限价订单簿的马尔可夫模型：阈值、递归和

然后提供λ<w≈ 0.278，WEW=e的唯一解-1，这个解有πa（λ；x）=πb（λ；1- x） 和（13）πb（λ；x）=1- λ1+λ·πb1 + λ1 - λx-λ1 - λ, 十、∈ (κ(λ), 1 - κ（λ）），其中πb（·）是较早的解（2），κ（λ）=1+λ1- λ·w1+w-λ1 - λ.事实上，如果λ<w，该模型只是早期模型的一个重新缩放版本，分布（13）的支持度从（κ，1）增加- κ） 对于更宽的区间（κ（λ），1- κ(λ)). 在模型中包含市场订单会导致价格分布具有原子，并且彼此之间不是绝对连续的；但是，由于市场订单超出范围（κ（λ），1），早期章节的分析仍然适用- κ(λ)).接下来，我们将这个例子作为λ进行探讨↑ w，支撑成为整个间隔（0，1）。在我们的模型中，市场订单竞价，分别竞价，当没有竞价，分别竞价时到达，订单簿中的限制订单等待，直到可以匹配为止。当λ<w时，有一个有限（随机）时间，在此时间之后，订单簿始终包含两种类型的限制订单，并且没有任何一种类型的市场订单，因此前面章节的分析适用。但如果λ>w，则订单簿中通常不会有询价，订单簿中通常不会有报价，概率为1。现在，极限书中的买卖订单数量之间的差异是一个简单的对称随机游动，因此是空循环的。通常情况下，订单簿的状态包含两种类型的限价订单，并且没有任何一种类型的市场订单，但这种状态不能是正循环的。在上述模型中，无法立即匹配的到达市场订单必须等待，直到可以匹配。

相反，如果此类订单丢失，我们将获得一个模型，该模型可通过第5.2.1节中的方法进行分析：即，我们以0的最终投标订单和1.5.1.1的最终askorder开始LOB。不同的到达率。我们在前面几节中的分析假设出价和出价达到了同一水平。这并没有失去基本的普遍性，因为现在可以方便地用公式（12）的讨论来说明，当fa（x）=fb（x）=1，x时∈ （0,1），νa，νb>0且ua=ub=0。满足所需边界条件的方程（12）的解为（14）πb（x）=κax+对数1.- xx-κa- 日志1.- κaκa, 十、∈ （κb，κa）式中（15）νaκa=νb（1- κb）和κb是唯一的解决方案(1 - κb）κb（νa/νb）- 1+κb）=1+νaνb1.- κb.尽管νa和νb可能有所不同，但前提是它们都是正值，阈值κa和κb都在区间（0,1）内，并确保匹配的出价和请求之间的必要平衡（15）。如果有市场订单，那就是如果ua，ub≥ 0，则这将导致重新缩放分布（14），前提是重新缩放的分布仍包含在间隔（0，1）内。5.1.2。市场影响。作为进一步的说明，考虑fa（x）=fb（x）=1，x的情况∈ （0,1），νa=νb=1和ua，ub≥ 0.使用符号πb（ua，ub；x）、πa（ua，ub；x）求解满足本例所需边界条件的方程（12）。然后提供ua/（1+ub），ub/（1+ua）<w(≈ 0.278）该溶液的πa（ua，ub；x）=πb（ub，ua；1- x） 和（16）πb（ua，ub；x）=πb（（1+ub）x+ua（1- x） ）1+ua+ub，x∈w（1+ub）- uaw+1,1-w（1+微安）- ubw+1其中πb（.）是早期的解决方案（2）。我们数学发展的一个重要假设是，所有的阶数都是针对一个单元的，一个悬而未决的问题是模型可以推广到什么程度。

在实践中，希望购买或出售大量单位的长期投资者可能会选择根据市场的成交量来分散订单，以免不适当地调整价格[8]。我们能够分析一个特别简单的方法的市场影响，当投资者在相对较长的时间内根据独立的泊松过程将订单泄露到市场中，在这段时间内，市场放松到新的均衡动态。因此，大量市场订单的影响将是将参数ub增加到ub+. 像 增加完成订单所需的时间减少，但对分销（16）的影响增加，导致整体交易价格不那么有利。类似地，如果一个大的限价单作为一个独立的泊松过程泄漏到市场中，这也可以通过方程（12）的扰动来建模。在拥有大量订单的参与者相对较少的市场中，市场设计可能具有优势，大型交易可以以固定价格快速安排；[7] 讨论补充大型战略投资者限价指令簿的交易协议。5.1.3. 单边市场。Toke[25]考虑了一种特殊情况，如我们现在所描述的，在这种情况下，各种数量的解析表达式，如给定时间间隔内的预期投标数量，都是现成的。假设fb（x）=1，x∈ （0,1），νa=ub=0和ua>νb>0。因此，所有投标都是限价订单，所有投标都是市场订单，是单边市场。那么πb（x）=νb/ua，x∈ （κb，1）其中κb=1- ua/νb。此外，对于x>κb，区间（x，1）中存在的投标数量，即b（x，1），是一个出生和死亡过程，其平稳分布与平均值νb（1）成几何关系- x） /（微安）- νb（1）- x） ）。

因此，例如，可以容易地计算E[B（x，y）]。如果市场仍然是一边倒的，那么各种概括也很容易理解[25]。例如，假设进入LOB的每个出价在参数θ的独立指数分布时间之后被取消，除非之前已经匹配。那么，区间（x，1）中出现的出价数量又是一个生与死的过程。现在，整个LOB是一个正的循环马尔可夫过程，很容易验证，作为θ↓ 0，κbare左边的bids很少匹配，最右边bid的平稳分布接近πb（x）=νb/ua，x∈ （κb，1），正如我们所料。5.2. 交易策略。接下来，我们考虑几个可以使用我们的模型分析的简单策略。为了简单起见，我们给出了在（0，1）上买卖价格分布相等且一致的情况下的结果，但分析很容易扩展到其他到达分布。推论2.3.5.2.1中确定了该模型最右侧bid和最左侧ask的极限密度。做市。我们首先考虑一个做市商，该做市商在p（分别为q=1）下有固定数量的买入、卖出和下单- p、 其中，κb<p<q<κa。因此，每当q是最低价格时，交易者获得所有达到高于q的价格的出价，每当p是最高出价时，她获得所有达到低于p的价格的出价，从而获得q的利润- p每次出价–要求获得一对。人工调用交易员下达的订单，以将其与自然订单区分开来。

交易者能够匹配其订单的速率与p乘以最右边的出价恰好为p的概率成正比。将有限的出价供应置于κ以下对LOB的演变没有渐进影响。对于p>κ≈ 0.218如果价格低于p，则不接受ask，并且最右边的出价正是p的概率为正（即，价格高于p时没有出价）。为了发现这种可能性，我们考虑了以下替代模型L：投标的有限供应量为0，但价格等价函数P在[0，P]上是常数。（否则，初始状态、到达过程和价格等价函数包含在L和L中。）在L中，p上面的出价和出价将与L一样相互作用，因此，最右边的投标是L中的有限顺序的概率等于最右边的投标是p或p以下的概率。请注意，只有很多位于0的投标会被引理3.1，路径，在任何时候，L中的投标/询价队列大小与没有0投标单位供应的限制订单簿之间的差异都将受到偏离有限供应的投标总数量的限制。因此，0的最终出价与分析最高出价的稳态分布无关，因为在极限t内→ ∞ 这种差异将消失。在L中，价格低于p的询价单不能留在账上，即$a（x）=0换x≤ p、 根据备注5，最高出价$b（x）的密度等于[κb，p]的1/x，等于Cx+log1-xx关于[p，q]（后者在推论2.3中得到）。回想一下$bis continuous，它允许我们确定C和κb（因为$bintegratesto1）。这使我们能够找到κbasκb=pe1.- 聚丙烯C推断最右边的自然出价密度为$b（x）=x、 体育1.- 聚丙烯C≤ 十、≤ PCx+log1- xx, P≤ 十、≤ Q其中C=（1+p log（（1- p） （p）-1.

因此，最右边的自然出价为p或更小的概率为1-C log（（1）-p） 因此，这是模型中最右边的出价正是p的概率，其中许多艺术出价为p，许多艺术要求为q=1- p、 式中，κ<p<1/2<q.为了最大化收益率，我们需要解决优化问题maximize（1- 2p）p1.- C log1- 聚丙烯C在哪里=1+p log1- 聚丙烯-1受制于p∈ [κ, 1/2].最大值在p处达到≈ 0.377，并给出了≈ 0.054.5.2.2. 狙击。接下来，我们考虑一个采用狙击策略的交易者：交易者立即购买每一个以高于q的价格加入LOB的出价，以及每一个以低于p的价格（q=1）加入LOB的请求- p仍然）。现在，交易者的优先权低于已经在排队的订单，但她能为她成功购买的订单获得更好的价格。狙击策略对LOB的影响是确保q以上没有排队竞价，p以下没有排队竞价；对于p<q，在狙击和市场决策模型中（p，q）上的出价和询问集具有相同的分布，因此p是最高出价的概率与市场中的概率相同0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06狙击与市场创造者利润图2。来自狙击和做市策略的利益。实线是狙击策略，虚线是做市策略。（p<1/2的狙击显示为完整性；如文中所述，它不会最大限度地提高利润）制作模型。（交易员的利润率各不相同。）但考虑p>q的狙击策略也是有意义的，因为它可以确保区间（q，p）中没有任何形式的排队订单：它们都被交易者狙击。

（到达价格的询问）∈ （q，p）不能与aqueued出价匹配，因为q以上没有排队出价。）交易者在订单sin（q，p）上的净利润为零；狙击他们的目的是增加以高价买入的可能性。总之，如果p>q，那么LOB在p和q之间没有排队顺序。因为所有出价都是低于q的价格，并且那里的ask密度为零，我们从命题4.2中看到，最右边的TBID的密度是$b（x）=1/x【κb，q】；由于$b积分为1，我们发现κb=q/e。请注意，随着q的减小，最右边出价的分布会随机减少，因此以低价A<1/2获得ask的概率会随着q的减小而增加。这表明，在p>1/2时，在q以上和p>1/2时截取出价的得利率严格高于在p以上和p以下截取出价的得利率因此，有必要考虑p>1/2>q的情况。因此，我们解决了1-pκb（1- 2x）logxκbdx，其中κb=1- 受p约束∈ [1/2, 1].最大值为1- p=q=e/（e+1）≈ 0.324，并给出了≈ 0.060.图2显示了做市策略和狙击策略的利润率之间的比较，作为p的函数（回忆一下，p是交易者希望所有交易都低于的价格）——为了完整性，狙击策略也包括p<1/2。5.2.3. 混合策略。可以考虑上述策略的混合：交易者在P处放置一个有限的出价供应（因此，当P为最高出价时，获得所有到达P以下的请求），但除此之外，还试图以x<P的价格截取所有额外的请求。

当p和p都大于到达的ask的价格时，我们假设小目标是两种可能价格中最好的。有几种可能的情况与p、p和1/2的相对排列相对应：（1）如果p<p（这意味着没有额外的要求进行狙击），这将退化为做市商策略，其收益率为（1）- 2P）每次出价——要求购买一对，按图3的价格购买一对。混合策略中的利润率是狙击阈值p和确定投标订单位置p的函数。P log（P/κb）。（最高自然出价低于P的概率为对数（P/κb）；当价格在这里时，买家会以低于P的价格以P的价格到达。）显然，在这种情况下，人们希望P<1/2，否则，结果是负的，所以我们可以将这种情况写成P<P<1/2。（2） 如果P<P<1/2，那么在价格为x、速率为log（x/κb）的情况下，可以获得额外的请求，价格为（1）- 2x），对于从P到P的所有x。（3）如果P<1/2<P，还有两种情况：我们可能有P<1- p或p>1- p、 （a）如果p<1- p<1/2<p<1- P，然后交易者在1之间截取所有订单- p和p表示净资产收益率为0。利益（1）- 2P）根据比率P log（（1）生成与最终订单匹配的出价-要求对- p） /κb）和pro-fit 1- 2x，P≤ 十、≤ 1.- p、 狙击以1+log（x/κb）的速率产生。根据注释5，最高投标密度为（κb，1）上的1/x- p] ，所以κb=（1- p） /e.（b）如果1- p<p<1/2<1- P<P，那么P永远是最好的出价，这意味着交易者得到了所有低于P的请求，以（1）的速度产生利润- 2P）P。在NP和1之间到达的订单- P相互取消，所有的请求在1之间到达- 购买P和P的损失（负利润）为（1- 2x）。（4） 最后，P>1/2的情况是愚蠢的，因为购买的每一个出价-出价对都将是亏本购买。图3显示了双参数空间的性能。

当P=1时，获得最大利润-p=1/4，然后以1/8=0.125的比率获得利润。这对应于交易者在1/4的价格下最后一个订单（从而以1/4的价格购买所有到达时价格低于1/4的订单），在3/4的价格下最后一个订单，并以1/4和3/4.5.3之间的价格截取所有加入LOB的订单。交易者之间的竞争。最后，我们评论了当多玩家使用第5.2节中描述的简单策略进行竞争时出现的情况。首先考虑两个相互竞争的交易者的情况，第一个交易者有能力采用第5.2.2节所述的狙击策略，第二个交易者不能迅速采取狙击行动，但有能力采用第5.2.1节所述的做市策略。假设做市商在P处分别下了一定数量的买入和卖出订单1- P，其中P≤ 1/2. 假设狙击手立即以高于q的价格购买加入LOB的每个出价，并以低于1的价格购买加入LOB的每个请求- q、 P在哪里≤ Q≤ 1/2.对于给定的P和q，LOB的行为如第5.2.3节所分析：但对这两个交易者的激励是不同的。考虑到P和q，狙击手isRqP（1- 2x）ln（ex/q）dx和做市商（1）- 2P）PRPq/e1/x dx=（1）- 2P）P log（eP/q）提供P>κb=q/e。如果P<q/e，做市商的排序超出重复性范围（κb，1- LOB的κb）和so不匹配。狙击手跟随做市商是很自然的：也就是说，狙击手观察做市商的选择P，并相应地选择q。狙击手的最大选择是q=pP（1- P）。有鉴于此，做市商的最佳选择是P，即最大化其利润率≈ 0.340.

在这种均衡状态下，做市商的收益率为0.073，狙击手的收益率为0.020。接下来考虑两名或多名交易员使用第5.2.1节的做市策略或第5.2.3节的混合策略的情况。每个交易者都会有一种激励，使其在有限的竞价和询价订单中的价格略有提高，从而为自己从这些订单中获得所有利益。纳什均衡让交易者竞争掉买卖价差和他们所有的利润。该模型成为伯特朗价格竞争模型的一个例子，并且，在那里，结论往往与更现实的假设有关，例如容量限制或成本不对称。接下来，考虑使用第5.2.2节的狙击策略的两个或多个交易者之间的竞争；例如，交易者试图在限价单到达时截取与之完全匹配的限价单。如果多个交易者试图同时狙击到达的订单，其中一个将成功，其他交易者将立即取消自己的订单，因为他们发现自己的订单没有成功。对于能够比其他交易者更快地狙击到达订单的交易者来说，这显然是一个优势，而且这样的交易者确实可以执行第5.2.2节中的最佳狙击策略，并将速度较慢的交易者排除在市场之外。有人认为，在速度上的竞争是浪费（见[3]），有人建议鼓励交易者在价格上而不是速度上竞争，例如在[4]的提案中，一个持续时间的市场被频繁的批量拍卖所取代，这种拍卖可能每秒举行几次。