具有间断杀伤率的Léevy过程的Feynman-Kac公式

在第4节中，我们发现这是一类广泛而有趣的随机过程，属于这个结果的范围。第5节分析了它的应用，使我们从典型的金融问题进一步深入到纯概率对象的表征，并最终回到费曼和Kac最初的量子力学思想，但这是一种相对论的伪装。进一步利用定理EM3.4的优点，我们回到它的实际实现，并实现了第6节中求解Kolmogorovequation（1）的Galerkin格式。我们发现，由于定理3.4，得到的解对应于期权价格。通过手头的数字实现，我们可视化并讨论指示器类型的杀伤率的影响。第7节给出了弱解的鲁棒性结果，这是第8节定理3.4所要求的。在这一部分中，我们还确定了Kolmogorov方程解的理想正则性。附录A提供了符号和运算符的两个技术指令，附录B总结了定理3.3.2。为了展示本文的主要结果，我们首先介绍了潜在的随机过程、具有杀伤率的Kolmogorov方程、其弱公式以及我们选择的解空间。我们用C表示∞（Rd）Rd中具有紧支集的光滑r真值函数集和letF（ν）：=ZRdeihξ，xiД（x）dx（3）是fД的傅里叶变换∈ C∞（Rd）和F-1相反。让我们在一个简单的基础上(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）给定并设L为具有特征（bt，σT，Ft；h）T的Rd值时间非均匀L’evy过程≥0

这是一个独立的增量，用于固定的t≥ 0其特征函数为eihξ，Lti=e-RtAs(-iξ）d每ξ∈ Rd，（4）其中，每t≥ 0和ξ∈ Rd，过程的符号定义为asAt（ξ）：=hξ，σtξi+ihξ，bti-ZRdE-ihξ，yi-1+ihξ，h（y）iFt（dy）。（5） 6 K.Glauher，对于每一个s>0，σ是一个对称的、正的半有限d×d-矩阵，bs∈ Rd，而Fs是一个L’evy测度，即Rdfs（{0}）=0和Rrd（|x）上的一个正Borel测度|∧ 1） Fs（dx）<∞. 此外，h是截断函数，即h:Rd→ Rsuch thatR{x|>1}h（x）Ft（dx）<∞ h（x）=x在0附近。我们把地图给我7→ σs，s7→ B和s 7→R（| x）|∧1） Fs（dx）为Borel可测量值，每T>0，TZ|bs |+kσskM（d×d）+ZRd（|x）|∧ 1） Fs（dx）ds<∞, （6） 其中k·kM（d×d）是由d×d-矩阵构成的向量空间上的范数。过程L的Kolmogorov算子由atа（x）给出：-dXj，k=1σj，ktφxjxk（x）-dXj=1bjtφxj（x）-ZRd~n（x+y）- ~n（x）-dXj=1φxj（x）hj（y）英尺（dy）（7）每英寸∈ C∞（Rd），其中hj表示截断函数h的第j个分量。通过一些基本操作，我们得到φ=F-1（自动变速驱动桥油液（~n））适用于所有∈ C∞（Rd），（8）这表明Kolmogorov算子A是一个符号为A的伪微分算子。按照定义抛物型发展方程解空间的经典方法，我们引入了Gelfand三重态（V，H，V*), 它由一对可分离的Hilbert空间V和H以及对偶空间V组成*使得存在从V到H的连续嵌入。然后用L表示0，T；H弱可测函数的空间u:[0，T]→ H与rtku（t）kHdt<∞ 而且Tut分布意义下u对时间的导数。SobolevspaceW（0，T；V，H）：=nu∈ L0，T；五、屠∈ L0，T；五、*o、 （9）将用作方程（1）的解空间。

欲了解更多关于空间W的详细介绍0，T；五、 H, 这取决于博希纳积分，我们参考第24节。2英寸（47）。关于Gelfand三胞胎的更多信息，请参见第17.1节（47）。通常，与热方程类似类型的变分方程是关于Sobolev空间建立的，因此基于双手L。由于我们在分析中包括纯跳跃过程，所以算子（7）可能是分数阶的。因此，我们使用Sobolev-Slobodeckii空间，它形式化了分数阶导数的概念。关于一个典型的金融问题，我们将看涨期权的解表示为（1）型Kolmogorov方程的解。然后我们得到κ=0和f=0，而初始条件由g（x）=（Sex）给出-K） +。我们现在必须意识到初始条件/∈ 我们不能使用基于L的方法。指数阻尼函数x7→ g（x）eηx，但每η<-1.因此，为了纳入通常会导致财务问题增加的初始条件，我们考虑了指数权重。我们通过域分裂参数进一步增加了函数空间的类，见第17页的备注5.2。L’EVY过程的FEYNMAN-KAC公式7为了使这些考虑更加精确，我们定义了指数加权的Sobolev-Slobodeckii空间Hαη（Rd）和指数α≥ 0和重量η∈ Rdas是C的完成∞（Rd）关于由k~nkHαη给出的无rm k·kHαη：=ZRd1 + |ξ|2αF（ψ）（ξ）- iη）dξ。（10） 注意这是一个可分离的希尔伯特空间。当η=0时，空间Hαη（Rd）与Sobo le v-Slobodeckii空间Hα（Rd）重合，如（47）中所定义。Fo rα=0空间Hαη（Rd）与平方可积函数的加权空间lη（Rd）重合：=U∈ Lloc（道路）x7→ u（x）ehη，xi∈ 左（右）.

此外，我们将Hαη（Rd）的对偶空间表示为Hαη（Rd））*.设a:[0，T]×Hαη（Rd）×Hαη（Rd）→ 成为一家人∈双线性形式的[0，T]在T中可测，与相关线性算子在：Hαη（Rd）→Hαη（Rd））*给定byAt（u）（v）=at（u，v）表示所有u，v∈ Hαη（Rd）（11）和与谁有关的符号在：Rd→ C是这样的，at（φ）=（2π）dZRde-ihξ，xiAt（ξ）F（ψ）（ξ）dξ∈ C∞（Rd）。（12） 我们用Kolmogorov方程（1）的弱公式来封闭这一部分。定义2.1。设V=Hαη（Rd）和H=Lη（Rd），κ：[0，T]×Rd→ R可测且有界，f∈ L0，T；五、*和g∈ H.然后是u∈ W（0，T；V，H）是Kolmogorov方程（1）的弱解，如果对于几乎每个T∈ （0，T），htu（t），viH+aT-t（u（t），v）+hκt-tu（t），viH=hf（t）|viV*所有v∈ V（13）和u（t）对于t收敛到g↓ 以H.3的形式表示为0。主要结果通过必要的符号和概念，我们现在专注于我们的主要目的，提供了一个Feynma n-Kac公式，将具有致死率的P-IDEs弱解与条件期望联系起来。采用经典的方法证明了抛物型方程弱解的存在唯一性，并证明了其双线性形式的连续性和Garding不等式。我们相应地明确了抛物线性的概念，并使其适应我们的框架：定义3.1。设A是一个与双线性形式A有关的算子。如果存在常数C，G>0，G′，我们分别说A是关于t o Hα/2η（Rd），Lη（Rd）的抛物线≥ 0，使所有t∈ [0，T]和allu，v∈ Hα/2η（Rd），在（u，v）≤ （u，u）处的CkukHα/2η（Rd）kvkHα/2η（Rd）（连续性（Cont-a））≥ GkukHα/2η（Rd）- G′kukLη（Rd）。

R的（Garding不等式（Gard-a）） 我们说A的抛物线性，分别是Hα/2η（Rd），Lη（Rd）η∈ R） 在[0，T]×R中是均匀的，如果对于所有的u，v∈ ∪η∈ RHα/2η（Rd）映射t7→ at（u，v）是c`adl`ag，存在常数c，G>0，G′≥ 0使所有η都一致∈ R、 都是t∈ [0，T]和u，v∈ 满足Hα/2η（Rd）不等式（Cont-a）和（Gard-a）。8 K.方程（8）中强调的Gluas，时间非齐次L’evy过程的Kolmogorov算子是伪微分算子。它的符号被明确地表示为各种类别，通常以特列夫·钦钦代表的指数为特征。因此，我们用过程的符号来表达我们的主要假设。对于带有符号A的L’evy过程，在（21）定理3.1中已经证明，相应的双线性形式关于Hα/2（Rd），L（Rd）是抛物线形式，当且仅当常数C，G，G′>0和0≤ β<α的存在使得每ξ∈ 路，A（ξ）≤ C1 + |ξ|α(14)RA（ξ）≥ G1 + |ξ|α- G′1 + |ξ|β. （15） 我们推广了这种生长条件，使其适用于时间非齐次L'evy过程和加权Sobolev-Slobodeckii空间的设置。我们发现，将双线性形式扩展到加权Sobolev-Slobodeckii空间会导致符号在复平面上的移动。如果满足适当的指数运动条件，符号可以扩展到复域。设L为时间非齐次L’evy过程。首先要注意的是，LTI基本上可以与L’evy measureeFt（dx）：=RtFs（dx）ds区分，每个t∈ [0，T]，如has beenshown by（17），引理1。（43）中的定理25.17现在意味着∈ Rd，TZZ|x|>1ehη，xiFt（dx）dt<∞ （EM（η））等价于指数矩条件E呃η，LTi< ∞ 安第斯山脉ehiξ+η，Lti= E-RtAs(-ξ+iη）所有ξ∈ RDT≥ 0

（16） 因此，我们用过程的指数矩条件和扩展到复域的符号的增长条件来描述这些条件。事实证明，这个复杂域可以方便地选择为tensorizedcomplex s trip。更准确地说，对于重量η=（η，…，ηd），letUη：=Z∈ 光盘I（zj）∈ {0} ∪ 对于j=1，…，d，sgn（ηj）[0，|ηj |）, （17） Rη：=sgn（η）[0，|η|]×sgn（ηd）[0，|ηd |]。（18） 根据（43）中的定理25.17，我们还知道，可分解的复集是凸的。（16）中的引理2.1（c）显示了目前的情况，即映射z 7→ At（z）对复杂域有一个连续的扩展-η在内部是可分析的oU-η.我们将得出与以下条件有关的主要结果。条件3.2。重量η∈ Rd和指数α∈ （0,2]，设A=（At）t∈[0，T]是带扩展名的asymbol-η，如果可用，让L用符号A（A1）表示每个η′的时间不均匀usL′evy过程∈ Rη，E[E-hη′，Lti]<∞. （指数矩条件（EM））（A2）存在一个常数C>0，使得所有η′都是一致的∈ Rη和t∈ [0，T]，At（ξ）- iη′）≤ C1 + |ξ|α. L’EVY过程的FEYNMAN-KAC公式9（A3）存在t常数G>0，G′≥ 0和0≤ β<α，使所有η′均匀∈ Rη和t∈ [0，T]，RAt（ξ）- iη′）≥G1 + |ξ|α- G′1 + |ξ|β.（Garding条件（Ga rd-a））（A4）对于每个固定η′∈ Rη和ξ∈ RDT映射7→ At（ξ）- iη′）是c`adl`ag。我们说，如果A有一个扩展度，那么A在[0，T]×Rη中均匀地具有Sobolev指数α-η满足（A2）-（A4）。如果A是过程L的符号，我们也可以在[0，T]×Rη中一致地表示L哈索波列夫指数α。条件（A1）-（A4）满足一组大的过程，例如回火稳定和非正态逆高斯过程及其时间非均匀扩展。

在第4节中，我们将详细介绍条件的验证。注意，对于η=0，我们有Rη={0}。因此，（A1）是微不足道的满足，（A2）–（A3）相应地简化。这种情况对应于Sobolev-Slobodeckiispaces不加权的情况，并包含在以下结果中。此外，如果符号在时间上是恒定的，（A4）是微不足道的满足，（A1）-（A4）减少到（14）和（15）。（16）中引入了条件（A1）-（A3），以证明相关Kolmogorov方程（无killingrate）弱解的存在唯一性，以及Feynman-Kac型公式，并将其应用于时间非齐次L’evy模型中的欧洲期权价格。我们还需要（A4），这只是施加了一个温和的技术限制。我们的框架已经确定，现在让我们陈述我们的主要结果。我们首先在OREM 3.3中展示了加权SobolevSlobodeckii空间的抛物线性与增长条件（A2）和（A3）之间的等价性，从而将Sobolev-Slobodeckii空间和条件（14）和（15）的结果推广到当前的设置。根据符号上的条件来刻画（一致）抛物线性本身就很有趣。更详细地说，这是我们证明下面定理3.4的关键步骤之一，它建立了Feynman-Kac型表示。定理3.3。η∈ Rd和α∈ （0，2]，设L是满足指数矩条件（A1）的时间非齐次L′evyprocess。那么下面两个断言是等价的。（i） L的Kolmogorov算子在[0，T]×Rη上关于Hαη′（Rd），Lη′（Rd）η′∈Rη。（ii）L在[0，T]×Rη中均匀地具有Sobolev指数2α。定理3.3的证明在附录B中给出，此外，定理B.1为不一定与随机过程相关的算子和符号提供了该结果的更一般的版本。假设（A1）–（A4）。

然后定理3.3特别显示了相关双线性形式在时间上关于Hαη（Rd）和Lη（Rd）的一致抛物性。经典的存在唯一性结果，例如定理23。Ain（48）给出了Kolmogorov方程（1）在空间W中有唯一的弱解u0，T；Hαη（Rd），Lη（Rd）.现在我们来看看这个解的随机表示。对于可积或非负随机变量X，我们表示e0，X（X）：=Ex（X），Et，X（X）：=E（X | Lt=X），其中X 7→ E（X | Lt=X）是条件期望E（X | Lt）和关于概率测度px的期望的因式分解，使得px（L=X）=1.10 K.GLAUTheorem 3.4。η∈ Rd和α∈ （0,2]，设L是符号A=（At）t的Rd值时间非齐次L′evy过程∈[0，T]这满足了（A1）-（A4）。然后（i）对于κ：[0，T]×Rd→ R可测且有界，f∈ L0，T；（Hα/2η（Rd））*和g∈ Lη（Rd）Kolmogorov方程（1）有唯一的弱解u∈W0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd）;（ii）如果，此外，f∈ L0，T；Hlη（Rd）为了一些我≥ 0和l>（d）- α） /2，那么，每t∈ [0，T]和a.e.x∈ Rd，u（T）- t、 x=Et，xg（LT）e-RTtκh（Lh）dh+TZtf（T- s、 Ls）e-Rstκh（Lh）dhds.（20） 正如我们已经看到的，定理3.4的（i）部分来自定理e m 3.3和抛物方程解的经典存在唯一性结果。第（ii）部分涉及的内容要多得多，第8节专门介绍其证明。定理3.4在金融应用中的主要好处是，形式（20）的条件预期（自然以导数和资产价格出现）现在以PIDE的弱解为特征。因此，价格可以通过数值求解形式（1）的方程来计算。

为了说明该方法和杀戮率的影响，我们在第5节中介绍了一个应用程序，以供员工选择，并在第6节中提供了其伽辽金离散化。定理3.4进一步显示了条件期望（20）的一种特定类型的正则性。确定H–older连续性的充分条件很有趣。Nezza、Palaucci和Valdinoci（2011）中的定理8.2提供了适当的Sobolev嵌入结果。因此，作为orem 3.4的直接结果，我们得到以下推论。推论3.5。在单变量情况下，即对于d=1，对于α，在定理3.4的假设和符号下∈ （1,2]和任何固定的∈ （0，T），函数x 7→ u（t，x）是λ=α的λ-H–older连续-1，即supx，y∈R、 x6=y | u（t，x）- u（t，y）| | x- y |λ<∞.特别是x7→ u（t，x）是连续的，定理3.4中的等式（20）代表x∈ R.4。时间不均匀L′evy过程类的E x样本让我们探索条件（A1）-（A4）的性质，并表明它们适用于广泛的过程类。条件（A1）-（A4）自然适用于通过其符号指定的工艺。请注意，符号是根据过程的特征来表达的。我们在建议4.7中对此进行了探讨，以建立具有绝对连续L’evy测度的实时非齐次purejump L’evy过程的具体可访问条件，而建议4。3.治疗时间不均匀的多变量跳跃差异。然而，我们应该意识到，所有过程都不能满足条件（A1）-（A4）。一方面，连续性和Gar-ding条件（A2）和（A3）对过程的分布性质有影响：备注4.1。固定η∈ Rd和α∈ （0,2]，设L是一个时间非齐次的L′evyprocess，符号a=（At）t≥0

如果L’EVY过程11η和指数α的加权费曼-卡茨公式满足Garding条件（A3），则存在C，C>0，使得所有η′都是一致的∈ Rη和0≤ s≤ T≤ TE-RtsAu（ξ）-iη′）du≤ 总工程师-（t）-s） C |ξ|α。（21）尤其是，（A3）意味着每个t∈ 另一方面，连续性和Garding条件（A2）和（A3）与过程的路径行为有关：如果一个带有符号a的L’evy过程满足（A2）和（A3）的α∈ （0，2）和η=0，那么α是它的Blumenthal-Getoor指数，如s hownin（21），定理4.1。因此，每一个满足假设（A2）和（A3）的纯跳跃过程都具有有限的跳跃活动。在此基础上，我们可以得出复合泊松过程不满足（A3）的结论。方差伽马过程的Blumenthal-Getoor指数为0，因此不满足（A2）和（A3），如（21）中示例4.1的第（iv）部分所述。然而，纯跳L’evy过程可以近似为一系列具有非零布朗部分的L’evy跳差过程。这通常可以通过添加扩散部分并使其波动系数趋于零来实现。示例4.4表明，纯跳跃L'evy过程可以近似为L'evy过程，其中（A1）–（A3）满足权重η=0和指数α=2。（4） 为蒙特卡罗技术提供了一个具有更好近似性质的序列，可以进一步开发。在继续讨论（A1）-（A4）条件对其他类别过程的有效性之前，我们注意以下几点。备注4.2。η∈ Rd和α∈ （0，2），设A为满足指数矩条件（A1）的L’evy过程的符号。