算子分裂法在金融中的应用

这是通过用之前的拉格朗日乘数λn近似第一行中的拉格朗日乘数λ来实现的-1.这就产生了线性方程组SBeun=CUn-1+tGn-1+θ+tλn-1.（30）求解该系统后，中间解向量化，拉格朗日乘子λnare更新，以满足（空间解耦）方程和互补条件联合国-恩=t（λn）-λn-1） ，λn≥ 0，联合国≥U、 （λn）T（Un）-U） =0。（31）因此，美式期权的这种算子分裂方法导致了线性系统（30）的解，这与欧式期权的解基本相同，以及一个简单的更新步骤（31）。使用公式16 Karel in’t Hout和Jari Toivanen（Un，i，λn，i），可以在每个空间网格点上独立地快速执行此更新=恩，我-tλn-1，我，0, 伊夫恩，我-tλn-1，i>U0，i，U0，i，λn-1.我+TU0，我-恩，我, 否则（32）在[49,53]中，针对线性多步和Runge–Kutta型的更高级时间离散化方案研究了上述算子分裂方法。此外，在[72]中，对于跳跃模型，它与IMEX方案有效地结合在一起；在[37]中，对于Hestonmodel，它与ADI方案有效地结合在一起。例如，IMEX–CNAB方案和theMCS方案的相关调整如下：我-tD恩=我+tD联合国-1+tJ（3Un）-1.-联合国-2) +tGn-1/2+tλn-1.和Y=Un-1+TF（tn-1，联合国-1) +tλn-1，Yj=Yj-1+θt（Fj（tn，Yj）-Fj（田纳西州）-1，联合国-1） （j=1，2，…，k），bY=Y+θt（F（tn，Yk）-F（tn）-1，联合国-1） ），eY=bY+(-θ)t（F（tn，Yk）-F（tn）-1，联合国-1） ），eYj=eYj-1+θt（Fj（tn，eYj）-Fj（田纳西州）-1，联合国-1） ）（j=1,2，…，k），eUn=eYk，然后是更新（32）。第5.2节中的其他三个ADI方案进行了类似调整。请注意，只有tλn-1条款已添加到MCS方案的第一行（21）。

因此，与θ-方法一样，每个时间步的计算工作量基本上与相应的欧式选项相同。6代数系统的解算器第5节中描述的隐式时间离散化，在每个时间步中，导致BU=ψ（33）形式的线性方程组或（BU）形式的LCP≥ψ，U≥Φ（BU）-ψ）T（U）-Φ）=0（34）在给定矩阵B和给定向量Φ，ψ的情况下，算子分裂方法在金融中的应用。对于没有跳跃的模型，通过有限差分、有限体积和有限元方法进行半离散会导致解析矩阵B。对于一维模型，中心FDs（15）和（16）会导致三对角B。对于高维模型，每当应用经典（非分裂）时间步进方案时，它们会产生具有较大带宽的矩阵B。另一方面，对于基于方向的算子分裂方法（参见第5.2节），还可以获得三对角矩阵（可能是在对未知数重新编号之后）。更宽的FD模板会导致额外的非零对角线。跳跃模型的时间离散化和跳跃的隐式处理使B密集。6.1直接法线性方程组（33）可通过使用LUdecomposition的直接法求解。该方法首先形成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得B=LU。在此之后，通过求解第一个LV=ψ，然后UU=V得到解向量U。设m表示矩阵B的维数。

对于三对角B或更多具有固定小带宽的一般矩阵，LU分解会产生最佳计算成本，因为出发点运算的数量为m阶。因此，当应用基于方向的算子分裂方案时，它对一维模型和高维模型非常有效。对于具有经典时间步方案的二维模型，如果可以使用嵌套分解方法，则可以通过阶数为m3/2的浮点运算形成LU分解，然后解决方案的计算成本为阶数为m，参见[21,29]。对于具有经典时间步长格式的高维模型，计算成本较低。对于一般矩阵B，求解LCP（34）需要迭代方法。然而，在B是三对角的特殊情况下，解向量满足Ui=Φi（1≤ 我≤ i） ，Ui>Φi（i<i≤ m） 对于某些情况和一些附加假设，Brennan–Schwartz算法[9]给出了求解LCP的直接方法；另见[1,51,55]。将未知数的编号从右向左反转后，由置换矩阵P表示，该算法相当于将LU分解方法应用于具有matrixPBP的相应线性系统，其中投影步骤在使用U计算反向替换步骤中的每个分量后直接执行。更精确地说，反向替换步骤在对未知数重新编号后读取：（Um=max{Vm/Um，m，Φm}，Ui=max{（Vi）-Ui，i+1Ui+1）/Ui，i，Φi}（i=m-1米-2.1).（35）Brennan–Schwartz算法基本上与线性系统的LU分解方法一样快，因此具有最佳计算成本。18 Karel in\'t Hout和Jari Toivanen6。2迭代法解线性方程组有很多迭代法。

两类最重要的方法是平稳迭代法和Krylov子空间方法。对于典型的非对称系统（33），著名的Krylov子空间方法是广义最小残差（GMRES）方法[70]和Biggstab方法[84]。在下文中，我们将更详细地讨论金融应用中常见的平稳迭代法。成功的过松弛（SOR）方法读取su（k+1）i=U（k）i+ωBi，iψi-我-1.∑j=1Bi，jU（k+1）j-M∑j=iBi，jU（k）j！（36）对于i=1，2，m、 k=0,1,2。。，其中ω是一个松弛参数。在ω=1的情况下，该方法简化为高斯-赛德尔方法。通过优化ω的选择，可以显著提高迭代（36）的收敛速度。然而，达到给定精度的迭代次数通常会随着m的增加而增加，也就是说，当重新定义空间网格时，收敛速度会减慢。SOR迭代可以通过在每次更新后执行投影来推广到LCP[19]；另见[30]。这种方法被称为投影SOR（PSOR）方法，它的读数为su（k+1）i=max（U（k）i+ωBi，iψi-我-1.∑j=1Bi，jU（k+1）j-M∑j=iBi，jU（k）j！，Φi）（37）（i=1,2，…，m，k=0,1,2，…）。可以预料，PSOR方法与上述SOR方法存在相同的缺点。6.3多重网格方法求解线性系统的多重网格方法（33）的目的是使迭代次数基本上独立于问题大小m。平稳迭代方法通常会快速减少高频误差，而低频误差减少得更慢。多重网格方法的思想是在较粗的空间网格上有效地计算对这些缓慢变化的误差的修正。多重网格方法可分为几何方法和代数方法。

使用几何方法，在一系列网格上显式构造离散化，并显式定义这些网格之间的传递算子。代数多重网格（AMG）方法[69,76]利用矩阵B的性质自动构建粗糙问题和转移算子。这些方法的详细信息超出了本章的范围，我们参考e.g.[82]以获取有关这方面的详细信息和扩展文献。算子分裂法在金融中的应用19对于LCP也存在多个版本的多重网格法。Brandt和Cryer在[8]中介绍了LCP的投影全近似方案（PFAS）多重网格方法。随机波动下的美式期权采用[15,65]中的PFA方法定价。[68]中介绍的LCP的投影多重网格（PMG）方法与线性问题的经典多重网格方法更为相似。该方法已被用于[52,68]中的美式期权定价。最近，文献[81]中推广了一种适用于LCP的AMG方法。由此产生的方法称为投影代数多重网格（PAMG）方法，在处理互补条件方面类似于PMG方法。7数字说明在下文中，我们将欧洲和美国看跌期权按模型层次进行定价：Black–Scholes、Merton、Heston和Bates。利率、到期时间和履约价格始终取为asr=0.03、T=0.5和K=100。为了便于说明，图1和图2分别显示了四种考虑模型下欧洲和美国期权的公允价值，模型参数在以下章节中描述。80 90 100 110 1200510152025SOption价格黑色-ScholesMertonHestonBatespayoffFig。

1资产价格的欧洲看跌期权公允价值75≤ s≤ 在四种考虑的模型下，波动率σ=0.2（方差v=0.04）。20 Karel in\'t Hout和Jari Toivanen80 90 100 110 1200510152025黑色-ScholesMertonHestonBatespayoffFig。2资产价格的美式看跌期权的公允价值75≤ s≤ 在四种考虑的模型下，波动率σ=0.2（方差v=0.04）。7.1 Black-Scholes模型在Black-Scholes模型中，我们为美式看跌期权定价。模型（1）中的波动率取σ=0.2，并采用以下边界条件：u（0，t）=K表示0<t≤ T、 （38）us（Smax，T）=0表示0<T≤ T.（39）Neumann边界条件（39）引入了一个建模误差，因为它不能完全由实际期权价格函数填充。然而，如果Smaxis足够大，那么在感兴趣的区域，这个误差将很小。对于Black–Scholes PDE（2）的空间离散化，我们在非均匀网格上应用FD公式，使得大部分网格点位于感兴趣的区域，即s=K的邻域。对于空间网格的构造，我们采用[36]。设整数m≥1，康斯坦茨>0，和0<Sleft<K<Sright<Smaxbe。设等距点ξmin=ξ<ξ<<ξm=ξmaxbe与距离一起给出ξ及算子分裂方法在金融中的应用21ξmin=sinh-1.-Sleftc,ξint=Sright-Sleftc，ξmax=ξint+sinh-1.Smax-Srightc.然后我们定义一个非均匀网格0=s<s<…<sm=Smax，通过变换si=ψ（ξi）（0≤ 我≤m） ，（40）式中φ（ξ）=Sleft+c·sinh（ξ）（ξmin）≤ξ≤ 0），Sleft+c·ξ（0<ξ<ξint），Sright+c·sinh（ξ-ξint）（ξint）≤ξ≤ξmax）。网格（40）内部均匀（Sleft，Sright），外部不均匀。参数C控制位于[Sleft，Sright]内的网格点的比例。

网格是平滑的，因为存在实常数C，C，C>0，所以网格大小si=si-硅-1满足感ξ≤硅≤Cξ和|si+1-|≤C(ξ） （41）在i和m中一致。对于网格中的参数，我们做出（启发式）选择max=8K，c=K，Sleft=max,E-T/10K，Sright=min,eT/10K.Black–Scholes偏微分方程初边值问题的半离散化如下。在内部网格点处，（2）中出现的每个空间导数被第4节中描述的相应二阶中心FD公式替换。在边界s=Smax处，Neumann条件（39）给出u/s、 接下来，u/sis由中心公式近似，其值在虚点Smax处+通过使用（39）的线性外推定义。关于初始条件，我们总是将网格点sinearest处的支付函数φ的值替换为其单元平均值hZsi+1/2si-1/2最大值（K-s、 0）ds，wheresi-1/2=（si）-1+si），si+1/2=（si+si+1），h=si+1/2-硅-1/2.这降低了离散化误差对与s网格相关的删除线位置的依赖性，参见[77]。22 Karel in’t Hout和Jari Toivanenth时间离散化采用Crank–Nicolson方法和Rannacher平滑。通过使用时间步长向后走两步来开始时间步长t、 选择此选项后，所有时间步骤都使用相同的系数矩阵I执行-助教。此外，使用Euler方法将时间步长减半有助于减少该方法造成的额外误差。

请注意，我们将这两个欧拉步计算为一个时间步，以方便记法。我们将时间离散化误差定义为（m，N）=max|嗯，我-Ui（T）|：K<si<K, （42）式中，UN表示与网格点si无关的向量分量。我们研究了网格（m，N）=（160,2k）fork=0,1。。，10.参考价格向量U（T）使用时空网格（1605000）计算。图3比较了第5.4节所述LCP的平滑曲柄-尼科尔森法（有和没有算子分裂法）的时间误差。对于较大的时间步长，无分裂的Crank–Nicolson方法更精确。在这个例子中，分裂法的收敛速度略低于二阶，略高于非分裂法的收敛速度。因此，对于较小的时间步长，运算符拆分方法的精确度略高。10-310-210-110010-710-510-310-11011/使用splittingsmoothed CNFig对时间误差进行平滑处理的CN。3.在Black–Scholes模型下，美式期权的时间离散化误差适用于光滑曲柄–尼科尔森方法，包括和不包括LCP的算子分裂方法。算子分裂方法在金融237.2默顿模型中的应用在默顿跳扩散模型下，我们对欧洲和美国看跌期权进行定价。对于模型的跳跃部分，跳跃活动、正态分布的平均值及其标准偏差取λ=0.2、δ=0.4和γ=-分别为0.5,43；见（8）。对于欧式看跌期权，s=0时的边界条件由（5）给出，对于美式看跌期权，由（38）给出。在截断边界S=Smax时，我们使用Neumann边界条件（39）。与Black–Scholes模型第7.1节相同的时空网格，空间导数也以相同的方式离散。

对于积分项，我们对网格点之间的u使用线性插值，并将s>Smax的u取为零。例如，在[71]中给出了所得矩阵J的公式。对于时间离散，我们采用IMEX–CNAB格式，该格式通常由两个欧拉步和时间步平滑t、 在第一步中，后序法用于离散微分部分D，前向欧拉法用于离散积分部分J。对于欧式期权，这些步骤由下式给出：我-tDU1/2=U+tJU+tG1/2，我-tDU=U1/2+tJU1/2+tG。在没有跳跃的情况下，这些步骤减少到与Black-Scholes模型相同的Rannacher平滑。在这两个步骤之后，采用（26）定义的IMEX–CNAB方案。我们研究了欧洲和美国期权在相同网格（m，N）=（160,2k），k=0,1。，10，并使用与之前相同的错误度量（42）。图4显示了使用IMEX–CNAB方案和带有经典Rannacher平滑的Crank–Nicolson方法的欧式期权的时间误差。我们观察到，这两种方法的时间误差基本相同，并且表现出二阶收敛性。图6显示了使用IMEX–CNAB方案和Crank–Nicolson方法的美式期权的相同时间误差，其中IMEX–CNAB方案对LCP进行运算符拆分，而Crank–Nicolson方法不进行拆分。这两种方法的收敛结果与第7.1节中Black-Scholes模型的情况非常相似。因此，对于较大的时间步长，秩-尼科尔森方法更准确，而对于较小的时间步长，带分裂的IMEX-CNAB方案更准确。为了评估建议的离散化的有效性，我们报告了时空网格（m，N）=2k（10,2），k=0，1，…，上的欧式期权的总离散化误差。，6.

总离散化误差定义为（m，N）=max|嗯，我-u（si，T）|：K<si<K. （44）24 Karel in’t Hout和Jari Toivanenth参考价格函数u是在时空网格（102402048）上计算的。图5显示了使用IMEX–CNAB模式和Crank–Nicolson方法的欧式期权的总误差。与时间误差一样，两种方法的总误差基本相同，都表现出二阶收敛行为。10-310-210-110010-710-510-310-11011/时间误差平滑IMEX-CNABsmoothed CNFig。4.采用IMEX–CNAB格式和Crank–Nicolson方法，对默顿模型下的欧式期权的时间离散化误差进行了分析，这两种方法都具有光滑性。7.3赫斯顿模型在赫斯顿随机波动率模型下，我们也考虑了欧洲和美国的看跌期权。对于平均回归率、长期平均值、方差波动率和相关性，取以下值：κ=2、η=0.04、σ=0.25和ρ=-0.5. （45）空间域被截断为[0，Smax]×[0，Vmax]，Smax=8K，Vmax=5。施加以下边界条件：u（0，v，t）=df·K=0≤ 五、≤Vmax，0<t≤ T、 （46）us（Smax，v，T）=0表示0≤ 五、≤Vmax，0<t≤ T、 （47）紫外线（s，Vmax，T）=0表示0≤ s≤ Smax，0<t≤ T、 （48）算子分裂法在金融中的应用2510-310-210-110010-710-510-310-11011/NTotal错误平滑IMEX-CNABsmoothed CNFig。5采用MEX–CNAB格式和Crank–Nicolson方法的默顿模型下欧式期权的总离散化误差，这两种方法都具有平滑性。10-310-210-110010-710-510-310-11011/时间误差平滑IMEX-带有拆分平滑CNFig的CNAB。