限价订单簿的马尔可夫模型：阈值、递归和

我们将探讨狙击商人之间的价格竞争的后果，他们都可以对进入LOB的新订单以相同的速度作出反应。在这样一个竞争环境下，交易者将有动机提高他们出价高于的价格q，并将他们狙击要求低于的价格p降低到1/2：他们将避免狙击他们预期会亏损的订单。在纳什均衡下，每个交易者都会狙击所有价格低于1/2的ask和所有价格高于1/2的出价（获得订单的概率与其他交易者相同）。然后，最右边的投标书在（1/（2e）上的密度为1/x，在备注5中为1/2。这导致综合收益率为1/（2e）- （1+e）/（8e）≈ 0.042. 因此，狙击手交易者之间的价格竞争只略微降低了他们的综合利润率，从0.060降至0.042。或者，人们可以将这种减少视为一批产品的影响，而不是一个持续的市场。接下来，我们将讨论交易员对买卖价差的影响。分布（2）的平均值可以计算，简单地说是（1）- κ)/2. 因此，如果没有交易者，LOB中最高出价和最低出价之间的平均价差是κ≈ 0.218，而最大排列为1- 2κ ≈ 0.564. 在纳什均衡条件下，狙击交易者之间的平均价差增加到1/e≈ 0.368，最大排列为1- 1/e≈ 0.632. 相比之下，对于单个狙击交易者，两者都进一步增加，平均值扩大到1- 2（e）- 1） /（e+1）≈ 0.590，最大排列为1- 2/（e+1）≈ 0.762; 在做市交易者和狙击交易者之间达到均衡时，平均价差和最大价差分别低至0.228和0.320。

这些计算当然是针对一个特定的例子，但它们确实说明了模型及其见解的可伸缩性。最后，我们对上述狙击交易者之间纳什均衡下的交易者库存进行了评论。观察到低于1/2的LOB独立于高于1/2的LOB发展，并且这两个过程在其相应阈值内都是正循环的。综合考虑交易双方的净头寸，即他们匹配的所有出价减去他们匹配的所有请求，当LOB为空时观察到。这是一个对称的随机游动，是零循环的。交易者策略的细微变化会缓和这一结论：例如，当净头寸较大时，交易者可能会避免狙击接近1/2的出价。当然，与本文中考虑的到达价格分布可能发生变化的情况相比，这种变化在更长的时间尺度上是至关重要的。致谢。作者感谢达雷尔·杜菲对这项工作的早期宝贵评论，并感谢助理编辑和评审人员的仔细审查。作者感谢扬·斯瓦特（Jan Swart）提请他们注意参考文献[16,19,22]和他的预印本[24]，并指出了定理2.1第一部分早期陈述中的一个错误。（使用不同的方法[24]证明并广泛讨论了定理2.1的第3部分，而定理2.1的第2部分解决了[24]中的开放问题。）第二作者的研究得到了NSF研究生奖学金和NSF拨款DMS-1204311的部分支持。参考文献[1]I.阿丹和G.维斯。两个有限多类型序列的精确FCFS匹配率。运筹学，60:475–4892012。[2] 布拉姆森先生。排队网络的稳定性和重传输极限：St.Floor讲义。斯普林格，2006年。

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