几乎完全信息的动态游戏

由于书信在证明中会被广泛使用，为了方便读者，我们收集了几个已知的结果，称为引理。设（S，S）是可测空间，X是具有Borelσ代数B（X）的拓扑空间。从S到X的对应ψ是从S到X的所有子集的空间的函数。子集A的上逆ψuo X是ψu（A）={s∈ S:ψ（S） A} 。a子集a的下逆ψlof X是ψl（A）={s∈ S:ψ（S）∩ A 6=}.对应关系ψ为1。弱可测，如果ψl（O）∈ 对于每个开子集O 十、2.可测量，如果ψl（K）∈ 每个闭子集K的S ψ的图形用Gr（ψ）={（s，X）表示∈ S×X:S∈ S、 x∈ ψ（s）}。如果Gr（ψ），则响应ψ有助于得到一个可测量的图形∈ s B（X）。如果S是一个拓扑空间，那么ψ是1。上半连续，如果ψu（O）对每个开子集O是开的 十、2.下半连续，如果ψl（O）对每个开子集O是开的 引理1。假设X是一个波兰空间，K是X的所有非空紧子集的集合，赋以hausdorff度量拓扑。那么K是无偏空间。证据根据Aliprantis和d Border（2006）的定理3.88（2），K是完全的。此外，Aliprantis和Border（2006）的推论3.90和定理3.91暗示K是可分的。因此，K是一个波兰空间。引理2。设（S，S）是一个可测空间，X是一个具有孔lσ-代数B（X）的波兰空间，K是一个具有hausdorff度量拓扑的X的非空紧子集空间。假设ψ：S→ X是一个非空闭值对应。1.如果ψ是弱可测的，那么它有一个可测图。2.如果ψ是紧值，那么以下语句是等价的。（a） 对应ψ是弱可测的。（b） 对应ψ是可测量的。（c） 函数f:S→ K、 由f（s）=ψ（s）定义，i是可测量的。3.假设S是一个拓扑空间。

如果ψ是紧致值，那么函数f:S→ 由f（s）=ψ（s）定义的K是连续的当且仅当响应ψ是连续的。4.假设（S，S，λ）是一个完全概率空间。那么ψ是S-可测的当且仅当它有一个可测图。5.响应ψ：S→ 在两个波兰语空格之间，以下语句是等效的。（a） 对应ψ在点s处是低半连续的∈ S.（b）如果sn→ s、 然后每x∈ ψ（s），存在{sn}和元素xk的子序列{snk}∈ 每k的ψ（snk），使得xk→ x、 六,。为了响应ψ：S→ 在两个波兰语空格之间，以下语句是等效的。（a） 对应ψ在s点是上半连续的∈ S和ψ（S）是紧的。（b） 如果ψ图中的序列（sn，xn）满足sn→ s、 那么序列{xn}在ψ（s）中有一个极限。给定通信F:X→ Y和G:Y→ Z、 由g（F（x））定义的成分F和Gis=∪Y∈F（x）G（y）。上半连续对应的成分是上半连续的。下半连续对应的成分是低流连续的。证据性质（1）、（2）、（3）、（5）、（6）和（7）分别是Aliprantis和Border（2006）的定理18.6、18.10、17.15、17.20、17.21和17.23。性质（4）是赫斯（2002）的定理4.1（c）。引理3。1.从可测空间（S，S）到拓扑空间X的对应ψ是弱可测的，当且仅当其闭包对应ψ是弱可测的，其中对于每个S∈ S、 ψ（S）=ψ（S），而ψ（S）是X.2中集合ψ（S）的闭合。对于从可测空间（S，S）到波兰空间的对应序列{ψm}，并对应ψ（S）=∪M≥如果每个ψ都是弱可测的，那么1ψm（s）是弱可测的。如果每个ψ都是弱可测且紧值的，则相交对应Φ（s）=∩M≥1ψm（s）是弱可测的。3.

从可测空间到波兰空间的弱可测、非空、闭值对应允许可测选择。4.紧度量空间与闭图的对应是可测的。5.从可测空间（S，S）到波兰空间的非空紧值对应ψ是弱可测的当且仅当存在序列{ψ，ψ..}ψ的可测量选择，使得ψ（s）={ψ（s），ψ（s），…}对于每个人来说∈ S.6。紧集在紧值上半连续对应下的像是紧的。如果域是紧的，则紧值上半连续对应的图是紧的。7.闭图对应与上半连续紧值对应的交集是上半连续的。8.如果响应ψ：S→ rli是紧值上半连续的，那么ψ的凸包也是紧值上半连续的。证据性质（1）-（7）分别是引理18.3和18.4、定理18.13和18.20、推论18.15、L emma 17.8和定理17.25 inAliprantis和Border（2006）。8号房产是希尔登布兰德的第6号房产（1974年，第26页）。引理4。1.Lusin定理：假设s是Polishspace的Borel子集，λ是s上的Borel概率测度，s是B（s）在给定对应关系F:X的情况下的完备→ Y和X的子集a，F下a的图像定义为bethe集∪十、∈AF（x）。λ以下。设X为波兰空间。如果f是S-toX的S-可测映射，那么对于任何>0，都存在一个紧子集S λ（S\\S）<使得f对Sis的限制是连续的。2.设（S，S）为可测空间，X为波兰空间，Y为可分Banach空间。

设ψ：S×X→ 你会成为一个骗子吗 B（X）-可测的，非空的，凸的，紧值对应，在X上是次连续的。然后存在一个SB（X）-在X.3上连续的ψ的可测选择ψ。设（S，S，λ）为有限测度空间，X为波兰空间，Y为局部凸线性拓扑空间。让F:S→ X是一个闭值对应关系，表示Gr（F）∈ s B（X）和f:Gr（f）→ Y是一个在X上分段连续的可测函数。然后存在一个可测函数f′：S×X→ 使得（1）f′是截面连续的inx，（2）对于λ-几乎所有的s∈ S、 f′（S，x）=所有x的f（S，x）∈ F（s）和F′（s，X） cof（s，F（s））。证据Lusin的定理是Bogachev（2007）的定理7.1.13。性质（2）和（3）分别是费罗、马丁内斯和莫拉莱斯（2006）以及布朗和施赖伯（1989）的定理1和定理2.7。下面的引理给出了对应积分的凸性、紧性和连续性。设（S，S，λ）是无原子概率空间，X是波兰空间，f是S到Rl的对应。De noteZSF（s）λ（ds）=ZSf（s）λ（ds）：f是f在s上的可积选择.1.如果F是可测的、非空的、闭值的，且λ-可积有界于某个可积函数ψ：S→ 对于λ-几乎所有的s∈ S、 kyk≤ ψ（s）表示任意y∈ F（s），则rsf（s）λ（ds）是非空的、凸的和紧的，并且zsf（s）λ（ds）=ZScoF（s）λ（ds）。如果G是S×X的可测非空闭值对应→ rl使得（1）G（s，·）在XF上是上半连续的（分别是下半连续的）∈ S、 和（2）gisλ-可积有界于某个可积函数ψ：S→ 对于λ-几乎所有的s∈ S、 kyk公司≤ 任意x的ψ（s）∈ X和y∈ G（s，x），则rsg（s，x）λ（ds）是上。

对于线性拓扑空间中的任意SETA，coA表示A的凸壳。见定理2、3和4、命题7和命题8，以及D.II部分的问题6。希尔登布兰德（1974）的第4部。下面的结果证明了L yapunov定理的一个可测版本，该定理取自Mertens（2003）。设（S，S）和（X，X）是可测空间。从S到X的概率是从S到（X，X）上概率测度空间M（X）的映射，使得f（B |·）：S→ f（B | s）是每个B的s-可测f∈ 十、引理6。设f（·| s）是从一个可测空间（s，s）到另一个可测空间（X，X）（X是可分离的）的转移概率。设Q是从S×X到Rl的可测、非空、紧值对应，它是f可积的，因为对于Q的任何可测选择Q，Q（·S）对于任何S是f（·S）绝对可积的∈ S.LetRQ df是从S到RlDefined byM子公司的通信=ZQ df（s）=ZXq（s，x）f（dx | s）：q是q的可测量选择.用J表示M的图。设J是乘积σ-代数的限制 B（Rl）到J.1。M是可测的、非空的、紧值对应；（X×J，X）上有一个可测的Rl值函数g J）这样的g（x，e，s）∈ Q（x，s）和e=RXg（x，e，s）f（dx | s）。假设（S，S）是一个可测空间，S是一个赋有Borelσ-代数的Polish空间，S=S×S赋有乘积σ-代数。设D是S的S-可测子集，使得D（S）对anys是紧的∈ S.σ-代数D是S对D的限制。设X是一个波兰空间，是一个从D到X的D-可测、非空、闭值对应，在S上是分段连续的。下面的引理考虑了引理6中定义的对应M的上半连续性。引理7。

设f（·| s）是从（D，D）到M（X）的转移概率f（a（s）| s）=1f或任意s∈ D、 在S上是分段连续的。设G是从Gr（A）到Rl的丰富的、可测的、非空的、凸的和紧值的对应，它在S×X上是分段上半连续的。Letg df bethe从D到Rl的子集的对应由M（S）定义=ZG df（s）=ZXg（s，x）f（dx | s）：g是g的可测量选择.如果σ-代数是由可数集合生成的，则称其为可分的。那么M是S-可测的、非空的、紧值的，并且在S-证明上是分段上半连续的。定义一个对应关系G:S×X→ RlasG=G（s，x），if（s，x）∈ Gr（A）；{0}，否则。然后M（s）=R~G df（s）=RG df（s） 。可测性、非空性和紧性来自引理6。考虑到∈ 假设（1）D（s）6=,（2） f（s，·）和G（s，·，·）是上半连续的。M（s，·）的上半连续性来自引理2 inSimon和Zame（1990）以及引理4 inReny和Robson（2002）。现在我们陈述了过渡对应的一些性质。引理8。假设Y和Z是波兰空间。设G是从Y到M（Z）的可测、非空、凸、紧值对应。确定从M（Y）到M（Z）asG′（ν）的对应关系G′=ZYg（y）ν（dy）：g是g的一个Borel可测选择.1.对应关系G′是可测的、非空的、凸的和紧值的。2.对应关系G是上半连续的当且仅当G′是上半连续的。另外，如果G是连续的，那么G′是连续的。证据（1） 是《兰蒂斯和边界》（2006）的引理19.29。根据其中的定理19.30，G是上半连续的当且仅当G′是上半连续的。

如果G是低半连续的，我们需要证明G′是低半连续的。设Z有一个完全有界度量，U（Z）Z上有界、实值和一致连续函数的空间有上界范数。选择一个可数集{fm}m≥1. U（Z）使得{fm}集中在U（Z）的单位球中。他不软弱吗*M（Z）的拓扑结构可以通过metricdz进行度量，w（u，u）=∞Xm=1mZZfm（z）u（dz）-ZZfm（z）u（dz）对于每对u，u∈ M（Z）。假设{νj}j≥0是M（Y）中的一个序列，使得→ νas j→ ∞ .选择任意一点∈ G′（ν）。根据G′的定义，存在一个可测量的选择G，使得u=RYg（y）ν（dy）。每k≥ 1，根据引理4（Lusin定理），存在一个紧子集Tdk 使得g在Dk上是连续的，且ν（Y\\Dk）<3k。确定相应的Gk:Y→ M（X）如下：Gk（y）={g（y）}，y∈ Dk；G（y），y∈ 是的。然后gk是非空的，凸的，紧值的，下半连续的。根据定理3.22 inAliprantis和Border（2006），Y是仿紧的。然后根据迈克尔的选择定理（参见定理17.66 inAliprantis and Border（2006）），它有一个连续选择gk。对于每个k，自νj→ ν和gk是连续的，RYgk（y）νj（dy）→RYgk（y）ν（dy）在任何m的意义上≥ 1，ZYZZfm（z）gk（dz | y）νj（dy）→ZYZZfm（z）gk（dz | y）ν（dy）。因此，存在一个点νjk，使得{jk}是ddz的递增序列ZYgk（y）νjk（dy），ZYgk（y）ν（dy）<3k。此外，由于gk与Dk上的g重合，且ν（Y\\Dk）<3k，dzZYgk（y）ν（dy），ZYg（y）ν（dy）<3k。因此，dzZYgk（y）νjk（dy），ZYg（y）ν（dy）<k、 对于每个k，设ujk=RYgk（y）νjk（dy）。然后ujk∈ G′（νjk）和ujk→ uas k→ ∞.通过引理2，G′是下半连续的。引理9。设X，Y和Z是波兰空间，G是从X到M（Y）的可测、非空、紧值对应。假设F是从X×Y到M（Z）的可测、非空、凸、紧值对应。

从X到M（Y×Z）的∏对应关系如下：∏（X）={g（X） f（x）：g是g的Borel可测选择，f是f}的Borel可测选择。如果F在Y上是分段连续的，则∏是可测的、非空的、紧值对应。2.如果存在一个从X到M（Y）的函数g，使得g（X）={g（X）}f或anyx∈ 十、 那么∏是一个可测的、非空的、紧值对应关系。3.如果G和F都是连续对应，那么∏是非空且紧值的连续对应。4.如果G（x）≡ {λ} 对于某些固定的Borel概率测度λ∈ M（Y）和F在X上是分段连续的，那么∏是连续的、非空的、紧值对应。证据（1） 定义三个对应关系F:X×Y→ M（Y×Z），^F:M（X×Y）→M（Y×Z）和ˇF:X×M（Y）→ M（Y×Z）如下：~f（x，Y）={δY u: u ∈ F（x，y）}，^F（τ）=ZX×Yf（x，y）τ（d（x，y））：f是f的Borel可测选择,ˇF（x，u）=^F（δx） u).因为F是可测的、非空的、凸的和紧值的，~F是可测的、非空的、凸的和紧值的。通过引理8，相应的^F是可测的、非空的、凸的和紧值的，并且^F（x，·）在任意x的m（Y）上是连续的∈ 由于G是可测且紧值的，因此存在一系列可测选择{gk}k≥G（x）={G（x），G（x），…}对于anyx∈ 引理3（5）的X。每k≥ 1.通过让∏k（X）=71f（X，gk（X））=^F（X）定义一个对应关系∏kfrom X toM（Y×Z） gk（x））。然后∏kis是可测的、非空的、凸的和紧值的。修正任何x∈ 显然∏（X）=ˇF（X，G（X））是一个非空值。由于g（x）是紧的，且71f（x，·）是紧值且连续的，因此∏（x）由引理3紧。因此，{∏（x），π（x），…} π（x）。修正任何x∈ X和τ∈ π（x）。存在一个点∈ G（x）使得τ∈ˇF（x，ν）。

自{gk（x）}k≥1在G（x）中是稠密的，它有一个子序列{gkm（x）}，使得gkm（x）→ ν. 由于71f（x，·）是连续的，所以71f（x，gkm（x））→ˇF（x，ν）。也就是τ∈{ˇF（x，g（x）），ˇF（x，g（x）），…}={∏（x），∏（x），…}。因此，{∏（x），π（x），…}=π（x）对于任何x∈ 引理3（5）暗示∏是可测量的。在Harris、Reny和Robson（1955）的引理29中，他们证明∏是上半连续的ifG和F都是上半连续的。（2） 如（1）所示，对应^F是可测的、非空的、凸的和紧值的。如果G是一个可测函数，那么∏（x）=^F（x） G（x）），它是可测的，非空的，紧值的。（3） 我们继续处理两个对应关系F:X×Y→ M（Y×Z）和^F:M（X×Y）→ M（Y×Z）如第（1）部分所述。通过F上的条件，可以明显地看出，对应关系F是连续的、非空的、凸的和紧值的。引理8暗示了对应关系^F的性质。定义对应关系^G:X→ M（X×Y）as^G（X）=δX G（x）。由于^G和^F都是非空值，因此∏（x）=^F（^G（x））是非空的。由于^G是紧值且^F是连续的，因此∏由引理3是紧值的。由于^G和^F都是连续的，所以∏由引理2（7）连续。（4） 下半连续性来自命题4.8因森（1997）。无空性和紧致性来自于Arantis and Border（2006）的推论18.37，而上半连续性则来自于紧致性。下面的结果给出了引理6在传递响应方面的一个变体。引理10。设X和Y是波兰空间，Z是Rl+的紧子集。设G是X-toM（Y）的可测非空紧值对应。假设F是从X×Y到Z的可测的、非空的、凸的、紧的值相关。

定义从X到Z的对应关系∏如下：∏（X）={ZYf（X，y）g（dy | X）：g是g的Borel可测选择，f是f的Borel可测选择。如果F在Y上是连续的，那么1。对应关系F:X×M（Y）→ Z为∧F（x，ν）=RYF（x，y）ν（dy）在M（y）上是连续的；和2。π是可测的、非空的、紧值的对应关系。3.如果F和G都是连续的，那么∏是连续的。证据~F（x，·）的上半连续性源于引理7，而~F（x，·）的下半连续性的证明与引理8相似。（2）和（3）的证明遵循与引理9的证明类似的论证。引理11。设S，X和Y是赋有Borelσ-代数的波兰空间，S上的λa Borel概率测度表示S在概率测度λ下S的Borelσ-代数B（S）的完备。假设D i是a B（s）B（Y）－S×Y的可测子集，其中D（S）是非空的，且对all是紧的∈ 设A是从D到X的非空紧值对应，在Y上是分段连续的，并且有一个B（S×Y×X）-可测图。（i）~A（s）=Gr（A（s，·））是从s到非空紧子集KY×Xof Y×X的se-t的s-可测映射；（ii）存在可数个不相交的紧致子集{Sm}m≥S中的1使得（1）λ(∪M≥1Sm）=1，每m（2）≥ 1，Dm=D∩（Sm×Y）是紧的，A是非空的、紧值的，并且在每个Dm上是连续的。证据（i） A（s，·）是连续的，D（s）是紧的，Gr（A（s，·）） Y×X由引理3压缩。因此，~A是非空且紧值的。由于A有一个可测图，~A是由引理2（4）从S到非空紧子集集KY×Xof Y×X的S-可测映射。（ii）确定从S到Y的对应关系，使其在D=Y∈ Y:（s，Y）∈D} 。那么∧D是非空且紧值的。