具有间断杀伤率的Léevy过程的Feynman-Kac公式

借助于附录A中的引理A.1和L’evy过程符号的连续性（作为从RDC到C的映射），A的连续性条件（A2）的有效性等价于以下渐近条件：对于每N>0，存在一个常数G>0，使得对于每η′∈ Rη，RA（ξ）- iη′）≥ G |ξ|α- 每ξ的A（iη′）∈ 因此，|ξ|>N.（22）我们在本节的剩余部分致力于为条件（A1）-（A4）的有效性提供充分的条件，这些条件适用于时间非均匀跳跃差异、纯跳跃L’evy过程和时间非均匀过程。4.1. 跳跃差异。对于时间不均匀的L’evy跳跃扩散过程，我们发现条件（A1）-（A4）在非常弱的条件下是满足的：命题4.3。修正一些η∈ Rd.设L是一个具有特征（bt，σt，Ft；h）0的时间非齐次L′evy过程≤T≤Tsuch茅草屋∈[0，T]Z | x |>1e-hη′，xiFt（dx）<∞ 每η′∈ Rη和（23）supt∈[0，T]|bt |+kσ-1tk+kσtk+ZRd|x|∧ 1.英尺（dx）< ∞. （24）然后（A1）-（A3）满足重量η和指数α=2.12 K的要求。由于EM（η）的均价和指数矩条件，（23）意味着（A1）。注意到RAt（ξ）- iη′）=hbt，η′i+hη′，σtη′i+ZRd（hh（x），η′i- 1） e-hη′，xi-1.Ft（dx）+hξ，σtξi+ZRd余弦hξ，xi- 1.Ft（dx）和RRDcos（hξ，xi）- 1.英尺（dx）≥ 0，不等式（23）和（24）产生了α=2的Garding条件（A3）。同样，不平等（23）、（24）和IAt（ξ）- iη′）=血红蛋白-η′t，ξi+ZRd罪hξ，xi- hξ，h（x）iE-hη′，xiFt（dx），其中b-η′t=b+σ·η′+RRd呃η′，易-1.附录B中引理A.1定义的h（y）F（dy），屈服连续性条件（A2），它包含了证明。 对于L’evy跳跃扩散过程，条件大大简化：例4.4（带布朗部分的多元L’evy过程）。

固定η∈ R设L是一个具有特征（b，σ，F；h）的Rd值L’evy过程，使得σ是一个正定义矩阵，L’evy测度F满足| x |>1e-ηxFt（dx）<∞.然后（A1）-（A3）保持重量η∈ Rd和指数α=2。为了验证命题4.3中涉及过程纯跳跃部分的假设，必须单独考虑纯跳跃过程，如下引理所示。引理4.5。对于j=1，2，让Ljbe表示两个随机独立的时间非齐次L’evy过程，符号为aj，使得（A1）-（A4）满足相同的权重η∈ Rd和可能不同的指数αj。然后，符号a:=a+a和（A1）–（A4）的和L:=L+L是一个时间非均匀L’evy过程，满足权重η和指数α：=max（α，α）。引理4.5推广了remark 4.1。对于η6=0的情况，我们省略了它的初等证明。4.2. 纯跳跃L′evy过程与分数阶算子。我们现在考虑一类多变量过程，这类过程经常发生在金融中，其符号是明确给出的。例4.6（多元正态逆高斯（NIG）过程）。设Lbe为Rd值NIG过程，即L′evy过程，使得L=（L，…，Ld）~NIGd（△α，β，δ，u，) 对于参数δα≥ 0, β, u ∈ 对称正定矩阵 ∈ Rd×dw，其中∧α>hβ，βi.L的符号由a（u）=ihu，ui表示- δp~α- hβ，βi-p~α- hβ+iu，（β+iu）i,其中，我们用h·，·i表示乘积hz，z′i=Pdj=1zjz′jz代表z∈ 光盘比较（24）中的等式（2.3）。对于指数α=1和每个η，满足假设（A1）-（A3）∈ Rd，使得∧α>hβ+η′，所有η′的（β+η′）i∈ Rη。尤其是在ifkβk+kηk的情况下≤ α/kK

（25）总而言之，如果L的参数满足（25），则重量η和Sobolev指数1满足条件（A1）-（A4）。由于纯跳跃L’EVY过程可以通过L’EVY测度和常数漂移来定义，我们感兴趣的是找到L’EVY测度和漂移的条件，这意味着条件（A1）-（A4）。让我们讨论一下实值时间齐次纯跳跃L’evy过程的这个问题，其L’evy测度是绝对连续的。对于这个类，我们将（21）中的Pro位置4.2推广到时间不均匀性和权重η6=0。因此，我们得到了关于特征的显式条件，这些特征暗示了条件（A1）-（A4）。条件4.7。固定η∈ R和α∈ （0,2]，设L是一个具有特征（bt，σt，Ft；h）t的实值非齐次L′evy过程≥.（F1）RTR | x |>1e-ηxFt（dx）dt<∞,（F2）FTI对于每个t是绝对连续的∈ [0，T]的密度为ft，即ft（dx）=ft（x）dx。用fsymt（x）表示对称部分：=英尺（x）+f(-十）/2和fasymt（x）的反对称部分：=ft（x）- fsymt（x）。（F3）存在常数C，C，>0和0≤ β<α<2和a函数[0，T]×[-, ] → R使得所有t∈ [0，T]，fsymt（x）≤C | x | 1+α+g（t，x）和g（t，x）≤C | x | 1+β表示所有|x |<。（F4）Ifα=1，存在常数C，>0和β∈ （0，1）为所有t∈ [0，T]，fasymt（x）≤C | x | 1+β表示所有|x |<。（26）如果α<1，那么不等式（26）对某些β成立∈ [0，α]并且，对于每t，bt=Rh（x）Ft（dx）∈ [0，T]。提案4.8。设L为特征为（bt，0，Ft）t的实时非齐次纯跳跃L′evy过程≥. 那么，（i）条件（F1）等同于（A1）；（ii）条件（F1）-（F3）暗示（A1）和（A3）；（iii）条件（F1）-（F4）暗示（A1）-（A3）。证据

（i） 由于d=1，我们有Rη=sgn（η）[0，η]，第（i）部分直接遵循（43）中的定理25.17。（ii）我们表示ft，η（x）：=eηxft（x），fsymt，η（x）：=ft，η（x）+ft，η(-十）/2和Fasymt，η：=fsymt，η- fsymt，η。那么基本恒等式ab+cd=（a+c）（b+d）/2+（a- c） （b）- d） /2屈服强度，η（x）=cosh（ηx）fsymt，η（x）+sinh（ηx）fasymt，η（x）。我们注意到存在一个常数c>0，这样cosh（ηx）≥ E-η和sinh（ηx）≤ c | x |代表每一个|x |<。此外，由于f≥ 0，三角形不等式意味着| fasymt，η（x）|≤ fsymt，η（x）表示每（t，x）∈ [0，T]×R。这表明当我们用fsymt，η替换fsymtb时，条件n（F3）仍然有效。现在，第（二）部分来自（21）中命题4.2的前面的不等式（4.16）。（iii）按照与第（ii）部分证明相同的思路，我们观察到fasymt，η（x）=sinh（ηx）fsymt，η（x）+cosh（ηx）fasymt，η（x）。因此，在替换FasymtByFasmtη时，条件（F4）的有效性仍然有效。然后，（21）中的命题4.2给出了α=1.14K的断言。对于α<1，我们有bt=Rh（x）Ft（dx）。根据引理A.1，并使用其中的旋转，b-η′t=Rh（x）F-η′t（dx）。因此，尽管如此∈ [0，T]和η′∈ Rη，ImA（ξ）- iη′）=ZRsin（ξx）e-η′xFt（dx）。估计A（ξ）的实部- iη′）沿着与（21）中命题4.2的证明相同的线，我们得到了连续性条件（A2）。 现在，我们将命题4.8应用于一个具体的过程类别，该过程经常被用于建模资产价格：例4.9（单变量广义回火稳定L’evy过程）。设参数为C的广义回火稳定L’evy过程-, C+≥ 例如-+C+>0和G，M>0和Y-, Y+<2。也就是说，L是一个具有特征三元组（b，0，Ftemp；h）的纯跳跃L’evy过程，其中Ftemp（x）=Ftemp（x）dx，其中Ftemp（x）=（C-|x | 1+Y-对于x<0C+|x | 1+Y+e-MXX≥ 0.对于C±=0，我们将Y±：=0。

对于C=C-= C+和Y=Y-= 这门课以卡尔、格曼、马丹和约尔的名字命名为CGMY。回火稳定过程在文献中也称为Koponen和KoBoL，参见例（9）。如需了解一般情况，请参阅（40）。根据命题4.8，重量η满足条件（A1）-（A3）∈ (-G、 M）和Sobolev指数α：=max{Y+，Y-} 在下列每种情况下：（i）α=max{Y+，Y-} > 1，（ii）Y:=Y-= Y+=1和C-= C+，（iii）0<a=max{Y+，Y-} < 1和b=相对湿度（x）F（dx）。对于η=0的情况，在（21）中考虑了进一步的例子。这里有一些例子。5–4.7给出关于参数的条件，这些参数暗示条件（A2）和（A3）是广义student-t、Cauchy、广义双曲和稳定过程。此外，（21）中的第4.3节为（A2）和（A3）的L’evy度量提供了有效的尾部条件。4.3. 时间不均匀过程。在金融中使用L’evy过程时，我们通常需要考虑更大的时间不均匀L’evy过程，因为它们在时间上的灵活性会导致数据的时间演化更好。因此，我们提出了两个构造原则，这些原则导致时间非均匀过程的参数族满足（A1）-（A4）。首先，我们发现，通过在给定的L’evy过程参数类中插入与时间相关的参数来定义一系列时间不均匀的L’evy过程是很自然的。对于这门课，沃德可以直接给出以下结果。引理4.10。让P RDand（A（p，·））p∈Pa参数化符号系列。固定η∈ 还有一些α∈ (0, 2). 让（A2）和（A3）满足A，统一满足所有p∈ P

那么，如果t7→ p（t）可测量，然后（A2）和（A3）满足（ξ）：=A（p（t），ξ）的t∈ [0，T]和ξ∈ U-η.此外，如果（p，ξ）7→ A（p，ξ）是连续的，t7→ p（t）是c\'adl\'ag，然后（At）t≥0是时间不均匀L‘evy过程L’的符号，也是满意度（A4）。如果另外（A1）满足L，那么它也满足L′。例如，对于p（t），我们可以选择一个piec-ewise常数参数的向量，以便结合不同的短期、中期和长期行为。L’EVY过程的FEYNMAN-KAC公式15作为另一种自然构造，让我们考虑确定性函数关于L’EVY过程的随机积分。设L是一个Rd值的L′evy过程，f是一个确定的L-可积的Rn×d-值函数。然后下一步：=f·Lt:=tZf（s）dLs:=dXk=1tZfjk（s）dLks！J≤dde定义了具有确定性特征的Rn值半鞅。用（b，c，F；h）表示L的性质。应用半鞅理论中的s标准参数，我们看到（bXt，cXt，FXt；~h）的性质≥X的0表示为ybxt=f（t）b+ZRd~h（f（t）x）- f（t）h（x）F（dx），cXt=F（t）cf（t）tr，（27）FXt（B）=ZRdBf（t）xF（dx）每B∈ BRd\\{0}.特别是，从我们的定义来看，X是一个时间不均匀的L’evy过程，前提是可积条件（6）对其特征进行了描述。此外，如果A是L的符号，则符号AXof X由axt（ξ）=A给出f（t）trξ+ ihξ，b（~h，h，f）i对于每个ξ∈ Rd，（28）式中b（~h，h，f）：=RRd~h（f（t）x）- f（t）h（x）F（dx）。这概括了示例7.6in（16），其中f:[0，∞) → R+。引理4.11。设L是一个L′evy过程，它也是一个特殊的半鞅，并设a表示它的符号。设f:[0，∞) → Rn×dbe一个可测函数，它存在常数0<f*, F*带着≤T≤Tk[f（t）f（t）tr]-1k1/2≤ F-1.*和sup0≤T≤Tkf（t）f（t）trk1/2≤ F*, （29）其中k·k表示谱范数。

那么X:=f·L是一个时间非齐次的L′evy过程，也是一个特殊的半鞅，其符号由axt（ξ）=a给出f（t）trξ尽管如此，ξ∈ 注册护士。修正一些ρ>0，ηX∈ Rd随|ηX |≤ρf*s omeα>0。如果EρLt<∞ 对于某些t>0，则X满足（EM（R-ηX）。如果每种重量η另外满足（A2）和（A3）∈ Rd随|η|≤ ρ和指数α>0，则（A2）和（A3）对AX保持相同的指数α和权重ηX。此外，如果（A4）对Ait保持不变，AX也满足。证据根据这些假设，f是可积的，因此，X是一个具有形式（27）特征的半鞅。由于积分能力条件（6）也直接遵循，我们看到X是一个时间不均匀的L’evy过程。由于L是一个特殊的半鞅，我们有r | x |>1 |x | F（dx）<∞, 其中f表示L的L’evy度量，且（29）表示TZZ | x |>1 | x | Ft（dx）≤ TF*Z | x |>一层*|x|F（dx）<∞. （30）这表明X也是一个特殊的半鞅。因此，我们可以选择h和h作为恒等式，使b（~h，h，f）=0。从（28）我们现在得到等式axt（ξ）=Af（t）trξ. 关于e指数矩条件n（A1）16 K.GLAUwe的断言与（30）类似。（A2）-（A4）上的断言直接来自勒维符号和引理A.1的连续性。 5.一个应用程序我们确信这是一个广泛而有趣的随机过程类，定理3.4将条件期望与PIDEs的弱解联系起来，现在让我们来探索应用程序结果的原因。从金融中的定价问题开始，当不连续杀伤率自然出现时，我们进一步发现指示器类型杀伤率也有助于我们描述有趣的概率对象。在所有这些应用中，驱动过程L可以自由选择，我们可以采用跳差或纯跳过程。

后者被广泛用于金融领域。例如NIG和广义回火稳定过程，我们已经证明了定理3.4的假设。最后，我们遇到了费曼和卡·c在相对论伪装下的原始想法。在相对论性薛定谔方程的背景下，我们将看到大量的黑化过程起着基础性的作用。5.1. 员工选择。我们提出了一类员工期权，根据公司股票价格的表现向董事会提出建议。在这种情况下使用的金融工具称为员工股票期权，通常基于欧洲看涨期权。因此，奖励取决于特定时间点的股票水平。不过，股东通常对股票在整个期间的表现感兴趣。他们的意思是支持将股价不断推高的管理决策。此外，可以说，根据股票价值相对于市场演变的表现来选择奖励更公平。为了使这一点在形式上更精确，用S表示d维随机过程，模式为公司股票和d- 1参考a ssets。让G:Rd→ Rbe a支付文件和κ：[0，T]×Rd→ R是一个报酬率函数。因为κ<0，所以变成了惩罚。此外，我们还通过工资函数f:[0，T]×Rd包含连续支付的工资→ R.在到期日T时，员工除了在T的每一瞬间支付的工资（T，ST）eRTκh（Sh）DHT（32）外，还可以获得支付（ST）eRTκh（Sh）dh（31）∈ [0，T]。因此，支付文件G可能会降低股票和参考资产的水平。报酬率和薪水可能还与时间有关。请注意，我们的分析允许我们在回报率中加入不连续性。

因此，允许使用阈值和指示r型奖励函数，这是一种自然选择。例如，指标型杀戮率对特定领域的股价水平起着即时奖励或惩罚的作用。我们进一步使用以下符号。对于x=（x，…，xd）∈ 设ex:=（ex，…，exd），例如（x）：=G（ex），~k（·x）：=-κ（·，ex）和f（·，x）：=f（T- ·, 前）。我们设定利率（rt）t≥0具有确定性、可测量性和可预测性。Wemodel S=（SeL，…，SdeLd）由具有局部特征（b，c，F；h）的时间非齐次L’evy过程L建立，使得无套利条件bit=rt-ciit公司-Z（exi- 1.- hi（x）Ft（dx）对于每个i=1，d、 （33）是一个例子，其中Hi是L’EVY过程的扩张函数h.FEYNMAN-KAC公式17的第i个分量。以下断言表明，（31）和（32）规定的员工期权的公平价格可以通过求解相关的Kolmogorov PIDE来计算。结果是定理3.4的直接结果。推论5.1。让η∈ Rd和α∈ 例如：例如∈ Lη（Rd），并假设时间不均匀的L′evy过程满足条件（33）和条件（A1）-（A4）。表示x=log（S），公平价格u（T，x）：=ExeG（LT）eRT（)κh（Lh）-rh）dh+TZf（T）- s、 Ls）内质网（κh（Lh）-右侧）dhds唯一的weaksolution u∈ W0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd）˙u+AT-tu+~kκT-屠=-~f，u（0）=例如。（34）方程式（34）的数值实现见第6节。5.2。利维驱动的短期利率模型。Levy驱动的期限结构模型首先在（18）中介绍。在这里，我们考虑了一个短利率的形式：Rt:=r（t，Lt）（35），其中Rd值的时间非齐次Le vy过程La和一个可测且有界的利率函数r:[0，t]×Rd→ R

我们考虑了函数r中的不连续性，从而考虑了因子模型（35）中的阈值。到期时，零息票债券持有人可获得一单位货币。根据无套利原则，到期日为0的零息票债券的时间t值≤ T≤ T由p（T，T）：=E建模E-RTtrhdh英尺. （36）将这个条件期望形式化为形式（1）的演化问题，我们得到了g（x）≡ 1作为初始条件。我们现在必须意识到没有重量η∈ rdx7→ ehη，xi∈ 左（右）。因此，我们将初始条件分解为每个位于加权L-空间中的和。例如，在一维情况下，我们有g=1(-∞,0]+ 1(0,∞), 其中1(-∞,0]∈Lη-（R） 每η-> 0和1（0，∞)∈ Lη+（R）每η+<0。备注5.2。我们将初始条件g分解为2个条件，这些条件在2个条件中得到了支持。准确地说，对于j=1，2d，设pj:=（pj，…，pjd）与pji∈ {-1,1}对于2种不同的可能配置和letOj：=（x，…，xd）∈ 研发部pjixi≥ 0表示所有i=1，D. （37）通过分别对PIDE的线性期望，可以将问题附加地拆分为两个独立的问题。如果对于每个s ummands gja重量ηj∈ Rde的存在使得gj∈ Lηj（Rd），则定理3.4的结果可以分别应用于每个具有初始条件的问题。如备注5.2所示，我们以以下方式分割统一体：1≡ g（x）=Pdj=1Oj（x）a.e.具有由（37）给出的Rd的不同正态分布。对于每个j，我们选择ηj:=-d-1/2pj（38）使1Ojehηj，·i∈ 左（右）。如果Lth的分布是Lebesgue密度，我们可以改写方程（36）asu（T- t、 x）=dXj=1uj（t- t、 x）与uj（t）- t、 x）：=ExOj（LT）e-RTtrhdh.（39）18 K.青光眼5.3。