算子分裂法在金融中的应用

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英文标题：
《Application of Operator Splitting Methods in Finance》
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作者：
Karel in \'t Hout, Jari Toivanen
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Financial derivatives pricing aims to find the fair value of a financial contract on an underlying asset. Here we consider option pricing in the partial differential equations framework. The contemporary models lead to one-dimensional or multidimensional parabolic problems of the convection-diffusion type and generalizations thereof. An overview of various operator splitting methods is presented for the efficient numerical solution of these problems.   Splitting schemes of the Alternating Direction Implicit (ADI) type are discussed for multidimensional problems, e.g. given by stochastic volatility (SV) models. For jump models Implicit-Explicit (IMEX) methods are considered which efficiently treat the nonlocal jump operator. For American options an easy-to-implement operator splitting method is described for the resulting linear complementarity problems.   Numerical experiments are presented to illustrate the actual stability and convergence of the splitting schemes. Here European and American put options are considered under four asset price models: the classical Black-Scholes model, the Merton jump-diffusion model, the Heston SV model, and the Bates SV model with jumps.
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中文摘要：
金融衍生工具定价的目的是确定标的资产的金融合同的公允价值。这里我们考虑偏微分方程框架下的期权定价。当代模型导致对流扩散型的一维或多维抛物问题及其推广。为了有效地数值求解这些问题，本文综述了各种算子分裂方法。本文讨论了多维问题的交替方向隐式（ADI）分裂格式，例如由随机波动率（SV）模型给出的分裂格式。对于跳跃模型，考虑了有效处理非局部跳跃算子的隐-显（IMEX）方法。对于美式期权，描述了一种易于实现的算子分裂方法，用于求解由此产生的线性互补问题。数值实验证明了分裂格式的稳定性和收敛性。在这里，欧洲和美国的看跌期权被考虑在四种资产价格模型下：经典的Black-Scholes模型、Merton跳跃扩散模型、Heston SV模型和带跳跃的Bates SV模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Application_of_Operator_Splitting_Methods_in_Finance.pdf (241 KB)

2022-5-8 00:59:43 上传

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关键词：分裂法 Differential contemporary Applications Quantitative

在Financial Carel in’t Hout和Jari Toivanena中应用运营商拆分方法摘要金融衍生品定价旨在确定标的资产金融合同的公允价值。这里我们考虑偏微分方程框架下的期权定价。当代模型导致对流扩散型一维或多维抛物问题及其推广。为了有效地数值求解这些问题，本文概述了各种算子分裂方法。讨论了交替方向隐式（ADI）类型的分裂方案，用于多维问题，例如由随机波动率（SV）模型给出的问题。对于跳跃模型，考虑了有效处理非局部跳跃算子的隐式-显式（IMEX）方法。对于美式期权，描述了一种易于实现的算子分裂方法，用于求解由此产生的线性互补问题。数值实验证明了分裂格式的稳定性和收敛性。在这里，欧洲和美国的看跌期权被考虑在四种资产价格模型下：经典的Black-Scholes模型、Merton跳跃扩散模型、Heston SV模型和带跳跃的Bates SV模型。安特卫普大学数学与计算机科学系，比利时安特卫普米德尔海姆兰1号，B-2020，电子邮件：Karel。inthout@uantwerp.beJariToivanenninstitute for Computical and Mathematic Engineering，斯坦福大学，斯坦福，CA94305，美国，芬兰Jyv–askyl–a大学FI-40014数学信息技术系，电子邮件：toivanen@stanford.edu杰里。toivanen@jyu.Fi 2 Karel in’t Hout和Jari Toivanen1在当代国际金融市场的介绍期权产品交易广泛。

全球场外衍生品市场的平均每日交易量是巨大的。例如，2013年4月，在外汇市场上，这大约相当于3370亿美元[5]。除了标准的看涨期权和看跌期权，即所谓的普通期权之外，还有一系列奇特的衍生品。金融数学的主要目标之一是确定这些衍生品的公允价值，以及它们对基础变量和参数的敏感性，这对套期保值至关重要。为此，现在采用了先进的数学模型，产生了与时间相关的偏微分方程（PDE）的初边值问题及其推广，参见[4,14,59,75,77,85]。这些问题通常是对流扩散类的多维问题。在某些情况下，文献中已经得到了精确解的半封闭形式的解析公式。然而，对于大多数期权估值问题，这样的公式是不可用的。鉴于此，人们求助于数值方法来获得近似解。对银行和其他金融机构而言，有效、稳定、稳健的期权价值及其敏感性数值近似至关重要。用直线法给出了一种求解含时对流扩散方程的通用方法。它由两个一般的、连续的步骤组成。在第一步中，PDE在空间变量中离散，例如通过有限差分法、有限体积法或有限元法。这导致了所谓的半离散常微分方程组。在第二步中，通过应用合适的隐式时间离散化方法对所获得的半离散系统进行数值求解。

如果PDE是多维的，那么当使用标准的经典mplicit方法（如Crank–Nicolson方案）时，后一个任务的计算量会非常大。近年来，人们开发了多种算子分裂方法，能够高效、稳定地求解金融数学中出现的半离散多维偏微分方程及其推广。本章的目的是概述主要类别的运算符拆分方法及其在金融中的应用。在这里，我们选择考虑在金融期权估值文献中广为人知的各种越来越复杂的模型。我们在下面讨论两种基本类型的期权，涉及给定的所谓履约价格K>0和给定的到期时间T>0，其中今天总是以时间0表示。欧式看跌期权（European call（put）option）是持有人和卖方双方之间的合同，该合同赋予持有人在未来日期T以K的价格向卖方购买（出售）指定资产的权利。美式看跌期权与此相同，只是持有人可以在今天到到期日之间的任何时间行使。期权是一种权利而不是义务。基础资产可以是股票、外币、商品等。有关金融期权的详细介绍，请参见[45]。显然，期权具有价值，而金融数学中的一个核心问题是其公允价值是什么。运营商拆分方法在金融领域的应用32基础资产模型2。1几何布朗运动Black&Scholes[7]和Merton[63]的开创性论文提出了欧洲看涨期权和看跌期权公允价值的关键方程式。在这些论文中，标的资产价格的动态由随机微分方程（SDE）dS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t）（t）建模≥ 0).

（1） 这里，W（t）表示维纳过程或标准布朗运动，而μ，σ是给定的实参数，分别称为漂移和波动率。波动性是指资产收益的不确定性程度。SDE（1）描述了一种所谓的几何布朗运动，它满足（t）≥ 0.S（0）≥ 0.在这个资产价格模型和几个附加假设下，布莱克、斯科尔斯和默顿推导出了著名的偏微分方程（PDE）Ut=σsUs+rsUs-ru（s>0，0<t≤ T）。（2） 这里u（s，t）代表时间t的公允价值-欧洲香草选项的t（t）-t） =s。第（2）项中的数量r是无风险利率，并给出。Black、Scholes和Merton分析的一个主要结果是，漂移μ实际上没有出现在期权定价PDE中。这一观察结果催生了重要的中立估值理论。更详细地讨论这一理论超出了本章的范围，但请参见例[45,75]。在公式（2）中，我们选择t作为到期时间。因此，时间运行方向与（1）相反。相应地，支付函数φ定义了期权合同在到期时间T的价值，导致初始条件u（s，0）=φ（s）（s）≥ 0). （3） 对于给定执行价K的欧式香草期权，有φ（s）=麦克斯（s）-K、 0）对于s≥ 0（通话），最大（K）-s、 0）对于s≥ 0（put），（4）且在s=0时，具有狄里克莱边界条件u（0，t）=0换0≤ T≤ T（呼叫），e-0的rtK≤T≤ T（put）。（5） 方程（2）称为Black-Scholes偏微分方程或Black-Scholes-Merton偏微分方程。它是完全确定的，可以看作是一个依赖于时间的对流扩散方程。

对于欧洲香草期权，在[7]中导出了半封闭形式的解析解u，构成了著名的Black–Scholes公式。Black–Scholes PDE是通用的，因为它适用于各种欧洲风格的选择。初始和边界条件由特定选项决定。例如，对于givenbarrier B>K的欧洲向上和向外看涨期权，当0<s<B，0<t时，PDE（2）保持不变≤ T在这种情况下，初始条件isu（s，0）=max（s-K、 0）对于0≤ s<带一的Dirichlet边界条件su（0，t）=u（B，t）=0表示0≤T≤ T.s=B时的同质条件对应于这样一个事实，即通过构造，只要标的资产价格超过界限，向上和向外看涨期权就变得毫无价值。对于许多类型的期权，包括（连续）障碍期权，在Black–Scholes框架下的文献中已经获得了半解析定价公式，参见示例[45]。然而，目前众所周知，这一框架下的每一个假设在实践中都或多或少地遭到违反。特别是，利率r和波动率σ不是常数，而是随时间变化的。有鉴于此，人们开发了更先进的资产定价模型，从而获得了更先进的期权估值偏微分方程。在本章中，我们不会详细讨论资产价格SDE和期权估值PDE之间的数学联系，但会提到一个主要工具是著名的费曼-卡克定理，参见示例[75]。在下文中，我们将讨论更先进的期权估值PDE的典型当代实例。2.2随机波动率和随机利率模型Sheston[38]通过SDE对波动率本身进行建模。赫斯顿随机波动模型在外汇市场尤其流行。

相应的期权估值PDE为Ut=svUs+ρσsvUsv+σvUv+rsUs+κ（η）-v）U五、-ru（6）表示s>0、v>0和0<t≤T这里，u（s，v，t）代表欧洲式期权的公允价值，如果到期前t个时间单位的资产价格等于s，方差等于v。我们注意到，通过定义，方差是波动率的平方。正参数κ和η分别是方差的平均回复率和长期平均值，σ>0是方差的波动率，ρ∈ [-1,1]表示两个基本布朗运动之间的相关性。算符分裂方法在金融学中的应用5（6）被称为赫斯顿偏微分方程。它可以看作是一个无界二维空间域上的含时对流扩散反应方程。如果相关性ρ不为零，这在实践中几乎总是成立的，那么HestonPDE包含一个混合的空间导数项。对于赫斯顿模型下的欧式香草期权，在s=0时有一个初始条件和一个边界条件，这与上文讨论的Black–Scholes情形相同。在赫斯顿的情况下，还有一个边界v=0。当v↓ 0，则所有二阶导数项在（6）中消失。[25]中已经证明，对于公允期权价值函数u，当v=0时，Heston偏微分方程是完整的，这构成了v=0时的（非标准）边界条件。对于赫斯顿资产定价模型（我们没有明确制定），所谓的费勒条件2κη≥文献中经常考虑σ。这个条件决定了方差过程是否能达到零值（给定严格正的初始方差）：当且仅当Feller保持时，它不能达到零值。众所周知，在数值求解赫斯顿资产定价模型时，违反费勒条件的情况具有挑战性。

另一方面，对于Heston期权估值PDE（6），事实证明，这个问题在数值解中并不重要。Heston模型的一个结果是通过考虑一个随机的利率来获得的，例如[32,33,35,36]。作为一个例子，我们考虑了利率由著名的赫尔-怀特模型[45,46]描述的情况。这导致了以下所谓的Heston–Hull–White（HHW）PDE，用于期权价值函数u=u（s，v，r，t）：Ut=svUs+σvUv+σUr+ρσsvUsv+ρs√五、Usr+ρσ√五、U五、r+rsUs+κ（η）-v）Uv+a（b（T）-（t）-r）UR-ru（7）对于s>0，v>0，-∞ < r<∞, 0<t≤ T这里κ、η、σ、a和σ是给定的正实常数，b表示给定的确定的正时间函数。此外，还有给定的相关性ρ，ρ，ρ∈ [-1, 1]. 显然，HHWPDE是一个无界三维空间域上含三个混合导数项的含时对流扩散反应方程。对于欧式香草期权，初始和边界条件与上述Hestoncase中的相同。注意，如果v↓ 0，然后是所有二阶导数项，除了u/rterm，消失在（7）中。赫斯顿和HHW模型是导致多维期权估值PDE的资产定价模型的两个实例。在考虑其他类型的选项时，也可以获得多维PDE，例如一篮子资产上的选项。然后，在Black-Scholes框架中，PDE的维度等于资产的数量。一般来说，这些偏微分方程的（半）封闭形式的解析解是不可用的。6 Karel in\'t Hout和Jari Toivanen2。3跳跃模型有时标的资产的价值变化如此之快，以至于在上述基于布朗运动的模型下，这种变化的概率非常小。

例如，股市崩盘期间或重大新闻事件之后的股价波动可能非常快。早在1976年，默顿就在[64]中提出在基础资产价格模型中加入跳跃成分。在他的模型中，跳跃是对数正态分布的，它们的到达时间遵循泊松过程。跳转后，通过将跳转前的值乘以概率密度函数（PDF）f（y）=yδ得到的资产值√πexp-（医学）-γ)δ（8） 对于y>0，其中γ是正态分布的平均值，δ是其标准偏差。Kou在[56]中提出了一个对数双指数分布，由thePDFf（y）=（qαyα）定义-1,0<y<1，pαy-α-1，y≥ 1，（9）其中p，q，α>1，α是正常数，使得p+q=1。这些模型具有有限的跳跃活动，这里用λ表示。还有许多流行的有限跳跃活动模型，如CGMY模型[11]。在下文中，我们将只考虑有限的活动模型。欧式期权的u（s，t）值满足偏积分微分方程（PIDE）Ut=σsUs+（r）-λζ）sUs-（r+λ）u+λZ∞s>0和0<t时的u（sy，t）f（y）dy（10）≤ T，其中ζ是ζ=Z给出的平均跳跃大小∞（y）-1） f（y）dy.（11）对于Merton和Kou模型，平均跳跃为ζ=eγ+δ/2-1和ζ=qαα+1+pα-1.-分别为1。贝茨在[6]中提出将赫斯顿随机波动率模型和默顿跳跃模型结合起来。在此模型下，欧式期权的u（s，v，t）值满足PIDEUt=svUs+ρσsvUsv+σvUv+（r-λζ）sUs+κ（η）-v）U五、-（r+λ）u+λZ∞u（sy，v，t）f（y）dy（12）算子分裂方法在金融中的应用≤ T，其中PDF f由（8）给出。有关金融跳跃模型的详细讨论，请参见。

[16] .3美式期权的线性互补问题与欧式期权不同，美式期权可以在到期日之前的任何时间行使。因此，美式期权的公允价值总是大于或等于瞬时收益u≥φ. （13） 由于这种早期锻炼的限制，P（I）DE不再适用于任何地方。相反，对于美式期权的公允价值，通常会得到线性互补问题（LCP）或部分（积分）微分互补问题：UT≥ A u，u≥φ,UT-美国（u）-φ） =0，（14），其中A代表相关的空间微分算子。例如，对于Black-Scholes模型，u=σsUs+rsUs-鲁。上述不等式和方程在点上成立。（14）中的等式是完全条件。它指出，在每一点上，两个不平等中的一个必须是平等的。本文[44]讨论了各种资产价格模型下美式期权的LCP公式，并研究了得到的完全离散LCP的结构和性质。我们注意到，惩罚方法是LCP的一种流行替代方法。此处，欧洲期权的P（I）DE中增加了一个术语，目的是实施提前行使约束（13）。由此产生的问题是非线性的，例如[27]中考虑了它们的有效数值解。对于LCP的其他几种替代公式和近似，我们参考[80]。4空间离散在本章中，我们对空间导数采用有限差分（FD）离散。另一种方法是使用有限元离散化；参见例[1,74]。通常的做法是首先截断有限的s域[0，∞) 到[0，Smax]8 Karel in’t Hout和Jari Toivanen，具有足够大的真实Smax。