作为回归框架的去趋势波动分析：估计

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英文标题：
《Detrended fluctuation analysis as a regression framework: Estimating
  dependence at different scales》
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作者：
Ladislav Kristoufek
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a framework combining detrended fluctuation analysis with standard regression methodology. The method is built on detrended variances and covariances and it is designed to estimate regression parameters at different scales and under potential non-stationarity and power-law correlations. The former feature allows for distinguishing between effects for a pair of variables from different temporal perspectives. The latter ones make the method a significant improvement over the standard least squares estimation. Theoretical claims are supported by Monte Carlo simulations. The method is then applied on selected examples from physics, finance, environmental science and epidemiology. For most of the studied cases, the relationship between variables of interest varies strongly across scales.
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中文摘要：
我们提出了一个结合去趋势波动分析和标准回归方法的框架。该方法建立在去趋势方差和协方差的基础上，设计用于在不同尺度、潜在的非平稳性和幂律相关性下估计回归参数。前者允许从不同的时间角度区分一对变量的影响。后者使该方法比标准最小二乘估计有了显著的改进。理论主张得到了蒙特卡罗模拟的支持。然后将该方法应用于从物理学、金融学、环境科学和流行病学中选出的例子。在大多数研究案例中，感兴趣的变量之间的关系在不同的尺度上有很大差异。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Detrended_fluctuation_analysis_as_a_regression_framework:_Estimating_dependence_.pdf (654.32 KB)

2022-5-7 13:49:53 上传

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关键词：去趋势 Econophysics correlations epidemiology stationarity

作为回归框架的去趋势预测分析：估计不同规模的依赖性Ladislav Kristoufekab我们提出了一个将去趋势预测分析与标准回归方法相结合的框架。该方法建立在去趋势方差和协方差的基础上，旨在估计不同尺度、潜在非平稳性和幂律相关性下的回归参数。前一个特征允许从不同的时间角度区分一对变量的影响。后者使该方法大大改进了标准最小二乘估计。理论主张得到了蒙特卡罗模拟的支持。然后将该方法应用于从物理学、金融学、环境科学和流行病学中选出的例子。在大多数研究案例中，感兴趣的变量之间的关系在不同的尺度上差异很大。PACS编号：05.10-a、 05:45-a、 05:45。TpKeywords:去趋势函数分析，回归，尺度，时间序列分析捷克共和国科学院信息理论与自动化研究所，CZ-182 08，电子邮件：kristouf@utia.cas.czbWarwick华威大学商学院，考文垂，西米德兰，CV4 7AL，联合王国。引言20世纪90年代初[1–3]引入了去趋势函数分析（DFA），作为分析基础数据分形特性的方法。该方法后来主要在长期相关性[4,5]和多重分形分析[6]中推广。最近，DFA已被推广用于长程互相关分析[7–10]，以及非平稳序列之间相关性的检验[11,12]。

该方法已在生理学、心脏病学、DNA分析和神经学、气象学（水文）、经济学和金融学、工程学和环境学等多个学科中得到应用和利用[13–21]。在这里，我们提出了一个基于去趋势波动分析的框架，该框架允许在不同尺度上对可能的非平稳和长范围相关数据进行回归分析。该方法基于最小二乘法框架，很快就会被召回并翻译成方差和协方差的语言。去趋势函数分析及其对双向互相关分析（DCCA）的二元推广[7]被详细描述为连接数据基础回归的桥梁。DFA框架用于双变量设置，包括估计参数、估计标准误差和确定系数（R）的程序，这些都是特定量表的特征。蒙特卡罗模拟进一步支持了理论概念。然后，该框架被应用于不同学科的几个现象——温度和湿度之间的关系、股市beta、玉米和乙醇之间的弹性，以及流感爆发和谷歌流感趋势指标之间的传播。在四个病例中，有三个病例的估计值在不同尺度上存在很大的差异。因此，所提出的方法为DFA和相关方法的开发提供了进一步的步骤，尤其是从相关性到回归框架。二、方法学。

最小二乘回归框架当研究两个系列之间的依赖关系时，人们通常会考虑一个线性模型，其最简单的形式是Y=α+Xβ+uw，其中Y是一个依赖（响应）变量，X是一个独立（脉冲）变量，u是一个误差项，参数α和β代表X和Y之间的关系。因此，参数β的估计成为跨学科实证研究的一个关键点。与常用的相关系数（例如Pearson、Spearman和Kendall相关系数）相反，β没有标准化，因此它显示了变量X对变量Y的实际影响。标准回归分析使用（普通）最小二乘法估计相关参数βasbβLS=PTt=1（xt- \'x）（yt- y）PTt=1（xt- \'\'x）~dσXYcσX，（1）式中，\'X=TPTt=1xt和\'y=TPTt=1yt。使用残差求出估计量的方差，但=yt- xtbβLSasvarbβLS=PTt=1按钮-2PTt=1（xt- \'\'x）~T- 2cσucσX（2），说明了估计参数的准确性。方差可以进一步用于假设检验。为了描述模型的质量，确定系数Rde为1-PTt=1但PTt=1（yt- （y）~ 1.-cσucσY（3），范围在0到1之间。Rquantifie是由X解释的Y方差的一部分，因此Rsigni值越高，X在解释Y时的信息含量就越高。在Eqs的右侧。1-3，我们使用bσ符号将标准符号转换为估计的方差和协方差。显然，整个框架是基于X、Y和u的估计方差以及X和Y之间的协方差。我们使用去趋势波动分析方法使用sameidea，我们现在很快就会回忆起来。B.去趋势函数和互相关分析对于时间序列xt，我们构建了一个公式xt=Pti=1（xi）- 被分成长度（刻度）为s的非重叠方框。

在j和j+s之间的每个框中- 1，时间趋势dxk的线性（或实际上任何其他）fit，为j构造≤ K≤ j+s- 1.然后为每个长度为s的盒子定义波动函数fX（s，j）=Pj+s-1k=j（Xk）-dXk，j）s- 1.在所有长度为s的盒子上进一步平均波动fX（s，j），以获得fX（s）=PT-s+1j=1fX（s，j）T- s、 （4）对于二元级数Xt和yt，这个过程是并行的，我们得到fxy（s，j）=Pj+s-1k=j（Xk）-dXk，j）（Yk-戴克，j）s- 1再次在所有盒子上取平均值，用s标度得到fxy（s）=PT-s+1j=1fXY（s，j）T- s、 （5）尺度特征函数FX（s）和FXY（s）可分别视为与尺度相关的方差和协方差。因此，我们在DFA和DCCA程序中间停下来，因为我们的最终目标不是获得标度指数，而是仅获得去趋势方差和协方差。C.基于DFA的回归我们现在利用这种对应关系重新制定标准回归框架。对于给定的量表s asbβDF a（s）=FXY（s）FX（s）（6），可以使用等式中定义的函数来编写等式1中的估计器。4-5. 使用估算的DbβDF A（s），我们获得了标度残差asbut（s）=yt- xtbβDFA（s）- yt- 平均值为零的xtbβDF A（s）。这些都被进一步插入DFA程序中，因此可以通过公式2 asvar使用函数Fu来估计BβDFA（s）的方差bβdfa（s）=T- 2Fu（s）FX（s）。（7） 然后将等式3转换为DFA框架asR（s）=1-傅(s)财政年度(s)。（8） Eqs中的整个标准回归框架。因此，1-3被转换为一个规模依赖的框架，使用theDFA方法。

此外，DFA提供了一些理想的统计特性，如对非平稳性的抵抗力和趋势，这进一步增强了所提出的方法[5–7,12]。为了检验估计量的性能，我们在两个非平稳回归框架下研究了它的性质，其中yt=α+xtβ+ut。首先，我们展示了DFA估计器在XT和yt系列中不同程度的长程依赖下的性能。前一个系列模拟为ARFIMA过程，因此xt=P+∞i=1ai（d）xt-其中d是分数积分参数，ai（d）=Γ（i-d） Γ(-d） Γ（1+i）。误差项UTI被视为标准高斯噪声，因此序列Yth与序列xt的参数d相同。图1显示了长度1000系列的DFA估计器的平均值和均方根误差，参数d在0和1之间，astep为0.1。估计器在10到100之间的尺度上以10的步长取平均值，回归参数设置为α=β=1。每个设置运行1000次模拟。无论长程依赖程度如何，估计量都是无偏的。此外，均方根误差随着所需内存的增加而减小。其次，我们研究了长程相关误差项的估计。为此，我们为xtto dx=0.9系列设定memoryparameter，误差项作为ARFIMA过程生成，持续时间在0到1之间，步长为0.1。设置的其余部分保持不变。在图2中，我们再次报告了前一种情况下估计器的均值和均方根误差。DFA估计器在误差项中对于不同的记忆水平同样显著且无偏。

尽管估计量的方差随着du的增加而增加，这是由于误差项在整个YT动态中的权重增加而预期的，因为误差项的方差随着du的增加而增加，但总体性能仍然很好。三、 应用和讨论我们利用该方法分析来自不同学科的四个数据集，通常使用去趋势函数分析和相关方法。首先，我们研究了2000年至2012年间英国伦敦每日气温和相对湿度之间的关系（4651次观测）。温度的升高预计会增加空气的持水能力，从而降低其相对湿度。图3显示了10至1150（约为时间序列长度的四分之一）天范围内温度对相对湿度的估计影响。预期的结果是负面的。然而，在不同的尺度上，一个强大的变化被发现。低阶的影响很弱，但高阶的影响更大。大约四分之一年后，影响达到了一致的数值，尽管可以看到一些进一步的变化，但影响仍然相当接近。研究发现，这种影响是累积的，而不是瞬间的，温度变化需要几个月才能完全转化为相对湿度。日平均气温上升1摄氏度，相对湿度最终下降1个百分点。较窄的置信区间表明估计值的可靠性较高。其次，我们分析了股票收益率和相关股票指数之间的关系，这构成了金融资本资产定价模型（CAPM）的基石。我们关注两家相互竞争的公司及其股票——苹果公司（在美国纳斯达克上市）和三星电子有限公司（在韩国KOSPI上市）。

CAPM关系起源于一个简单的模型ri，t=α+βrM，t+Ut，其中ri，tand rM，股票的皮重收益率和相关股票指数。这两个参数——α和β——在经典金融经济学中都具有重要意义。前者通常被视为衡量股票定价过低或过高的指标，而后者则是衡量整体市场条件下的系统性风险。根据2000年1月至2014年8月的每周数据（764次观察），我们研究了苹果和三星股票相对于各自市场的系统风险（市场beta）。图4显示，这两支股票都与其市场指数密切相关，β非常接近。苹果股票似乎比三星股票更具侵略性，因为前者的β更频繁地保持在1以上。与之前的案例相比，系统风险参数在不同尺度上的变化要小得多，且置信区间要宽得多，这主要是由于金融回报的高波动性。第三，我们关注乙醇和玉米价格之间的弹性。玉米是美国乙醇的主要生产要素，因此，其价格变化反映在乙醇价格中。我们研究了一个标准的弹性模型log（PE，t）=α+βlog（PC，t）+ut，其中PE，tand PC，皮重乙醇和玉米价格分别为。对数规范允许将β系数解释为弹性，即玉米中1%的变化伴随着乙醇中β%的变化。图5显示了2007年1月至2014年3月期间每日序列的结果（1821次观测）。弹性在不同的尺度上变化很大。对于低规模，即在短期内，弹性保持在低水平，直到为正，并随着规模的增加而增加。据报道，乙醇对玉米变化的最高敏感性在大约半年到一年半之间。

因此，从长远来看，乙醇对玉米的反应非常强烈，因为玉米的1%变化反映在乙醇价格的0.5%到0.8%变化之间。狭义置信区间再次支持报告的结果。第四，我们研究了谷歌流感趋势（GFT）指标与真实流感暴发之间的关系。对来自不同领域的科学家来说，预测即将到来的流感传播激增的能力是一项重要挑战。GFT指标已证明其在预测流感暴发方面的价值，尽管它最近受到了一些批评[22]。该指标背后的基本思想是，出现FLU症状的人在搜索有关其疾病的信息时会留下一条跟踪线。谷歌使用与influenza相关的各种关键字及其在搜索引擎中的使用频率构建GFT索引。图6显示了从GFT到实际干扰事件的估计传输。我们使用Preis&Moat[22]最近一项研究中提供的每周数据集——疾病控制和预防中心（CDC）提供的流感样疾病（ILI）患者每周就诊的未加权百分比，以及谷歌在2010年1月至2013年9月期间提供的每周GFT（194次观察）。传播强度随着等级的增加而增加，从最低等级（5周）的0.76增加到最高等级（50周）的0.92。我们观察到，在这种情况下，不管数据集大小相对有限，信任栏仍然很窄。这意味着GFT指标包含关于影响发生动态的有用信息。

然而，基于在线数据的指数无法解释近一年来更高级别的流感传播的整体动态。总之，我们引入了一个新的框架，通过标准回归最小二乘法和去趋势回归分析来检验两个变量之间的关系。这种联系不仅可以研究不同尺度下变量之间的联系，还可以提供相关的标准误差和测定系数。此外，该方法甚至适用于非平稳和长期相关数据。弯曲弯曲分析回归在各种以经验为导向的学科中开辟了一个新的研究领域，它还提供了一个不一定局限于DFA本身的完整框架。研究长程相关性的其他方法，如去趋势移动平均线、高度相关性分析等，也可以很容易地在该框架中实现。导致这些结果的研究获得了捷克科学基金会项目14-11402和英国研究委员会（research Councils UK）通过EP/K039830/1拨款的资助。[1] 彭志强、S.V.布尔迪列夫、A.L.戈德伯格、S.哈夫林、M.西蒙斯和H.E.斯坦利。有限大小对长程相关性的影响：分析DNA序列的意义。物理评论E，47:3730–37331993。[2] 彭志强、S.V.布尔迪列夫、S.哈夫林、M.西蒙斯、H.E.斯坦利和A.L.戈德伯格。DNA核苷酸的镶嵌组织。物理评论E，49:1685–16891994。[3] 彭志强、S.哈夫林、H.E.斯坦利和A.L.戈德伯格。非平稳心跳时间序列中标度指数和交叉现象的量化。《混沌》，1995年5:82-87。[4] S.V.Buldyrev、A.L.Goldberger、S.Havlin、R.N.Mantegna、M.E.Matsa、C.K.Peng、M.Simons和H.E.Stanley。编码和非编码DNA序列的长程相关特性：GenBank分析。