限价订单簿的马尔可夫模型：阈值、递归和

特别是，在装箱模型中，κ带κa通常会落在一些箱子的中间；在这个“肩上”的箱子里，到达的订单的一个重要部分永远留在书中。在图1中，κB大约穿过“肩”仓的一半。（κB也可能形成料仓的边缘。）备注4。注意，我们在这里没有断言n的行为-1Tnas n→ ∞: 为了这个命题的目的，这个序列很可能趋向于零。定理2.1的证明将表明，对于任何 > 0序列n-1Tn=n-1Tn() 事实上，最终是从零开始有界的，有界依赖于零.证据证据前两种说法源自科尔莫戈罗夫的0-1定律。考虑一下事件b（x）={很多出价都会偏离价格≤ x} Ea（x）={很多订单都会偏离价格≥ x} 。引理3.1表明，这些事件位于到达过程的尾σ-代数中。由于到达过程由一系列独立且相同分布的事件组成，Kolmogorov的0–1定律确保了对于每个x，Eb（x）的概率为0或1（对于Ea（x）也是如此）。现在让（3a）κb=sup{x:P（Eb（x））=1}，κa=inf{x:P（Ea（x））=1}。（如果要取极值的集合是空的，我们让κb=0或κa=1。）在注意到Eb（x）之后，前两个断言的财产 Eb（y）代表x≥ y、 而且，无论何时在价格x上有出价偏离，都不得有高于x的出价（对于买家来说情况类似）接下来我们证明Fb（κb）+Fa（κa）=1。根据到达过程的强大数定律和上述0-1定律，我们知道Fb（κb）是系统中到达投标的最小限制比例：（3b）Fb（κb）=lim inft→∞t#（在时间t时在LOB中出价）。同样的平等显然适用于1-Fa（κa）。

由于出价和请求总是成对地离开，对到达过程强大的大数定律的进一步呼吁表明，我们必须有Fb（κb）=1-Fa（κa）。定理第（4）部分中的时间Tnas的存在遵循了到达过程的大数泛函中的类似论点。在概率为1的情况下，选择一个足够长的时间，当没有价格高于P（κb）的出价时 确保最多有（Fb（κa）+（M+1）)系统中的任务。因为以（1）的速度向κA河的右侧移动- Fa（κa））=Fb（κb），并且最终永远不会离开，因为足够大的tn将最多有2（M+1）以低于κa的价格出售- . 这个结果比我们希望最终证明的正复发性要弱：特别是，它没有表明κ带κais之间的两种类型的顺序的总数永远为零。为了获得关于正复发的陈述，我们需要使用流体限制技术，我们的总体方法将类似于[2，第4章]。稳定性的最终证明将使用乘法福斯特准则（依赖于状态的裂谷），见[18，定理13.0.1]。为了达到这一点，我们需要证明，无论何时（κb，κa）中有许多bidsor-ask，它们的数量都会在很长一段时间内以某个正的、有界的低于的速率减少。这是排队论中的一个标准论点；但该模型的挑战在于，队列的演化取决于哪些队列是正的，而不是哪些队列是大的。一般来说，这种形式的马尔科夫链很难分析（[9]表明，一般来说，这种链的稳定性是不确定的），但我们的链的特殊结构使其易于分析。屋顶的轮廓如下。（1） 我们和装箱的高球一起工作。

首先，我们展示了在适当的重新缩放后，队列大小和每个箱子中最高出价（最低要求）的本地时间收敛到一组Lipschitz轨迹，我们称之为流体极限。然后我们继续研究流体极限的性质。（2） 接下来，我们证明了JκbK+1和JκaK之间的容器（严格地）的所有流体极限都趋向于零- 1.我们探索流体极限所满足的方程和不等式，以显示以下内容：（a）存在一个区间[x，y]，在该区间上，只要阶数的流体极限为正，它就会减小（以下面有界的速率）。因此，经过一段时间T（取决于初始状态），流体极限在[x，y]上将为零。X和Y的值不能是二进制边界。（b） 在T之后，我们将能够从低于[x，x]上最右边的出价的本地时间增长率（对于某些x<x），以及（y，y）上最左边的出价的本地时间增长率（对于某些y>y）。因为无论何时最高的出价在[x，x]中，它都有离开的正机会（对于（y，y）中的出价，我们得出结论，无论[x，y]中的订单数量多大，它将减少（以下面限定的速率）。我们重复这个论点直到[xn，yn]≈ [κb，κa]。在这一步中，xiand Yi可能不是宾边界。（3） 我们证明，如果在某个时间间隔内，所有的流体极限在一定时间内收敛到0，那么在该时间间隔内，装箱的LOB是循环的。（此步骤是流体限制参数的标准步骤。）由于连续限制订单簿中的BID数可以从上到下以组合的BID为界，这也将显示连续LOB的重复性。4.1. 极限分布的常微分方程。

我们的第一个结果表明，描述唯一极限的ODE为→ ∞, 最高出价的经验分布实际上描述了一些这样的限制。在此过程中，我们还建立了0<κb<κa<1。提案4.2（最高出价的弱分布）。假设到达价格分布的密度上下都有界，并考虑一系列分箱LOB，其中分箱数量N趋于一致。每N和 > 0，设Tn=Tn（N，) → ∞ 按照建议4.1第（4）部分确定的时间顺序。设πb（n，n，) 是时间间隔[0，Tn]内最高出价的离散归一化经验密度；也就是πb（n，n，, x） =最高出价在JxKTn·（JxK的长度）内的时间。（1） limn存在一个唯一的极限→∞, N→∞, →0πb（n，n，) := πb，和asks类似。（2） 表示$b=πb/fb和$a=πa/fa，它们满足一对积分方程（4a）fa（x）$b（x）=Zx$a（y）fa（y）dy，x∈ （κb，κa）；Zκaκb$b（x）fb（x）dx=1，（4b）（1- Fb（x））$a（x）=Zx$b（y）Fb（y）dy，x∈ （κb，κa）；Zκaκb$a（x）fa（x）dx=1。（3） 此外，只要$bis不同，它就满足了颂歌（5a）-1.- Fb（x）fa（x）（fa（x）$b（x））= $b（x）fb（x）具有初始条件（5b）（Fa（x）$b（x））|x=κb=1，（Fa（x）$b（x））|x=κb=0和附加约束$b（x）→ 0作为x↑ κa.最左边的ask Saties亚洲颂歌的分布。（4） 方程（5）有唯一的解；特别是，κ带κaare是由它唯一决定的。备注5（规范化和初始条件）。从积分方程（4）可以看出，$b是价格的连续函数，而πb可能不是。

特别是，如果我们对分段连续函数FB和fa感兴趣，那么$b将满足FB和fa连续的每个段上的ODE（5a），并且可以从$b（x）和（fa（x）$b（x））都是连续的要求拼接在一起。初始条件（5b）适用于初始状态有限的LOB。取而代之的是，考虑一个LOB，在某个价格p>κb的情况下，有一个固定的出价顺序。只要阈值κbof-L为正，我们可以通过改变价格等价函数来消除在p的固定顺序，使p（0）=p（~κb）=p（p）：在阈值时间之后，在价格高于p的情况下，~L和这个新的LOB^L的演化将是相同的。在^L中，有另一个阈值^κb，初始条件（5b）对所有x都成立∈ （^κb，p），意思是^$b（x）=1/Fa（x）的间隔时间。相应地，在L中，最高出价的分布在p处有一个原子massRp^κb1/Fa（x）dx。对于最低的要价，我们当然会有P（αt）≤ p） =0，但可能是$a（x）6→ 0作为x↓ p：在最终投标地点可能不连续。备注6。下面第2步和第3步中的计算与[16，第1节]中的计算类似；我们给出了完整性的完整论证。证据证据

证明过程如下：（1）固定箱数N，考虑经验密度πb（N，N，), πa（n，n，).沿着任意序列n→ ∞, N→ ∞, 和 → 0存在收敛子序列。（2） 任何后续极限都满足某一对积分方程，因此存在一些常微分方程。（3） ODE将直接暗示κb<κa；此外，0<κ带κa<1。（4） 这些常微分方程的解是唯一的，特别是极限不取决于n的阶数→ ∞, N→ ∞, 和 → 0.第一步：紧支撑概率分布的空间是紧的，所以沿着任何经验分布序列都会有收敛的子序列。此外，无论何时最高出价是inbin JxK，出价偏离都会以一定的速度出现在bin中≥ Fa（x）πb（JxK），而投标到达最多出现在该箱中fb（x）。因此，在有界密度fb，fa的假设下，最高投标密度πb（JxK）≤ fb（x）/Fa（x）在n，n中一致有界，; 这保证了沿子序列存在极限密度。最后，fa和fb的下界保证$a和$bare有界，因此也沿子序列收敛。对于第2步和第3步，πa，带$a，b参考任何这样的子序列，沿着所有四个量的单个子序列。第二步：积分方程表示投标到达率应等于投标离开率。沿着队列较小的时间序列（即。 ≈ 这几乎是真的；在极限范围内，这是完全正确的 → 0

x处的投标到达率为fb（x）P（αt>x）=fb（x）Rxπa（y）dy，x处的投标偏离率为πb（x）Fa（x），因此将两者设置为相等即可得出结果；这首颂歌是通过两次微分得到的。当然，如果我们乘以箱数N，极限分布将由微分方程描述，而不是积分（或微分）方程。微分方程的极限解可以解微分（或积分）方程，这是标准的。第3步：要看到κb<κa，请注意πbis由fb/Faalways限定，因此如果它积分到1，我们必须有κb<κa。要看到κb>0（且κa<1），我们考虑一个包含三个bin的装箱LOB)L，其中binpartitions位于x，x+δ用于某些x∈ （κb，κa）。通过单调性，J)κbK=1和J)κaK=3。对于δ足够小的情况，中间仓中的订单数量最终将由几何随机变量随机控制。事实上，每当bin 2中有出价时，更多的出价就会到达费率Fb（x+δ）- Fb（x）以更大的速率Fa（x+δ）离开（这是在3号货位的请求停止离开后）。情况与此类似。因此，在L中，我们必须使πb（2）>0和πa（2）>0。如果πb（1）和πa（3）是这样的，以至于（几乎）所有的阶都偏离，那么从πb（1）Fa（x）=Fb（x）我们发现πb（1）Fa（x）=Fb（x）==> πb（2）=Fa（x）- Fb（x）Fa（x）==> Fa（x）>Fb（x）。现在，让δ足够小，使Fa（x）>Fb（x+δ），并从另一个表达式∧πb（2）Fa（x+δ）=（Fb（x+δ）中求解∧πb（2）- Fb（x））πa（3）。这就得到了πb（1）+πb（2）=Fb（x）Fa（x）+Fb（x+δ）- Fb（x）Fa（x+δ）1- Fa（x+δ）1- Fb（x+δ）<1。这个矛盾表明，实际上在这个LOB中，我们必须有∧πb（1）Fa（x）<Fb（x）- 对于某些η>0的η，这意味着Fb（～κb）≥ η.

通过单调性，我们也得到了κb>0（对于足够大的N，宽度δ的上述料仓是LOB的原始料仓之一）。第4步：解的唯一性来自这样一个事实：我们有一个二阶常微分方程，有两个初始条件（正如我们刚才所展示的，它们是有限的）。注意，κb>0的另一个参数是，对于某些x>0的情况，πb（x）>0，因为从那时起，ODE迫使πbFa/fbf减小，而πb（x）~ 1/x接近0，这是不可积的。然而，目前还不清楚为什么在一个装箱的LOB中，出价最高的人不能（几乎）把所有时间都花在最左边的箱子里，因此我们给出了上面更复杂的论点。此时此刻，可能存在多个具有不同κb值的ODE解决方案。直觉上，情况不应该是这样，因为任何限制性κb都应该给出连续LOB的（唯一）阈值。我们将从下面的引理4.3中导出四重（κb，κa，πb，πa）的唯一性，这表明（5a）的解在初始条件下是单调的。这意味着要求srκaκbπb（x）dx=1和Fb（κb）=1- Fa（κa）可以单独固定κ带κ，因为减少κ会增加$banddx$b的初始值。关于常微分方程，我们需要的第二个结果是初始条件下的单调性：引理4.3（常微分方程单调性）。让$band$bbe给出两个初始条件为$b（x）的ODE（5a）解≥ $b（x），（$b）（x）≥ （$b）（x）。那么对于所有x≥ x、 $b（x）≥ $b（x）。证据证据我们可以单调地重新参数化空间，使Fa（x）=x。然后ODE（5a）变成（Fb（x）- 1)xddx$b（x）+$b（x）+ xfb（x）ddx$b（x）=0，这是一阶常微分方程inddx$b（x）。由于一阶常微分方程的解在初始条件下不断增加，我们得到了Ddx$b（x）≥ddxyen$b（x），期望的不平等性很小。推论4.4。

假设$bcome（5b）的初始条件，以及对于某些x>κb的初始条件为$$bareFa（x）~$b（x）=1，（Fa（x）~$b（x））|x=x=0≤ ：/b（x）和ddx$b（x）|x=x≤因此，$b（x）≤ $b（x）换x≥ x、 证据。证据像以前一样重新参数化空间，使Fa（x）=x。然后（x$b（x））=-πa（x），$b（x）=x1.-Zx$a（y）dy.由此可知，b（x）美元≤ $b（x）。此外，xddx$b（x）=-πa（x）- $b（x）=-x+xZx（$a（y）- $现在，在高球中，（1）- Fb（x））$a（x）在增加（参见x$b（x）在减少），这意味着$ais在增加。因此，上面的积分是非正的，我们看到xddx$b（x）|x=x≤ -x=xddx)$b（x）| x=xas必需。4.2. 流体限制。在本节中，我们将介绍与限额订单相关的按流量缩放的流程，讨论它们与限额的收敛性，并确定限额的属性。在本节中，我们使用一个装箱的限额订单簿。让Bk（·）和Ak（·）成为bids和ASK的到达过程（按时间索引）。这些过程的时间结构对我们的结果并不重要，所以我们可以假设它们是泊松过程；从定义上讲，他们是独立的。我们将假设投标的总到达率为1，ask的总到达率为1，因此，如果pb（k）（分别为pa（k））是到达的投标（ask）落入料仓k的概率，这也是投标（ask）落入料仓k的到达率。设Qb（k，t）（分别为Qa（k，t））是在时间t时在bin k中的出价（ask）数。设tβ（k，t）和tα（k，t）是在时间t之前，当最右边的出价（分别为最左边的ask）在bin k中时的时间量：也就是说，tβ（k，t）=Zt1{JβsK k}ds，tα（k，t Zt1{JαsK k}ds。很明显，初始数据Qb（k，0）、Qa（k，0）以及到达过程Bk（·）、Ak（·）为以后确定所有这些过程的值提供了足够的信息。

我们有以下表达式：JβtK=k<==> Qb（k，t）>0，Xk>kQb（k，t）=0（6a）JαtK=k<==> Qa（k，t）>0，Xk<kQa（k，t）=0（6b）Qb（k，t）=Qb（k，0）+Zt1{Jα（s）k>k}dBk（s）-Xk≤kZt1{Jβ（s）K=K}dAk（s）（6c）Qa（K，t）=Qa（K，0）+Zt1{Jβ（s）K<K}dAk（s）-Xk≥kZt1{Jα（s）K=K}dBk（s）（6d）Tβ（K，T）=Tβ（K，0）+Zt1{Jβ（s）K=K}ds（6e）Tα（K，T）=Tα（K，0）+Zt1{Jα（s）K=K}ds（6f）我们用Xn（T）=n定义流体标度过程-1X（nt）对于任何过程X，我们现在有以下关于收敛到流体极限的结果：定理4.5（收敛到流体极限）。考虑一系列过程（Bn（k，·）、An（k，·）、Qb、n（k，·）、Qa、n（k，·）、Tβ、n（k，·）、Tα、n（k，·））的初始状态（在时间0时）是有界的：|Qa、n（k，0）、Qb、n（k，0）|≤ 1.作为n→ ∞, 任何这样的序列都有一个子序列，它在t的紧集上一致收敛到一组Lipschitz函数（bk（·）、ak（·）、qb（k，·）、qa（k，·）、τβ（k，·）、τα（k，·））。（不同的子序列可能会收敛到Lipschitz函数的不同6元组。）我们称之为极限六元组流体极限。任何流体极限几乎在任何地方（即定义了导数的任何地方）都满足以下等式：bk（t）=pb（k），ak（t）=pa（k）（7a）t（τβ（k，t））=0如果xk>kqb（k，t）>0，t（τα（k，t））=0 ifXk<kqa（k，t）>0（7b）JκaKXk=JκbK-1τβ（k，t）=t，JκaK+1Xk=JκbKτα（k，t）=t（7c）qb（k，t）≥ 0，qa（k，t）≥ 0（7天）如果qb（k，t）=0，如果qa（k，t）=0（7e），则tqa（k，t）=0tqb（k，t）=pb（k）Xk>ktτα（k，t）-tτβ（k，t）Xk≤千帕（k）（7f）tqa（k，t）=pa（k）Xk<ktτβ（k，t）-tτα（k，t）Xk≥kpb（k）。（7g）证据。证据（6）中的表达式以及到达过程的泛函大数定律导致u.o.c.沿子序列收敛到流体极限。