具有间断杀伤率的Léevy过程的Feynman-Kac公式

我们将介绍以下一组条件。L′EVY过程的FEYNMAN-KAC公式25（An1）存在常数C>0，使得对于ll n∈ N、 t∈ [0，T]和u，v∈ 十、 麦克斯蚂蚁（u，v）,在（u，v）≤ CkukXkvkX。（62）（An2）存在常数C，C>0，因此对于所有n∈ N、 t∈ [0，T]和u∈ 十、 min{ant（u，u），at（u，u）}≥ CkukX- 克库。（63）（An3）存在一系列泛函Fn:L（0，T；H）→ R+使所有n∈ N和u，v∈ L（0，T；H），都是Fn（u）→ 0代表n→ ∞ 安德茨（蚂蚁）- at）（u（t），v（t））dt≤ Fn（u）kvkL（0，T；H）。（64）引理7.1。让操作符A和Anforn∈ N满足（An1）–（An3）。让fn，f∈L（0，T；H）与fn→ f in L0，T；十、*) 和gn，g∈ H和gn→ H中的g。然后是唯一弱解序列un∈ ˙un+Antun=fn，un（0）=gn（65）的W（0，T；Y，H）在L中强收敛0，T；十）∩ C（0，T；H）到唯一弱解u∈W（0，T；X，H）˙u+Atu=f，u（0）=g.（66）证明。修理一些∈ 让我们∈ W（0，T；X，H）是方程（65）和（66）的唯一弱解，设wn:=u- 联合国。从（66）中减去方程式（65），并插入wnas测试函数，得出每t∈ [0，T]，tZ˙西九龙（s），西九龙（s）ds+tZans西九龙（s），西九龙（s）ds=tZ新界北（s）- 西区(s),西区(s)ds+tZans- 新界西（s）、西（s）ds。（67）我们插入˙西九龙（s），西九龙（s）ds=kwn（t）kH- kwn（0）kH, 参见例如（47）（第394页的等式（2））、不等式（63）、（64）和杨氏不等式。随后，应用Gronwall引理可以得到常数c的存在性，c>0∈[0，T]kwn（T）kH+ckwnkL（0，T；X）≤ CFn（美国）+ 肯德基- fkL（0，T；X）*)+ kgn- gkH（68）具有Fnfrom条件（An3）。因此联合国→ u在L中不断收敛0，T；十） 在C（0，T；H）中，证明了引理。 8.

定理3.4第（二）部分费曼-卡克公式的证明定理3.4中费曼-卡克公式证明的关键步骤是，借助引理8中的正则性断言，首先应用它的公式。1，第二个调用正则化d解的收敛性到Kolmogorov方程（2）的解，由于鲁棒性结果引理7.1，第三个链接分别在Lη（Rd）中收敛0，T；Hlη（Rd）通过引理8.2.26 K.GLAULemma 8.1将条件期望收敛。η∈ Rd和α>0，设A是一个伪微分算子，其符号A在[0，T]×Rη中具有一致的Sobolev指数α，并设映射T 7→ At（ξ）-iη）对每ξ是连续的∈ 对于κ∈ L∞（[0，T]×Rd），g∈ Lη（Rd）和f∈ L0，T；Hα/2η（Rd）, 让你∈ W0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd）是˙u+AT的唯一弱解-tu+κT-tu=f，（69）u（0）=g.（70），那么下面的断言成立。（i） 让我≥ 1.如果g∈ H（m）-1） α/2η（Rd），f∈ L0，T；H（m）-1） α/2η（Rd）和κh∈L0，T；Hkα/2η（Rd）所有人1≤ K≤ m和h∈ L0，T；Hkα/2η（Rd）, 塞努∈ L0，T；Hmα/2η（Rd）和˙u∈ L0，T；H（m）-2） α/2η（Rd）.（ii）如果g∈ Hβη（Rd）对于β=m+d/2+max（α，1/2），f∈ L0，T；Hγη（Rd）对于γ=m+（d+1）/2和κ∈ C∞（[0，T]×Rd），然后对于每个带|k|的多指标k=（k，…，kd）≤ m是导数（1+t） Dku位于C（[0，t]×Rd）中。此外，如果A是L′evy过程的Kolmogorov算子，f是连续的，那么方程（69）对所有（t，x）都适用∈ （0，T]×Rd.证明。通过对唯一弱解u的Fourie-r变换进行显式运算，得到正则性断言∈ W0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd）等式（69）和（70）。

我们用fη表示恒等式yu=~u:=u+u+u（71）u（t）:= Fη（g）e-RTT-头(·-iη）du，Fηu（t）:=tZFηf（s）E-RT-圣-头(·-iη）duds，Fηu（t）:= -tZFηκu（s）E-RT-圣-tAλ(·-iη）dλds，因此tFηu（t）= -在-t（·- iη）Fηu（t）,tFηu（t）= -在-t（·- iη）Fηu（t）+ Fηf（t）,tFηu（t）= -在-t（·- iη）Fηu（t）- Fηκu（t）.特别是，u-satis方程（69）。注4.1中常数C，C>0的不等式（21）和Cauchy-Schwarz不等式保证了常数C，C>0的存在，对于所有（t，ξ）∈ [0，T]×Rd，Fηu（t）(ξ)≤ CFη（g）（ξ）E-tC |ξ|α，Fηuj（t）(ξ)≤ CtZFη（F（s））（ξ）ds1/2tZe-（t）-s） 2C |ξ|αds1/2≤ CTZFη（fj（s））（ξ）1 + |ξ|-αds1/2FEYNMAN-KAC公式，适用于L\'EVY工艺，以及Fη图（t）(ξ)≤ CFη（g）（ξ）1 + |ξ|αe-tC |ξ|α，Fηtuj（t）(ξ)≤ CTZFη（fj（s））（ξ）1 + |ξ|αds1/2+Fη（fj（s））（ξ）,对于j=1，2，f=f和f=-κu。因此，有一个常数c>0w，其kukL（0，T；Hmα/2η（Rd））+kt~ukL（0，t；H（m）-2） α/2η（Rd））≤ CKKKH（m）-1） α/2η（Rd））+kfkL（0，T；H（m）-1） α/2η（Rd））+kκukL（0，T；H（m）-1） α/2η（Rd））.对于m=1，插入u∈ L0，T；Hα/2η（Rd）和κu∈ L0，T；Hα/2η（Rd）,我们得到∈ L0，T；Hα/2η（Rd）和t~u∈ L0，T；H-α/2η（Rd）. 特别是，~u∈ W0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd）是方程（69）和（70）的唯一弱解u=u。因此，对于m=2，有必要注意到κu∈ L0，T；Hα/2η（Rd）暗示∈ L0，T；Hα/2η（Rd）和t~u∈ L0，T；Lη（Rd）. 然后，一个迭代论证产生引理的第（i）部分。（ii）由Cauchy-Schwarz和RRD的不等式1 + |ξ|-D-dξ<∞ 如果>0，我们得到对于β=m+d/2+max（α，1/2）和γ=m+（d+1）/2，存在常数c>0，使得Zrd1 + TFη（u+u）（t）(ξ)1 + |ξ|mdξ≤ CkgkHβη（Rd）+kfkL（0，T；Hγη（Rd））< ∞.此外，映射t7→ Fη~u（t）（ξ） 和T7→ tFη~u（t）（ξ） 对于每个ξ都是连续的∈ 路。

主导收敛意味着Dkx（1+t） （u+u）∈C（[0，T]×Rd）对于每个带| k |的多指数k=（k，…，kd）≥ 此外，还存在一个常数c>0，比如Zrd1 + TFηu（t）(ξ)1 + |ξ|mdξ≤ ckκukL（0，T；Hγη（Rd））<∞.主导收敛产生Dkx（1+t） u∈ C（[0，T]×Rd）对于每个带| k |≥ 0.现在设A为时间非齐次L’evy过程的Kolmogorov算子。为了完整地建立方程（69），fix a t∈ 方程成立的T（作为算子方程），并选择一个序列un∈ C∞（（0，T）×Rd）如un（T）→ Hα/2η（Rd）和˙un（t）范数中的u（t）→ ˙u在Lη（Rd）的范数中。此外，让我们∈ C∞（Rd）。我们注意到-tu（t）是点定义的，因为∈ 丙(右)。元素操作与标量乘积y ieldZRdAT的连续性-tu（t，x）~n（x）e-2hη，xidx=hu（t），A-η,*T-t~niLη=limn→∞hun（t），A-η,*T-带伴随算子r A的tаiLη-η,*T-tde在附录A引理A.2中定义。等式（7）来自同一引理和双线性形式内插的连续性→∞hun（t），A-η,*T-t~niLη=limn→∞在-t（un（t），~n）=aT-t（u（t），а）28 K.GLAUand henceh˙u（t），аiLη+hAT-tu（t），аiLη=hf（t），аiLη代表所有а∈ C∞（Rd）。从变分演算的基本引理来看，˙u（t，x）+AT-tu（t，x）=f（t，x）表示a.e.x∈ Rd.由于我们可以从（0，t）中的一个稠密子集任意选取t，因此该组合遵循˙u+AT的连续性-·U- F 引理8.2。η∈ Rd和α∈ （0,2]，设L是一个时间非齐次L′evy过程，符号a=（At）t∈[0，T]满足指数矩条件（A1）和Garding条件（A3）。

然后（i）对于每t>0，存在一个常数C（t）>0，使得E[|||（Ls）|]≤C（t）kаkLη（Rd）对于所有а∈ Lη（Rd）和s∈ [t，t]，（ii）代表l>（d）- α） /2和每0≤ 存在一个常数C>0，这样ERTt~n（s，Ls）ds英尺≤ 对于所有的φ，都统一使用Ck~nkL（t，t；Hlη（Rd））∈L0，T；Hlη（Rd）.证据（i） 根据备注4.1和条件（A3），Lth的分布为Leb密度。应用Parseval恒等式，我们得到了|~n（Lt）|=（2π）dZRdF（|~n|）（ξ）- iη）e-RtAs（ξ）-iη）dsdξ。插入不等式（21）和C auchy-Schwarz的不等式，然后得到ass-e-rtion（i）。（ii）W.l.o.g.~n≥ 0.我们有ERTt~n（s，Ls）ds英尺= G（Lt）带G（y）=ET-tZ~n（s+t，Lt+s- Lt+y）ds.Fubini定理与Parseval恒等式implyG（y）=（2π）dZRdT-tZFτy~n（s+t）(ξ - iη）e-RsAt+u（ξ）-iη）duds dξ，其中τyf（x）：=f（x+y）。注意Fη（τyf）（ξ）=e-hξ，yiFη（f）（ξ）。插入Cauchy-Schwarz不等式和方程（21）中的常数C，C>0，我们得到了l>d- α存在常数c，c>0，使得| G（y）|≤ 捷克T-tZFτy~n（s+t）(ξ - iη）dsT-tZe-2sC |ξ|αds1/2dξ≤ cTZZRdF~n（s+t）(ξ - iη）1 + |ξ|αdξds≤ ck~nkL（0，T；Hl/2η（Rd））。证据到此结束。 我们现在可以证明定理3.4的第（二）部分了。定理3.4，第二部分。首先，假设t7→ At（ξ）- iη）对所有ξ都是连续的∈ Rd.通过密度参数，我们可以分别为L’EVY过程选择序列sFEYNMAN-KAC公式∈ C∞（Rd），fn∈ C∞[0，T]×Rd和κn∈ C∞[0，T]×Rd以至于福恩→ ∞,gn→ g in Lη（Rd），fn→ f in L0，T；Hlη（Rd）,κn→ κ点态和supn∈NkκnkL∞（[0，T]×Rd）<∞.我们用与At+κn相关联的双线性形式和与At+κt相关联的双线性形式来表示Ant（u，v）=At（u，v）+h（κn- κt）u，viLη（Rd）对于所有u，v∈ Hα/2η（Rd）。

（72）结合条件（A1）-（A3）和κ和κ的一致边界，我们从第6节中获得条件（An1）和（An2）的有效性。此外，通过等式（72）和柯西-施瓦兹不等式，我们得到TZ（安）- （a）u（s）、v（s）ds≤（κn- κ） uL（0，T；Lη（Rd））kvkL（0，T；Lη（Rd））。（73）它来自于κn的逐点收敛→ κ和n的收敛性→ ∞,Fn（u）：=（κn- κ） uL（0，T；Lη（Rd））→ 0代表所有人∈ L（0，T；Lη（Rd）），因此条件（An3）满足∈ W0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd）是˙un+Atun+κntun=fn，un（0）=gn的唯一弱解。（74）引理7.1给出了收敛性un→ u、 都是在空间里0，T；Hα/2η（Rd）在C中0，T；Lη（Rd）, 对于弱解u∈ W0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd）˙u+Atu+κtu=f，u（0）=g.（75）引理8.1表明等式（74）在点方向上成立，unis正则性足以应用^o公式。我们用bt，σt，Ft；HT∈[0，T]土地集wn（T，x）的特征：=un（T）- t、 x）。然后是半鞅的^o公式，参见（32）中的定理I.4.57，包括swn（T，LT）e-RTκnλ（Lλ）dλ-wn（s，Ls）e-Rsκnλ（Lλ）dλ=TZsh˙wn- Aτwn- κwni（τ，Lτ）e-Rτκnλ（Lλ）dλdτ+TZsσ1/2τ· wn（τ，Lτ）E-Rτκnλ（Lλ）dλdWτ+E-R·κnλ（Lλ）dλwn（·，L）·-+ 十）- wn（·，L）·-)（s），∞)(·)*u - νT.（76）由于我们对gn、Fn和κn的假设，我们可以将unin分解为三个和，如等式（71）所示。然后，应用引理8.1的第（ii）部分，可以得出如下结论：WNL属于第三方。因此，关于W和u的积分- ν是鞅，比较定理II。1.33A）英寸（32）。我们插入标识˙wn- Aτwn- κnwn=fn和f（t，x）：=fn（t- t、 x）不等式（76），然后将方程与m eRsκnλ（Lλ）dλ和30K相乘。

这给了我们0≤ s≤ T，Ewn（T，LT）e-RTsκnλ（Lλ）dλ财政司司长- wn（s，Ls）=ETZsfn（τ，Lτ）e-Rτsκnλ（Lλ）dλdτ财政司司长.（77）让w.l.o.g。0<s≤ T现在，我们将通过n导出d随机表示→ ∞ 对于等式（7）中的每一项。表示w（t，x）：=u（t）- t、 x）。来自会聚wn（s，·）→ 在Lη（Rd）和引理8.2的第（i）部分中，当s>0时，我们得到了收敛点（s，Ls）→ L（P）中的w（s，Ls）和子序列的a.s。点态收敛κn→ κ和一致有界性以及支配收敛意味着两个参数：κnλ（Lλ）dλ→Rbaκλ（Lλ）dλ与0序列的一致性≤ A.≤ B≤ T连同wn（s、Ls）→ L（P）收敛中的w（s，Ls）wn（t，Lt）e-RTsκnλ（Lλ）dλ-w（t，Lt）e-RTsκλ（Lλ）dλ财政司司长→ 0as n→ ∞ 然后是三角形不等式。接下来，表示f（t，x）：=f（t- t、 x）。自fn以来→ F∈ Lt、 t；Hlη（Rd）, 引理8.2的第（ii）部分保证了l>（d）存在常数c>0- α） /2如此讨厌TZs（fn- f） （h，Lh）dh财政司司长≤ ckfn- fkL（t，t；Hlη（Rd））→ 0.现在，三角形不等式产生等式（77）中第二条直线的共收敛性，因此定理3.4的第（ii）部分在另外的假设下，映射t7→ At（ξ）-iη）对每ξ是连续的∈ 最后，多亏了条件经验，在t 7更一般的假设下，对连续时间进行归纳→ At（ξ）- iη）是c`adl`ag的前ξ∈ 路。 9.确认本文件的根源可追溯到作者的论文（19），该论文由DFG通过EB66/11-1项目提供财务支持。作者对恩斯特·埃伯林的宝贵支持表示感谢。作者还感谢Christoph Schwab及其工作组允许她使用小波Galerkin实现。

她还感谢卡斯滕·艾尔克斯、保罗·哈伦斯坦、亚历山德罗·海宁、克劳迪娅·克鲁佩尔伯格的宝贵讨论和评论，以及沃尔夫冈·伦格尔迪耶和匿名审稿人为改进手稿提出的建议。附录A.伴随算子对于具有特征（b，σ，F；h）的L’evy过程L，我们分别用A（b，σ，F）和A（b，σ，F）表示其Kolmogorov算子和符号。由于下面的断言直接扩展到时间不均匀的情况，我们这里只给出时间均匀的情况。L’EVY过程的FEYNMAN-KAC公式31引理A.1。η∈ 设L是一个L’evy过程，其特征（b，σ，F；h）满足指数矩条件EM（η），并用符号a表示其Kolmogorov算子。然后aη（ξ）：=a（ξ+iη）=a（bη，σ，Fη）（ξ）+a（iη）表示所有ξ∈ RdBη=b+σ·η+ZRd呃，易-1.h（y）F（dy），Fη（dy）=ehη，yiF（dy）。特别地，Aη是致死率为A（iη）的L′evy过程的符号。此外，其Kolmogorov算子Aηsatis fiesaη~n=e-hη，·iA（ehη，·i~n）=A（bη，σ，Fη）ν+A（iη）ν∈ C∞（Rd）。证据验证符号的断言f是基本的。然后可以很好地使用它来验证运算符r:Let~n的断言∈ C∞然后F（ehη，·i k）（ξ）=F（k）（ξ）- iη）andAehη，·i~n（x） =F-1.AF（ehη，·i~n）=（2π）dZRde-ihξ，xiA（ξ）F（ψ）（ξ）- iη）dξ=ehη，xi（2π）dZRde-ihξ，xiA（ξ+iη）F（ψ）（ξ）dξ，这是本文的结论。 为了所有人∈ C∞（Rd）letFη（ν）：=e-hη，·如果ηehη，·i和F-1η（η）：=e-hη，·如果-1.ηehη，·i.（16）中的定理4.1表明，对于伪微分算子t或a，符号a连续延伸到U-η在U的内部是解析的-η满足连续性条件（A2），我们有一个φ=F-1（A~n）=F-1η（A）-ηFη（ψ））适用于所有∈ C∞（Rd）。（78）Parseval等式对所有的ψ，ψ产生∈ C∞（Rd），a（ψ，ψ）=hA~n，ψiLη=（2π）dhA-ηFη（ψ），Fη（ψ）iLη。

（79）对于伪微分算子A及其符号A，我们定义它们的Lη-伴随Aη，*还有-η, *使得f或所有φ，ψ∈ C∞（Rd），hA，ψiLη=hа，Aη，*ψiLη（80）hA-ηFη（φ），Fη（ψ）iLη=hFη（φ），A-η, *Fη（ψ）iLη。（81）32 K.GLAULemma A.2。η∈ 设L是一个满足指数矩条件EM（η）的特征（b，σ，F；h）的L′evy过程，用符号a表示它的Kolmogoro v算子-η, *（B） =F-ηsym（B）-F-ηasym（B）对于Borel集b6={0}，当F-ηsym（B）=F-η（B）+F-η(-B） 和F-ηasym（B）=F-η（B）- F-ηsym（B）和let B-η, *= -B-η.蒂娜-η, *=A.-η=A（b）-η,*,σ、 F-η,*)+ A(-iη），A-η, *~n=e-hη，·iAehη，·i~n= A（b）-η,*,σ、 F-η,*)~n+A(-iη）η。此外，F-η, *是一个L’evy度量。证据每∈ C∞我们有-ηFη（ψ），Fη（ψ）iLη=hA-ηFehη，·i~n, Fehη，·i~niL=hFehη，·i~n,A.-ηFehη，·i~n伊尔。自A（z）∈ R代表z∈ CdwithR（z） =0，通过引理A.1我们得到-η=A（b）-η、 σ，F-η） +A(-iη）。作为A（b）-η、 σ，F-η） 是列维过程的符号，我们有a（b-η、 σ，F-η） （ξ）=A（b）-η、 σ，F-η)(-ξ） 尽管如此，ξ∈ 引理的断言直接跟在后面。 附录B.定理3.3定理B.1的证明。η∈ Rd和α∈ （0，2），让符号A=（At）t∈伪微分算子A=（At）T的[0，T]∈[0，T]每T∈ [0，T]，Athas是U上的一个连续扩展-η在内部是解析的oU-η存在常数C（t），m（t）>0在（z）≤ C（t）1+| z|m（t）代表所有z∈ U-η. （82）那么下列断言是等价的。（i） 操作员A是para-bolic，其目的是Hαη′（Rd），Lη′（Rd）η′∈Rη在[0，T]×Rη中均匀分布。（ii）符号A在[0，T]×Rη中具有一致的Sobolev指数2α。该定理的证明是（21）中定理3.1的直接推广，其中该断言是针对时间常数符号和无权空间（即η=0）证明的。

为了提供一个完整的演示，我们提供了详细的证据。定理B.1中L’EVY过程的FEYNMAN-KAC公式。通过对A的解析性和不等式（82）的假设，我们从（16）中的定理4.1中得出：∈ [0，T]，η′∈ Rη和ψ，ψ∈ C∞（Rd），at（φ，ψ）=（2π）dhAtF（φ），F（ψ）iL=（2π）dhAt（·- iη′）Fη′（ψ），Fη′（ψ）iLη′=（2π）dZRdAt（ξ）- iη′）F（ψ）（ξ）- iη′）F（ψ）（ξ）- iη′）dξ。（83）这个等式产生（Cont-A）所暗示的（Cont-A）。连同以下基本不等式，它还得出（Gard-A）意味着（Gard-A）：对于C>0，C≥ 0, 0 ≤ β<α和0<C<C存在常数C>0，因此Cxα- Cxβ≥ Cxα- Cfor allx≥ 0和c |ξ| 2α- C（1+|ξ|）β≥ C |ξ| 2α- C′（1+|ξ| 2β）≥ c（1+|ξ|）2α- c（84）具有严格正常数c′，c≥ 0.此外，t 7的分段连续性→ 对于每一个u，v，at（u，v）∈ Hαη（Rd）遵循t7的分段连续性→ 在（z）处，每z∈ U-η和主导收敛，这得益于（续-A）。对于（i）至（ii）的含义，我们首先展示以下内容。让我们来看看→ R是一个连续函数。如果我们有zrdγ（ξ）|Fη′（u）（ξ）|e-2hη′，ξidξ≥ 0（85）代表所有美国∈ Hαη′（Rd），其中Fη′（u）是紧支撑的，那么γ（ξ）≥ 0表示所有ξ∈ 为了证明这个说法，我们密切关注变分演算基本引理的推导。让我们假设γ（ξ）<0对于某些ξ∈ 由于连续性，γ在U的非空开子集上是负的 我们现在选择一个函数u∈ Hαη′（Rd）使得它的傅里叶变换Fη′（u）是光滑的、非常数的，并且在u中是紧支撑的。然而，对于U的这个选择，不等式（85）中的积分将是负的，这导致了矛盾。这表明γ≥ 我们观察到（Cont-a）对于连续映射ξ7意味着不等式（85）→ C（1+|ξ|）2α±RAt（ξ）- iη′）ξ7→ C（1+|ξ|）2α±IAt（ξ）- iη′）尽管如此，t∈ [0，T]和η′∈ Rη。