限价订单簿的马尔可夫模型：阈值、递归和

积分表示意味着极限必须是Lipschitz函数。为了说明任何流体极限必须满足（7），我们注意到（7a）直接遵循到达过程的大数函数定律。身份（7b）来自于初始过程的相应声明：ifPk>kqb（k，s）> > 时间间隔为s时为0∈ （t）- , t+), 然后对于所有足够大的n，Pk>kQb，n（k，ns）>n/2>0，因此Jβ（ns）K>K，Tβ，n（K，ns）没有增加。标识（7c）保持不变，因为最右边的出价（最左边的询问）最终总是在初始过程中的一个箱子中，所以这在限制中必须是正确的。恒等式（7d）也有类似的原因：初始队列是非负的，因此限制也是非负的。恒等式（7e）是（7d）的一个推论：一个在t处总是非负的、可微分的、在t处等于0的过程必须有导数0。最后，初始队列的标识（7f）和（7g）来自（6a）-（6d）。更准确地说，出价队列大小的变化速率如下：如果最低ask高于bin k，那么出价以pb（k）的速率到达队列；如果最高出价在k箱中，那么到达k以下价格的所有请求都会耗尽k箱中的队列。因为最高出价或最低出价的位置不会显示在流量限制中，weinstead使用当地时间tβ和tα。我们引入符号πβ（k，t）=tτβ（k，t），πα（k，t）=tτα（k，t）。液体限制排水。现在，我们将在一个LOB中展示这一点，该LOB以JκbK+1中的许多出价开始，并以JκaK中的请求开始- 1，流体限制队列大小会流失，即在从JκbK+1到JκaK的容器上收敛到0- 1.我们假设料仓宽度（因此pb（k）、pa（k））都很小。这是本文争论的重点。定理4.6（流体限制排水）。

考虑一个对应于带N个箱子的装箱LOB的流体限制。假设到达过程是对称的（pb（k）=pa（N）- k） ，概率pa，b（k）在下面有界，pb（k）在k中减少（pa（k）在k中增加）。假设一开始在JκbK+1中有很多bids，在JκaK中有很多ask- 1.那么，对于JκbK+2，队列的流体极限可以用qa，b（k，t）来描述≤ K≤ JκaK- 对于jκbK+1，当地时间的流体极限可以用πa，b（k，t）来描述≤ K≤ JκaK- 1.让流体极限的初始状态满足k（qb（0），qa（0）k≤ 1.存在 = （N）→ 0作为N→ ∞, 时间T取决于{pa（k），pb（k），料仓宽度}，因此对于所有料仓，满足Jκb+的kK<K<Jκa- K、 而且一直都是t≥ T，qb（k，T）=0，qa（k，T）=0，T≥ T.进一步，在区间Jκb+K<K<Jκa- K代表t≥ 导数πβ（k，T）满足二阶微分方程K1.- Fb（k）pa（k+1）·KFa（k）pb（k）πβ（k）= πβ（k+1），其中基斯由k（f）=f（k+1）- f（k）。初始条件满足yfa（Jκb+K） pb（Jκb+K） πβ（Jκb+（K）≤ 1.Jκb+KFa（k）pb（k）πβ（k）≤ 0.类似的等式适用于asks。作为N→ ∞, 微分方程的解收敛于常微分方程（5a）的解，初始条件由（5b）给出。注意，κa和κ暴露了具有有限起始状态的LOB的阈值；具有INFITEBID和ask指令的LOB可以被认为具有不同的阈值κb<κ带κa>κa。对于大N，引理3.1意味着κb≈ κ带κa≈ κa.证明。证据证据分阶段进行。第0阶段。设xbe由Fa（x）=Fb（κa）给出- Fb（x），让ybe由1给出- Fb（x）=（1）- Fa（κb））-(1 - Fa（y））。

相当地，Fa（x）+Fb（x）=2x=Fb（κa），因此x=Fb（κa），y=（1+Fa（κb））。索赔0.1：κb≤ x<y≤ κa.证明：注意，当存在任何出价时，Fa（κb）是出价偏离马尔可夫链速率的下限，而Fb（κb）- Fb（κa）是投标到达率的上界。因此，ifFa（κb）>Fb（κb）- Fb（κa），那么整个区间（κb，κa）上的投标数量将是随机边界的，而它应该以随机游动的形式进行缩放。一个类似的论点给出了答案≤ 最后，Fb（κa）=（1）- Fa（κb））<（1+Fa（κb）），因为命题4.2中κb>0。权利要求0.2：存在T=T（M），使得T在任何时候都存在≥ Tand全流体模型，PJyK-1k=JxK+1（qb（k，t）+qa（k，t））=0。证明：由于这些过程是绝对连续且非负的，因此有必要证明，只要区间中存在任何流体顺序（并且定义了所有导数），区间中的流体顺序数就会以低于以下界限的速率减少。通过（7f）和（7g），我们可以看到Q（t）=PJxK+1≤K≤JκaK-1qb（k，t），Q（t）≤（0，Q（t）=0PJκbK-1k=JxK+1pb（k）-主键≤JxK+1pa（k）<Fb（κb）- Fb（x）- Fa（x）- , Q（t）>0。因此，经过一定时间Tb，0后，箱子中不会有流体投标≥ JxK+1。同样，经过一定时间Ta，0后，垃圾箱中也不会有液体≤ JyK- 1.我们可以取T=max（Tb，0，Ta，0）。索赔0.3：存在> 0，以便始终≥ Tand所有流体模型，Pk≤JxKπβ（k，t）≥ andPk≥JyKπα（k，t）≥ .

（这一结果要求垃圾箱足够小。）证明：注意等式（7f）和（7g）在任何时候都成立，即使容器中没有流体订单；因此，对于t≥ 坦然接受∈ [JxK+1，JyK- 1] 我们有pb（k）Xk>kπα（k，t）=πβ（k，t）Xk≤kpa（k）Xk<kπβ（k，t）=πα（k，t）Xk≥kpb（k）。为了清楚起见，省略对t的依赖，这些方程，连同Pkπα（k）=Pkπβ（k）=1的观察结果，可以重新排列，得到πα（k）和πβ（k）的两个解耦二阶微分方程。我们滥用符号来写Fa（k）=Pk≤kpa（k）和类似的Fb（k）。（8a）K1.- Fb（k）pa（k+1）·KFa（k）pb（k）πβ（k）= πβ（k+1），JxK+1≤ K≤ JyK- 1.（当然，πa有一个对应的方程。）如果我们对这个二阶微分方程有两个初始条件，我们就能求解它。不幸的是，一般来说我们没有这样的初始条件，但我们对它们有界，即（8b）Fa（JxK）pb（JxK）πβ（JxK）≤ 1.JxKFa（k）pb（k）πβ（k）≤ 0.这些不平等性在不同的限价订单簿L中同样成立，在限价订单簿中，我们将相同的价格分配给JxK+1的所有料仓，并将相同的高价分配给JyK的所有料仓- 1.向上。（Wenonetheless跟踪包含最高出价和最低要求的箱子。）推论4.4表明，在JxK+1上（8）的解决方案≤ K≤ JyK- 1从上到下被L的解所限定。

（结果是在连续空间中，但参数对于差分方程也同样有效。）我们把!L的解称为!πβ和!πα。利用k的∧πβ（k）上的平凡上界≥ JyK，我们发现（9）Xk≤JyK-1πβ（k）≤JyK-1Xk=JxK+1πβ（k）+JκaK-1Xk=JyKpb（k）Fa（k）。注意，πβ必须等于（Fa（k））-1pb（k）表示J)κbK+1≤ K≤ JxK，因为投标者不会在这些箱子里排队。因此，对于（9）右侧的第一项，我们有边界JYK-1Xk=JxK+1πβ（k）≤ 1.-JxKXk=J)κbK+1pb（k）Fa（k）≤ 1.-JκaK-1Xk=JyKpb（k）Fa（k）- ,只要箱子够窄就行。实际上，请注意x- ~kκb>x- κb=κa- y（从L的单调性与∧L和对称性来看），分母在k中增加，出价到达密度随着向右平移而减小。我们要求箱子要足够窄，使总数都不为空。第一阶段。我们现在让Fb（x）定义x，yb-Fb（x）=Fa（x）和Fa（y）-Fa（y）=(1-Fb（y））。与阶段0的参数类似，存在一个时间Tsuch，对于所有t≥ t在[JxK+1，JyK]上将没有流动队列- 1]. 实际上，如果在[JxK+1，JxK]区间内有流体出价，那么当最高出价低于JxK时，实际上就在这个区间内；定义的不平等性意味着这段时间内的投标数量减少，同样地，对于询价也会减少。接下来，我们使用[JxK+1，JyK]上的微分方程描述- 1] 为了证明在T之后，出价最高的人至少花了> 其时间的0低于x。这将需要与不同的受限LOBL进行比较，我们将所有价格合并到JxK+1和JyK- 1.后续阶段。我们现在可以构造一个嵌套的区间序列…<x<x<x<y<y<y<，如果垃圾箱足够窄，不平等性是严格的。这一点有待证明→∞,N→∞xk=κ带limk→∞,N→∞yk=κa（注意N→ ∞, 即

更薄的垃圾箱，对这个容器来说肯定是必要的！）这一结果源于以下事实：我可以被认为是在以下范围内：（10）我≥JxiKXk=JκbK+1pb（k）Fa（k）-JκaK-1Xk=JyiKpb（k）Fa（k）≥Fa（JxiK）-Fa（JyiK）（Fb（JxiK）- Fb（J/κbK+1））。只要xi以远离κb为界（并且箱子宽度足够小），这将以下面为界，然后是xi- xi+1和yi+1- 它将被限制在下面。收敛到颂歌。差分方程的有界解收敛于阳极的解是标准的。上面的论点给出了初始条件的一个不等式，但请注意，当我们接近κB时，初始条件变得精确。的确，Fa（κb+)$b（κb+) =Zκb+$a（x）fa（x）dx→ 1，因为最低的ask永远不会低于κb。而且，（Fa（x）$b（x））|x=κb+= -$a（κb+) = -(1 - Fb（κb+))-1Zκb+$b（x）fb（x）dx→ 0，因为最高出价密度是有界的。将这一结果与命题4.2结合起来表明，对于对称分布pb，pawith pb递减，流体极限πβ（k，t）/pb（k），πα（k，t）/pa（k）将接近，因为→ ∞ 和N→ ∞, ODE（5）在（κb，κa）的紧子集上的一致解。备注7。导致不等式（10）的论点意味着，最高出价和最低出价的联合密度必须至少在支撑边界的一小部分上远离零，即“κa以下没有ask，最高出价在κb+x”事件的概率应该是O（x），而不是O（x）。事实上，[26]中的模拟关节密度在任何地方都远离0，除了最角落（最高出价在κ带，最低出价在κa）。还有一点需要证明，流体极限的稳定性意味着马尔可夫链的正复发。引理4.7（流体稳定性和正复发）。考虑满足定理4.6假设的LOB。

假设在某个区间上，k≤ K≤ k、 初始状态大于1的所有流体极限满足以下条件：存在时间T（取决于{pa（k），pb（k），箱宽}），因此对于所有时间T≥ T，qb（k，T）=0，qa（k，T）=0，k≤ K≤ k、 t≥ T.考虑一个限价订单簿L从bin k中的许多出价开始- 1，在k+1中有很多问题；它的状态是由k箱中队列大小的马尔可夫链描述的≤ K≤ k、 与L相关的马尔可夫链是正循环的。证据证据为了在流体稳定性和正递归之间进行转换，我们使用了乘法福斯特准则[18，定理13.0.1]。LetQ（t）=k（Qb（k，t），Qa（k，t））k≤K≤kk，让C足够大。设Q（0）=Q>C，并考虑流体比例Qa，b（k，t）=Q-1Qa，b（k，qt）。根据定理4.5，如果C和q足够大，则存在流体极限（qa（k，t），qb（k，t），τα（k，t），τβ（k，t））k≤K≤满足kqa（k，t），qb（k，t）k=1，这样(Qa（k，t）- qa（k，t），Qb（k，t）- qb（k，t）> ) ≤  尽管如此，t∈ [0，T]。特别是，P（kQa（k，qT），Qa（k，qT）k>q） <. 进一步注意kQa（k，qT），Qb（k，qT）k≤ A（qT）+B（qT）受到达过程的限制，因此具有所有时刻。因此，我们得出了qq[kQa（k，qT），Qb（k，qT）k]≤ （1+2T）q.选择 < （1+2T）-1完成证明。4.4. 一般订单价格分布。仍然需要消除订单价格分布的额外条件（对称和递减），并完成连续限制订单簿的论证。这需要两个观察结果：（1）回想一下，一个连续的LOB可以由两个具有不同到达价格分布的离散LOB限定（在其中一个LOB中，我们将所有到达的出价向左移动一个bin）。

这种转移的到达分布不再满足绝对连续性条件，但引理3.1表明，当容器大小缩小到0时，所有上述流体比例参数都适用于它。具体地说，我们将投标到达建模为将最右边的投标箱一直向左移动，然后两本书之间的差异是在流动时间间隔[0，T]内最多两个箱子的到达量，如果箱子很窄的话，这将是很小的。这使我们能够得出连续LOB以P（κb）＋的价格多次出价的正复发结论 事实上，很多人都要求价格（κa）-, 假设密度fa，fb上下有界，对称，fb减小。（2） 根据引理3.2，用随机更高价格的另一个分布替换出价-到达价格分布，和/或用随机更低价格的另一个分布替换要价-到达价格分布，会减少一本书中的订单。特别是，如果我们已经证明了一个LOB的正周期性，该LOB具有以p价格提供的有限数量的投标，以及以q价格提供的特定到达分布，那么当我们切换到以更右的投标和更左的请求的到达价格分布时，LOB将保持正周期性。请注意，只要在区间（p，q）内有投标，无论p是否有投标单位供应，它们都会在该区间内演化；同样地，对于请求也是如此。这可以用来表明流体限制在间隔（p，q）的新LOB中排放。在价格分布发生变化的新LOB中，（p，q）可能不接近（△κb，△κa），因此我们希望延长区间，如定理4.6的权利要求0.3所示。

那里的论点没有充分利用对称性和单调性条件；它们仅用于证明其不合格性JPKXK=JκbK+1pb（k）Fa（k）≥JκaK-1Xk=JqKpb（k）Fa（k）+对一些人来说 > 0.对于这个不等式，有（11）Zp^κbfb（x）Fa（x）dx是完全有效的≥Z~κaqfb（x）Fa（x）dx+,对于p和q之间发生的事情没有限制。因此，对于上下边界的一般密度对（fb，fa），我们首先用fb，0，fa，0找到fb，0≥ Fb，Fa，0≤ fa是对称的，fb，0是递减的。（例如，我们可以在大部分时间间隔内取fb，0=fa，0=min（fa，fb），其中fb在0附近取大值，fa在1附近取大值。）我们使用定理4.6来证明流体极限在区间（κb，0，κa，0）上对fb，0，fa，0（因此，通过引理3.2，也对（fb，fa））存在。然后我们修改fb，1on（0，κa，0）和fa，1on（κb，0，1），以找到下一对有界密度（fb，1，fa，1），其中fb，0≥ Fb，1≥ Fb，Fa≤ 法新社，1≤ Fa、0和（11）保持不变。我们已经从单调性中知道，对于（κb，0，κa，0）上的这些分布，流体极限将耗尽，我们使用不等式来表示p≤ κb，0和q≥ κa，0将流体稳定性扩展到更大的间隔（κb，1，κa，1）。我们重复这个过程，直到间隔（κb，n，κa，n）接近（fb，fa）的整个间隔（△κb，△κa）。要知道它确实会接近整个时间间隔，请注意，对LOB的三个阈值真正重要的是Fa、b（x）和κb≤ 十、≤ κa；这些区间之外的FB和fado是无关紧要的，只要它们的积分正确。因此，如果κb，n>κb+, 必须是Fb，n<Fb或Fa，n>Fasomewhere在[κb，n，κa，n]上，这意味着这个过程不会被“卡住”，直到κb，n&~κ带κa，n%~κa.5。讨论在本节中，我们将讨论我们的方法和结果的几个应用。

我们首先讨论市场订单，然后考虑各种简单的交易策略。5.1. 市场订单。到目前为止，我们考虑过的订单，每一个都附有价格，叫做limitorders。假设除限价订单外，还有市场订单要求以最佳可用价格中等程度地供应。假设限价订单的出价和出价分别作为利率v b，v的独立泊松过程到达；与限价单投标相关的价格，分别是密度为fb（x）和fa（x）的独立同分布随机变量。在不失去普遍性的情况下，我们可以假设x∈ (0, 1). 此外，假设存在独立的市场订单竞价和报价流ub，ua。然后这些对应于极限订单：我们只需将价格1或0分别与市场出价或市场要价关联。请注意，除了市场订单，我们还允许买卖订单之间的到达率不对称。方程（1）背后的直觉导致了推广（12a）νbfb（x）Zκaxπa（y）dy=πb（x）ua+νaZxfa（y）dy（12b）νafa（x）Zxκbπb（y）dy=πa（x）νbZxfb（y）dy+ub虽然现在不能保证满足所需边界条件的这些方程的解的存在性，并且对于解释πb（x）所需的递推性质的推导，πa（x）作为极限密度可能会失败。为了说明一些可能性，我们将通过一个简单的例子来详细说明。假设fa（x）=fb（x）=1，x∈ （0,1），νa=νb=1- λ和ua=ub=λ。因此，一定比例的订单是市场订单。使用符号πb（λ；x）、πa（λ；x）求解满足本例所需边界条件的方程（12）。