几乎完全信息的动态游戏

例如，如果STI是Rl的子集，那么Lebesgue测度就是一个自然参考测度。由于Ui是有界的，我们可以假设Payoff函数的值是严格正的，而不丧失一般性。例如，见Fudenberg和Levine（1983年）。标志我∈如果（t′+1）是从Ht′到M（Xt′+1）的转移概率。请注意，战略文件通常由向量表示。为了以后的符号简化，我们假设我∈如果（t′+1）i（·ht′）代表给定历史ht′阶段t′+1中的策略文件∈ Ht′，在哪里我∈如果（t′+1）i（·ht′）是概率测度sf（t′+1）i（·ht′）的乘积，i∈ I.如果λ是X上的一个单位度量，而ν是从X到Y的转移概率，那么λ ν是X×Y上的一个度量，比如λ 对于任何可测子集A，ν（A×B）=RAν（B | x）λ（dx） X和B Y最后，让τ∈ M（H）∞) 是H上唯一的概率测度∞因此，对于所有t′，marght′τ=τt′≥ t、 然后，τ被称为子对策ht中f引导的路径。尽管我∈ 一、 右∞uidτ是这个子游戏中玩家i的报酬。子博弈完美均衡的概念定义如下：定义2（s PE）。子游戏完美均衡是一种策略，适用于所有人∈ 一、 t≥ 0和λt-几乎所有ht∈ 玩家我不能通过单方面改变策略来提高他在子游戏中的支付能力。下面的定理是我们的主要结果，它证明了在ARM和连续一致的条件下，完全平衡的存在性。它的证据留在附录中。定理1。如果一个动态博弈满足ARM条件并且是连续的，则它具有子博弈完美均衡。让Et（ht-1） 是子博弈中的子博弈完美均衡报酬集-1.下面的结果证明了对应命题1的紧性和上半连续性。

如果一个动态博弈满足ARM条件，并且在本质上是连续的，那么ETI是非空的、紧值的，并且基本上是Xt上的分段半连续的-1.3具有粘性价格的动态寡头垄断市场在本节中，我们考虑了一个动态寡头垄断市场，在这个市场中，企业面临随机需求/成本和跨期依赖的支付。这种模型是著名的动态寡头垄断模型的变体，如ed inGreen和Porter（1984）和Rotemberg和Saloner（1986），后者研究了企业对需求波动的响应。我们的例子的关键特征是粘性价格效应的存在，这意味着需求方对商品的需求可能取决于累积的过去产出，因此给出了与时间相关的支付函数。一个性质被认为适用于λt-几乎所有的ht=（xt，st）∈ Htif满足λt-几乎所有st∈ 全力以赴∈ Ht（st）。当状态空间不可数且有参考测度时，自然会考虑概率意义下几乎所有子历史的最优性；例如，见Abreu、Pearce和Stacchetti（1990）及其脚注4。假设Y，Yand都是波兰空间，Z Y×Yandη是一个Borel概率测度，表示Z（Y）={Y∈ Y:（Y，Y）∈ Z} 对任何人来说∈ Y.函数（对应）f:Z→ Yis sa id在Yif（y，·）上基本上是连续的，几乎所有y在Z（y）上都是连续的。同样，我们可以定义相应的基本上半连续性。我们考虑一个动态寡头垄断市场，在这个市场中，企业在有限的范围内生产同质商品。逆需求函数用Pt（Q，…，Qt，st）表示，其中Qt是行业产出，stt是每iod t的可观察需求冲击。请注意，价格取决于过去的产出。

一个可能的原因可能是，消费者的欲望将受到他们之前消费的影响，因此价格不会立即调整。假设PTI是一个有界函数，在（Q，…，Qt）中连续，在st中可测量。在周期t中，冲击STI从集合st=[at，bt]中选择。我们用Qt=Pni=1qti时的qtio th来表示公司i在t期间的产出。考虑到产出qti和冲击st，t期内企业i的成本为cti（qti，st），其中cti在qti中大量存在，在st中可以测量。企业i的贴现系数为βi∈ [0,1）。事件的时间安排如下。1.在t期开始时，所有公司都学习st的实现，这是由运动定律κt（·s，Q，…，st）决定的-1，Qt-1). 假设κt（·| s，Q，…，st-1，Qt-1） 对于密度为φt（s，Q，…，st）的st上的均匀分布是绝对连续的-1，Qt-1，st），其中有界，连续于（Q，…，Qt）-1） 可在（s，…，st）中测量。然后，企业同时选择产出qt=（qt1，…，qtn）的水平，其中qti∈ Ati（st，Qt）-1)  对于i=1，2，n、 特别是，响应ATI给出了Firm i的可用动作，该动作是非空的、紧凑的、在st中可测量的、在Qt中连续的-1.3. 然后，所有企业的战略选择成为常识，这一阶段的游戏将重复。在周期t中，给定冲击站，输出{qk}1≤K≤用qk=（qk1，…，qkn）乘以时间t，企业i的收益为（q，…，qt，st）=Pt（nXj=1q1j，…，nXj=1qtj，st）- cti（qti，st）qti。给定一个输出序列{qt}t≥1和冲击{st}t≥1.我公司收到报酬（q，s）+∞Xt=2βt-1iuti（q，…，qt，st）。备注1。我们的动态寡头垄断模型具有非平稳结构。特别是，这种转变和回报取决于历史。

该示例捕获了一种情况，即同质产品的价格不会立即调整到给定产出水平下其需求函数所指示的价格。如需了解更多具有跨期依赖性效用的应用，请参阅Ryder and Heal（1973）、Fershtman and Kamien（1987）和Becker and Murphy（1988）。如果模型是平稳的，且反向需求函数仅取决于当前的产出，则该示例简化为具有需求波动的动态寡头垄断博弈，如Rotemberg和Saloner（1986）所述。根据上面的条件（1），手臂状态是满足的。也很容易看出，游戏在整体上是连续的。根据定理1，我们得到以下结果。推论1。动态寡头垄断市场具有次优均衡。4主要结果的变化在本节中，我们将考虑主要结果的几种变化。在第4小节。1.我们仍然考虑动态博弈，其参数在动作中是连续的，在状态中是可测量的。我们通过两种方式部分缓解了手臂状况。首先，我们允许在某些阶段只有一个活跃的玩家（但不是自然的），在这里手臂类型条件被删除。其次，我们在任何其他阶段的状态转变中引入了一个附加的弱连续分量。此外，我们允许每个时期的状态转换取决于当前的行为以及以前的历史。因此，我们将动态博弈模型与完美和几乎完美的信息结合起来。我们证明了一个子博弈性能均衡的存在性，即当在某一阶段只有一个活跃的参与者时，该参与者可以作为均衡策略的一部分来使用pu策略。作为一个副产品，我们得到了随机对策的一个新的存在性结果。

对于具有完全信息（有或无性质）的动态博弈，给出了纯策略子博弈完美均衡的存在性，作为直接推论。在第4小节。2.我们考虑了连续动态博弈的特例，即所有模型参数在行为变量和状态变量中都是连续的。在s弱的条件下，我们可以得到相应的结果。我们的特例涵盖了具有完全和几乎完全信息的连续动态博弈的所有先前存在性结果。我们将尽可能地遵循第2节中的设置和符号。简单地说，我们只描述我们需要对模型进行的更改。所有的屋顶都留在附录中。4.1具有部分完美信息和广义ARM条件的动态博弈在本小节中，我们将在三个方向上推广第2节中的模型。对ARM条件进行了部分限制，以便（1）在某些阶段允许完全信息，以及（2）在所有其他阶段，状态转换具有弱连续分量。此外，任何时期的国家过渡都会依赖于现阶段的行动计划以及之前的历史。最新的变化使我们能够用完美和几乎完美的信息来梳理动态游戏的模型。第二个推广意味着，在Banach的有限测度中，状态转换不需要是范数连续的。最后一个修改将随机博弈模型作为一个特例。这些变化描述如下。1.状态空间是两个波兰空间的乘积空间；也就是说，对于每个t，St=^St××stt≥ 1.2.

每一次我∈ 一、 来自Ht的行动响应-1到XTII可测、非空且紧值且在Xt上分段连续-1×^St-1.自然的附加成分由从Gr（At）到^St的可测量、非空且闭值的对应关系^AT0给出，该对应关系在Xt×St上部分连续-1.Th en Ht=Gr（^At0）×St和H∞是x的子集∞×S∞这样（x，s）∈ H∞if（xt，st）∈ HTT≥ 0.3. 自然的选择不仅取决于历史-1，也是在现阶段的行动纲领上。状态转换ft0（ht-1，xt）=^ft0（ht-1，xt）~ft0（高温）-1，xt），其中^ft0是从Gr（At）到M（St）的转移概率，使得^ft0（^At0（ht-1，xt）| ht-1，xt）=1表示所有（ht）-1，xt）∈ Gr（At）和ft0是从Gr（^At0）到M（~St）的转移概率。每一次我∈ 一、 Payoff函数Ui是一个Borel可测量的映射，从H开始∞对于R++而言，它以γ>0为界，并且在X上是连续的∞×^S∞.我们允许玩家在某些阶段拥有完美的信息。对于t≥ 1.Lent=1，如果ft0（ht-1，xt）≡ 对于某些站|{i∈ I:Atiis not point valued}|=1；0，否则，其中| K |表示集合K中的点数。因此，如果某个阶段t的Nt=1，则在该阶段t中处于活动状态的玩家是唯一具有完美信息的活跃玩家。我们将在只有一名球员的情况下，在这些阶段降低手臂状况，并在其他阶段削弱手臂状况。假设3（ARM′）。1.对于任何t≥ 当Nt=1时，sti是一个单态集{st}，λt=δ'st.2。每个t≥ 1当Nt=0时，^ft0在Xt×^St上是分段连续的-1.概率度量ft0（·| ht）-1，xt，^st）对于无原子Borel概率测度λtonStfor all（ht）是绝对连续的-1，xt，^st）∈ Gr（^At0）和^t0（ht）-1，xt，^st，~st）是相应的密度。3.

映射φT0是Borel可测的，并且在Xt×^St上是分段连续的，并且在存在λt-可积函数φt:~St的意义下是积分有界的→ R+使аt0（ht-1，xt，^st，^st，）≤ 任何（ht）的φt（~st）-1，xt，^st）。下面的命题表明，在更一般的情况下，存在性结果仍然成立。提议2。如果一个有限视界动态博弈满足ARM条件且在同一时间连续，则它拥有一个子博弈完美均衡f∈ 我和t≥ 1，这样Nt=1，玩家j是这个时期唯一的活跃玩家，FTJC可以是确定性的。此外，平衡支付是非空且紧的，并且在Xt上基本上是分段半连续的-1×^St-1.备注2。上述命题还暗示了随机对策子对策完美均衡的一个新的存在性结果。考虑一个状态不可数的标准随机博弈，如Mertens和Parthasarathy（1987）。Mertens和Parthasarathy（1987）通过假设状态转移对于前一阶段的行为是范数连续的，证明了子博弈完美均衡的存在性。相反，我们的命题2允许状态转换具有弱连续成分。完全信息动态博弈是一类特殊的动态博弈，玩家可以按顺序移动。如脚注6所述，此类博弈已被广泛研究，并在经济学中得到广泛应用。作为中间推论，下面给出了完全信息动态博弈的一个均衡存在性结果。推论2。

如果一个完全信息的动态博弈满足ARM条件且在单位上是连续的，则它具有一个纯策略子博弈完美均衡。在本小节中，一个属性被称为λt-几乎所有ht∈ h如果满足λt-almostallst∈■全部站立（xt，^st）∈ Ht（~st）。4.2部分完全信息的连续动态博弈在本小节中，我们将研究一个具有连续结构的有限视界动态博弈。如前一小节所述，我们允许状态转换取决于当前阶段的动作文件以及之前的历史，玩家在某些阶段可能拥有完美的信息。1.每个t≥ 1.自然的选择不仅取决于历史-1，也是在这个舞台上的行动纲领。无论如何≥ 1，假设At0是从Gr（At）到St的连续、非空、闭值对应关系，那么Ht=Gr（At0），H∞是X的子集∞×S∞这样（x，s）∈ H∞if（xt，st）∈ HTT≥ 0.2. 自然的作用是通过从Gr（At）到M（St）的连续映射ft0给出的，这样ft0（At0（ht-1，xt）| ht-1，xt）=1表示所有（ht）-1，xt）∈ Gr（At）。3。每个t≥ 1.Lent=1，如果ft0（ht-1，xt）≡ 对于某些站|{i∈ I:Atiis not point valued}|=1；否则为0。定义3。一个动态博弈称为连续博弈，如果对于每个t和i，1。这种作用在Ht上是连续的-1.2.转移概率FT0在Gr（At）上是连续的；3.支付函数uih是连续的∞.请注意，在连续的动态博弈中，“连续性在一致性”条件会自动得到满足。接下来，我们提出了状态空间上“无原子跃迁”的条件，这意味着状态跃迁在任何阶段都是无原子概率测度。该状况略弱于ARM状况。假设4（无原子跃迁）。1.

无论如何≥ 当Nt=1时，Stis-asingleton集{st}。每个t≥ 1，Nt=0，ft0（ht-1） 这是每个ht的无原子Borel概率测度-1.∈ Ht-1.由于我们研究的是连续动态博弈，我们可以采用一个稍微强一点的子博弈完美均衡。也就是说，考虑到所有其他玩家的策略，每个玩家的策略在每个子游戏中都是最优的。定义4（SPE′）。子博弈完美均衡是一种策略，对于所有人来说都是如此∈ 一、 t≥ 0和所有ht∈ 玩家我不能通过单方面改变策略来提高他在子游戏中的收益。关于平衡存在性的结果如下所示。提议3。如果一个连续动态博弈有无原子转移，那么它就有一个子博弈完美均衡f。特别是对于j∈ 我和t≥ 1如果Nt=1，且玩家j是这一时期唯一活跃的玩家，则FTJC可以确定。此外，ETI是非空的，紧值的，并且在Ht上是半连续的-1对于任何t≥ 1.备注3。命题3超越了哈里斯、雷尼和罗布森（1995）的主要结果。他们通过引入公共随机化装置，证明了在几乎完全信息的连续动态博弈中存在子博弈完美相关均衡，该装置不影响支付、转移或行动对应。很容易看出，他们的模型自动满足无原子跃迁的条件。我们模型中的状态完全是内生的，即它影响所有模型参数，如支付效应、转换和动作对应。备注4。上述命题3为连续随机对策提供了一个新的存在性结果。如前一小节所述，对于状态转移具有强连续性假设（即范数连续性）的一般随机对策，证明了子对策完美均衡的e xi性。

相反，我们只需要要求状态转移是弱连续的。备注5。无原子跃迁的条件是最小的。特别是，纽特默和马里奥提（2003）提供的CounterExample是一个具有完美信息和性质的连续动态博弈，没有任何子博弈完美均衡。在他们的例子中，自然在第三个周期是活跃的，但状态转变可能有原子。因此，我们的无原子跃迁条件被违反了。下一个推论来自命题3，它给出了具有完美信息（和性质）的连续动态博弈的存在性结果。推论3。如果一个具有完全信息的连续动态博弈具有无原子转移，则它具有一个纯策略子博弈完美均衡。备注6。Harris（1985）、Hellwig和Leininge r（1987）、B¨orgers（1989）和Hellwig等人（1990）证明了具有完全信息的连续动态对策中存在次优均衡。特别是，这些论文中都没有大自然。Luttmer和Mariotti（2003）提供了一个具有完美信息的五阶段连续动态博弈的例子，其中存在自然，不存在子博弈完美均衡。据我们所知，唯一已知的具有完美信息和性质的（有限或有限视界）连续动态游戏的普遍存在结果是，通过公共随机化，子游戏完美相关均衡的存在，如inHarris、Reny和Robson（1995）。推论3将所有这些e xi恶臭结果作为特殊情况覆盖。5附录5。1技术准备在这一小节中，我们提出几个引理作为证明定理1的数学准备。