算子分裂法在金融中的应用

通常，人们希望Smaxt是这样的：由于微分（和积分）算子的离散化，这种截断引起的误差只是误差的一小部分。同样，对于包含方差v或利率r的多维模型，其相应的有限域被截断为足够大的有界域。截断需要指定额外的边界条件。对于第2、3节中考虑的模型，这些条件的实际选择，我们参考第7节。让s方向上的网格由m+1网格点0=s<s<··<sm=Smax定义。相应的网格大小由si=si-硅-1，i=1,2。。，m、 对于多维模型，我们使用张量积网格。例如，在随机波动率模型的情况下，如果方差v的网格由0=v<v<···<vm=Vmax给出，那么（m+1）×（m+1）空间网格点由（si，vj）定义，i=0，1，mand j=0,1。。，m、 在金融应用中，非均匀网格通常优于均匀网格。第7节将说明适用非均匀网格的使用。用于离散第一个导数用户界面沙二阶导数用户界面sat s=si，我们在本章中使用了著名的中央FD方案用户界面s≈-si+1是的(是的+si+1）用户界面-1+si+1-硅硅si+1ui+是的(是的+si+1）si+1ui+1（15）和用户界面s≈是的(是的+si+1）用户界面-1.-硅si+1ui+(是的+si+1）si+1ui+1。（16） 对于多维模型，类似方案用于其他空间方向，例如uj范德uj增值税v=vj。对于混合导数ui，jsvat（s，v）=（si，vj）我们考虑通过在s方向和v方向上连续应用中心FD方案获得的9点模板。

通过充分平滑的变化网格大小，上述中心FD给出了导数的二阶精度近似值。我们提到，在金融应用中，也采用了其他FD方案，例如对一阶导数项进行迎风离散，或对混合导数项进行替代离散。对于跳跃模型，积分项需要在网格点si处离散。首先，积分分为两部分∞u（siy，t）f（y）dy=ZSmax/siu（siy，t）f（y）dy+Z∞Smax/siu（siy，t）f（y）dy，分别对应于计算域[0，Smax]内和计算域外的u值。第二部分可以使用关于远场uin的知识[Smax，∞). 例如，对于看跌期权，通常假设s的u为零≥ 因此，在这种情况下，第二个积分近似为零。PDFs f是光滑函数，除了y=1时的潜在跳变外，算子分裂方法在金融中的应用9在Kou模型中。由于被积函数的光滑性，梯形规则导致网格大小的二阶精度。这给出了zsmax/siu（siy，t）f（y）dy的近似值≈M∑j=1sj2siu（sj）-1，t）f（sj）-1/si）+u（sj，t）f（sj/si）.例如，文献[71]和[78]分别描述了Merton和Kou跳跃模型更精确的求积规则。积分项的离散化导致了稠密矩阵。积分可以转换为卷积积分，因此FFT可以更有效地计算积分；例如，参见[2,3,22,77]。在Kou模型的情况下，可以使用有效的递归公式[12,78]。5时间离散化5。1θ-方法对于第2节中的任何P（I）DE，第4节中概述的空间离散化导致常微分方程组的初值问题，˙U（t）=a（t）U（t）+G（t）（0≤T≤ T），U（0）=U。

（17） 这里A（t）代表0≤T≤ T是一个给定的平方实矩阵，G（T）是一个给定的实向量，它取决于边界条件。解向量U（t）的条目表示空间网格点上期权估值P（I）DE的精确解的近似值，以方便的方式排序。向量ui由这些网格点上期权的支付函数的直接计算得出。半离散系统（17）通常是刚性的，因此隐式时间离散方法是其数值解的自然候选方法。Let参数θ∈ （0,1]给定。让时间步进t=t/N，带整数N≥ 1和时间网格点tn=nt表示整数0≤N≤ N.θ-方法形成了著名的隐式时间离散化方法。对于n=1,2，…，它依次生成U（tn）的近似值，N byUn=Un-1+ (1 -θ)总氮-1） 联合国-1+θt A（tn）Un+t Gn-1+θ，（18）式中-1+θ表示在t=（n）处对G（t）的近似-1 +θ)t、 这也可以写成（I）-θtA（tn））Un=（I+（1-θ)总氮-1） ）联合国-1+t Gn-1+θ，I是与A（t）大小相同的单位矩阵。对于θ=1，可以使用Firstorder向后欧拉法，对于θ=二阶曲柄-尼科尔森法或梯形法则。为了简单起见，我们在本章中只考虑了con10 Karel in’t Hout和Jari Toivanenstant时间步长，但提出的大多数时间离散化方法可以直接扩展到可变时间步长。在应用Crank–Nicolson方法时，财务方面的常见做法是首先执行几个向后的Euler步骤来开始时间步进。这是一种常用的拉纳谢尔平滑法[67]。

由于非光滑初始（回报）函数，它有助于在数值解中阻尼高频分量，而Crank–Nicolson方法本身通常不会对其进行充分阻尼。显然，为了计算（18）定义的向量，必须用矩阵I求解线性方程组-θtA（tn）。当期权估值PDE是多维的时，该矩阵的大小通常非常大，并且具有很大的带宽。对于PIDE，这个矩阵是稠密的。在这些情况下，当采用标准方法（如LU分解）时，线性系统的解可能需要计算。基于算子分裂的时间离散化方法可以形成一个有吸引力的替代方案。关键思想是将矩阵（t）分成几个部分，每个部分都比完整矩阵本身更容易进行数值处理。5.2基于方向的算子分裂方法对于多维偏微分方程，交替方向隐式（ADI）类型的分裂方案通常应用于金融实践中。为了说明这一想法，考虑了第2.2节给出的二维Heston偏微分方程和三维HHW偏微分方程。对于赫斯顿偏微分方程，半离散系统（17）是自治的；我们将A=A+A+A。接下来，对于HHW偏微分方程，A（t）=A+A+A+A（t）。这里选择Ais作为代表所有混合衍生术语的部分。只要（其中一个）相关因子为非零，它就为非零。A、A和A（t）部分分别代表s、v和r方向上的所有空间导数。后三个矩阵都有固定的小带宽，可能最多可以排列。半离散系统中的向量G（t）以类似的方式被拆分。为了方便起见，定义函数FjbyFj（t，V）=AjV+Gj（j=0,1,2）和F（t，V）=A（t）V+G（t）为0≤T≤ 电视∈Rm。

集合F=∑kj=0FjHeston的k=2，HHW的k=3。在本节中，我们将讨论四种当代的ADI型分裂方案：算子分裂方法在Douglas（Do）方案中的应用Y=Un-1+TF（tn-1，联合国-1） ，Yj=Yj-1+θt（Fj（tn，Yj）-Fj（田纳西州）-1，联合国-1） （j=1,2，…，k），Un=Yk。（19） 克雷格-斯奈德（CS）计划Y=Un-1+TF（tn-1，联合国-1） ，Yj=Yj-1+θt（Fj（tn，Yj）-Fj（田纳西州）-1，联合国-1） （j=1,2，…，k），eY=Y+t（F（tn，Yk）-F（tn）-1，联合国-1） ），eYj=eYj-1+θt（Fj（tn，eYj）-Fj（田纳西州）-1，联合国-1） （j=1,2，…，k），Un=eYk。（20） 修改后的Craig–Sneyd（MCS）方案Y=Un-1+TF（tn-1，联合国-1） ，Yj=Yj-1+θt（Fj（tn，Yj）-Fj（田纳西州）-1，联合国-1） （j=1，2，…，k），bY=Y+θt（F（tn，Yk）-F（tn）-1，联合国-1） ），eY=bY+(-θ)t（F（tn，Yk）-F（tn）-1，联合国-1） ），eYj=eYj-1+θt（Fj（tn，eYj）-Fj（田纳西州）-1，联合国-1） （j=1,2，…，k），Un=eYk。（21）亨德斯多弗-维沃（HV）方案Y=Un-1+TF（tn-1，联合国-1） ，Yj=Yj-1+θt（Fj（tn，Yj）-Fj（田纳西州）-1，联合国-1） （j=1,2，…，k），eY=Y+t（F（tn，Yk）-F（tn）-1，联合国-1） ），eYj=eYj-1+θt（Fj（tn，eYj）-Fj（tn，Yk））（j=1,2，…，k），Un=eYk。（22）12 Karel in’t Hout和Jari ToivanenIn’t Hout在Do方案（19）中，前向Euler预测器步骤后面是k隐式但单向的校正步骤，用于稳定预测器步骤。CSS方案（20）、MCS方案（21）和HV方案（22）可以被视为Do方案的不同扩展。事实上，它们的前两行与Do方案的前两行完全相同。接下来，他们都会执行第二个预测步骤，然后是kunidirectional corrector步骤。请注意，CS和MCS方案是等价的（且仅当）θ=。显然，在所有四个ADI方案中，表示所有混合导数的“分开”总是以明确的方式处理。在ADI方案的原始公式中，未考虑混合导数项。

在文献中，引用上述扩展方案（也称为ADI方案）是一种常见且自然的用法。在F=0的特殊情况下，CS方案简化为Do方案，但MCS方案（θ6=）和HV方案不简化。按照最初的ADI方法，以隐式方式处理A、A、A（t）零件。在每个方案的每一步中，线性方程组需要求解矩阵（I-θ t Aj）对于j=1,2以及（I-θ t A（tn））如果k=3。由于所有这些矩阵都有固定的小带宽，因此可以通过LU分解非常有效地实现，参见第6.1节。因为对于j=1,2，相关矩阵进一步独立于阶跃指数n，它们的LU分解可以预先计算一次，然后在所有时间步中使用。因此，对于每个ADI方案，每个时间步的浮点运算数量与空间网格点的数量成正比，这是一个非常有利的特性。通过泰勒展开（经过精心计算）可以得到每个ADI格式的一致性的经典阶。对于任何给定的θ，当Ais为非零时，Doscheme的阶数仅为一。这种低阶是因为分离是以简单、向前的欧拉方式处理的。CS方案提供了θ=。对于任何给定的θ，MCS和HV格式都是二阶的。与其他基于方向的算子分裂方案相比，ADI方案的一个优点是，内部向量Yj，eyj形成了对U（tn）的一致逼近。Do格式可以看作是Douglas&Rachford[23]和Peaceman&Rachford[66]对二维扩散方程原始ADI格式的推广，推广到存在混合导数项的情况。

McKee&Mitchell[61]首先对扩散方程进行了推广，随后在[62]中对对流扩散方程进行了推广。CS格式由Craig&Sneyd[18]开发，目的是获得一个稳定的二阶ADI格式，用于混合导数的扩散方程。MCS方案由In’t Hout&Welfert[43]构造，以便与二阶CS方案相比，在选择θ时获得更大的自由度。HV方案由Hundsdorfer[47]和Verwer等人[83]设计，用于大气化学中产生的对流扩散反应方程的数值解，参见[48]。在[42,43]中首次研究了HV格式在包含混合导数项的方程中的应用。也就是固定非奇偶系统的顺序。运营商拆分方法在金融中的应用13 Do和CS方案在金融中的偏微分方程中是众所周知的，参见示例[4,59]。最近，MCS和HV方案引起了人们的兴趣，例如[14,20,24,35,36,39,54]。ADI方案（19）–（22）的公式类似于【47】中使用的公式类型。在文献中，ADI方案有时也被称为稳定校正方案，并且与近似矩阵分解方法和隐-显（IMEX）龙格-库塔方法密切相关，参见e.g.[48]。在[40,41,42,43]中，对四种格式（19）-（22）在应用于含混合导数项的多维对流扩散方程时，导出了冯诺依曼意义下的综合稳定性结果。这些结果是无条件稳定的，即对时间步长没有任何限制t、 对于eachADI格式，得到了保证无条件稳定的θ的下界，具体取决于空间维数。

基于这些理论稳定性结果和[35,36,39]中的数值经验，发现以下值对k=2,3有用：o带θ=（如果k=2）和θ=（如果k=3）的Do格式；带θ的CS格式；带θ=（如果k=2）和θ=max{，（2γ+1）}（如果k=3）的MCS格式；带θ的HV格式=+√3.这里γ=max{|ρ|，|ρ|，|ρ|}∈ [0,1]，这是混合导数系数相对大小的度量。除了ADI格式外，还有各种基于方向的著名交替算子分裂格式，称为局部一维（LOD）方法、分步方法或分量分裂格式。这些计划起源于20世纪60年代，由戴亚科诺夫、马尔丘克、萨马斯基、亚年科和其他人完成。其中一些与同时开发的Strang分裂方案有关。对于此类方法的一般概述和分析，我们参考[48,60]。例如，[50,79]考虑了这些方案在金融数学中的应用。5.3基于算子类型的算子分裂方法对于第2.3节中考虑的跳跃模型，半离散矩阵A可以写成形式A=D+J，（23），其中D和J分别对应于微分算子和积分算子。矩阵D是稀疏的，而通常J是稠密矩阵或具有密集块。鉴于这两个矩阵的性质不同，最好采用基于它们的算子分裂方法。在[3]中，Andersen和Andreasen描述了广义的θ-方法14 Karel In’t Hout和Jari Toivanen（I-θDtD-θJtJ）Un=（I+（1）-θD）tD+（1）-θJ）tJ）联合国-1（24）假设G=0。标准选择θD=1和θJ=0对应于Mex-Euler方法：它使用向后Euler方法隐式处理刚性微分部分，使用向前Euler方法显式处理非刚性积分部分。这种选择会产生一阶一致性。

这样做的好处是，不需要求解涉及矩阵J的稠密线性系统。相反，在每个时间步长中，只需要与J相乘一次。[17]对这种方法进行了考虑和分析。[26]中提出了一种基于IMEX-Euler方法的外推方法。在这里，计算给定固定时间内的近似值，以减小步长序列，然后线性组合，以达到高精度。在[3]中，通过交替处理D和J部分获得二阶一致性。他们提议采取行动t/2子步，θD=1，θJ=0，后跟at/2子步，θD=0，θJ=1。这里需要求解包含稠密矩阵J的线性系统，作者采用FFT。在[22]中，分析了原始的θ-方法，其中每个时间步中的线性系统通过在跳转部分上应用一个固定点迭代来求解，该迭代遵循一个理想[77]。例如[26,57,58,72]，（I）中考虑了以下二阶IMEX中点方案-tD）Un=（I）+tD）联合国-2+ 2tJUn-1+ 2tGn-1.（25）方案（25）可被视为从半离散系统（17）中获得-1根据近似值DUn-1.≈D（联合国+联合国）-2） 和˙Un-1.≈t（联合国）-联合国-2).随后的两种二阶IMEX方法是IMEX–CNAB方案我-tD联合国=我+tD公司联合国-1+tJ（3Un）-1.-联合国-2) +tGn-1/2（26）和IMEX–BDF2方案我-tDUn=2Un-1.-联合国-2+tJ（2Un）-1.-联合国-2) +tGn。（27）这些方案最近已在[73]中应用于期权定价，并可通过在tn处近似半离散系统（17）获得-1/2=（总氮+总氮）-1） 和tn。在[28]中，IMEX方案（25）、（26）和（27）是在一般框架下研究的，不适用于期权估值。

这里有人指出，这种模式可以被认为是从隐式方法开始，然后用基于先前时间步长的外推的显式公式替换隐式项的非刚性部分。[48]中给出了IMEX方法的概述。一般来说，IMEX方法仅在条件下稳定，也就是说，它们对于足够小的时间步长是稳定的t、 例如，无论何时λ，IMEX中点方案（25）和IMEX–CNAB方案（26）都是稳定的t<1且λu端（10）包含在D中；见[73]。回想一下，λ表示跳跃活动。算子分裂法在金融中的应用本节讨论的方案为线性多步型。对于应用于跳跃模型的Runge–Kutta型IMEX模式，我们提到[10]。5.4线性互补问题的算子分裂方法。通过对（14）个美国式选项进行空间和时间离散化得到的完全离散LCP，比欧洲式选项对应的线性方程组更难求解。将这些LCP分解成更简单的子问题是可取的。在这里，我们描述了[49,53]中考虑的算子分裂方法，其动机是不可压缩流的分裂方法[13,31]。为此，我们用拉格朗日乘子重新构造LCP。θ-方法离散化（18）自然会产生以下完全离散的LCP（BUn-村-1.-tGn-1+θ≥ 0，联合国≥U、 （包子）-村-1.-tGn-1+θ）T（Un）-U） =0，（28），其中B=I-θtA，C=I+（1）-θ)假设A在时间上是常数。通过引入拉格朗日乘子向量λn，LCP（28）采用等价形式（BUn）-村-1.-tGn-1+θ=tλn≥ 0，联合国≥U、 （λn）T（Un）-U） =0。（29）文献[49]中提出的算子分裂方法的基本思想是将（29）第一行与第二行解耦。