具有间断杀伤率的Léevy过程的Feynman-Kac公式

对于>0和α∈ （0，2），设L是一个时间非齐次L’evyprocess，使得ELt|<∞ 每一个t≤ T及其符号A满足指数α和每个权重η的要求（A2）–（A4）∈ Rd与|η|<。然后每0≤ t<t，模型（35）中的零息债券的价格为asP（t，t）=dXj=1uj（t- t、 Lt）a.s.，其中ujis是W中唯一的弱溶液0，T；Hα/2ηj（Rd），Lηj（Rd）˙uj+AT-tuj+ruj=0，u（0）=1Oj。（40）证据。假设得出，对于每个j=1，2d，条件（A1）-（A4）满足重量ηjand指数α。根据备注4.1，THA的分布为勒贝格密度，由此得出等式（39）。现在，断言直接来自orem 3.4。 值得一提的是，使用同样的技术，我们可以通过PIDEs的解来刻画零息债券期权的价格。所得PIDE的一个显著特征是，方程（39）的解u作为初始条件出现。因此，其初始条件由PIDEs（40）的解决定。有趣的相关应用包括（2）模型中的破产概率、（3）破产模型中障碍策略的价值，以及（33）中的信用风险简化模型。占领时代的拉普拉斯变换。我们通过PIDE的弱解刻画了时间非齐次L’evy过程占据时间的拉普拉斯变换。设置κ：=1dd RdBorel可测量，f:=0，初始条件g:=1，插入L=x，等式（20）从Theo rem 3.4变成（T，x）=ExE-γRTD（Lh）dh, （41）这是占据时间rtd（Lh）dh的γ处的拉普拉斯变换，过程ls在域D中等待，直到时间T。Landriault、Renaud和Zhou（2011）使用函数恒等式分析了特定负L’evy过程占用时间的拉普拉斯变换。

我们用抛物线PIDE描述了一类时间非齐次L’evy过程的这些变换。让我们指出，正如NIG和回火稳定过程的例子所示，断言并不局限于光谱负过程，见第4节。根据备注5.2拆分相应的初始条件，我们得出uj（T，x）：=ExOj（LT）e-γRTD（Lh）dh. （42）与推论5.3的证明一样，通过论证并应用推论3.5，我们得到：推论5.4。对于>0和α∈ （0，2），设L是一个时间非齐次L’evyprocess，使得ELt|<∞ 每一个t≤ T及其符号A满足指数α和每个权重η的要求（A2）–（A4）∈ Rd与|η|<。设ηj=-d-1/2英寸（38）。那么，方程（42）中的ujj是空间w中唯一的弱解0，T；Hα/2ηj（Rd），Lηj（Rd）˙uj+AT-tuj+1Duj=0，u（0）=1Oj（43），等式（41）中的u由u（T，x）=dXj=1uj（T，x）给出。L′EVY过程的FEYNMAN-KAC公式19如果d=1且α>1，则x 7→ u（t，x）：=ExE-γRtD（Lh）dhλ-H是λ=α连续的吗-1每个t∈ [0，T]特别是第5.4节。对域名的处罚。观察e的极限-γRTDc（Lh）dhasγ→ ∞ 将占用时间链接到退出时间。这种想法是重复使用占用时间进行建模的基础。此外，它为b边值问题的（20）型ha-Feynman-Kac型表示开辟了一条途径。在差异语言中，外域中粒子的存在会变得越来越强，直到它离开do干管时最终被杀死。对于跳跃扩散过程，其论点如（6）所述。在（19）和forthcomingarticle（20）中，类似的技术用于时间不均匀的L’evy过程。对于金融而言，有趣的是，由此产生的费曼-卡克类型表示法用于描述纯跳跃模型中障碍和回望期权的价格。

该论证基于以下结果以及由κλ（x）给出的指示剂类型的k-填充率序列的解的收敛性：=λ的λ1Dc（x）→ ∞.推论5.5。对于α∈ （0,2]和η∈ 设L是一个满足假设（A1）-（A4）的时间非齐次L′evyprocess。让f∈ L0，T；Hlη（Rd）为了一些我≥ 0带l>（d- α） /2，g∈ Lη（Rd），κ：[0，T]×Rd→ R可测且有界，λ>0且D 打开。然后是唯一的弱解uλ∈ W0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd）属于tuλ+AT-tuλ+κT-tuλ+λ1Dcuλ=f，uλ（0）=g，（44）对每t∈ （0，T]几乎可以肯定随机表示为uλ（T- t、 Lt=Eg（LT）e-RTtκh（Lh-) dhe-λRTtDc（Lh-) dh+TZtf（T-s、 Ls）e-Rstκh（Lh-) dhe-λRstDc（Lh-) dhds英尺.（45）证据。这个断言直接来自定理3.4。 5.5. 相对论性薛定谔方程。我们的分析让我们回到费曼的起源，以及卡茨在薛定谔方程和扩散过程之间的深层联系。在相对论模型中，这种形式主义将正常的逆高斯L’evy过程置于聚光灯下：我们发现，一个特定的过程对相对论薛定谔方程起着与经典薛定谔方程的布朗运动相同的作用。Carmona、Masters和Simon（1990）提供了一种Feynman-Kac类型来模拟这种联系，但没有给出正式的证据。Baeumer、Meerschaert和Naber（2010）利用这种关系，通过NIG过程模拟相对论性粒子扩散。我们遵循他们对相对论薛定谔方程和NIG过程之间联系的表述。

然后，orem 3.4允许我们正式地预先设定这个链接。由势能V:Rd×R描述的量子系统中单粒子的非相对论薛定谔方程+→ R是波函数ψ的下列偏微分方程：Rd×R+→ C、 我~ψt（x，t）=-~2米 + V（x，t）ψ（x，t），（46），其中i是虚单位，ψt表示ψ的时间导数，2π为普朗克常数，m为粒子质量，拉普拉斯算符 有人住吗ψ（x，t）：=Pdj=1ψxj（x，t）。对于自由粒子，即如果V≡ 0，通过对20 K.GLAUthe Schr¨odinger方程（46）的解析延拓并插入τ=它，得到了与布朗运动的Kolmogorov后向方程的一个错误连接。第6节≡ 0，设置V（x，it）：=V（x，t）对于每个x和t，这将等式（46）与~ψt（x，t）=~2米 - V（x，t）ψ（x，t），（47），这是killed布朗运动的Kolmogorov向后方程，其波动率σ=p~/2m，killed rate V/~。现在让我们转到相对论性薛定谔方程。根据Baeumer、Meerschaert和Naber（2010），质量为m且动量为p的粒子的相对论动能由（p）=pkc+mc给出- mc，（48），其中c表示光速。相对论能量（48）作为一个伪微分算子来定义相对论薛定谔算符h（ψ）（·t）：=F-自由粒子为1（EF（ψ（·t））（49）。因此，量子系统中单个粒子的相对论薛定谔方程由势能V描述，由I给出~ψt（x，t）=H+V（x，t）ψ（x，t）。（50）类似于非相对论的情况，在等式（50）中正式插入τ=it，并设置V（x，it）：=V（x，t）对于每个x和t，产生ψt（x，t）+~H+V（x，t）ψ（x，t）=0。

（51）我们注意到，~E（p）是NIG过程L的符号，参数为α=mc，β=0，δ=~，u=0和 = cIdd，其中我们使用例4.6的符号，并用DD表示Rd×Rd中的恒等式matr ix。下面的推论正式建立了方程（51）与NIG过程在弱解方面的Feynman-Kac型关系。注意，这里的势能V是不连续的。推论5.6。让势能V是可测量且有界的。让g∈Lη（Rd）表示someη∈ rdkηk≤ 司仪。然后是唯一的弱解u∈ W0，T；H1/2η（Rd），Lη（Rd）对于˙u+~（Hu+vu）=0，u（0）=g，（52）对于每t∈ （0，T]随机表示u（T- t、 Lt=Eg（LT）e-~RTtVT-h（Lh）dh英尺a、 s.（53）证据。推论5.6是定理3.4和示例4.6的直接结果。6.美国的实施现在让我们来探索Feynman Kac型结果的实际好处。因此，对于跳跃模型中路径相关期权的定价，我们采用数值方法来求解Kolmogorov方程（1）。我们指定了一类员工选择，以便阐明不连续杀人率的影响。为了深入了解该技术，作为数值格式，我们选择（37）提出的用于欧洲期权定价的小波-伽辽金方法。这是一种非常强大的方法，它使用压缩技术，可以适应更复杂的PricingProblem，我们将通过结合杀伤率来演示。这一实现需要对L′EVY过程微分方程的partialFEYNMAN-KAC公式进行数值分析的经典理论的一些结果。此外，操作员的跳跃部分需要特殊处理。我们通过下面的离散化步骤（1）-（6）来推导离散格式。我们指定了第5.1节所述的员工选项类型。

因此，为了将低股票价值的惩罚永久性地包括在内，而不仅仅是在执行自然状态下，我们将看涨期权与指标型杀戮率相结合。我们通过设置κ（S）将后者指定为股票价值低于固定水平的即时惩罚：-λ1(-∞,B] （S）比例因子λ>0，方程（31）中的B级，即到期时的支付由g（ST）e给出-RTλ1(-∞,B] （Sh）dh，其中G（S）：=maxs- K、 0. 作为模型S=SELWE中的驱动过程L，从样本4.9中描述的CGMY过程家族中选择一个纯跳跃L’ev y过程，参数C>0，G>1，M>0，y∈ [1,2]，其漂移bis由无套利条件（33）给出。然后，根据示例4.9，过程及其系统满足条件（A1）-（A4），权重η∈ （G），-1） andindexα=Y。我们现在确定一个重量η∈ （G），-1） ，用过程的Kolmog-orov算子A表示，leteG（x）：=G（ex）和∧κ（x）：=-κ（ex）。根据推论5.1，我们通过计算唯一的弱解u得到期权的fa-ir价格∈W0，T；HY/2η（R），Lη（R）对于˙u+A u+（r+～κ）u=0，u（0）=例如（54），为了准备有限元素的离散化，我们首先修改方程，然后将其定位到有界区间。结果方程的变分公式允许我们用Ga-lerkin方法离散空间。最后，时间离散化完成了完全离散格式。更详细地说，我们按照以下步骤进行：（1）方程的修正：选择一个函数ψ∈ W0，T；HY/2η（R），Lη（R）使得φ：=（u-ψ) ∈W0，T；HY/2（右）、L（右）和|φ（t，x）|→ 0代表| x |→ ∞. 那么φ是修正方程的唯一弱解˙φ+Aφ+（r+)κφ=f，φ（0）=eG- ψ(0). （55）（2）截断到有界域：我们将方程局部化到有界区间l（R，R），区间外没有约束。

在这里，我们第一次遇到跳跃过程和非跳跃过程之间的概念差异：过程的跳跃部分使操作符成为非局部的。因此，不需要指定零边界条件。相反，这些值必须在整个外域R\\（R，R）上进行。形式上，我们通过定义解空间Ashy/2（R，R）来合并这些零约束：=U∈HY/2（R）u |[R，R]c=0安第尔（R，R）：=G∈ L（R）g |[R，R]c=0.精确地说，我们不是求解方程（55），而是近似于唯一弱解|φ∈ W0，T；eHY/2（右、右）、eL（右、右）φ+Aφ+（r+κ）~φ=f，~φ（0）=如- ψ(0)（R，R）。（56）我们现在必须意识到我们已经改变了问题，我们需要控制由此产生的误差kφ-■φk具有适当的范数k·k。不同的是，我们必须在步骤（1）中选择函数ψ，使误差kφ-■φk的衰变速度与-R、 R→ ∞.22 K.GLAU（3）方程的变分形式：弱解φ∈ W0，T；eHY/2（右、右）、eL（右、右）当且仅当φ满足（56）的初始条件为alimit ineL时，求解操作要求（56），即→0°φ（t）=如- ψ（0）1（R，R）INL（R，R）和所有的ν∈ C∞（0，T）和∈eHY/2（右，右），-TZhφ（t），˙iL˙ν（t）dt+TZa（)φ（t），Ρ）ν（t）dt=\'f（Ρ，ν），（57）双线性形式a:eHY/2（R，R）×eHY/2（R，R）→ R和¨f（ν，ν）：=RThf（t），νiLν（t）dt。为了表示的简单性，我们假设从现在起，tψ在时间上是常数。（4） 伽辽金方法的空间离散化：在伽辽金方法的核心部分，我们选择了一个可数的黎兹基{w，w，…}ofeHY/2（R，R）和definexn:=span{w，…，wn}表示所有n∈ N.由于Hy/2（R，R）在（R，R）中是稠密的，我们可以进一步选择hn→ φINE（R，R）。我们得到了每个固定n的伽辽金方程∈ N仅通过限制变分方程（57）。

由此产生的问题是：找到一个函数vn∈ W0，T；Xn；eL（R，R）∩Xn这让所有人都感到满意∈ C∞（0，T）和∈ Xn，-TZhvn（t），˙iL˙χ（t）dt+TZavn（t），~nχ（t）dt=\'f（~n，χ）vn（0）=hn。（58）优雅地说，阶级理论保证了序列vnto~φ已经在这个抽象环境中收敛。关于更多细节，我们参考定理23。A.和（48）中的备注23.25。然而，方案的实际性能在很大程度上取决于Riesz基的选择，Riesz基决定了收敛速度。（5）方程（58）的矩阵公式：由于算子的线性，我们可以简化方程（58）。也就是说，只需插入基函数w，wnas测试功能∈ Xnin方程（58）。然后，表示hn:=Pnk=1αkwkandvn（t）：=Pnk=1Vk（t）wk，等式（58）变成等价的tonXk=1˙Vk（t）hwk，wjiL+nXk=1Vk（t）awk，wj= -A.ψ、 wjVk（0）=αk对于所有k=1，n、 以矩阵形式编写，问题是找到V:[0，T]→ r使得L’EVY过程的m˙V（t）+AV（t）=F（59）V（0）=α，（60）FEYNMAN-KAC公式23式中F=（F，…，Fn）带Fk=-A.ψ、 工作对于k=1，n、 α=（α，…，αn）, 质量矩阵M和阻力矩阵A由mjk=hwk，wjiL，Ajk=A给出wk，wj对于所有j，k=1，n（61）让我们提到在我们的环境中出现的两个关键点。首先，stiffness矩阵A条目中的近似误差通常会导致生成方案的显著数值误差。因此，它们必须以高精度计算。其次，由于操作员A的非本地性质，ma trix A完全填充。这导致求解方案的计算成本很高，通过使用压缩技术可以大大降低计算成本。（6） 时间离散化：在得到方程（59）和（60）之后，我们最终要解决一个由普通微分方程组成的线性系统。

对于这类方程，有多种离散化方法可用，例如欧拉格式。为了说明杀戮率的数值影响，我们使用了一个符合以下步骤（1）-（6）规定的实施方案根据选择ψ（t，x）：=max（ex-K、 0）。主导收敛产生| u（t，x）- ψ（x）|→ 0代表| x |→ ∞. 对于类似的情况，（13）中的命题4.1显示出指数收敛。我们推测，在我们的设置中，差φ也有指数衰减-~φ|.o 作为Riesz基，选择一阶多项式的小波基，并与压缩技术相结合，用天冬氨酸取代stiffness矩阵。我们参考Hilber、Reichmann、Schwab和Winter（2013）专著中的第12.2.2节了解小波压缩技术，并参考（45）了解相关误差分析当时间离散时，选择hp间断伽辽金方法，因为初始条件是不可微的，并且在开始时选择更多时间点的方案是有利的。有关详细信息，请参阅第12.3节IN（26）。在我们的数值实验中，我们考虑了杀人狂活跃的不同领域。这些域中的每一个都由参数B根据∧κ（x）=λ1指定(-∞,日志（B））（x）。图1描述了我们对B=K=100和B=70的结果。在这两种情况下，到期日（以年为单位）设置为T=1，s三轮车设置为K=100。该过程的参数设置为C=0.0156 0、G=0.0767、M=7.55和Y=1.2996。请注意，左侧的图形与右侧的图形不同。我们发现，在所有考虑的病例中，指示剂类型的致死率都会产生影响。

虽然通话和员工选择之间的差异在S=B级左右达到峰值，但杀戮率影响全球价格，双方都有快速衰减。尺度参数λ越高，影响越大。这导致价格曲线的顺序单调，当所有其他参数保持相等时，标度参数λ越高，价格越低。作者感谢Christoph Schwab和他的工作组让她使用他们的代码，该代码实现了CGMY模型中定价欧洲看涨期权的Galerkin方法。24 K.GLAUS0 50 100 150 200 200欧洲看涨期权与killing rate payoff Callλ=1λ=10λ=100S0 100 200 300-2欧洲看涨期权的差异λ=1λ=10λ=100S0 50 100 150 200 200欧洲看涨期权与killing rate payoff Callλ=1λ=10λ=100S0 100 200 300-0.20.20.40.60.81.21.41.6与欧洲看涨期权的差异λ=1λ=10λ=100图1。通过CGMY过程驱动的纯跳跃L’evy模型中，指标类型对看涨期权价格的杀伤率的影响。顶部：B=K=100。底部：B=70。左：认购期权的支付以及认购期权和员工期权的价格，λ=1,10,100。右图：看涨期权价格和员工期权价格之间的差异。7.弱解的稳健性我们提供了一个稳健性结果，表明数据F和g的小扰动，更重要的是，双线性形式a的小扰动对Kolmogorov方程（1）的弱解只有很小的影响。这一结果对于我们推导理论3中费曼-卡茨型表示式的过程至关重要。4.让X→ H→ 十、*做个盖尔芬德三胞胎。对于t∈ [0，T]和每个n∈ Nlet ANTRIVATY是一个与实值双线性形式ANTRIVATY相关联的算子。