几乎完全信息的动态游戏

如（i）中所述，D是S-可测的。根据引理4（卢辛定理），存在一个紧子集s 使得λ（S\\S）<、D和A是S上的连续函数。通过引理2（3），~D和A是S上的连续对应。设D={（S，y）∈ D:s∈ S、 y∈~D（s）}。由于Sis紧和＠D是连续的，因此Dis紧（见引理3（6））。遵循相同的程序，对于任何m≥ 1.存在一个紧子集 例如：（1）Sm∩(∪1.≤K≤M-1Sk）= Dm=D∩ （Sm×Y）是紧的，（2）λ（Sm）>0和λ（S(∪1.≤K≤mSm）<2m，且（3）A在Dm上是非空且紧值且连续的。这就完成了证明。引理12。设S和X是波兰空间，λ是Borel概率测度。假设{Sk}k≥1是S的不相交紧子集序列，使得λ(∪K≥1Sk=1。对于每个k，针对任何可测量子集D，在Skasλk（D）=λ（D）λ（Sk）上定义一个概率度量 Sk。设{νm}m≥0是从S到M（X）的转移概率序列，τM=λ 对于任何m≥ 0.则τmweaklyconverge为τ当且仅当λk νm弱收敛于λk 每k的ν≥ 1.证据。首先，我们假设τm弱收敛于τ。对于任何闭子集 Sk×X，我们有lim supm→∞τm（E）≤ τ（E）。就是这样，林先生→∞λνm（E）≤λ  ν（E）。对于任意k，λ（Sk）lim supm→∞λ  νm（E）≤λ（Sk）λ ν（E），这意味着lim supm→∞λk νm（E）≤ λk ν（E）。因此，λk νm弱对流到λk 每k的ν≥ 1.其次，我们考虑λk νm弱收敛于λk ν对于eachk≥ 1.对于任何闭子集E S×X，设Ek=E∩（Sk×X）每k≥ 1.那么{Ek}是不相交的闭子集和lim-supm→∞λk νm（Ek）≤ λk ν（Ek）。自λk νm（E′）=λ（Sk）λ 任意k，m和可测子集E′的νm（E′） Sk×X，我们有那个lim supm→∞λ  νm（Ek）≤ λ  ν（Ek）。

因此，Xk≥我是苏普姆→∞λ  νm（Ek）≤Xk≥1λ  ν（Ek）=λ ν（E）。因为极限s superior是次可加的，所以我们有xk≥我是苏普姆→∞λ  νm（Ek）≥ 林苏普→∞Xk≥1λ  νm（Ek）=lim supm→∞λ  νm（E）。因此，lim supm→∞λ  νm（E）≤ λ  ν（E），这意味着τmweaklyconverge到τ。引理13。假设X，Y和S是波兰空间，zi是紧度量空间。设λ是S上的Borel概率测度，a是从Z×S到X的非空紧值对应，它在Z上是分段上半连续的，有一个B（Z×S×X）-可测图。设G是从Z到M（X×S）的非空紧值连续对应。我们假设anyz∈ Z和τ∈ G（z），S上τ的边缘为λ，τ（Gr（A（z，·））=1。Le t F是Gr（A）的可测、非空、凸和紧值对应→M（Y）表示F在Z×X上是分段连续的。通过让∏（Z）={g（Z）定义从Z到M（X×S×Y）的对应∏ f（z，·）：g是g的Borel可测选择，f是f}的Borel可测选择。那么对应关系∏是非空的、紧值的、连续的。证据设S为p概率测度λ下B（S）的完备。11、~A（s）=Gr（A（s，·））可以看作是从s到非空紧子集集KZ×Xof Z×X的s-可测映射∈ S、 对应关系Fs=F（·，S）在A（S）上是连续的。通过引理4，在Z×X×stom（Y）中存在一个可测的、非空的和紧值的对应关系F，以及一个λ（s′）=1的s的Borel可测s子集s′，使得对于每个∈ 在Z×X上，S′，~fsa是连续的，~Fsto~A（S）的限制是Fs。根据Lemm a4（Lusin定理），存在一个紧子集s S′这样的A在沙上是连续的λ（S）>。设K=~A（S）。

然后K Z×X是紧的。设C（K，KM（Y））是从Kto到KM（Y）的连续函数空间，其中KM（Y）是M（Y）的非空紧子集集。假设S对Sis S的限制。让＠fB限制＠F到K×S。然后＠fC可以被视为来自Sto C（K，KM（Y））的S-可测函数（见定理4.55 inAliprantis and Border（2006））。同样通过引理4（Lusin’stheorem），存在S的一个紧子集，比如说它本身，使得λ（S）>和Fis在S上是连续的。因此，Fis在R（a）上是连续的对应∩ （S×Z×X），so是F。设λ是任意可测su bset D上λ（D）=λ（D）λ（S）的概率测度 修正任何错误∈ Z和τ∈ G（z）。根据G的定义，存在从S到X的转移概率ν，因此λ ν = τ. 将对应关系GfromZ定义为M（X×S），如下所示：对于任何z∈ Z、 G（Z）是所有τ=λ的集合 所以τ=λ ν ∈ G（z）。可以很容易地看出，Gis也是一种非单调的、紧值的、连续的对应关系。设∏（z）={τ f（z，·）：τ=λ ν ∈ G（z），f是f}的一个Borel可测选择。根据引理9，π是非空的、紧值的、连续的。此外，很容易看出，对于任何z，π（z）与集合{（λ）重合 ν)  f（z，·）：λ ν ∈ G（z），f是f}的Borel可测选择。重复这个过程，我们可以找到一系列的紧致子集{St}，比如（1）对于任何t≥ 1号街 S′，圣∩ （S）∪ . . . 圣-1) =  λ（S）∪ . . . ∪ （圣）≥tt+1，（2）F在Gr（A）上是连续的∩（St×Z×X），λ是关于任意可测子集D的λt（D）=λ（D）λ（St）的概率测度 和（3）对应∏t（z）={（λt） ν)  f（z，·）：λ ν ∈ G（z），f是f}的Borel可测选择。是非空的、紧值的、连续的。选择一个序列{zk}，{νk}和{fk}，这样（λνk）fk（zk，·）∈ π（zk），zk→ zand（λ） νk） fk（zk，·）弱收敛于某个κ。

很容易看出（λt νk）fk（zk，·）∈ πt（zk）对于每一个t。由于∏是紧值连续的，所以它有一个序列，比如说它本身，即zk收敛到某个z∈ Z和（λνk）fk（zk，·）弱收敛于某些（λ） u)  f（z，·）∈ π（z）。重复这个过程，可以得到{um}和fm的序列。对于任意x，设u（s）=um（s）和f（z，s，x）=fm（z，s，x）∈ A（z，s）当s∈ SM通过引理12，（λ u)  f（z，·）=κ，其中∏是上半连续的。同样地，∏的紧致性和下半连续性来自于每个t.引理14的∏t的紧致性和下半连续性。设S和X是波兰空间，A是从S到X的可测、非空和紧值对应。假设λ是S和{νn}1上的Borel概率测度≤N≤∞是一个从S-toM（X）开始的转移概率序列，使得对于每个S和n，νn（a（S）|S）=1≥ 1，设τn=λ νn.假设S×X上的Borel概率测度序列{τn}收敛到Borel概率测度τ∞关于S×X.Let{gn}1≤N≤∞是满足以下三个性质的函数序列。1.对于介于1和∞, gn:S×X→ R+是可测量的，在X.2上是连续的。对于任何人来说∈ S和任意序列xn→ 十、∞在X，gn（s，xn）→ G∞（s，x）∞) asn→ ∞.3.序列{gn}1≤N≤∞在有e xi stsaλ-可积函数ψ：S的意义下是可积有界的→ R+使得对于任何n，s和x，gn（s，x）≤ψ（s）。然后我们有zs×Xgn（s，x）τn（d（s，x））→ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））。证据根据定理2.1.3 inCastaing，De Fitte and Valadier（2004），对于任意可积有界函数g:S×X→ R+在x上是连续的，我们有zs×Xg（s，x）τn（d（s，x））→ZS×Xg（s，x）τ∞（d（s，x））。（2） 让{yn}1≤N≤∞是一个序列，使得yn=nand y∞= 0.Th en yn→ Y∞.从S×X×{y，…，y中定义映射g∞} 使得~g（s，x，yn）=gn（s，x）。那么，g在S中是可测的，在X×{y。

Y∞}. 定义从S到X×{y，…，y的对应关系∞} x R+使g（s）={（x，yn，c）：c∈ ~g（s，x，yn），x∈ A（s），1≤ N≤ ∞} .对于任何s，A（s）×{y，…，y∞} 是紧致的，且g（s，·，·）是连续的。3（6），G（s）是紧凑的。通过引理2（2），G可以看作是从S到X×{y，…，y的非空紧子集空间的可测映射∞} ×R+。类似地，A可以被视为从S到X的非空紧子集空间的可测映射。根据引理4（卢辛定理），存在一个紧子集 使得A和G在沙上是连续的λ（S\\S）<。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设λ（S\\S）足够小，使得r\\Sψ（S）λ（ds）<。因此，对于任何n，Z（S\\S）×Xψ（S）τn（d（S，X））=Z（S\\S）ψ（S）νn（X）λ（ds）<。通过引理3（6），集合E={（s，x）：s∈ S、 x∈ A（s）}是紧凑的。因为g在S上是连续的，所以g在E×{y，…，y上是连续的∞}. 自从E×{y，…，y∞}是紧的，~g在E×{y，…，y上是一致连续的∞}. 因此，存在一个正整数N>0，使得对于任何N≥ N、 | gn（s，x）- G∞（s，x）|<对于任何（s，x）∈ E.根据等式（2），存在一个正整数Nsuch，对于任何n≥ NZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））<.设N=max{N，N}。对任何人来说≥ NZS×Xgn（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））≤ZS×Xgn（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））+ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））≤ZS×Xgn（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））+Z（S\\S）×Xgn（S，x）τn（d（S，x））-Z（S\\S）×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））+ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））≤ZE | gn（s，x）- G∞（s，x）|τn（d（s，x））+2·Z（s\\s）×xψ（s）τn（d（s，x））+ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））<+ 2 ·+= .这就完成了证明。以下结果是Reny和Robson（2002）的引理6。引理15。

假设H和X是紧度量空间。设P:H×X→ Rnbe是一个非空的v值上半连续对应，映射f:H→ M（X）和u：H→ △（十） 可以测量。此外，假设u（·| h）=p（h，·）o f（·| h），使得p（h，·）是p（h，·）的可测量选择。然后存在一个P的联合Borel可测量选择g，使得u（·h）=g（h，·h）o f（·h）；也就是说，对于f（·| h），g（h，x）=p（h，x）-几乎所有具有内生随机共享规则的x.5.2不连续博弈Simon和Zame（1990）证明了具有内生共享规则的不连续博弈中纳什均衡的存在。特别是，他们考虑了有界的、非空的、凸的、紧值的、上半连续的无定向博弈。他们表明，支付对应关系中存在一个可测量的选择p，即内生共享规则，以及一个混合策略，即当参与者将p作为支付函数时，α是纳什均衡。在这一小节中，我们将考虑具有内生-随机共享规则的不连续博弈。也就是说，我们允许支付对应关系以可测量的方式依赖于某个状态变量，如下所示：1。设S是波兰空间的Borel子集，Y是波兰空间，λ是S上的Borel概率测度；2.D代表B（S） B（Y）-S×Y的可测子集，其中D（S）是所有S的紧集∈ S和λ（{S∈ S:D（S）6=}) > 0;3.X=Q1≤我≤nXi，每个XI都是一个波兰空间；4、对于每个i，Ai是从D到Xi的可测、非空、紧值对应，在Y上是分段连续的；5.A=Q1≤我≤NaI和E=Gr（A）；6.

P是一个有界的、可测的、非空的、凸的和紧值的对应关系，从E到rn本质上是Y×X上的分段上半连续的∈ D是对应P（s，y，·）的Borel可测量选择；i、 e.一个Borel可测函数p:a（s，y）→ Rnsuchthat p（x）∈ P（s，y，x）表示所有x∈ A（s，y）。给定（s，y）∈ D、 P（s，y，·）代表所有可能的薪酬，共享规则P是薪酬的一种特殊选择。现在我们来证明下面的命题。提议4。从D到Rn×M（X）×存在一个B（D）-可测、非空且紧的值相关Φ△（十） 这样Φ在Y上基本上是上半连续的，对于λ-几乎所有s∈ S带D（S）6=还有y∈ D（s），Φ（s，y）是1的一组点（v，α，u）。v=RXp（s，y，x）α（dx），使得p（s，y，·）是p（s，y，·）的可测选择；2. α ∈ 我∈IM（Ai（s，y））是子博弈（s，y）中的纳什均衡，每个参与者i的支付（s，y，·）和行动空间Ai（s，y）；3.u=p（s，y，·）o α.此外，表示Φ对第一组分RNAΦRn的限制，这是从D到Rn的对应关系。那么Φ| rny是有界的、可测的、非空的、紧值的，并且在Y上本质上是分段上半连续的。如果D是一个闭子集，P在E上是上半连续的，对于每个i，Ai在D上是连续的∈ 一、 然后，命题4被简化为以下引理（见西蒙和扎姆（1990）和雷尼和罗布森（2002，引理4））。引理16。假设D是一个闭子集，P在E上是上半连续的，对于每个i，Ai在D上是连续的∈ I.考虑通信Φ：D→Rn×M（X）×△（十） 定义如下：（v，α，u）∈ Φ（s，y）if1。v=RXp（s，y，x）α（dx），使得p（s，y，·）是p（s，y，·）的可测选择；2.

α ∈ 我∈IM（Ai（s，y））是子博弈（s，y）中的纳什均衡，每个参与者i的支付（s，y，·）和行动空间Ai（s，y）；3.u=p（s，y，·）o α.那么Φ是非空且紧值的，并且在D上是上半连续的。我们现在将证明命题4。命题的证明。存在一个Borel子集^S λ（^S）=1的S，使得d（S）6= 对于每个人来说∈^S，当P限制在D上时，P在Y上是上半连续的∩ （^S×Y）。在不丧失一般性的情况下，我们假设^S=S。假设S是B（S）在概率测度λ下的完成。设D和E是S的限制条件 B（Y）和S B（Y） B（X）分别在D和de上。定义从S到Y的对应关系，使D（S）={Y∈ Y:（s，Y）∈ D} 。那么∧D是非空且紧值的。根据引理2（4），~D是S-可测的。请注意，我们要求p（s，y，·）对每个（s，y）都是可测量的，但p可能不是联合可测量的。最终测量值eu=p（s，y，·）o αifu（B）=任何Borel子集B的RBp（s，y，x）α（dx） 因为D（s）是紧的，而A（s，·）对于任何s都是上半连续的∈ S、 E（S）由引理3（6）紧致。定义从S到Y×X×Rnas的对应关系Γ（S）=Gr（P（S，·，·）。对于所有的s，P（s，·，·）是E（s）上的边界、上半连续和紧值，因此它有一个紧图。因此，Γ是紧值的。根据Lemm a2（1），P有一个S B（Y×X×Rn）-可测图。因为Gr（Γ）=Gr（P），所以Gr（Γ）是SB（Y×X×Rn）-可测量。由于引理2（4），对应Γ是S-可测的。我们可以把Γ看作是从S到Y×X×Rn的非空紧子集的空间K的函数。根据引理1，K是一个具有Hausdorff度量拓扑的Polishspace。然后通过引理2（2），Γisan S-可测函数从S到K。也可以将从S到Y×X的对应关系定义为：Ai（S）=Gr（Ai（S，·））。

可以很容易地证明，从S到Y×X的非空紧子集空间，可以将aic视为一个S-可测函数，它具有hausdorff度量拓扑。通过一个类似的论证，D可以被视为从S到Y的非空紧子集空间的S-可测函数。根据引理4（卢辛定理），存在一个紧子集s 例如λ（S\\S）<，Γ，D和{Ai}1≤我≤S.ByLemma2（3）、Γ、~D和~aire上的连续函数是S.Let D={（S，y）上的连续对应∈ D:s∈ S、 y∈~D（s）}。由于Sis compact和dd是连续的，因此不紧密（见引理3（6））。类似地，E=E∩（S×Y×X）也是紧凑的。因此，P是E上的上半连续对应关系。定义从Dto到Rn×M（X）×的对应关系Φ△（十） 就像在引理16中一样，它是非空且紧值的，并且在D上是上半连续的≥ 1.存在一个紧子集 例如：（1）Sm∩ (∪1.≤K≤M-1Sk）= Dm=D∩ （Sm×Y）是紧的，（2）λ（Sm）>0和λ（S(∪1.≤K≤mSm）<2m，且（3）存在一个非唯一且紧值的上半连续对应ΦmfromDmto Rn×M（X）×△（十） ，满足引理16中的条件（1）-（3）。因此，我们有许多不相交的集合{Sm}m≥使（1）λ(∪M≥1Sm）=1，（2）Φmis非空紧值，每个Dm上的上半连续，m≥ 1.由于AIB是B（S） B（Y）-可测、非空、紧值对应，它是由引理3（3）给出的Borel可测选择。修正一个p中的可钻孔测量选择p（由于Lemm a3（3），这种选择也存在）。定义从D到Rn×M（X）×的映射（v，α，u）△（十） 使得（1）αi（s，y）=δai（s，y）和α（s，y）=我∈IαI（s，y）；（2） v（s，y）=p（s，y，a（s，y），an（s，y））和（3）u（s，y）=p（s，y，·）o α. L et D=D(∪M≥1Dm）和Φ（s，y）={（v（s，y），α（s，y），u（s，y））}表示（s，y）∈ D

那么Φ是B（S） B（Y）-可测、非空且紧值。设Φ（s，y）=Φm（s，y）如果（s，y）∈ 数字万用表≥ 0.那么Φ（s，y）满足条件（1）-（3）如果（s，y）∈ 数字万用表≥ 1.也就是说，Φ是B（D）-可测的，非空的，紧值的，基本上是Y上的上半连续的，并且满足λ-几乎所有s的条件（1）-（3）∈ S.然后考虑Φ| Rn，这是Φ对第一组分Rn的限制。设Φm | rnm是Φmon的限制，第一个分量rnm具有每个dmm的域≥ 显然Φ| rn是可测的、非空的和紧值的。每m≥ 1，Dmis紧和Φmis上半连续且紧值。通过引理3（6），Gr（Φm）是紧致的。因此，Gr（Φm | Rn）也是紧密的。通过引理3（4），Φm | rn是可测量的。此外，Φm | rn是非空紧值的，在Dm上是上半连续的。注意Φ| Rn（s，y）=Φm | Rn（s，y）如果（s，y）∈ 数字万用表≥ 因此，Φ| rny是可测的、非空的、紧值的，并且在Y上基本上是分段上半连续的。证据是完整的。5.3定理1和命题15.3.1的证明≥ 1，假设从Ht到Rn的对应关系Qt+1是有界的、可测的、非空的、紧值的，并且在Xt上基本上是分段上半连续的。不管怎样-1.∈ Ht-1和xt∈ At（ht）-1） ，莱特普特（ht）-1，xt）=ZStQt+1（ht-1，xt，st）ft0（dst | ht-1） =ZStQt+1（ht-1，xt，st）аt0（ht-1，st）λt（dst）。很明显，这种对应关系是可测量的，并且是非空值的。因为Qt+1是有界的，所以PTI是有界的。对于λt-几乎所有st∈ St，Qt+1（·，St）在Ht（St）上是有界的和上半连续的，而在Gr（At）（St）上是连续的。由于φT0是可积有界的，Pt（st-1、·）在Gr（At）（st）上也是上半连续的-1） 对于λt-1-几乎所有圣-1.∈ 圣-1（见引理5）；也就是说，在Xt上，每小时的对应关系是连续的。