案R*几乎可以肯定的是，经过很多步骤之后。因此，它达到了解R*（7）几乎可以肯定的是，经过无数步之后。证据默认集合的递增和递减特性直接来自于位置2、4和8。该算法的两系列默认集合都会在许多迭代步骤中收敛到D*如果金融系统中没有处于临界状态的公司。附录中的引理5表明，R*是零，从零开始，最确定的收敛。根据其性质，三明治算法收敛到*从计算的角度来看，这两个方向的计算量都翻了一番，使得算法有点效率。另一方面，该算法在不浪费时间进行“试错”的情况下，通过无数个迭代步骤计算出精确解。与试错算法相比，三明治算法的缺点是，当系统中存在边界企业时，无法保证程序的收敛性。为了克服这个问题，我们建议在三明治算法中也应用滞后值的概念。算法10（改进的三明治算法）。设l≥ 2.1. 限定词和Ras以及它们相应的缺省集D（R）和D（R）。为了k≥ 1.使用算法1、3或6中的一种以及相应的默认集D（Rk）和D（Rk）计算迭代Rk和Rk。如果D（Rk）=D（Rk），停止算法，设置D*= 并计算属于D的伪解*以下定义4。否则，如果k≥ l和| D（Rk）|- |D（Rk）|=。

=|D（Rk）-l+1）|- |D（Rk）-l+1）|，（99）计算属于D（Rk）的伪解，并在其解方程（5）和（6）时停止算法i。否则，设置k=k+1并返回步骤2。如果两个迭代方向的默认集合D（Rk）和D（Rk）在连续l次中不相同，则修改包括中断算法。如果l足够大（例如l≥ 5） （99）的结论是，这有力地表明，系统中至少有一个企业处于临界状态，并且没有给出两个序列的收敛性。在这种情况下，检查是否已经达到默认设置是合适的。5.本节的模拟研究旨在通过模拟证实前几节中的理论发现。特别是，我们重点考虑以下问题：（i）在第4.1节的试错算法中选择滞后值l时，调查权衡。这一部分的结果包含每个算法的“最佳”滞后值，将在下一部分中使用。（ii）研究第3节和第4节中提出的所有算法的算法效率。对于计算下一次迭代的每一种不同技术（Picard、Elsinger、Hybrid），我们将三种算法（非有限、试错、三明治）相互比较。在展示我们的研究结果之前，所使用的金融系统更为具体。5.1。金融系统的总体结构对于系统规模n，我们选择了六种不同的值，即：。N∈ {5, 10, 25, 50, 100, 200}. 只有5家或10家公司的系统可被视为相对较小，而n=25或n=50的网络则被视为中等规模。例如，Gourieroux等人（2012年）、Rogers and Veraart（2013年）和Elsinger等人（2006a）对小型系统进行了研究，其规模分别为5家、6家和10家。

中型系统的例子有Acemoglu等人（2013年）和Nier等人（2007年），其规模分别为20家和25家。此外，我们在研究中增加了100家和200家公司的网络，以包括更大的系统。针对此类规模的现有研究包括Elliott等人（2013年）、Cont等人（2010年）和Gai等人（2011年），分别涉及100125和250家企业的网络。有一些实证研究（Elsinger等人（2006b）、Gai和Kapadia（2010））调查了大约n=1000的系统尺寸。我们认为，出于实际目的，此类慷慨系统不受关注，这就是为什么我们没有考虑n>200的值。然而，可以预期的是，我们系统规模的结果也适用于拥有200多家企业的网络。接下来要定义的输入参数是资产和债务价值。为了简单起见，我们在本研究的每一个模拟场景中，假设外生资产的每个企业的价值为1，即a=（1，…，1）t∈ 注册护士。对于i公司的名义债务价值，我们为所有i公司设定了一个x ed值di=d∈ N，并对每个债务值添加一个随机变量，以获得不同的设置，即tod=（d，…，dn）t+（ε，…，εN）t∈ Rn，（100），其中εi独立正态分布，平均值为0，标准偏差为0。5，即εi~ N（0,0.25）。注意，对于εi<di的冲击，我们设置di=0以避免负性。在构建所有权矩阵时，由表达式集成操作的所有权程度可以提供一些关键信息。5点确定。考虑一个财务系统F=（a、d、Md、Ms）。d ebt integrationlevelu定义为Md的最大列和，即νd=maxi∈NnXj=1Mdij=kMdk。

（101）类似地，νs=maxi∈NnXj=1Msij=kMsk（102）称为股权整合水平。因此，整合水平是衡量债务或股权组成部分交叉所有权程度的指标，其定义基于Elliott等人（2013年）的工作中给出的定义。由于假设2，它直接得出了νd，νs∈ [0，1）.积分级别ν和ν显然没有指定所有权矩阵的单个条目。为此，我们将在以下方面限制我们对矩阵的某种规则结构的考虑。定义6.所有权矩阵M被称为o如果每列中只有一个条目大于0，则称为环所有权矩阵o如果每个条目都大于0，则称为完整所有权矩阵，除对角线条目外，大于0且大小相同。此外，让Fm是一个环所有权矩阵，CM是一个完整的所有权矩阵。Fm和Cm的λ-凸组合被定义为矩阵M，其中entriesMij=λfMij+（1- λ） cMij，λ∈ [0，1]。（103）环、完备矩阵和凸组合的概念最初在Emoglu等人（2013）中使用。如果MDI是一个环形矩阵，这意味着每个企业在系统内只有一个Creditor，如果MSI是一个环形矩阵，则只有一个股东。在不失去普遍性的情况下，我们假设i+1是i=1的i公司的债权人（股东），N- 该公司是该公司的债权人（股东）。当Md（Ms）是一个完整的所有权矩阵时，债务（股份）比例在n- 1.企业。选择的λ越低，对应凸组合的入口就越相等。例1。对于si ze n=4的系统，我们假设债务积分水平为νd=0.9，设置λ=0.5。

然后给出了环所有权矩阵xmd、完全所有权矩阵xmd和λ-凸组合矩阵md=0 0 0 .9.9 0 0 00 .9 0 00 0 .9 0,命令=0 .3 .3 .3.3 0 .3 .3.3 .3 0 .3.3 .3 .3 0和医学博士=0 .15 .15 .6.6 0 .15 .15.15 .6 0 .15.15 .15 .6 0. （104）考虑两个金融系统F=（a、d、Md、Ms）和F=（ea、ed、fMd、fMs），它们具有相应的集成级别νd、ν和d、s。由于所有权矩阵的规则结构，我们可以说一个系统F比F的债务集成度更高，当且仅当d>νd。同样，我们确定一个系统的集成度更高。根据前面的定义，模拟金融系统需要以下参数：n、d、νd、ν和λ，我们将使用相同的λ来根据（103）定义债务和股权矩阵。模拟系统是金融系统F=（A，d，Md，Ms），其中参数n，d，νd，ν和λ用于定义A，Md和Ms，其中负债d是（100）中随机变量的实现。滞后值的影响如第4.1节所述，在试错算法中选择的滞后值l越小，第一个可能的默认设置不是实际的D的变化越大*. 这将导致不必要的计算步骤，以达到真正的默认设置。另一方面，如果lis值非常高，比如l=5或更高，那么算法中可能不需要很多迭代步骤。因此，我们希望通过确定第一个潜在违约集的错误率来调查这种权衡情况。假设对于给定的参数n，d，νd，νsandλ，我们已经生成了n个模拟系统。

对于每一个系统，我们为滞后值l确定试错Picard（TP）、试错lsinger（TE）和试错或混合算法（TH）≥ 2第一个潜在违约s et“DjTP（l）”、DjTE（l）和“DjTH（l）”，其中j=1，N.对于计量和误差Picard算法，我们定义εjIP（l）=（1，如果¨DjIP（l）6=D*对于TE和TH算法，分别为0，else，（105）和类似的εjTE（l）和εjTH（l）。然后通过εTP（l）=NNXj=1εjTP（l）给出滞后值l的TP算法的误差率∈ [0，1]。（106）以同样的方式定义了错误率εTE（l）和εTH（l）。为了调查错误率，我们选择di=d=1.5 In（100）作为债务价值。Debt积分值，其中νd∈ {0.9,0.5,0.1}，我们将其视为具有高、中、低债务交叉所有权的系统。同样地，我们取了νs∈ {0.45,0.25,0.05}表示权益积分，其中每个值是相关债务积分的一半。这种方法的主要特点是，股权所有权通常不如债务所有权。此外，我们希望避免可能的交叉所有权条目大于0.5，因为这意味着一家公司由该系统中的另一家公司拥有多数股权。每个股权和债务整合价值相互结合，形成9种可能的系统设置。除此之外，对所有9种设置进行了三次调查，其中结构p参数λ超过了三个可能值λ∈ 考虑了{0,0.5,1}，即仅具有环所有权矩阵的系统、具有完全矩阵的系统和具有0.5-凸组合的系统。总的来说，参数νd、νsandλ的组合导致了27种不同的设置，并生成了预测设置N=1000个模拟系统。对于滞后值l=2，…，采用三种算法计算错误率，7.

N=1000的重复模拟表明，不同模拟运行的错误率相当稳定，这就是为什么我们认为1000次重复的次数是可靠的。我们使用了算法7中定义的递减试错算法，但递增试错算法的模拟结果非常相似。表1：以百分比表示的误差率εkTP（l）、εkTE（l）和εkTH（l），对于l=2，7.显示每个组合的所有λ值和所有ν和ν值的平均值。表的最后三行显示了所有考虑的系统大小的总体平均错误率。1.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0=50TP 10.596 3.122 1.111 0.482 0.189 0.078TE 3.300 0.389 0.0410 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0第一个观察结果是，所有权结构矩阵，即λ的选择，对错误率没有严重影响。这将导致比较给定n、ν和νs的系统在λ的三个选项中的错误率。

在n=100的情况下，如果存在中等债务和低权益的所有权（νd=0.5，νs=0.05），且滞后值l=1，则完整和环形所有权矩阵（9.6%至3.2%）之间的试错Picard算法存在较大的绝对差异。在绝大多数可能的组合中，差异要小得多，这就是为什么我们得出结论，所有权结构本身并没有从根本上影响错误率。出于这个原因，我们总结了λ的三个值，并计算了所有λ之前n，ν和ν的每个组合的平均错误率，以获得进一步的结果。表1总结了调查系统尺寸影响的模拟结果。误差率计算为每个n值的债务和权益积分的所有可能组合的平均值。我们观察到，网络规模仅对误差率产生轻微影响，因为对于所有系统规模，f或相同的滞后值，它们相对接近。唯一的例外是n=10的系统，与其他系统相比，误差率更小。在表的最后三行中，错误率的总体表现表明，即使对于TP算法和l=2的滞后值，错误率也不高于10%。我们还发现TE算法的错误率要小得多，而TH算法的错误率更高。对于增加滞后值，所有考虑的方法的错误率都会迅速减小。表2:l=2,3时，TP、TE和铊的错误率εkTP（l）、εkTE（l）和εkTH（l）的百分比。对于deb t积分水平νd，低积分、中积分和高积分分别定义为0.1、0.5和0.9。对于股权整合水平，相应的水平定义为0.05、0.25和0.45。

对于每个组合，给出了λ的所有三个值和n的所有值的平均值。此外，各债务和股权整合水平内的总体平均误差率显示在附加列和行中。l=2 l=3TPνdνsνdν慢模。高低模。高低2.60 4.65 7.64 4.96低0.22 0.54 1.41 0.72mod。8.53 19.64 35.83 21.33国防部。1.72 5.58 14.62 7.31高1.31 2.47 1.75 1.84高0.14 0.73 0.57 0.484.11 8.73 15.14 9.38 0.69 2.29 5.53 2.84TEνdνsνdν慢模。高低模。高低2.16 2.34 2.51 2.34低0.19 0.19 0.18 0.19模。6.24 6.07 5.60 5.97国防部。1.07 0.91 0.86 0.95高0.29 0.13 0.06 0.16高0.03 0.02 0.022.90 2.84 2.72 2.82 0.43 0.37 0.35 0.38次νdνsνdν慢模。高低模。高低0.02 0.13 0.24 0.13低0.0。0.22 0.96 1.59 0.92模。0.01 0.04 0.02高0.04 0 0 0.01高0 0 00.09 0.36 0.61 0.35 0 0.01 0.01 0.01为了评估债务和股权整合水平的影响，采用平均错误率总体考虑的系统规模，并针对整合水平的每个可能组合列出，如表2所示。如果债务整合水平从低到中等，错误率也会增加。例如，在表2最后一列中，将债务整合水平0.1和0.5的平均误差率与所有权益整合水平的平均误差率（每个滞后值）进行比较时，可以看出这一点。对于试错Picard算法，错误率从4.96%增加到21.33%；对于其他算法，我们观察到类似的结果。然而，债务整合从0.5进一步增加到0.9会产生影响，因为在这种情况下，错误率会降低。我们再次以TP算法为例，其中错误率从21减少。33%至1.84%。