具有间断杀伤率的Léevy过程的Feynman-Kac公式

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英文标题：
《Feynman-Kac formula for L\\\'evy processes with discontinuous killing rate》
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作者：
Kathrin Glau
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The challenge to fruitfully merge state-of-the-art techniques from mathematical finance and numerical analysis has inspired researchers to develop fast deterministic option pricing methods. As a result, highly efficient algorithms to compute option prices in L\\\'evy models by solving partial integro differential equations have been developed. In order to provide a solid mathematical foundation for these methods, we derive a Feynman-Kac representation of variational solutions to partial integro differential equations that characterize conditional expectations of functionals of killed time-inhomogeneous L\\\'evy processes. We allow for a wide range of underlying stochastic processes, comprising processes with Brownian part, and a broad class of pure jump processes such as generalized hyperbolic, multivariate normal inverse Gaussian, tempered stable, and $\\alpha$-semi stable L\\\'evy processes. By virtue of our mild regularity assumptions as to the killing rate and the initial condition of the partial differential equation, our results provide a rigorous basis for numerous applications, not only in financial mathematics but also in probability theory and relativistic quantum mechanics.
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中文摘要：
将数学金融和数值分析的最新技术有效地结合起来的挑战促使研究人员开发出快速确定的期权定价方法。因此，通过求解偏积分-微分方程，开发了在列维模型中计算期权价格的高效算法。为了为这些方法提供坚实的数学基础，我们推导了偏积分-微分方程变分解的Feynman-Kac表示，该方程描述了非齐次LSevy过程泛函的条件期望。我们考虑了广泛的潜在随机过程，包括布朗部分的过程，以及广泛的纯跳跃过程，如广义双曲、多元正态逆高斯、调和稳定和$\\alpha$-半稳定的LSevy过程。由于我们对杀伤率和偏微分方程初始条件的温和正则性假设，我们的结果为金融数学、概率论和相对论量子力学的许多应用提供了严格的基础。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Feynman-Kac_formula_for_Lévy_processes_with_discontinuous_killing_rate.pdf (548.24 KB)

2022-5-7 18:34:28 上传

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关键词：Feynman Man Differential Applications Mathematical

具有不连续杀灭率的L’EVY过程的费曼-卡克公式Kathrin Gluabstract。将数学金融和数值分析中的最新技术有效地结合起来的挑战促使研究人员开发出快速确定的期权定价方法。因此，通过求解部分积分微分方程，开发了计算L’evy模型中期权价格的高效算法。为了为这些方法提供坚实的数学基础，我们推导了部分积分微分方程变分解的Feynman-Kacre表示，该方程描述了非齐次L’evy过程泛函的条件期望。我们允许广泛的潜在随机过程，包含布朗部分的过程以及一大类纯跳跃过程，如广义双曲、多元正态逆高斯过程、回火稳定过程和α-半稳定L′evy过程。由于我们对残杀率和偏积分微分方程初始条件的温和规律性，我们的结果为金融数学、概率论和物理学的许多应用提供了坚实的基础。我们重新反驳了费曼和Kac最初的观点，但现在我们揭示了正态逆高斯过程在将相对论薛定谔方程与随机过程联系起来时的作用。在财务方面，我们建议提供灵活的员工选择。

我们实现了一个伽辽金方案来数值求解伴随的定价方程，并说明了利率的影响。时间非齐次L’evy过程，杀死率，费曼-卡克重表示，弱解，变量解，抛物演化方程，部分积分微分方程，伪微分方程，非局部算子，分数拉普拉斯算子，索博列夫-斯洛博德基空间，期权定价，累积时间的拉普拉斯变换，相对论薛定谔方程，员工期权，伽辽金方法[2000]35S10，60G51，60-0847G20，47G301。归纳起来，费曼-卡克公式在概率论和泛函分析中发挥着重要作用。自1949年诞生以来，Feynman-Kac型配方一直是众多学科中引人入胜的见解的来源。日期：2015年11月6日，科技大学-蒙城，数学学院中心。glau@tum.de.2K.GLAUoriginate通过将薛定谔方程和热方程与布朗运动联系起来描述粒子扩散，参见（34）。现代数学金融开始时，也出现了一种费曼-卡克公式：在1973年的最后一篇文章中，布莱克和斯科尔斯通过将价格表示为部分微分方程的解，推导出了他们的诺贝尔奖期权定价公式，从而重新发现了费曼和卡克之间的深层联系。Feynman-K ac公式的基本贡献是将随机过程与确定性偏微分方程的解联系起来。因此，它们也在概率论和数值分析之间建立了联系，这两门学科在很大程度上是分开发展的。尽管两人都取得了巨大的成功，但他们之间的转移仍然只是偶然的。

这很可能是Feynman-Kac的应用仍然如此频繁的原因。在计算金融领域，它们通过求解确定性演化方程来开发期权定价方法。事实证明，这些方法非常有效，尤其是与蒙特卡罗模拟相比。因此，与其他确定性方法一样，只要效率至关重要且定价问题的复杂性不太高，它们就会发挥作用。这是重复性任务的情况，例如校准和实时定价，在过去几十年中，通过求解偏微分方程计算期权价格引起了广泛的研究。近年来，将这些方法扩展到高级跳跃模型中的期权定价的挑战进一步激发了研究人员开发高效且广泛适用的算法，如（14）、Hilber、Reich、Schwab和Winter（2009）、Hilber、Reichman、Schwab和Winter（2013）、Salmi、Toivanen和Sydow（2014）和（28）。在本文中，我们推导了一个Feynman-Kac型公式，以便为使用偏积分微分方程（PIDEs）的时间非齐次L’evy模型中的快速期权定价提供坚实的数学基础。虽然大部分文献关注这些定价方法的数值方面，但对于相关的确定性方程和代表期权价格的相应条件预期之间的精确联系知之甚少。因此，我们的主要问题是：在什么条件下，有一个费曼-卡克公式将条件期望给出的期权价格与演化方程的解联系起来？为了进一步说明这个问题，我们重点研究了时间不均匀的L’e vymodel和选项，它们的路径依赖性可以用杀死率来表示。

在这个设置中，A=（At）[0，T]是时间非齐次l′evy过程的Kolmogorov算子，杀伤率（或势）κ：[0，T]×Rd→ R、 来源f:[0，T]×Rd→R和初始条件g:Rd→ R、 科尔莫戈罗夫方程的形式如下屠+AT-tu+κT-tu=f，u（0）=g。（1） 采用启发式方法，人们通常会假设方程（1）有一个经典解u。如果该解具有足够的正则性，以允许应用It^o公式，并且满足适当的可积条件，则以下Feynman-K ac型表示u（T- t、 Lt=Eg（LT）e-RTtκh（Lh）dh+TZtf（T-s、 Ls）e-Rstκh（Lh）dhds英尺（2） 根据标准参数和条件期望，详细推导见第30页的等式（76）和（77）。然后，通过用确定性数值格式求解Kolmogorov方程（1），可以得到条件期望（2）。这样的论证依赖于对解u的强正则性假设，因此隐含地依赖于方程g、f、a和费曼-卡克公式的数据，即L′EVY过程3κ。然而，我们必须认识到，这严重限制了这种启发式方法的适用性。为了公平对待金融应用的复杂性，我们特别注意为金融应用的等式（2）的有效性确定适当的条件。通常，不连续的杀戮率是一种自然选择，我们将在第5节的几个详细例子中展示。特别是在数学金融和概率论中，指标函数是各种应用的关键。作为一个典型应用，我们在第5.1节中提出并研究了一系列灵活的员工选择，并在第6节中说明了此类死亡率的数值影响。

指示器类型的杀手的基本作用是杀死特定领域之外的进程，这使其对应用程序具有吸引力。此外，正如我们在第5.3节和第5.4节中概述的，它们与随机过程的占用时间和退出时间密切相关。我们进一步发现，不连续杀伤率是随机过程的出射概率和上确界过程分布的共同根源。因此，它们适用于路径相关期权的价格，如障碍期权、回望期权和美式期权。考虑到这些既有理论性又有应用性的考虑因素，我们还希望在Kolmogorov方程（1）中考虑非光滑甚至不连续的杀伤率。killing rateκ的不连续性导致Kolmogorov方程（1）的解不光滑。特别是，你不能指望你∈ C1,2。假设（0）6=0和κ=1(-∞,0）d在（1）中，然后x 7→ u（t，x）∈ Cimplies x 7→ κ（x）u（t，x）∈C、 这显然是一个矛盾。因此，就我们的目的而言，假设It^o公式可以应用于解u是徒劳的。假设方程（1）有经典解也是不合理的。我们要强调的是，如果杀伤率是不连续的，那么这种规则性不仅存在于方程（1）中，而且也是其他路径相关期权价格的Kolmogorov方程的一个典型特征。最突出的例子是L’evy模型中与障碍期权相关的边值问题，以及美式期权价格的自由边值问题。在每种情况下，都需要使用广义解的概念。在部分微分方程经典解的可能推广中，我们发现粘度和弱解是最常见的讨论对象。

粘性解通过引入充分正则的比较函数直接从逐点解中抽象出来，而弱解的根是希尔伯特空间中的问题公式。从概念上讲，两者都有各自的优势。从数值角度来看，粘性解与有限差分格式有关，而弱解是伽辽金方法的理论基础，伽辽金方法是求解偏微分方程的一类丰富的通用数值方法。伽辽金方法以其优雅的希尔伯特空间公式为基础，通过其自身的构造，可以得到收敛的格式以及luciderror分析。此外，它们对问题类型和压缩技术的巨大灵活性也让它们与众不同。伽辽金方法的理论和实现在过去的五十年里都取得了巨大的进步。在当今航空、生物力学和自动工程等潜水员领域的技术发展中，它们已变得不可或缺。在数学金融领域，伽辽金定价算法已被开发用于各种应用，甚至适用于跳跃模型中的ba sket期权。此外，数值实验和误差估计证实了它们在理论和实践上的有效性。参见（26），例如Matache，von Petersdorff和Schwab（2004），Matache，Schwab和Wihler（2005），von Petersdorff和Schwab（2004）。在第6节中，我们介绍了一种相关的伽辽金方法的实现，该方法用于定价买入期权4 K.Glua，并用致死率进行了调整。

此外，基于伽辽金的模型简化技术在金融应用方面具有巨大潜力，见Cont、Lantosand Pironeau（2011）、（39）和（41）、Haasdonk、Salo mon a和Wohlmuth（2012）和（23）。在（13）和（14）中推导了适用于L’evy模型中期权定价的粘性方程的费曼-卡茨表示。（6）中已经证明了将布朗部分的跳跃过程与变分解联系起来的结果。然而，为了涵盖一些最相关的金融模型，我们必须考虑纯跳跃过程，即不含布朗成分的过程。Pure jump L’evy模型已被证明符合高准确度的市场数据，并受到了相当大的欢迎，例如（15）、（44）、（12）。此外，高频数据的统计分析支持纯跳跃模型的选择，见（1）。我们意识到，纯跳跃过程与具有aBrownian部分的过程有很大不同。布朗分量转化为Kolmogorov算子的第二阶微分，而纯跳跃部分对应于一个低阶微分的积分微分算子。根据ly的观点，二阶导数只存在于含有布朗成分的过程的Kolmogorov算子中。因此，purejump L’evy过程的Kolmogorov方程的解不在Sobolev空间H中，Sobolev空间是具有平方可积弱导数的二次可积函数的空间。因此，我们需要一个更一般的解空间。为了做出适当的选择，请记住，L’evy过程通过L’evy-Khinchine公式，通过其分布的傅里叶变换，或者等效地，通过符号，很好地描述了L’evy过程。

此外，该符号通常在显式参数函数方面可用，并且assuch是参数L’evy模型的关键数量。对于广泛的过程，符号的渐近行为确保Kolmogorovequation的解属于Sobolev-Slobodeckii空间，即它具有分馏洛德的导数。更重要的是，与L’evy过程有关的Kolmogorov方程的Sobolev-Slobodeckii空间的抛物性已在（21）符号上的生长条件中得到了刻画。为了考虑典型的初始条件，例如对数变量中的acall期权支付函数和与分布函数相关的重步长函数，我们更一般地基于指数加权Sobolev-Slobodeckii空间进行分析。因此，我们将抛物性的刻画推广到时间非齐次L′evy过程和指数加权Sobolev-Slobodeckii空间。在（16）中，我们建立了与时间非齐次L’evy过程有关的Kolmogorov方程的指数加权Sobolev-Slobodeckii空间中弱解的存在性和唯一性，并给出了Feynman-Kac公式。在这里，我们将这些结果推广到与时间非齐次L’evy过程有关的Kolmogorove方程的解。从技术上讲，目前的设置更为困难，因为解决方案的Fourier变换不明确可用，而且，解决方案对于应用It^o公式来说并不完全适用。伪微分算子（PDO）和马尔科夫过程之间通过其符号的丰富关系已被广泛用于建立随机过程的存在性，例如参见Jacob（2001）、（200 2）和（2005）的专著。

有关构造Feller过程的不同方法以及伪微分演算在这种情况下的使用的简要概述，请参见B¨ottcher、Schilling和Wang（2013）专著中的第三章。让我们观察一下，我们的问题具有不同的性质：我们建立了形式（2）的Feynman-Kac型表示，而所涉及的随机过程的存在，即L’EVY过程的L和Feynman-Kac公式，即条件期望，是已知的。我们的方法的一个有趣的特点是，我们不需要在标准符号演算中对符号的（高阶）导数施加增长条件。我们的方法与（27）更密切相关，在（27）中，一类鞅问题是通过追踪Kolmogorov方程关于Nisitropic Sobolev-Slobodeckii spa的随机性过程的存在性来解决的。与（27）中的设置相比，我们将自己限制为各向同性空间和常数系数，但更一般地说，允许使用外加权空间和可能的不连续杀伤区。为了包含所有的要求，我们更精确地陈述我们的研究问题如下：在什么条件下，时间不均匀的L’evy过程L，可能不连续的杀伤率κ，源f和初始条件g在Kolmogorov方程（1）的指数加权Sobolev-Slobodeckii空间中是否存在唯一的弱解，它允许形式（2）的随机表示？为了回答我们的研究问题，我们将在下一节介绍必要的符号和概念。我们首先使用这个框架，根据定理3.3中符号的性质来刻画Kolmogorov方程的抛物性。因此，我们给出了我们的主要结果，即定理3.4中Kolmogorov方程（1）弱解的Feynman-Kac型表示。