限价订单簿的马尔可夫模型：阈值、递归和

模型和结果。时间t时LOB的状态是R上的一对（Bt，at）（可能是有限的）计数度量；bt表示排队（尚未执行）的投标订单的价格，atr表示排队的询价单的价格。新订单以标记点流程的形式到达；标签记录订单类型（出价或要价）和价格。在不丧失普遍性的情况下，我们假设价格轴已经被不断地重新参数化，使得所有价格都在区间（0,1）（或者，偶尔[0,1]）内下跌。当到达的订单“匹配”书本中已有的订单时，订单离开队列。我们需要几个关于两个价格匹配意味着什么的概念，为了抓住这一点，我们引入了aprice等价函数，这是一个非减损的，不一定是连续的函数P:[0，1]→ [0, 1].如果P（bid），则买卖对是兼容的≥ P（问）。我们将主要考虑两种类型的价格等价函数：P（x）=x，以及将所有价格划分为n个定价箱的函数。我们将参考后一种情况，其中P的图像是一个有限集，作为装箱模型。请注意，相同的价格等价函数适用于所有订单的价格，在等价函数的任何严格递增变换下，买卖对的兼容性不变。我们现在已经准备好正式定义进化极限订单簿Lt。初始状态：最初，书里不应该有兼容的出价-要求对。等价地，如果P（y），初始状态（B，A）满足[x，1）·A（0，y]=0≤ P（x）。大多数情况下，我们假设书中的订单总数是有限的；我们在第5节中放宽了这一假设，在该节中，我们允许以单一价格下有限数量的订单，否则账簿是有限的。订单到达过程：新订单以泊松过程的形式到达，iid标签指定订单的类型和价格。

除非另有规定，我们假设P（投标）=P（要求）=1/2。我们假设订单的标签是独立的、相同的分布，特别是独立于书籍的状态，但价格的分布可能取决于类型。我们让Fabe为到达报价的CDF，FBE为到达报价的CDF。我们通常会假设，Arrivingordes的价格分布分别具有Fa和Fb密度；这并不意味着失去一般性，因为LOB的演化是由到达价格分布和价格等价函数的组合定义的，因此我们可以始终假设到达订单具有密度，并且只有通过价格等价函数后才变得不连续。泊松结构对这本书并不重要，因为重要的是订单到达的顺序。第5.1.1节考虑了投标和询价的不平等到达率。订单到达时更改：我们不允许模型中的取消（直到第5节），因此状态的所有更改都发生在订单到达时。假设在时间t，价格p的出价到达。如果书中有匹配任务，即如果-（0，y]>0对于某些y，P（y）≤ P（x），那么书中的投标书没有发生任何变化（Bt=Bt）-), 最低的要求是：At=At-- δq，其中q=min{x:At-{x} >0}。如果书中没有匹配的请求，则投标将加入书中：Bt=Bt-+ δpand At=At-. 如果到达的订单是要价的，则情况是对称的q：如果有匹配的出价，则两个订单分开（soAt=at）-Bt=Bt-- δpwp=max{x:Bt-{x} >0}），如果没有匹配的出价，那么ask将加入该书（Bt=Bt）-和At=At-+ δq）。我们将随时跟踪最高（a价）和最低（a价）的报价。

如果订单在时间t离开本书，则其价格必须为βt-（如果投标）或αt-（如果有人问）。我们允许{x}=∞ 或者A{y}=∞; 如果是这种情况，那么x的左边没有出价，y的右边没有请求，将永远不会离开限制订单簿，因为它们永远不会是最高出价（分别是最低请求）。下面，我们将介绍LOB的连续和离散化模型。连续LOB是指订单价格密度fa和fb（存在和）上下有界，且价格等价函数为P（x）=x。离散化模型将使用一些装箱价格等价函数，有时（但不总是）会假设所有箱子收到每种类型订单的正比例。对于离散化的、分格的LOB，我们将使用符号JxK来表示包含x的分格的索引；对于某些N>0的情况，JxKis是从1到N的正整数。现在我们给出了有关该模型的主要结果。第一个结果，即定理2.1，确定了阈值κb带κa处的响应。最终，到达κb以下的出价和到达κa以上的请求将永远不会执行；然而，所有到达κb以上的投标和到达κa以下的所有请求将被执行。第二个结果，定理2.2，给出了最右边的bid和最左边的ask的分布。定理2.1（阈值）。存在具有以下性质的价格κ带κA：（1）对于任何 > 几乎可以肯定，存在一个（随机）时间T<∞ 使得βt>κb-  αt<κa+ 尽管如此，t≥ T.（2）对于任何 > 0，通常不会有价格在（κb+, κa- ).（3） 设x>κb+ y<κa-  对一些人来说 > 0.考虑一下LOB开始于无数的bidsat x、无数的y请求，以及介于两者之间的无数订单。

区间（x，y）内按价格计算的订单的演变是一个正的（哈里斯）循环马尔可夫过程，在区间内没有订单之前，预期时间是有限的。事实上，通常x以上没有出价，y以下没有询价，这是科尔莫戈罗夫0-1定律的结果；挑战在于证明在区间（x，y）中既不会有出价也不会有要求。事实上，我们需要依次证明下面定理2.1和定理2.2的这一部分。定理2.2（最高出价的分配）。考虑一个连续的LOB；也就是说，P（x）=x，密度fb和fa上下有界。然后（1）最高出价和最低出价的极限分布具有密度，表示为π带πa；设$b=πb/fB和$a=πa/fa。（2） 阈值满足0<κb<κa<1，且Fb（κb）=1- Fa（κa）。（3） 最高出价的分布使得$bis是普通微分方程的唯一解决方案-fa（x）1- Fb（x）（Fa（x）$b（x））= $初始条件为（Fa（x）$b（x））|x=κb=1，（Fa（x）$b（x））|x=κb=0，附加约束为$b（x）→ 0作为x↑ κa.最低ask的分布由类似的ODE决定。当书籍的初始状态为有限时，存在最小值，因为书籍中只存在很多订单。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 1 2 3 4 5渐近投标密度价格密度图1。对于50个料仓的装箱LOB，最高出价的限制密度，以及连续LOB的限制密度（虚线）。注意装箱模型中的“肩”箱：连续LOB中的阈值位于该箱的内部。推论2.3（统一到达）。假设P（x）=x，并且对于出价和出价，到达价格分布在（0，1）上是一致的。那么κb=κ≈ 0.218由κ=w/（w+1）给出，其中wew=e-1.

（κ，1）支持最高出价的限制密度- κ） ，由$b（x）=1（κ，1）给出-κ)(1 - κ)x+对数1.- xx最低ask的极限密度为$a（x）=$b（1）- x） 。备注1（绝对连续性）。我们可以用dFa/dFbbe上下有界的要求来代替关于密度Fa和FB的条件；然而，用密度来表述定理2.2的结果更为自然。有界性要求避免了琐碎的反例fb=21[0,1/2]，fa=21（1/2,1）（无重叠支撑，无剩余订单）或fa=21[0,1/2]，fb=21（1/2,1）（无重叠支撑，无阈值）。通过对价格轴的重新参数化，推论2.3涵盖了到达的投标价格和ASK价格具有相同密度的所有情况。我们描述了定理2.2在第5节中的一些其他分析上易于处理的应用。在第5节中，我们还将对分析进行扩展，以处理一些支持买卖价格分布不一致的例子。备注2。推论2.3中出现的极限密度的形式可以从[16，第3节]的方程式（63）-（64）中推导出来，在[0，∞) 和[0,1]。在图1中，我们展示了统一规格超过50个料仓的装箱LOB的最高出价的精确极限分布，以及连续LOB的极限分布。

注意“肩”仓：在已装箱的LOB中，阈值恰好落在仓的中间，因此在仓中拥有最右边出价的长期概率为正，但低于连续极限。虽然我们能够分析计算最右边投标位置的分布，但在稳态下，我们没有精确表达式的许多相关量（尽管定理2.1中建立的正递归意味着它们定义良好，可以通过模拟进行估计）。值得注意的是，除第5.1.3节中考虑的特殊情况外，我们无法推导出图书平衡高度的解析表达式（即在装箱模型中，在给定价格下的预期bid或ASK数量），或最高出价和最低出价的联合分布。有关最高出价和最低出价的模拟接缝密度的说明，请参见[26]。2.1。符号的简要概述。我们在这里总结我们的符号，以及文本中使用的一些主要假设。L:限价订单簿。P：价格等价函数，单调递增函数。大多数情况下，我们要么使用P（x）=x，要么使用将所有价格放入几个箱子中的函数。At，Bt：在t.Fa，Fb时，分别为投标和询价的计算方法。到达的投标和询价订单价格的CDF。在第5.1.1节之前，新到达的订单被认为是出价或出价的概率相等。在装箱模型中，我们可以写Fa，b（n）（n为整数）来表示到达带有索引的箱子的订单的分数≤ n、 即，在间隔的最右端点处评估的CDF。fa，fb：假设存在的相应密度。对于大多数结果，fa和fb被假定为上下有界。αt，βt：时间t时最低的ask价格，分别是最高的出价。

请注意，这是实际价格，而不是包含它的箱子。JxK：在分仓LOB中，包含价格x的分仓指数。κa、κb：限制价格高于（分别低于）仅执行过无数次询价（投标）。κa<1或κb>0的先验性不明显；我们在命题4.2证明的第3步中证明了这一事实。对于两个或多个参数的函数，我们可以交换参数和下标：因此，fk，n（t）≡fn（k，t）≡ f（k，n，t）。当我们想把f仅仅看作第三个等式的函数时，我们将使用符号fn（k，·）。3.初步结果：单调性。在证明主要结果之前，我们先建立一些模型。其部分目的是让我们能够在连续LOB（我们希望在答案中得到微分方程）和binnedmodels（可以建模为可数状态马尔可夫链）之间进行转换。它还允许我们比较不同到达价格分布的Lob。引理3.1断言，极限订单簿的状态是初始状态下的Lipschitz，Lipschitz常数为1：特别是，到达和匹配模式中的小扰动将导致簿状态中的小扰动。Lemma 3.2断言，通过改变订单或在bid-ask对中删除它们来减少累积的bid和ask队列的操作只会减少未来的队列大小。引理3.1（增加一阶）。考虑一个限价订单簿L，并通过在时间0处添加一个出价，使L与L不同；让它们的到达过程和价格等价函数相同。然后，无论何时，通过增加一个出价或删除一个要求，L都与L不同。证据证据这里“出价”和“要求”的角色是对称的。

在额外出价是偏离系统的最高出价之前，该主张显然有效；一旦这样做了，通过添加一个单任务，L就会与L有所不同，然后通过归纳得出结果。定义累计队列大小Qb（p，t）=Bt（0，p），Qa（p，t）=At[p，1）。（请注意，我们计算左侧的出价和右侧的请求。）当我们只想强调对其中一个变量的依赖时，我们会把另一个变量放到一个下标中。引理3.2（减少队列）。考虑一个限价订单簿L，通过修改初始状态，使Qb（·，0）与L不同≤ Qb（·，0），Qa（·，0）≤ Qa（·，0）（作为价格的函数）和Qb（1，0）-Qa（0,0）=Qb（1,0）- Qa（0,0）。换句话说，为了从L到L，在时间0时，我们删除一些出价–askpairs，和/或将一些出价移到右边，和/或将一些请求移到左边。那么在未来的任何时候≥ 0，~Qb（·，t）≤ Qb（·，t）和Qa（·，t）≤ Qa（·，t）是价格的函数。证据证据我们展示了Qb≤ Qb，要求相同的论点。该参数按归纳时间进行，即到达订单的数量。在整个证明过程中，我们使用符号ft-= c`adl`ag函数f的左极限的lims和tf。首先考虑出价在时间t和价格p到达。为了打破不平等，它必须停留在L，但立即在L离开；此外，我们需要Qb（q，t-) =Qb（q，t）-) 对于一些问题≥ p、 请注意，如果L中的出价立即偏离，最左边的人在αt处询问-必须与p兼容，特别是p:Qb（p，t）没有投标权-) = Qb（1，t）-). 这个，加上Qb（q，t-) =Qb（q，t）-)Qb（·，t-) ≤ Qb（·，t）-), 意味着Qb（1，t-) =Qb（1，t）-). 由于“出价-要求”的偏离是成对出现的，这反过来意味着Qa（0，t-) =Qa（0，t-).

但很容易看出，如果Qa（·，t-) ≤ Qa（·，t）-) 它们等于0，然后是αt-（Qa（·t）最左边的跳跃-)) αt-（Qa（·，t）最左边的跳跃-)) 满足∑αt-≤ αt-,因此，到达的出价实际上也会立即离开。接下来考虑在时间t和价格p到达的ask。为了打破这种不平等，它必须导致L中的最高出价的分离，而不是在L中，我们必须有Qb（q，t）-) =Qb（q，t）-) 对于一些问题≥ βt-P（βt-) ≥ P（P）。现在，在L中没有标价的投标≥ P（P），因此Qb（1，t-) = 林→0~Qb（p- , T-).然而，这与不等式Qb（·t）相矛盾-) ≤ Qb（·，t）-), 自从林→0Qb（p- , T-) ≤ 林→0Qb（βt）--, T-) ≤ Qb（1，t）-) - 1.（请注意，如果在同一价格上有多个出价，则不平等可能不是平等。）我们可以使用这个引理来比较两个具有相同初始状态和orderarrival过程，但价格等价函数不同的限价订单簿L和＠L。假设价格等价函数P合并了由P区分的一些值。那么，在L中兼容的任何出价-出价对在L中也是兼容的；此外，可能还有额外的“出价-询问”对也适用于L。这让我们可以应用LYLEMMA 3.2得出结论，即在L中出现的订单会更少。我们可以通过使用一个包含一个以上bin和一个ashifted到达过程的装箱LOB，给出L中队列大小的上限。如果L在bin k=JxK中有一个价格为x的投标到达，我们就让BL在bin k中有一个价格为x的投标到达- 1.ask到达在L和BL中是相同的。（如果L的箱子编号为1到N，则L的箱子编号为0到N；投标文件到达箱子0到N。）- 1个inbL，而请求通过N到达箱子1。）在这种安排下，任何与inbL兼容的bid-ask对也与L兼容，因此L提供了L队列大小的上限。

因此，我们可以通过两个具有略微不同到达价格分布的组合LOB，从上到下绑定一个连续LOB。（假设连续LOB在[0,1]上支持到达分布，则提供上限的装箱LOB在[0,1]上支持投标到达分布。）[-, 1.- ] 并询问[0，1]上支持的到达分发。）最后，当箱子尺寸很小时，到达价格分布的差异将很小，我们将使用引理3.1来限制L和BL状态的发散率。这将让我们展示连续LOB的行为在适当的意义上收敛。4.主要结果的证明。我们首先陈述定理2.1的一种较弱形式。命题4.1（弱阈值）。存在具有以下性质的价格κ带κA：（1）对于任何 > 几乎可以肯定，存在一个（随机）时间T<∞ 使得βt>κ带αt<κa对于所有t≥ T.（2）对于任何 > 0，通常不会有价格超过κb+的投标. 同样，在最终阶段，价格低于κa的订单也不会出现- .（3） κ带κA的阈值为Fb（κb）=1- Fa（κa）。此外，假设出价和要价密度（存在和）在M上有界，则以下情况成立：（4）对于任何 > 概率为1时，存在一个时间序列Tn→ ∞ 这样，在当时，没有价格高于P（κb）的投标, 价格低于P（κa）的询价数量-  Is以2（M+1）为界注3。尽管买卖对的兼容性是由价格等价函数P（x）驱动的，但关于κ的陈述是根据x本身。这是因为，只要存在兼容的bid-ask对，最高值为x的bid和最低值为x的ask总是离开书本。